选择树、判定树和查找树

选择树

• 概念：假设有k个已经排序的序列，并且想要将其合并成一个单独的排序序列。每个排好序的序列叫走一个归并段。

• 暴力算法：假设总共有n个数字，每次取k个归并串最小或者最大的一个数，比较k-1次得到所有数中最大或者最小的树，存入新空间中，接着一直这样比较...需要比较的次数是n*(k-1)

• 选择树算法：可以构造完全二叉树的数组表示法。初始状态如下：

接着将上图最小的6放到新序列中，然后用15替换最下层的6，再进行规范化，接着选出最小，如下：

可以看到，每次的比较次数是O(logk)，时间复杂度是O(nlogk)

判定树

• 概念：以著名的8枚硬币的问题进行说明。假定有8枚硬币a-h，其中一枚硬币是伪造的。伪造的硬币可能比标准的重或者轻，所以可能的结果有16种情况。

• 如图，无论是什么情况，经过3次比较一定出结果

• 代码如下：

    char Compare(int a, int b)
    {
        if(a > b)
            return '>';
        else if(a < b)
            return '<';
        else
            return '=';
    }
    
    
    void comp(int x,int y,int z)
    {
        if(x>z)
            cout << x << "heavy";
        else
            cout << y << "light";
    }
    
    void eightcoins()
    {
        int a,b,c,d,e,f,g,h;
        cin >> a >> b >> ... >> h;
        switch(Compare(a+b+c,d+e+f)) {
            case '=':
                if(g>h)
                    comp(g,h,a)
                else
                    comp(h,g,a);
                
                break;
            case '>':
                switch(Compare(a+d,b+e)) {
                    case '=':
                        comp(c,f,a);
                        break;
                    case '>':
                        comp(a,e,b);
                        break;
                    case '<':
                        comp(b,d,a);
                    break;
                }
                
                break;
            case '<':
                switch(Compare(a+d,b+e)) {
                    case '=':
                        comp(f,c,a);
                        break;
                    case '>':
                        comp(d,b,a);
                        break;
                    case '<':
                        comp(e,a,b);
                    break;
                }
                
                break;
                    
        }
    }
    
    

查找树

  一般来说，查找树指的是二叉查找树，其查找过程是从根结点一直向下查找，时间复杂度为O(logn)。

对查找二叉树进行中序遍历，是个递增序列

定义如下：

• 若它的左子树不空，则其左子树上任意结点的关键字的值都小于根结点关键字的值
• 若右子树不空，则其右子树上任意结点的关键字的值都大于根结点的关键字的值
• 它的左右子树又是一个二叉查找树

代码实现：

• 定义数据结构：

    struct celltype{
        records data;
        celltype *lchild, *rchild;
    };
    
    typedef celltype *BST;

• 插入数据：

    void Insert(records R, BST &F)
    {
        if(F == NULL) {
            F = new celltype;
            F->data = R;
            F->lchild = NULL;
            F->rchild = NULL;
        } else if(R.key < F->data.key)
            Insert(R,F->lchild);
        else if(R.key > F->data.key)
            Insert(R,F->rchild);
    }
    

• 删除数据：

    //删除关键字最小的结点并且返回其数据
    records DeleteMin(BST & F)
    {
        records tmp;
        BST P;
        if(F->lchild == NULL) {
            P = F;
            tmp = F->data;
            F = F->rchild;
            delete P;
            return tmp;
        } else
            return DeleteMin(F->lchild);
    }

    void Delete(keytype k,BST &F)
    {
        if(F) {
            if(k < F->data.key)
                Delete(k,F->lchild);
            else if(k > F->data.key)
                Delete(k,F->rchild);
            else
                //查找成功
            {
                if(F->lchild == NULL)
                    F = F->rchild;
                else if(F->rchild == NULL)
                    F = F->lchild;
                else
                    F->data = DeleteMin(F->rchild);
            }
        }
    }

• 查找数据

    BST Serach(keytype k,BST F)
    {
        if(F == NULL)
            return NULL;
        else if( k == F->data.key)
            return F;
        else if(k < F->data.key)
            return Search(k,F->lchild);
        else if(k > F->data.key)
            return Search(k,F->rchild);
    }