题解 GDFZOJ 【646】 01背包
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这是一道\(Dp\)的模板题，也没什么好说的，直接开始吧
一、审题
有N件物品和一个容量为\(V\)的背包。第\(i\)件物品所占空间是\(C_i\)，价值是\(W_i\)。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
数据范围：\(0 \le V \le 1000,0\le N\le 100,0 < C \le 1000,0 < W \le 100\)
似乎并没有什么关键点，粗略判断时间复杂度，\(emm······\)，\(O(NV)\)是可以过的，那就往这方面想吧
二、做题
0、贪心
若果你还没学过\(Dp\)，就很容易会想到用贪心来做这道题，设一个数组\(sum_i=\dfrac{W_i}{C_i}\)，然后优先但是就会出现一个很大的问题：假设我们背包的容量\(C=10\)，有以下三个物品
| 物品编号 | A | B | C |
|---|---|---|---|
| C | 6 | 5 | 5 |
| W | 9 | 6 | 6 |
| Sum | 1.5 | 1.2 | 1.2 |
| 根据以上的贪心策略，我们应该是要选\(A\)的，但是我们发现同时选\(B\)和\(C\)的话得到的价值会更大呀，贪心思想不能从大局考虑，所以必须要用\(Dp\) |
1、背包
既然确定了是动规，那就可以愉快地开始推式子啦
让我假设现在的背包的容量C=10；
| 物品编号 | 物品重量 | 物品价值 |
|---|---|---|
| 1 | 5 | 20 |
| 2 | 6 | 10 |
| 3 | 4 | 12 |
我们用\(v[i]\)表示物品价值，\(w[i]\)表示物品重量，再首先定义状态$ dp[i][j]\(以\)j$ 为容量为放入前\(i\)个物品(按\(i\)从小到大的顺序)的最大价值，那么 \(i=1\)的时候，放入的是物品\(1\)，这时候肯定是最优的啦！
那考虑一下当前容量\(j\)，如果 \(j<5\)，那么肯定就不能放，所以\(dp[1][j]=0(j<5)\)；那如果 \(j>5\)，那就可以放进去了的呀，所以\(dp[1][j]=20(j>=5)\)；
接着 i=2i=2 放两个物品，求的就是 \(dp[2][j]\) 了，当 $j<5 $的时候，是不是同样的 \(dp[2][j](j<5)=0\)；那当 \(j<6\) 是不是还是放不下第二个，只能放第一个；
那 \(j>6\) 呢？是不是就可以放第二个了呢？是可以，但是明显不是最优的，用脑子想了一下，发现 \(dp[2][j](j>6)=20\)，这个 \(20\)怎么来的呢，当然是从前一个状态来的（注意这里就可以分为两种情况了）：一种是选择第二个物品放入，另一种还是选择前面的物品；
我们假设\(j=10\)，这时候：\(dp[2][10]=max((dp[1][10-w[2]])+v[2],dp[1][10])\)也就是\(dp[2][10] = max(dp[1][4])+10,dp[1][10])\)
是不是很明显了呢，\(dp[1][4]+10\)是选择了第二个，于是容量相应就减少成 \(4\)，之前已经得出 \(dp[1][4]=0\)，就是说选了物品\(2\)，物品\(1\)就选不了了；\(dp[1][10]\)是不选择第二个，只选择第一个\(dp[1][10]\)是等于\(20\)的，于是得出\(dp[2][10]=20\)
到这里就可以了，依次类推，动态转移方程为
但是好像还有一些问题没考虑完.........
2、需要单独考虑的问题
看回例子：
| 物品编号 | 物品重量 | 物品价值 |
|---|---|---|
| 1 | 5 | 20 |
| 2 | 6 | 10 |
| 3 | 4 | 12 |
我们知道\(dp[1][j](j<5)=20\)，那么\(dp[2][j](j=5)\)的时候是多少呢？我们看到动态转移方程并没有考虑 \(j<w[i]\) 的情况，但是我们可以加进去，由于我们可以看出来\(dp[2][5]=5\)，为什么？因为不能选第二个，只能选第一个，所以\(dp[2][5]=dp[1][5]\)了！所以当\(j<w[i]\)的时候，\(dp[i][j]=dp[i-1][j]\)就好了，是不是很神奇呢?
3、一维优化
我们刚是用二维来存状态的，那可不可以压缩到一维呢？
答案是可以的，其实我们发现上面的\(i\)是可以省去的，但这个时候就会有人说了：物品会重复放入。所以重点就是，一维内层循环要倒着来！不然会重复放入
三、代码
1、二维数组
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int w[105],val[105];
int dp[105][1005];
int main()
{
int t,m,res=-1;
scanf("%d%d",&t,&m);
for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&w[i],&val[i]);
for(int i=1;i<=m;i++)
for(int j=t;j>=0;j--)
if(j>=w[i]) dp[i][j]=max(dp[i-1][j-w[i]]+val[i],dp[i-1][j]);
else dp[i][j]=dp[i-1][j];
printf("%d",dp[m][t]);
return 0;
}
2、一维数组
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int aa[1000001],bb[1000001],f[1000001];
int a,b,c,d;
int main()
{
scanf("%d%d",&a,&b);
for(int i=1;i<=b;++i) scanf("%d%d",aa+i,bb+i);
for(int i=1;i<=b;i++)
{
for(int j=aa[i];j<=a;j++)
{
f[j]=max(f[j],f[j-aa[i]]+bb[i]);
}
}
printf("%d",f[a]);
}
