题解 GDFZOJ 【661】 过河卒

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一、审题

\(A\)点有一个过河卒，需要走到目标B点。卒行走规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上的任一点有一个对方的马（如上图的\(C\)点），该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。例如上图\(C\)点上的马可以控制\(9\)个点（图中的\(P1,P2…P8\)和\(C\)）。卒不能通过对方马的控制点。

棋盘用坐标表示，\(A\) 点\((0,0)\)、\(B\)点\((n,m)\)（\(n,m\)为不超过\(20\)的整数)，同样马的位置坐标是需要给出的。现在要求你计算出卒从\(A\)点能够到达\(B\)点的路径的条数。

很明显，这道题用暴搜是不行的，所以要用\(Dp\)

二、做题

我们首先定义状态，我们设\(f_{i,j}\)为从点\((0,0)\)走到点\((i,j)\)一共有多少种方案，然后就可以开始愉快地推式子啦

首先我们知道\(f_{i,j}\)可以从\(f_{i-1,j}\)和\(f_{i,j-1}\)转移过来，因为如果要走到点\((i,j)\)，就一定要么要经过\((i-1,j)\)，要么要经过\((i,j-1)\)，而且只能从这两个点走过来。所以我们可以很容易就推出一个式子:

\[f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i,j-1} \]

可是我们还有“马”没有处理呢！其实这个也很简单，因为没法走到被马控制的点，所以只需要针对马控制的点\((i,j)\)，将\(f_{i,j}\)改为0就行了

所以我们就顺利地推出来了

\[f_{i,j}=\begin{cases}f_{i,j-1}+f_{i-1,j}&(\text{点}(i,j)\text{不为被马控制的点})\\0&(\text{点}(i,j)\text{为被马控制的点})\end{cases} \]

三、代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long int a,b,n,m,aa[22][22],zou[23][23];
void bj(long long int x,long long int y)
{
    zou[x][y]=1;
    zou[x-1][y-2]=1;
    zou[x-2][y-1]=1;
    zou[x-2][y+1]=1;
    zou[x-1][y+2]=1;
    zou[x+1][y-2]=1;
    zou[x+2][y-1]=1;
    zou[x+2][y+1]=1;
    zou[x+1][y+2]=1;
}
int main()
{
    cin>>n>>m>>a>>b;
    bj(a,b);
    aa[1][0]=1;
    for(int i=1;i<=n+1;++i)
    {
        for(int j=1;j<=m+1;++j)
        {
            aa[i][j]=aa[i-1][j]+aa[i][j-1];
            if(zou[i-1][j-1]) aa[i][j]=0;
        }
    }
    printf("%lld",aa[n+1][m+1]);
    return 0;
}