树形 DP 问题

树形 $dp$ 问题

• 最小点覆盖

问题：

给定一颗有 $n$ 个点的有根树，从这 $n$ 个点中选出尽量少的点，使得所有边都与取出来的点相连。

分析：

考虑一条边，它两端的节点必定有一个在所选点集中，可以考虑 $dp$ :

设 $f_{u,0}$ 表示以 $u$ 为根的子树中， $u$ 不在点覆盖集中所需要选取的最小点数； $f_{u,1}$ 表示以 $u$ 为根的子树中， $u$ 在点覆盖集中所需要选取的最小点数。

接下来考虑转移 （其中 $v$ 为 $u$ 的儿子）：

对于 $f_{u,0}$ ，因为 $u$ 不选取，则 $u$ 的儿子一定要取，所以 $f_{u,0}=\sum f_{v,1}$

对于 $f_{u,1}$ ， 因为 $u$ 要选取，则 $u$ 的儿子可选可不选，所以 $f_{u,1} = 1+\sum min(f_{v,0},f_{v,1})$

设根节点为 $root$ ，则最后答案为 $min(f_{root,0},f_{root,1})$

int f[MAXN][2];
void Dfs(int u,int fa)
{
	f[u][0]=0;f[u][1]=1;
	for(int v:G[u])
	{
		if(v==fa) continue;
		Dfs(v,u);
		f[u][0]+=f[v][1];
		f[u][1]+=min(f[v][0],f[v][1]);
	}
}

• 最大独立集

问题：

给定一棵有 $n$ 个点的树，从 $n$ 个点中选出尽量多的点，使得两两之间没有连边。

分析：

同上，考虑一条边，它两端的点不能被同时选取，那么考虑 $dp$ ：

设 $f_{u,0}$ 表示以 $u$ 为根的子树中 $u$ 不在最大独立集中最多可以选多少点， $f_{u,1}$ 表示以 $u$ 为根的子树中 $u$ 在最大独立集中最多可以选多少点。

接下来考虑转移：

对于 $f_{u,0}$ ，因为 $u$ 不选，所以 $u$ 的儿子可选可不选，则 $f_{u,0}=\sum max(f_{v,0},f_{v,1})$

对于 $f_{u,1}$ ，因为 $u$ 要选，所以 $u$ 的儿子一定不能选，则 $f_{u,1}=1+\sum f_{v,0}$

则最后的答案为 $max(f_{root,0},f_{root,1})$

int f[MAXN][2];
void Dfs(int u,int fa)
{
	f[u][0]=0;f[u][1]=1;
	for(int v:G[u])
	{
		if(v==fa) continue;
		Dfs(v,u);
		f[u][0]+=max(f[v][0],f[v][1]);
		f[u][1]+=f[v][0];
	}
}

• 最小支配集

问题：

给定一棵 $n$ 个点的树，从 $n$ 个点中选取尽量少的点，使得任意一个不在支配集中的点都和一个在支配集中的点有连边。

分析：

我们设 $f_{u,0}$ 表示 $u$ 在支配集中至少要选几个点，简称被自己支配。

$f_{u,1}$ 表示 $u$ 不在支配集中，而 $u$ 的儿子在支配集中至少要选几个点，简称被儿子支配。

$f_{u,2}$ 表示 $u$ 不在支配集中，而 $u$ 的父亲在支配集中至少要选几个点，简称被父亲支配。

接下来考虑转移：

对于 $f_{u,0}$ ，因为 $u$ 选了，那么 $u$ 的儿子可选可不选，所以 $f_{u,0}=1+\sum min(f_{v,0},f_{v,1},f_{v,2})$

对于 $f_{u,1}$ ，因为 $u$ 不选，而至少要有一个 $u$ 的儿子要选，所以我们枚举选的儿子 $v_i$ ，设 $x$ 为 $u$ 的儿子数，则其余的儿子为 $v_j(1 \leq i \leq x\ ,\ i \not= j)$ ，则 $f_{u,1}=f_{v_i,0}+\sum min(f_{v_j,0},f_{v_j,1})$

对于 $f_{u,2}$ ，因为 $u$ 靠了 $u$ 的父亲支配，则 $u$ 的儿子只能靠自己或者自己的儿子。则 $f_{u,2}=\sum min(f_{v,0},f_{v,1})$

则最后的答案为 $min(f_{root,0},f_{root,1})$

void Dfs(int u,int fa)
{
	int sum=0;
	for(int v:G[u])
	{
		if(v==fa) continue;
		Dfs(v,u);
		sum+=min(f[v][0],f[v][1]);
	}
	f[u][0]=1;f[u][1]=INF;f[u][2]=0;
	for(int v:G[u])
	{
		if(v==fa) continue;
		f[u][0]+=min(min(f[v][0],f[v][1]),f[v][2]);
		f[u][1]=min(f[u][1],sum-min(f[v][0],f[v][1])+f[v][0]);
		f[u][2]+=min(f[v][0],f[v][1]);
	}
}