【Study】FHQ-Treap

其实是复习笔记（

【模板】普通平衡树

简介

$FHQ-Treap$ 是平衡树的一种，主要沿袭了 $Treap$ 的思路，与其他平衡树不同的是它并非进行旋转操作来维护树的平衡，而是进行分裂和合并的操作，因此又称非旋 $Treap$ 。

优点：码量少，易理解，灵活

缺点：常数略大

实现

先说明一点东西：

int rt;//根节点
int L,R;//后面会提到
int cnt;//节点编号
struct node{
    int l,r;//左右儿子
    int val;//当前节点的权值
    int key;//随机生成的附属值
    int siz;//子树（包括自己）的节点数量
}t[MAXN];

1、新建节点，维护节点数

无需多言。

int Addn(int a)
{
    t[++cnt].siz=1;
    t[cnt].val=a;
    t[cnt].key=rand();
    return cnt;
}

#define ls t[u].l
#define rs t[u].r 
void Pushup(int u)
{
	t[u].siz=t[ls].siz+t[rs].siz+1;
}

2、分裂（$Split$）

主要思想就是将一棵树分为两颗

$Split$ 有两种类型，分为 按 $val$ 分裂 和 按 $siz$ 分裂 两种。

（对于上面的模板题需要按 $val$ 分裂）

这里仔细将按 $val$ 分裂

首先我们需要定义 $L,R$ , 分别表示左右子树

规定一个关键值 $k$ ，将 $val$ 小于等于 $k$ 的节点放到左子树，将 $val$ 大于 $k$ 的放到右子树

代码如下：

#define ls t[u].l
#define rs t[u].r 
void Split(int u,int k,int &L,int &R)
//u表示当前节点，L和R分别表示左右子树所新增的节点，但注意，此处的L、R仍不存在，为虚拟节点
//注意此处需要引用 & ，才能将虚拟节点修改为真正的节点

{
    if(!u){L=R=0;return;}
    //若当前节点不存在，便无需加上新的节点
    
    if(t[u].val<=k) L=u,split(rs,k,rs,R);    
    //如果当前节点的val小于等于k，则将u及u的左子树放入L,继续遍历u的右子树
    //但是右子树可能会有节点的val小于等于k且大于t[u].val,所以u的右儿子可能需要修改，于是有split(_,_,rs,_)
    //假如t[rs].val仍然小于等于k,则L=u，发现实际对于上一层遍历就是将t[u].rs修改为t[u].rs
    
    else R=u,split(ls,k,L,ls);    
    //如果当前节点的val大于k，则将u及u的右子树放入R,继续遍历u的左子树
    //剩下的其实同理
    
    pushup(u);
}

对于 int &L,int &R 的理解是个难点也是关键点，其实配合图片进行理解会较容易，比如这篇
洛谷日报
对分裂和合并的操作有详细的图解。

对于按 $siz$ 分裂也是类似的，这里就不细讲了qwq

#define ls t[u].l
#define rs t[u].r 
void Split(int u,int k,int &L,int &R)
{
    if(!u){L=R=0;return;}
    if(t[ls].siz+1<=k) L=u,split(rs,k-t[ls].siz-1,rs,R);
    else R=u,split(ls,k,L,ls);
    pushup(u);
}

2、合并（$Merge$）

理解了 $Split$ 操作后对于 $Merge$ 操作也就不难理解了

此时就是需要将分裂出来的 $L,R$ 进行合并，因为两颗子树都满足 $Treap$ 的性质，我们就仅需对比此时两颗需合并子树的 $key$ 值，进行合并，来维护合并后的新树的平衡

可以结合代码进行理解：

int Merge(int L,int R)
{
    if(!L||!R) return L|R;
    //如果其中一颗子树为空，则直接合并

    if(t[L].key<=t[R].key)
    //如果左子树的根的key小于等于右子树的根的key

    {
        t[L].r=merge(t[L].r,R);
        //则将左子树的右子树与右子树进行合并，以保证小根堆的性质
        //其实左子树的左子树一定小于右子树，并且左子树的左子树已经满足小根堆的性质，就无需进行修改
        //这里有点绕qwq

        pushup(L);
        //因为处理的是左子树，进行更新

        return L;
        //返回根节点
    }
    else
    {
        //接下来均同理
        t[R].l=merge(L,t[R].l);
        pushup(R);
        return R;
    }
}

理解掌握了 $Split$ 和 $Merge$ ， 接下来的其实就很容易了

3、插入

void Insert(int a)
{
    Split(rt,a,L,R);
    rt=merge(merge(L,addn(a)),R);
}

挺好理解，将整棵树拆为 节点小于等于插入值的子树 和 节点大于插入值的子树 两部分，再依次将子树和节点、子树和子树进行合并。

4、删除

int x;
void Delete(int a)
{
    split(rt,a,L,R);
    split(L,a-1,L,x);
    rt=merge(L,R);
}

这里的 $x$ 和 $L$，$R$ 同种作用，在这里辅助处理

这个看代码就能理解的吧qwq

但是在上面的模板题，里面的删除操作要求删除一个，而我们这里对所有权值为 $a$ 的节点都进行删除了，所以需要小修改一下

int x;
void Delete(int a)
{
    split(rt,a,L,R);
    split(L,a-1,L,x);
    x=merge(t[x].l,t[x].r);
    //抛弃这个节点，将这个节点的左右子树进行合并
    rt=merge(merge(L,x),R);
}

5、查询指定数的排名

int Findrank(int a)
{
    split(rt,a-1,l,r);
    int ans=t[l].siz+1;
    rt=merge(l,r);
    //注意查询完要合并qwq
    return ans;
}

排名定义为比当前数小的数的个数 +1 

根据题目定义直接找

6、查询指定排名的数

#define ls t[u].l
#define rs t[u].r 
int Findkth(int u,int k)
{
    while(1)
    {
        if(k<=t[ls].siz) u=ls;
        else if(k==t[ls].siz+1) return t[u].val;
        else k=k-t[ls].siz-1,u=rs;
        //注意这里k要减去左边的节点数
    }
}

qwq看代码吧

7、查询前驱/后继

int Findpre(int a)
{
    split(rt,a-1,l,r);
    int ans=findkth(l,t[l].siz);
    rt=merge(l,r);
    return ans;
}

int Findsuf(int a)
{
    split(rt,a,l,r);
    int ans=findkth(r,1);
    rt=merge(l,r);
    return ans;
}

对于前驱，分裂出值小于 $a$ 的子树，在查询这个子树的最大值。

因为这颗子树满足Treap性质所以只要找这个子树对最后一名就行。

对于后驱，同理qwq

总结

到这里我们就真正处理完一颗 $FHQ-Treap$ 的基本操作。

可以发现 $FHQ-Treap$ 是可以对区间进行处理的，假如我们要处理区间 $l-r$ ,只需把整棵树分裂为 $1-r$ 和 $(r+1)-n$ ，再将 $1-r$ 分裂为 $1-(l-1)$ 和 $l-r$ ,然后对分裂出来的区间进行乱搞就行了qwq

所以 $FHQ-Treap$ 的灵活之处就在此，你可以随心所欲地对某些东西进行十分轻松的维护处理，这使 $FHQ-Treap$ 在很多题目上都能大显神通 qwq

（但是在开心地刷题之余记得对常数进行优化qwq

参考资料：

洛谷日报第289期 [万万没想到]FHQ-Treap学习笔记