poj 2823 Sliding Window

摘要：

题目来源：http://poj.org/problem?id=2823

这道题采用单调队列的方法。

一直弄不明白单调队列是什么，在网上也找不到易懂的介绍。最后结合别人博客上的介绍和程序看才理解是怎么回事。（转载自：http://xuyemin520.is-programmer.com/posts/25964）

我们从最简单的问题开始：

给定一个长度为N的整数数列a(i),i=0,1,...,N-1和窗长度k.

要求：

      f(i) = max{a(i-k+1),a(i-k+2),..., a(i)},i = 0,1,...,N-1

问题的另一种描述就是用一个长度为k的窗在整数数列上移动，求窗里面所包含的数的最大值。

解法一：

很直观的一种解法，那就是从数列的开头，将窗放上去，然后找到这最开始的k个数的最大值，然后窗最后移一个单元，继续找到k个数中的最大值。

这种方法每求一个f(i),都要进行k-1次的比较，复杂度为O(N*k)。

那么有没有更快一点的算法呢？

解法二：

我们知道，上一种算法有一个地方是重复比较了，就是在找当前的f(i)的时候，i的前面k-1个数其它在算f(i-1)的时候我们就比较过了。那么我们能不能保存上一次的结果呢？当然主要是i的前k-1个数中的最大值了。答案是可以，这就要用到单调递减队列。

单调递减队列是这么一个队列，它的头元素一直是队列当中的最大值，而且队列中的值是按照递减的顺序排列的。我们可以从队列的末尾插入一个元素，可以从队列的两端删除元素。

1.首先看插入元素：为了保证队列的递减性，我们在插入元素v的时候，要将队尾的元素和v比较，如果队尾的元素不大于v,则删除队尾的元素，然后继续将新的队尾的元素与v比较，直到队尾的元素大于v,这个时候我们才将v插入到队尾。

2.队尾的删除刚刚已经说了，那么队首的元素什么时候删除呢？由于我们只需要保存i的前k-1个元素中的最大值，所以当队首的元素的索引或下标小于 i-k+1的时候，就说明队首的元素对于求f(i)已经没有意义了，因为它已经不在窗里面了。所以当index[队首元素]<i-k+1时，将队首 元素删除。

从上面的介绍当中，我们知道，单调队列与队列唯一的不同就在于它不仅要保存元素的值，而且要保存元素的索引（当然在实际应用中我们可以只需要保存索引，而通过索引间接找到当前索引的值）。

为了让读者更明白一点，我举个简单的例子。

假设数列为：8，7，12，5，16，9，17，2，4，6.N=10,k=3.

那么我们构造一个长度为3的单调递减队列：

首先，那8和它的索引0放入队列中，我们用（8，0）表示，每一步插入元素时队列中的元素如下：

0：插入8，队列为：（8，0）

1：插入7，队列为：（8，0），（7，1）

2：插入12，队列为：（12，2）

3：插入5，队列为：（12，2），（5，3）

4：插入16，队列为：（16，4）

5：插入9，队列为：（16，4），（9，5）

。。。。依此类推

那么f(i)就是第i步时队列当中的首元素：8，8，12，12，16，16，。。。

poj 2823 代码

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>

#define Maxn 1000005
#define SP system("pause")

int n, k;
int num[Maxn], Index[Maxn], num_max[Maxn], num_min[Maxn];

void Func_max()
{
    int head = 1, tail = 0;
    
    for(int i=0; i<k; i++)
    {
        while((head <= tail) && (num_max[tail] < num[i]))
            tail--;
        num_max[++tail] = num[i];
        Index[tail] = i;
    }
    printf("%d", num_max[head]);
    for(int i=k; i<n; i++)
    {
        int index_min = i - k + 1;
        
        while((head <= tail) && (num_max[tail] < num[i]))
            tail--;
        num_max[++tail] = num[i];
        Index[tail] = i;
        
        if(Index[head] < index_min)
        {
            head++;
        }
        printf(" %d", num_max[head]);
    }
    printf("\n");
}

void Func_min()
{
    int head = 1, tail = 0;
    
    for(int i=0; i<k; i++)
    {
        while((head <= tail) && (num_min[tail] > num[i]))
            tail--;
        num_min[++tail] = num[i];
        Index[tail] = i;
    }
    printf("%d", num_min[head]);
    for(int i=k; i<n; i++)
    {
        int index_min = i - k + 1;
        
        while((head <= tail) && (num_min[tail] > num[i]))
            tail--;
        num_min[++tail] = num[i];
        Index[tail] = i;
        
        if(Index[head] < index_min)
        {
            head++;
        }
        printf(" %d", num_min[head]);
    }
    printf("\n");
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d", &n, &k) != EOF)
    {
        for(int i=0; i<n; i++)
            scanf("%d", &num[i]);
        
        if(k == 1)
        {
            printf("%d", num[0]);
            for(int i=1; i<n; i++)
                printf(" %d", num[i]);
            printf("\n");
            
            printf("%d", num[0]);
            for(int i=1; i<n; i++)
                printf(" %d", num[i]);
            printf("\n");
        }
        else
        {
            Func_min();
            Func_max();
        }
    }
    return 0;
}