汽车二自由度模型公式推导及simulink模型——传递函数、状态空间

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二自由度车辆方程

1、简化与假设

为便于掌握操纵稳定性的基本特性，我们将一对简化为线性二自由度的汽车模型进行研究，分析中忽略一下几点：
1、忽略转向系统的影响，直接以前轮转角作为输入。
2、忽略悬架的作用，认为汽车车厢只作平行于地面的平面运动，即汽车沿z轴的位移，绕y轴的俯仰角与绕x轴的侧倾角均为零。
3、另外，汽车沿着x轴的前进速度u视为不变。因为之后将用运动学和动力学的方式联立等式（理论力学的内容），而沿x轴速度不变意味着x轴方向的加速度为0，不用参与到联立的等式中。
因此，汽车只有沿y轴的侧向运动与绕z轴的横摆运动这样两个自由度。

此外，汽车的侧向加速度限定在0.4g以下，轮胎侧偏特性处于线性范围。在建立运动微分方程时还假设：驱动力不大，不考虑地面切向力对轮胎侧偏特性的影响，没有空气动力的作用，忽略左、右车车轮轮胎由于载荷的变化而引起轮胎特性的变化以及轮胎回正力矩的作用。这样，实际汽车便简化成为一个两轮摩托车模型。

Fig1. 简化后两轮汽车模型及车辆坐标系

Fig2. 二自由度汽车模型

2、汽车运动分析

Fig .3 l利用固结与汽车的车辆坐标系分析汽车的运动

$\Delta \Theta$ 很小，且忽略二阶微量

车辆沿ox轴和oy轴的速度分量

$ox:(u+\Delta u)cos\Delta \Theta - u - (v + \Delta v)sin\Delta \Theta =\Delta u-v\Delta \Theta$

$oy:(v+\Delta v)cos\Delta \Theta -v+(u+\Delta u)sin\Delta \Theta =\Delta v+u\Delta \Theta$

求取汽车质心得绝对加速度在车辆坐标系ox轴和oy轴的速度分量

　　　　　　　　　　 $a_{x}=\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t}-v\frac{\mathrm{d}\Theta }{\mathrm{d} t}=\dot{u}-vw_{r}$

　　　 $a_{y}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}+u\frac{\mathrm{d}\Theta }{\mathrm{d} t}=\dot{v}+uw_{r}$

二自由度汽车受到的外力沿y轴方向的合力与绕质心的力矩和力：

$\sum F_{y}=F_{Y1}cos\delta +F_{Y2}$

$\sum M_{z}=aF_{Y1}cos\delta -bF_{Y2}$

考虑前轮转角 $\delta$ 很小，上式可以写成：

$\sum F_{Y}=k1\alpha1 +k2\alpha 2$

$\sum M_{z}=ak1\alpha 1-bk2\alpha 2$

引入质心侧偏角：

$\beta \approx tan\beta =\frac{v}{u}$

$\xi$ 是u1和x轴的夹角：

$\xi\approx tan\xi =\frac{v+aw_{r}}{u}=\beta +\frac{aw_{r}}{u}$

前后轮转角偏差：

$\alpha 1=-\left ( \delta -\xi \right )=\beta +\frac{aw_{r}}{u}-\delta$

$\alpha 2=\frac{v-bw_{r}}{u}=\beta -\frac{bw_{r}}{u}$

综上所述，可以列出外力、外力矩与汽车运动参数的关系式：

$\sum F_{Y}=k1(\beta +\frac{aw_{r}}{u}-\delta ) +k2(\beta -\frac{bw_{r}}{u})$

$\sum M_{z}=ak1(\beta +\frac{aw_{r}}{u}-\delta ) -bk2(\beta -\frac{bw_{r}}{u})$

整理后得到二自由度运动微分方程：

$(k1+k2)\beta +\frac{1}{u}(ak1-bk2)w_{r}-k1\delta =m(\dot{v}+uw_{r})$

$(ak1-bk2)\beta +\frac{1}{u}(a^{2}k1-b^{2}k2)w_{r}-ak1\delta =I_{Z}\dot{w_{r}}$

线性二自由度汽车模型的运动微分方程包含了最重要的汽车质量和轮胎侧偏刚度两方面的参数，所以能够反映汽车曲线运动最基本的特征。
可以看出，汽车的横摆、侧向运动与前后轮的侧偏刚度、纵向车速、质心位置、前轮转角、整车质量有关。其中，纵向车速、前轮转角是驾驶员控制的，所谓转弯时减速慢行就是防止由于侧向加速度过大导致侧滑、侧偏甚至侧翻。整车质量、质心位置、前后轮侧偏刚度是车辆的固有特性，就是工程师应该在设计时应该考虑的，保证车辆有较好的转向特性，一般可以通过稳定性因子K来确定车辆稳定性。