数学方法
迭代法
简单来说，其实就是不断地用旧的变量值，递推计算新的变量值
计算机语言中的循环即是迭代的最好应用
故事
古印度国王舍罕酷爱下棋，他打算重赏国际象棋的发明人宰相西萨·班·达依尔。这位聪明的大臣指着象棋盘对国王说：“陛下，我不要别的赏赐，请您在这张棋盘的第一个小格内放入一粒麦子，在第二个小格内放入两粒，第三小格内放入给四粒，以此类推，每一小格内都比前一小格加一倍的麦子，直至放满 64 个格子，然后将棋盘上所有的麦粒都赏给您的仆人我吧！”
#include <stdio.h>
typedef unsigned long ulong;
long get_wheat_num(int grid_num)
{
int i;
ulong sum = 0; // 麦粒总数
// 第一个格子的麦粒数
ulong num_in_grid = 1;
// 1格时麦粒总数
sum += num_in_grid;
// 因为已经计算出了第一格，所以只需要迭代 grid_num - 1 次
for (i = 1; i < grid_num; i++)
{
num_in_grid *= 2;
sum += num_in_grid;
}
return sum;
}
int main(int argc, char **argv)
{
int grid_num;
ulong sum;
grid_num = atoi(argv[1]);
sum = get_wheat_num(grid_num);
printf("girds:%d grains:%lu\n", grid_num, sum);
return 0;
}
[root@izbp1irxwqt7ei21awv6wvz ccc]# ./a.out 1
girds:1 grains:1
[root@izbp1irxwqt7ei21awv6wvz ccc]# ./a.out 2
girds:2 grains:3
[root@izbp1irxwqt7ei21awv6wvz ccc]# ./a.out 64
girds:64 grains:18446744073709551615
迭代法具体应用
1.求数值的精确或者近似解。典型的方法包括二分法（Bisection method）和牛顿迭代法（Newton’s method）
2.在一定范围内查找目标值。典型的方法包括二分查找
数学归纳法
数学归纳法(Mathematical Induction, MI)是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立
上节我们提到，在棋盘上放麦粒的规则是，第一格放一粒，第二格放两粒，以此类推，每一小格内都比前一小格多一倍的麦子，直至放满 64 个格子。我们假想一下自己穿越到了古印度，正站在国王的身边，看着这个棋盘，你发现第 1 格到第 8 格的麦子数分别是：1、2、4、8、16、32、64、128。
根据这个观察，我们是不是可以大胆假设，前 n 个格子的麦粒总数就是 2^n−1
一般步骤可以是这样：
1.证明基本情况（通常是 n=1 的时候）是否成立
2.假设 n = k−1 成立，再证明 n=k 也是成立的（k 为任意大于 1 的自然数）
原理
-
证明当n= 1时命题成立。
-
假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。（m代表任意自然数）
-
证明第一张骨牌会倒。
-
证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。
那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。
示例代码
#include <stdio.h>
#include <math.h>
typedef unsigned long ulong;
typedef unsigned int uint;
int main(int argc, char **argv)
{
int grid_num;
ulong sum;
grid_num = atoi(argv[1]);
sum = (ulong)(pow(2, grid_num) - 1);
printf("girds:%d grains:%lu\n", grid_num, sum);
return 0;
}
[root@izbp1irxwqt7ei21awv6wvz ccc]# ./a.out 1
girds:1 grains:1
[root@izbp1irxwqt7ei21awv6wvz ccc]# ./a.out 2
girds:2 grains:3
[root@izbp1irxwqt7ei21awv6wvz ccc]# ./a.out 3
girds:3 grains:7
递归
当我们需要记录很多中间变量或者状态时，最好使用递归
计算编程递归中，每次嵌套调用都会让函数体生成自己的局部变量
假设有 1,2,5,10 四个数字，求任意个数和为10的所有可能情况比如 (5,5) (10) (2,2,2,2,2)
即限定总和的情况下，求所有可能的加和方式
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
typedef struct {
int *arr;
int cur;
} dl_arr;
int arr_g[] = {1, 2, 5, 10, 0};
int num_g;
void dump(dl_arr *arr)
{
int i;
printf("[");
for (i = 0; i < arr->cur; i++) {
printf("%d,", arr->arr[i]);
}
printf("]\n");
return;
}
dl_arr *arr_copy(dl_arr *arr)
{
int i;
dl_arr *new_arr;
new_arr = malloc(sizeof(dl_arr));
new_arr->arr = calloc(sizeof(int), 100);
new_arr->cur = arr->cur;
for (i = 0; i < arr->cur; i++) {
new_arr->arr[i] = arr->arr[i];
}
return new_arr;
}
void get(int num, dl_arr *arr)
{
int i;
dl_arr *new_arr;
if (num == 0) {
num_g++;
dump(arr);
return;
}
if (num < 0)
return ;
for (i = 0; i < 4; i++) {
new_arr = arr_copy(arr);
new_arr->arr[new_arr->cur++] = arr_g[i];
get(num - arr_g[i], new_arr);
}
//全部复制完毕，释放
free(arr);
}
int main()
{
dl_arr *arr;
arr = calloc(sizeof(dl_arr), 1);
get(10, arr);
printf("%d\n", num_g);
return 0;
}
[root@izbp1irxwqt7ei21awv6wvz ccc]# ./a.out
[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,]
[1,1,1,1,1,1,1,1,2,]
[1,1,1,1,1,1,1,2,1,]
[1,1,1,1,1,1,2,1,1,]
[1,1,1,1,1,1,2,2,]
[1,1,1,1,1,2,1,1,1,]
...
[5,2,1,1,1,]
[5,2,1,2,]
[5,2,2,1,]
[5,5,]
[10,]
129
