如何区分线性系统与非线性系统
想要明白线性系统,我们先要了解线性这个概念,以及知道线性系统可以用微分方程表示
线性性
对于一个函数 y=f(x) 来说,如果他有线性性,则必须要满足两个法则:比例性和叠加性
- 比例性:对于任意的a,都有 a
=
(a
) 成立,即x扩大a倍,y也扩大a倍。
- 叠加性:若
=
(
),
=
(
) ,则 (
+
)=
(
+
)
比如 y=x+1 是一条直线,但它并不是线性的,即不满足上述条件,所以并不是所有直线都是线性的
微分运算也是一种线性运算
- 检验比例性
设 =
(x) , 则d(ky)/dx = kd(y)/dx = kg , 故满足比例性
- 检验叠加性
设 =
(
) ,
=
(
) , 则 d(
+
)/dx = d(
)/dx+d(
)/dx =
+
, 故满足叠加性
更高阶的微分同理可证,所以微分运算也是一种线性运算
这里提一句,单纯的微分运算对常数项无要求,即有无常数项都满足线性性
微分方程的线性性
微分方程是在微分计算的基础上的数学运算,设有下述微分方程:
+
=
+
可以验证比例性 , 叠加性
都成立
这里我就不验证了,第一次打公式,真的感觉好麻烦
这里又提一下,微分方程对常数项就有要求了,即有常数项,则微分方程不具有线性性
线性系统
可以用简单的一句话来描述线性系统:若该系统的的微分方程满足线性性,则该系统为线性系统
但是对于线性系统来说,一定要先区分系统的输入与输出,再来分析线性系统
例如函数:
此时 才是输入,t不是直接的输入变量,所以即使
不是线性的,但该系统仍是线性的
如何从微分方程上判断线性系统
- 只能出现函数本身,以及函数的任何阶次的导函数;
- 函数本身跟所有的导函数之间除了加减之外,不可以有任何运算;
- 函数本身跟本身、各阶导函数本身跟本身,都不可以有任何加减之外的运算;
- 若有积分项,被积函数应为输入变量,如
。其实积分就是微分的负次幂。
- 不允许对函数本身、各阶导函数做任何形式的复合运算。
与高等数学的线性方程的区别(以一阶为例)
高等数学中的一阶线性微分方程通常表示为:
自控原理中的一阶线性微分方程通常表示为:
看到两式的区别了吗?高数中 是
的函数,自控中
都是
的函数。
我们向往远方,却忽略了此刻的美丽