能控型、能观性和稳定性之间的关系

作者：荷兰猪
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系统能控和可观性是系统可以被稳定的充分不必要条件。

如果系统本身状态方程为 ，没有任何可以接受的输入，那么我们说系统是自发的(autonomous)。

判定稳定性首先看 矩阵，如果 矩阵的所有特征值都在复平面的左边，那么系统 就是渐近稳定(asymptotically stable)的。

因为我们需要控制系统，所以系统要有输入，加入输入后状态方程变为：

有了控制输入，我们来解释一下能控性。

假设我们可以给予系统任意的输入信号，那么我们希望研究 可以取得的值的集合。显然这个集合是 的子集。如果该子集等于 那么我们说系统是能控的。举个栗子，假设系统的状态方程为：

无论 取多少， 始终等于0,我们无法利用输入控制状态 。 此时的系统不可控。我们能取得的 。

系统的能控性判据为能控性矩阵：

如果 我们说系统是能控的。上栗子中 , 。

如果系统能控，意味着我们可以利用输入让系统状态等于任意我们希望的状态。

那么这和系统的稳定性有什么联系呢？

我们假设系统矩阵 有特征值在右半平面（即系统矩阵不稳定），如果系统能控，那么我们可以利用状态反馈控制：

使得系统矩阵变为：

将原本不稳定的系统变成稳定的系统。

再来解释能观性，这个时候需要引入完全的状态空间方程：

我们来看一下状态反馈控制的方程 ，很显然，构建这个状态反馈控制方程，我们需要知道系统的状态 。但是在现实系统中，我们可以用传感器测量的量是（也叫作系统的输出） ，我们并不知道系统的状态 的值，因此我们并不能构建状态反馈控制，这样一来我们还是不能使系统稳定。

这个时候怎么办呢，唯一办法是我们希望能够由 的值推算出 的值。如果我们可以从输出 中推算出（其实是建立状态观测器估计出） ，则我们说系统是能观的。这样一来，我们就构建状态反馈控制 来使系统稳定了。

当然系统的可观性，也有相应的能观性矩阵做判定。这里我就不展开了。

总体来说，如果一个系统不稳定，但是可观并且能控，那么我们就可以使用状态观测器+状态反馈控制让系统变的稳定。

事实上，可观能控是系统可以被稳定的充分不必要条件。这里暂时不展开讲，如果明天我有空并且这个问题有更多人关注的话，我就继续写。