正定矩阵与半正定矩阵定义与判别

1.正定矩阵和半正定矩阵

若所有特征值均大于零,则称为正定。

定义:A是n阶方阵,如果对任何非零向量x,都有x^{^{T}}Ax>0,其中x^{^{T}}表示x的转置,就称A为正定矩阵。

性质:

  1. 正定矩阵的行列式恒为正;
  2. 实对称矩阵AA正定当且仅当AA与单位矩阵合同;
  3. 两个正定矩阵的和是正定矩阵;
  4. 正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

根据正定矩阵的定义及性质,判别对称矩阵A的正定性有两种方法:

求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数,则A是正定的;若A的特征值均为负数,则A为负定的。

计算A的各阶顺序主子式。若A的各阶顺序主子式均大于零,则A是正定的;若A的各阶顺序主子式中,奇数阶主子式为负,偶数阶为正,则A为负定的。

2.半正定矩阵

若所有特征值均不小于零,则称为半正定。

定义:设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量x有x^{^{T}}Ax≥0,就称A为半正定矩阵。 

对于半正定矩阵来说,相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。 
性质:

    1. 半正定矩阵的行列式是非负的;
    2. 两个半正定矩阵的和是半正定的;
    3. 非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。
posted @ 2020-10-11 09:28  北极星!  阅读(6889)  评论(0编辑  收藏  举报