BZOJ 1001 [BeiJing2006] 狼抓兔子（平面图最大流）

 

题目大意

 

现在小朋友们最喜欢的"喜羊羊与灰太狼"，话说灰太狼抓羊不到，但抓兔子还是比较在行的。而且现在的兔子还比较笨，它们只有两个窝，现在你做为狼王，面对下面这样一个网格的地形：

左上角点为 (1, 1)，右下角点为 (N, M) (上图中N=4, M=4)。有以下三种类型的道路

　　1: (x, y) <==> (x+1, y)

　　2: (x, y) <==> (x, y+1)

　　3: (x, y) <==> (x+1, y+1)

道路上的权值表示这条路上最多能够通过的兔子数，道路是无向的. 左上角和右下角为兔子的两个窝，开始时所有的兔子都聚集在左上角 (1, 1) 的窝里，现在它们要跑到右下角 (N, M) 的窝中去，狼王开始伏击这些兔子。当然为了保险起见，如果一条道路上最多通过的兔子数为 K，狼王需要安排同样数量的 K 只狼，才能完全封锁这条道路，你需要帮助狼王安排一个伏击方案，使得在将兔子一网打尽的前提下，参与的狼的数量要最小。因为狼还要去找喜羊羊麻烦。

 

N, M 均小于等于 1000

 

做法分析

 

一看就是最小割问题，写的比较好的网络流可以直接暴力的搞过去，当然，正解肯定不是这样，虽然是一个水题，不过还是值得一做的

 

这题需要利用平面图的对偶图性质

平面图的对偶图很好构造：

　　将原图中的面变成新图中的点

　　原图中，每条边必定分割了两个面，在新图中，对应的点之间添加一条边，边权还是原图中边的边权

 

在原图中的一个全局的割就对应了新图中的一个环，也就是说，如果想要求原图中的一个全局最小割，只需要在新图中找一个最小环即可

 

怎么求出原图中分割固定点 s 和 t（s 和 t 处于一个无线大的平面的边缘） 的一个最小割呢？

　　先在原图中添加 s 到 t 的边，给原图增加了一个面

　　构造原图的对偶图，把由于增边而增加的新面对应的点设为 S，无穷大的平面对应的点设为 T

　　删掉对偶图中 S 到 T 直接相连的边

　　求出 S 到 T 的最短路就可以了

详细请看周冬的论文 《两极相通——浅析最大—最小定理在信息学竞赛中的应用》

 

这题按照上面将的建图，跑最短路就行了，听说 SPFA 也能过，我没试过，用的堆优化的 Dijkstra + 输入外挂直接 516ms 过掉

 

参考代码

 

  1 #include <iostream>
  2 #include <cstring>
  3 #include <cstdio>
  4 #include <queue>
  5 
  6 using namespace std;
  7 
  8 const int N=2000006, INF=0x3fffffff, E=N*3;
  9 
 10 struct ARC {
 11     int u, val, next;
 12     inline void init(int a, int b, int c) {
 13         u=a, val=b, next=c;
 14     }
 15 } arc[E];
 16 int head[N], tot, S, T, n, m, dis[N];
 17 bool vs[N];
 18 
 19 struct data {
 20     int u, dis;
 21     data() {}
 22     data(int a, int b) : u(a), dis(b) {}
 23     bool operator < (const data &T) const {
 24         return dis>T.dis;
 25     }
 26 };
 27 
 28 inline void add_arc(int s, int t, int val) {
 29     arc[tot].init(t, val, head[s]);
 30     head[s]=tot++;
 31 }
 32 
 33 priority_queue <data> Q;
 34 void Dijkstra() {
 35     fill(dis, dis+T+1, INF);
 36     fill(vs, vs+T+1, 0);
 37     while(!Q.empty()) Q.pop();
 38     dis[S]=0, Q.push(data(S, 0));
 39     for(int u; !Q.empty(); ) {
 40         u=Q.top().u, Q.pop();
 41         if(vs[u]) continue;
 42         if(u==T) {
 43             printf("%d\n", dis[T]);
 44             break;
 45         }
 46         vs[u]=1;
 47         for(int e=head[u]; e!=-1; e=arc[e].next) {
 48             int v=arc[e].u;
 49             if(vs[v] || dis[u]+arc[e].val>=dis[v]) continue;
 50             dis[v]=dis[u]+arc[e].val;
 51             Q.push(data(v, dis[v]));
 52         }
 53     }
 54 }
 55 
 56 void read(int &x) {
 57     char c;
 58     while((c=getchar())<'0' || c>'9');
 59     x=c-'0';
 60     while((c=getchar())>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';
 61 }
 62 
 63 void Input() {
 64     for(int i=0, id1, id2, a; i<=n-1; i++)
 65         for(int j=1; j<=m-1; j++) {
 66             read(a);
 67             id1=((i-1)*(m-1)+j)*2-1;
 68             id2=(i*(m-1)+j)*2;
 69             if(i==0) id1=T;
 70             else if(i==n-1) id2=S;
 71             add_arc(id1, id2, a);
 72             add_arc(id2, id1, a);
 73         }
 74 
 75     for(int i=1, id1, id2, a; i<=n-1; i++)
 76         for(int j=0; j<m; j++) {
 77             read(a);
 78             id1=((i-1)*(m-1)+j)*2;
 79             id2=((i-1)*(m-1)+j+1)*2-1;
 80             if(j==0) id1=S;
 81             else if(j==m-1) id2=T;
 82             add_arc(id1, id2, a);
 83             add_arc(id2, id1, a);
 84         }
 85 
 86     for(int i=1, id1, id2, a; i<=n-1; i++)
 87         for(int j=1; j<=m-1; j++) {
 88             read(a);
 89             id1=((i-1)*(m-1)+j)*2;
 90             id2=((i-1)*(m-1)+j)*2-1;
 91             add_arc(id1, id2, a);
 92             add_arc(id2, id1, a);
 93         }
 94 }
 95 
 96 int main() {
 97     read(n), read(m);
 98     S=0, T=(n-1)*(m-1)*2+1;
 99     fill(head, head+T+1, -1), tot=0;
100     if(n==1 || m==1) {
101         if(n>m) swap(n, m);
102         int ans=INF;
103         for(int i=1, a; i<m; i++) {
104             read(a);
105             if(ans>a) ans=a;
106         }
107         printf("%d\n", ans==INF?0:ans);
108     }
109     else Input(), Dijkstra();
110     return 0;
111 }
BZOJ 1001

 

题目链接 & AC 通道

 

BZOJ 1001 [BeiJing2006] 狼抓兔子

 

 

 

posted @ 2013-08-21 23:00  jianzhang.zj  阅读(4801)  评论(0)  编辑  收藏  举报