几个概率题
原文：http://www.cnblogs.com/orchid/p/4067042.html
1，一根木棒，截成三截，组成三角形的概率是多少？
2，抛一个六面的色子，连续抛直到抛到6为止，问期望的抛的次数是多少?
3，一个木桶里面有M个白球，每分钟从桶中随机取出一个球涂成红色（无论白或红都涂红）再放回，问将桶中球全部涂红的期望时间是多少？
4，你有一把宝剑。每使用一个宝石，有50%的概率会成功让宝剑升一级，50%的概率会失败。如果宝剑的级数大于等于5的话，那么失败会使得宝剑降1级。如果宝剑的级数小于5的话，失败没有效果。问题是：期望用多少个宝石可以让一把1级的宝剑升到9级？
5，一个黑盒里是一个图，结构未知，只知道点的个数是n，边的个数是m，写公式给出两个点相连的概率。
6，54张牌，平均分成三堆，大小王在同一堆的概率？
Solutions:
1, 0.25
假设整体长度为1（因为这个值不影响概率的计算，所以可以这样假设），第一段的长度是x，第二段为y，第三段为1-x-y。
x,y值要想成为木棍切出来的长度必须要满足的条件为 0<x<1, 0<y<1,0<x+y<1，这些点构成了下图1中红色的部分。
而这三段要构成三角形还必须满足：
x+y>1-x-y => x+y>0.5
x+1-x-y>y => y<0.5;
y+1-x-y>y => x<0.5
这些点构成图2中黄色区域。黄色区域与红色区域面积的比值就是，所有切割中能构成三角形的切割方式和所有切割方式的比值。也就是题目的答案。
2，这种一种概率模型？叫啥来着
因为每次抛到6的概率相等，都是1/6，于是期望的次数就是1/(1/6)=6次。
3，一个木桶里面有M个白球，每分钟从桶中随机取出一个球涂成红色（无论白或红都涂红）再放回，问将桶中球全部涂红的期望时间是多少？
这题目和上面的用到了同样的概率模型。
在M个球中取到第1个未着色的取得次数期望是：1
在M个球中取到第2个未着色的取得次数期望是：1/(M-1/M) ---- 这就是用题目2的模型得出的期望，就像抛色子(只有两色)，第一个着色的点数为1，其它所有未着色的是点数为2。
在M个球中取到第3个未着色的取得次数期望是：1/(M-2/M)
...
在M个球中取到第M个未作色的求所需要的取得次数的期望是：1/(1/M)
整体次数的期望就是 1+ 1/(M-1/M)+1/(M-2/M)+...+M
4，
用a[i]表示从第i-1级升到第i级期望使用的宝石数量。
当i<=5时，因为不会降级，则期望的数量均为2，即a[2] = a[3] = a[4] = a[5] = 2
当i>5时，因为会降级，成功时一个宝石就够了，不成功时需要倒退一级，需要先使用a[i-1]个宝石先回到i-1级，再使用a[i]个宝石升到第i级，即
a[i] = 1 * 1/2 + (1 + a[i-1] + a[i]) * 1/2
即 a[i] = a[i-1] + 2
可知，a[6]= 4, a[7] = 6, a[8] = 8, a[9] = 10
则1级到9级需要的宝石数为 a[2]+…+a[9] = 36。
5，(only my solution, maybe it's not right...)
n个顶点可以有N=n*(n-1)/2条边，所以这个问题与问题：进行N次实验，每次实验的结果符合伯努利分布，成功的概率为p（未知），N次实验总的成功(平均)次数为m，那么p是多少？是相同的。设随机变量A表示N次伯努利实验成功的次数，Ai表示第i次实验的结果，P(Ai=0)=p，那么A=A1+A2+... 。m=E(A)=E(A1)+E(A2)+.. 。而且E(Ai)=p，所以很容易就求出p来了。
6，
在高中时，这种题太小菜了!!可惜我已经高中过去七八年了~~~
随机事件A: 小王和大王在同一堆
随机事件Ai：小王和大王在第i堆, i=1,2,3 。 A1，A2和A3互斥
P(A)=P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=P(大王在第一堆，小王在第一堆)+P(大王在第二堆，小王在第二堆)+P(大王在第三堆，小王在第三堆)
=P(大王在第一堆|小王在第一堆)P(小王在第一堆)+P(大王在第二堆|小王在第二堆)P(小王在第二堆)+P(大王在第三堆|小王在第三堆)P(小王在第三堆)
=3*(17/53)*(1/3)
=17/53
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1, 给你一个数组，设计一个既高效又公平的方法随机打乱这个数组
2，有一苹果，两个人抛硬币来决定谁吃这个苹果，先抛到正面者吃。问先抛这吃到苹果的概率是多少？
3，快速生成10亿个不重复的18位随机数的算法(从n个数中生成m个不重复的随机数)
Solution1:
1，对于A[i],i=0,1,2,...N，随机在数组A[i,i+1,..N]中挑选一个数字交换到A[i]。
为什么这么做会随机？
证明算法随机，只需证明每个数字分配到每个位置的概率是相等的。
易得，数组0-N位置的任意一个数字到位置0的概率都是1/n
到位置1的概率是(1-1/n)*(1/(n-1))=1/n
解释：P(到位置1)=P(第一次调用随机算法的时候没交换到位置0)P(第二次到位置1|第一次调用随机算法的时候没交换到位置0)
到位置2的概率是(1-1/n)(1-1/(n-1))(1/n-2)=1/n
...
2，A表示随机事件先抛的人吃到苹果，那么
i表示先抛的人一共抛了的次数，上面的式子可以求出，P(A)=2/3
3,
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问题1：
每次抛硬币出现正反两面的可能性都是1/2，那么连续出现两次正面的期望是什么
回 答：
设期望为E，那么E等于每个可以掷出连续两次正面的次数乘以其概率的和。考虑第一次和第二次掷出的结果，若第一次结果为“正”，第二次结果为“正”，那么结果是1/4*2；
第一次结果为“正”，第二次结果为“反”，那么前两次都白掷了，那么结果是1/4*（2+E）；
第一次结果为“反”，那么第一次白掷了，那么结果是1/2*（1+E）；
因此求总和：E=1/4*2+1/4*（2+E）+1/2*（1+E），最后结果E=6。
假设有一个硬币，抛出字（背面）和花（正面）的概率都是0.5，而且每次抛硬币与前次结果无关。现在做一个游戏，连续地抛这个硬币，直到连续出现两次字为止，问平均要抛多少次才能结束游戏？注意，一旦连续抛出两个“字”向上游戏就结束了，不用继续抛。
上面这个题目我第一次见到是在pongba的TopLanguage的一次讨论上，提出问题的人为Shuo Chen，当时我给出了一个解法，自认为已经相当简单了，先来考虑一下抛硬币的过程：首先先抛一枚硬币，如果是花，那么需要重头开始；如果是字，那么再抛一枚硬币，新抛的这枚如果也是字，则游戏结束，如果是花，那么又需要重头开始。根据这个过程，设抛硬币的期望次数为T，可以得到关系：
T = 1 + 0.5T + 0.5( 1 + 0.5 * 0 + 0.5T)
解方程可得到 T = 6。
或者根据公式，需要连续抛出n个字的一般情形，结果相当简洁：Tn = 2^(n+1) - 2，其中Tn为首次出现连续的n个字的期望投掷数。
