聊聊神经网络的基础知识

来自《深度学习入门:基于Python的理论与实现》

张量

Numpy、TensorFlow、Pytorch等框架主要是为了计算张量或是基于张量计算。
标量：0阶张量；12,4,3,
向量：一阶张量；[12,4,3]
矩阵：二阶张量；[ [12,4,3], [11,2,3] ]
多阶张量：多维数组；
可以将张量的阶度理解为多维数组的维度。

神经网络

神经网络的图表示：

最左边的一列称为输入层，最右边的一列称为输出层，中间的称为中间层，也叫做隐藏层。

激活函数

概述

激活函数的作用在于决定如何来激活输入信号的总和。数学表达式如下：

图表示如下：

通常神经元用一个○表示，在明确神经网络的动作下，可以明确显示激活函数的计算过程。如下，这两个图是等效的。

sigmoid函数

神经网络中用sigmoid函数作为激活函数，进行信号的转换，转换后的信号被传送到下一个神经元。
函数表示为：

使用Numpy实现：

relu函数

relu函数在输入大于0时，直接输出该值；在输入小于等于0时，输出0。函数表示：

使用Numpy实现：

神经网络的实现

如下是三层神经网络的图表示，第0层神经元到第一层神经元的信号传递：

符号解释：

如下表示引入了偏置的神经元"1"。

神经元a1的数学表达式如下：

矩阵的乘法运算：

NumPy实现：

中间层(隐藏层)的激活函数可能是不一样的，如上可能是sigmoid函数或是rule函数计算。

第1层神经元到第二层神经元的信号传递，从下图也可以看出来，第二层到输出层的信号传递：

输出层的设计

神经网络可以用在分类问题和回归问题上，不过需要根据情况改变输出层的激活函数。一般而言，回归问题用恒等函数，分类问题用softmax函数。

机器学习的问题大致分为分类问题和回归问题。分类问题是数据属于哪一个类别的问题。而回归问题是根据某个输入预测一个数值的问题。

Affine层

Affine层（也称为全连接层、线性层或密集层）是一种基本的神经网络层，其主要作用是将输入数据与权重矩阵相乘并添加偏置，以进行线性变换。这个线性变换是神经网络中的重要组成部分，它将输入数据映射到另一个空间，以便后续的非线性变换和学习。这可以用以下数学公式表示：

深度神经网络中，通常会有多个Affine层连接在一起，构成网络的一部分。每个Affine层将前一层的输出作为输入，并且可以具有不同的权重和偏置，以捕捉不同的特征和复杂性。通常，在Affine层之后会添加非线性激活函数（如ReLU、Sigmoid或Tanh），以使神经网络能够捕捉更复杂的模式和特征。这些非线性函数使神经网络能够逼近任意复杂的函数。

恒等函数和softmax函数

恒等函数会将输入按原样输出，对于输入的信息，不加以任何改动的直接输出。神经网络图表示：

分类问题中的softmax函数，其数学表达式如下，计算第K个神经元的输出：

图表示如下，输出层的各个神经元都受到所有输入信号的影响：

softmax函数的python实现：

softmax函数的输出是0.0到1.0之间的实数。并且softmax函数的输出值的总和是1。因此可以把softman函数的输出解释为"概率"。
比如在手写数字识别时，Softmax层的输出如下：

输入图像经过Affine层与ReLU层进行转换，10个输入通过Softmax层进行正规化。在这个例子中，"0"的得分时5.3，这个值经过Softmax层转换，输出概率为0.008的值；"2"的得分时10.1，被转换为0.991。

损失函数

损失函数标识神经网络性能的"恶劣程度"的指标，即当前的神经网络对监督数据在多大程度上不拟合，在多大程度上不一致。损失函数的计算可以使用均方误差和交叉熵误差。

卷积神经网络

卷积神经网络(CNN)增加了卷积层(Convolution)和池化层(Pooling)。其神经网络结构示例如下：

之前的全连接神经网络中忽略了数据的形状，比如，输入数据是图像时，图像通常是高、长、通道三个方向上的3维形状。但是向全连接层输入时，需要将3维数据拉平为1维数据。全连接层会忽视形状，将全部的输入数据作为相同的神经元(同一纬度的神经元)处理，所以无法利用与形状相关的信息。
而卷积层可以保持形状不变。当输入数据是图像时，卷积层会以3维数据的形式接受输入数据，并以3维数据的形式输出至下一层。因此，CNN架构的网络可以正确理解图像等具有形状的数据。

卷积层

卷积层进行的处理就是卷积运算。卷积运算相当于图像处理中的"滤波器运算"。如下示例：

卷积运算对输入数据应用滤波器。计算顺序如下，卷积运算以一定间隔的步幅滑动滤波器的窗口并应用。如下所示：

将各个位置上滤波器的元素与输入的对应元素相乘，然后再求和。最后将结果保存到输出的对应位置。将这个过程在所有的位置运算一遍，就可以得到卷积运算的输出。