信号与系统学习(1)-正弦信号和指数信号

1 正弦信号

1.1连续时间

数学表达式:x(t)=Acos(ω0t+ϕ)
信号的图像如下

1.2离散时间

数学表达式:x[n]=Acos(ω0n+ϕ)
信号图像如下

1.3正弦信号的性质

重要的性质:

• 周期性
• 正弦的时移等于相位
• 偶函数

2 实指数信号

2.1连续时间

数学表达式:x(t)=Ceat (其中C和a是实数)
信号图像如下

2.2离散时间

数学表达式:x[n]=Ceβn=Cαn (其中C和a是实数)
信号图像如下

2.3性质

Time Shift <==> Scale Change（时移等于标度变换）

3 复指数信号

3.1连续时间

数学表达式:x(t)=Ceat (C and a are 复数)
下面是常见的代入推导过程
C=|C|ejθ
a=r+jω0
x(t)=|C|ejθe(r+jω0)t=|C|ertej(ω0t+θ)
其中又有ej(ω0t+θ)=cos(ω0t+θ)+jsin(ω0t+θ)
因此x(t)=|C|ertcos(ω0t+θ)+j|C|ertsin(ω0t+θ)
信号的图像如下

3.2离散时间

数学表达式:x[n]=Cαn (C and a are 复数)
下面是常见的代入推导过程
C=|C|ejθ
α=|α|ejΩ0
x[n]=|C|ejθ(|α|ejΩ0)n
​ =|C||α|j(ω0n+θ)
​ =|C||α|ncos(Ω0n+θ)+j|C||α|nsin(Ω0n+θ)
信号的图像如下

4 绘图源码

%% CTS  正弦信号 
x=0:pi/500:3*pi;
y=sin(x);
plot(x,y),title('y=sin(x)'),
xlabel('t'),ylabel('y');

%% CTS 实指数信号
x=linspace(0,10,100);
y=exp(x);
plot(x,y),title('y=exp(t)');
xlabel('t'),ylabel('y');

%% CTS 复指数信号
t=0:0.01:10;
y=exp((1+1i*10)*t);
subplot(211),plot(t,real(y)),title('y=exp((1+1i*10)*t)实部');
xlabel('t'),ylabel('y');
grid
subplot(212),plot(t,imag(y)),title('y=exp((1+1i*10)*t)虚部'),
xlabel('t'),ylabel('y');

%% DTS 正弦信号
n=[0:12];
y=sin(n);
stem(n,y),title('y=sin(n)'),
xlabel('n'),ylabel('y');
axis([0,12,-1.5,1.5]);

%% DTS 实指数信号
n=0:10;
y=exp(n);
stem(n,y),title('y=exp(n)'),
xlabel('n'),ylabel('y');
axis([0,10,0,9000]);

%% DTS 复指数信号
n=0:0.1:10;
y=exp((1+1i*10)*n);
subplot(211),stem(n,real(y)),title('y=exp((1+1i*0.1)*n)实部'),
xlabel('n'),ylabel('y');
grid
subplot(212),stem(n,imag(y)),title('y=exp((1+1i*0.1)*n)虚部'),
xlabel('n'),ylabel('y');