信号与系统学习(2)-跃阶信号

1 单位跃阶

1.1 离散时间

数学表达式为 u[n]={1,0,n≥0n<0
图像如下

1.2 连续时间

数学表达式为 u(t)={1,0,t>0t<0
图像如下

问题是t=0时的情况，在离散情形下，这并不是问题，因为离散单位跃阶函数本身就是不连续的，但是在连续情形下时，就涉及如何理解的问题了。
我们通过定义一个函数来理解，即将单位跃阶函数看做是一个连续函数的极限来理解。函数的图像如下

其中u[t]=uΔ(t),Δ→0

2 单位脉冲

2.1 离散时间

数学表达式为 δ[n]={1,0,n=0n≠0
图像如下：

2.2 连续时间

由以上对连续时间单位跃阶的分析，我们可以很容易地将连续时间的单位脉冲看做是单位跃阶函数的导数。
δ(t)=du(t)dt或者δΔ(t)=duΔ(t)dt
当Δ→0的时候有δ(t)=δΔ(t)

3 关系

单位跃阶来表示单位脉冲：δ[n]=u[n]−u[n−1]
这种关系被称为一阶差分（first difference）
单位脉冲来表示单位跃阶：u[n]=∑m=−∞nδ[m]
这只是其中一种表达方式，我们称之为动求和

4 绘图源码

%% discrete time unit impulse 
x2 = 1;
figure,stem(0:0,x2,'filled');axis([-3 4 0 5]);
set(gcf, 'position', [300 300 500 200]);

%% discrete time unit step
x = [0 0 0 1 1 1 1 1 1];
figure,stem(-3:5, x, 'filled')
axis([-4 7 0 1.3])
set(gcf, 'position', [300 300 500 200]);

%% continuous time unit step
x=-5:0.01:5;
y=(1).*(x>=0) +0.*(x<0);
plot(x,y);
axis([-5 5 -0.2 1.2]);
set(gca,'XAxisLocation','origin');
set(gca,'YAxisLocation','origin');

%% 用连续函数极限来模拟单位跃阶函数
clc;clear;
x=-5:0.01:5;
y=(0).*(x<=0)+(x).*((x>0)&(x<1))+(1).*(x>=1);
plot(x,y);
xlabel('t'),ylabel('u_{\Delta}(t)')
axis([-5 5 -0.2 1.2]);
set(gca,'XAxisLocation','origin');
set(gca,'YAxisLocation','origin');