费用流做题记录（一）

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P2045 方格取数加强版 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态

P2050 [NOI2012] 美食节 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态

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P2770 航空路线问题 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态

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P3358 最长k可重区间集问题 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态

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P4015 运输问题 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态

P5331 [SNOI2019] 通信 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态

网络流库

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负载平衡问题

简单贪心或费用流。

P4016 负载平衡问题 - 洛谷

网络流做法 记录详情 - 洛谷

贪心做法：

枚举断点进行断环成链，然后在链上贪心。正确性的话，是因为断点一定存在。

容易做到 $O(n^2)$。

费用流做法：

首先，算出平均值 $\bar{A}$，设源点为 $S$，汇点为 $T$，建立点 $1,2,\dots ,n$，然后

• 若 $A_i>\bar{A}$，连 $S\to i$，容量为 $A_i-\bar{A}$，费用为 $0$.
• 若 $A_i<\bar{A}$，连 $i\to T$，容量为 $\bar{A}-A_i$，费用为 $0$.

然后 $\mathrm{\forall }i,j,i+1\equiv j(\mathrm{mod}n)$，

• 连 $i\leftrightarrow j$，容量为 $inf$，费用为 $1$.

然后最大流的最小费用就是答案。

复杂度小常数 $O(n^3)$（SPFA + EK）.

航班安排

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按照时间个给机场建分层图（跑费用流）复杂度错误，但是，分层图中有用的节点个数只有 $O(M)$ 个，所以可以暴力两两连边，正确性由数据范围的 $t_{i,j}\le t_{i,k}+t_{k,j},f_{i,j}\le f_{i,k}+f_{k,j}$ 保证。

复杂度为 $O(N^{3}K)$。

有些细节没说。

方格取数加强版

P2045 方格取数加强版 - 洛谷

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直接把走的 $k$ 次看成 $k$ 条流即可。

实现时，需要拆点。

复杂度 $O(k{n}^{5}A)$.

美食节

P2050 [NOI2012] 美食节 - 洛谷

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考虑使用厨师匹配菜，尝试使用费用流。

发现，一个初始做的第 $i$ 道菜代价会 $\times i$（拆贡献），所以建立分层图，以厨师编号和已做菜数量建立。每个分层厨师都要和所有菜的节点连边。

直接建图点数 $\mathrm{\Theta }(mp+n)$，边数 $\mathrm{\Theta }((mp+n)n)$，边数太大，费用流跑不动。

于是卡常，进行动态开点，厨师做了菜才会做下一道菜，所以可以每增广一次就判断最后一层厨师是否被经过，如果经过了，就开下一层点。

边数 $\mathrm{\Omega }((n+m+p)n)$，根本卡不掉。

动态开点 or 边

十分强大的卡常技巧。

航空路线问题

这题有🤡【小丑】 dp 做法。

P2770 航空路线问题 - 洛谷

费用流做法 记录详情 - 洛谷

费用流做法：

把一来一回看成从左到右的两条流。然后就很简单了。

复杂度 $O(nm)$（$O(n^3)$）。

dp 做法：（没写）

还是看成从左到右的两条流。

设 $f[i][j]$ 表示两条流目前分别走到了 $i,j$ 节点，接下来只能往 $max\{i,j\}$ 之后转移。正确性显然。

暴力实现复杂度 $O(n^3)$。

交换棋子

负载平衡问题。

P3159 [CQOI2012] 交换棋子 - 洛谷

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需要注意的是，一条流的开头和结尾的交换次数为 $1$，中间为 $2$。

最长 $k$ 可重区间集问题

P3358 最长k可重区间集问题 - 洛谷

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如下图所示建图。

点数 $O(n)$，边数 $O(n)$，最大流 $O(k)$，复杂度 $O(n^{2}k)$（SPFA + EK）。

通信

归并排序优化建图或主席树优化建图。可以使用网络单纯形暴力通过。

P5331 [SNOI2019] 通信 - 洛谷

归并排序优化建图 评测记录 - 洛谷

网络单纯形暴力建图 记录详情 - 洛谷

二合一 记录详情 - 洛谷

首先，把问题转化成最小权链覆盖，具体的，把每个哨站拆成入点和出点，然后前后匹配。

暴力建图边数是 $O(n^2)$ 的。

对于值域，显然可以建立值域链，不过有前后连边的方向要求。

可以用归并排序优化为 $O(n\log n)$，使用主席树同样可以。

归并排序的更多应用

本题是二维偏序的建图，但用扫描线要套上主席树，而归并排序就是一种更好些的做法。

此时，归并排序不止能由于三位偏序了。

类似的应用可能是分治 FFT。

网络单纯形

远快于其他费用流算法，好写，但有点长。

跑网络流没有 HLPP 快。