高等代数 (I) 笔记

本博客基于 wwli 的代数学讲义，结合他在北京大学开设的高等代数课程内容，进行整理得到。你可以在他的 学术主页 获得原稿。应该会随着本人的学习和复习不断更新补充。

按理说向量和矩阵需要加粗以示区分，但本文为了简单起见，并不加粗。

八、双线性形式

定义 8-1：对于域 \(F\) 和 \(F\) 上向量空间 \(V_1,V_2,W\)，考虑线性映射 \(B:V_1\times V_2\rightarrow W\)，如果它满足以下的双重线性性，则称该线性映射 \(B\) 为双线性映射，其中 \(i\in\{1,2\}\)：

• \(B(v_i'+v_i,\cdot)=B(v_i',\cdot)+B(v_i,\cdot)\)。
• \(B(tv_i,\cdot)=tB(v_i,\cdot)\)。

记所有满足 \(B:V_1\times V_2\rightarrow W\) 的双线性映射组成的集合为 \(\mathrm{Bil}(V_1,V_2;W)\)。特别地，如果 \(W=F\)，则称 \(B\) 为双线性形式。

不难验证，通过逐点运算，可以把 \(\mathrm{Bil}(V_1,V_2;W)\) 变为向量空间。

例 8-1-1：矩阵乘法 \(\mathrm{M}_{m\times n}(F)\times \mathrm{M}_{n\times k}(F)\rightarrow\mathrm{M}_{m\times k}(F)\)，为双线性映射：

• \((A+B)C=AC+BC\)
• \((tA)B=t(AB)\)

例 8-1-2：\(V\) 为 \(F\) 向量空间，\(V^{\lor}\) 为其对偶空间 \(\mathrm{Hom}(V,F)\)，则定义其典范配对为：

\[\begin{aligned} \langle \cdot,\cdot\rangle:V^{\lor}\times V&\rightarrow F \\ (\lambda,v) &\mapsto \lambda(v) \end{aligned} \]

不难通过 \(\lambda\) 是线性映射验证它是双线性形式。

命题 8-1：取 \(V,W\) 为 \(F\) 向量空间，则有以下线性同构：

\[\begin{aligned} \mathrm{Bil}(V,W;F)&\xrightarrow{\sim} \mathrm{Hom}(V,W^{\lor})\\ B&\mapsto (v\mapsto B(v,\cdot)) \\ \mathrm{Bil}(V,W;F)&\xrightarrow{\sim} \mathrm{Hom}(W,V^{\lor})\\ B&\mapsto (w\mapsto B(\cdot,w)) \end{aligned} \]

其中反映射分别为：

\[\begin{aligned} \mathrm{Hom}(V,W^{\lor})&\xrightarrow{\sim} \mathrm{Bil}(V,W;F)\\ \varphi&\mapsto (B(v,w)=\langle \varphi(w),v\rangle) \\ \mathrm{Bil}(V,W;F)&\xrightarrow{\sim} \mathrm{Hom}(W,V^{\lor})\\ \psi&\mapsto (B(v,w)=\langle \psi(v), w \rangle) \end{aligned} \]

只需分别验证其线性性和合成为 \(\rm id\) 即可。

（注：写这么麻烦是因为我不会打 \(\mapsto\) 这东西向左指；如果你学过计算概论（实验班），你会知道这东西是 \(\rm curry\) 化）

命题 8-2：尝试用矩阵描述双线性形式。取 \(n,m\in\mathbb{Z}_{\ge 1}\)，则若我们将 \(F^n\) 内元素视作列向量，我们有以下向量空间的同构：

\[\begin{aligned} \theta:\mathrm{M}_{m\times n}(F)&\xrightarrow{\sim} \mathrm{Bil}(F^m,F^n;F)\\ A&\mapsto (B(v,w)={}^\mathrm{t}v Aw) \end{aligned} \]

进一步，如果 \(A\mapsto B\)，即：

\[B\left(\sum_{i=1}^m x_ie_i,\sum_{j=1}^n y_je_j\right)=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n a_{ij}x_iy_j \]

证明 8-2-1：

此为本命题第一个证明。首先，不难验证对所有的 \(A\)，映射到的 \(B(v,w)={}^\mathrm{t}v Aw\) 是双线性形式，且 \(\theta\) 为线性映射：

• \(\theta(A_1+A_2)(v,w)={}^\mathrm{t}v A_1w+{}^\mathrm{t}v A_2w\)
• \(\theta(xA)(v,w)=x{}^\mathrm{t}v Aw,x\in F\)

接着考虑 \(B\) 的求值映射：

\[\begin{aligned} \mathrm{Bil}(F^m,F^n;F)&\rightarrow F^{mn}\\ B&\mapsto (B(e_i,e_j))_{ij} \end{aligned} \]

根据双重线性性，不难验证：

\[B\left(\sum_{i=1}^m x_ie_i,\sum_{j=1}^n y_je_j\right)=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n B(e_i,e_j)x_iy_j \]

所以 \(B\) 由 \((B(e_i,e_j))_{ij}\) 唯一确定。即上述求值映射是单射。而 \(\mathrm{M}_{m\times n}(F)\) 与 \(F^{mn}\) 同构，所以 \(\theta\) 即单射。下面需要证明 \(\theta\) 满，即 \(\mathrm{ker}\theta=\{0\}\)。令 \(\theta(A)=0\)，则 \(B=0\)，但 \(B(e_i,e_j)=a_{ij}=0\)（通过定义不难得到），故 \(A=0\)。所以 \(\theta\) 为同构，证毕。

证明 8-2-2：

此为本命题第二个较为抽象的证明。考虑命题 8-1 中的同构 \(\mathrm{Hom}(W,V^{\lor})\xrightarrow{\sim} \mathrm{Bil}(V,W;F)\)，代入 \(W=F^n,V=F^m\)，且 \((F^m)^{\lor}\) 通过转置发现是行向量空间，那么不难发现 \(A\in\mathrm{M}_{m\times n}(F)\) 可以等同于线性映射 \(\varphi:F^n\rightarrow(F^m)^{\lor}\)，映 \(w\) 为 \(\varphi(w)={}^{\rm t}(Aw)\)。所以根据同构，我们可以把 \(\varphi\) 同构到 \(B\)：

\[B(v,w)=\langle \varphi(w),v \rangle={}^{\rm t}(Aw)v={}^{\rm t}w{}^{\rm t}Av={}^{\rm t}vAw \]

其中最后一个等式是两边同时取转置，但左边是一个数，所以没有影响。最后，代入 \(e_i,e_j\) 不难验证 \(B(e_i,e_j)=a_{ij}\)，则根据双重线性性，最后一个关于 \(x,y,e\) 的等式显然。证毕。

这样，我们成功把双线性形式和矩阵对应起来。接下来我们尝试定义双线性形式上的直和。

定义 8-2：对双线性形式：\(B_1:V_1\times W_1\rightarrow F,B_2:V_2\times W_2\rightarrow F\)，定义二者直和：

\[\begin{aligned} (B_1\oplus B_2):(V_1\oplus V_2)\times (W_1\oplus W_2)&\rightarrow F\\ ((v_1,v_2),(w_1,w_2))&\mapsto B(v_1,w_1)+B_2(v_2,w_2) \end{aligned} \]

不难验证直和仍然是双线性形式。从矩阵的角度看，将 \(V_i,W_i\) 分别看作 \(F^{m_i},F^{n_i}\)，\(B_i\) 看作 \(A_i\in\mathrm{M}_{m_i\times n_i}(F)\)，其中 \(i\in\{1,2\}\)，则 \(B_1\oplus B_2\) 可以与分块对角矩阵：

\[\begin{pmatrix} A_1&0\\ 0&A_2 \end{pmatrix} \]

对应。不妨通过定义展开即可验证。

定义 8-3：对双线性形式 \(B:V\times V\rightarrow F\)：

• 若 \(B(v,w)=B(w,v)\)，则称 \(B\) 为对称的。
• 若 \(B(v,w)=-B(w,v)\)，则称 \(B\) 为反对称的。

对矩阵 \(A\in\mathrm{M}_{n\times n}\)：

• 若 \(A={}^{\rm t}A\)，则称其为对称矩阵
• 若 \(A=-{}^{\rm t}A\)，则称其为反对称矩阵。

若 \(B(v,v)=0\)，则它类似行列式的交错形式，故其为反对称的。

对定义展开后，因为我们有（回忆证明 8-2-2）：

\[{}^{\rm t}w{}^{\rm t}Av={}^{\rm t}vAw \]

故自然矩阵和双线性形式的对称性是一一对应的。

定义 8-4：对双线性形式 \(B:V\times W\rightarrow F\)：

• \(B\) 的左根定义为 \(\{v\in V\vert B(v,\cdot)=0\}\)。
• \(B\) 的右根定义为 \(\{w\in W\vert B(\cdot,w)=0\}\)。

若 \(V=W\)，且 \(B\) 对称或反对称，显然左根等于右根，统称为根基。不难验证根是子空间。

下设 \(V,W\) 有限维，则我们称 \(B\) 非退化，若其左右根均为 \(\{0\}\)。

例 8-4-1：

考虑 \(V\) 的典范配对

\[\begin{aligned} \langle\cdot,\cdot\rangle:V^{\lor}\times V&\rightarrow F\\ (\lambda,v)\mapsto \lambda(v) \end{aligned} \]

则其：

• 左根为 \(\{\lambda\in V^{\lor}|\langle\lambda,\cdot\rangle=0\}=\{0\}\)
• 右根为 \(\{v\in V|\langle\cdot,v\rangle=0\}\)

若 \(\exist v\ne 0\) 在右根中，则将其扩张为 \(V\) 的基 \((v_1=v,v_2,\cdots,v_n)\)，和其对应的对偶基 \(v_1^{\lor},\cdots,v_n^{\lor}\)，则 \(\langle v_1^{\lor},v\rangle=1\)，矛盾。故右根为 \(\{0\}\)。所以典范配对非退化。

例 8-4-2：

考虑迹形式：

\[\begin{aligned} \mathrm{End}(V)\times\mathrm{End}(V)&\rightarrow F\\ (S,T)&\mapsto \mathrm{Tr}(ST) \end{aligned} \]

且 \(\mathrm{Tr}(ST)=\mathrm{Tr}(TS)\)，故迹形式对称。考虑 \(S\in\) 根基，则我们选一组基将线性映射改为 \(\mathrm{M}_{n\times n}(F)\) 进行计算，则即：

\[\forall 1\le i,j\le n,\mathrm{Tr}(AE_{i,j})=0 \]

其中 \(E_{i,j}\) 为标准基。则上式等价于 \(a_{ij}=0\)。故 \(A=0\)，即根基为 \(\{0\}\)。所以迹形式非退化。

对双线性形式 \(B:V\times W\rightarrow F\) 以及 \(\varphi\in\mathrm{Hom}(W,V^{\lor}),\psi\in\mathrm{Hom}(V,W^{\lor})\)，有：

• \(B(v,\cdot)=0\iff\langle\psi(v),\cdot\rangle=0\)，即左根为 \(\mathrm{ker}\psi\)。
• \(B(\cdot，w)=0\iff\langle\varphi(w),\cdot\rangle=0\)，即左根为 \(\mathrm{ker}\varphi\)。

命题 8-3：若 \(V,W\) 有限维，则存在非退化双线性形式 \(B:V\times W\rightarrow F\) 可以推出 \(\dim V=\dim W\)。

证明 8-3：

否则若 \(\dim V>\dim W\)，\(\dim\ker \psi=\dim V-\mathrm{rk}\psi\ge \dim V-\dim W>0\)，故 \(B\) 退化。

其中 \(\mathrm{rk}\psi\le \min(\dim V,\dim W^{\lor})=\dim W\)。

命题 8-4：若 \(\dim V=\dim W\) 有限，\(B:V\times W\rightarrow F\) 双线性，则下列说法等价：

1. \(B\) 非退化。
2. \(B\) 左根为 \(\{0\}\)。
3. \(B\) 右根为 \(\{0\}\)。

证明 8-4：

显然 \((1)\) 立刻推出 \((2)\)，\((3)\)。下证 \((2)\Rightarrow (1)\)，而 \((3)\Rightarrow(1)\) 是类似的。

\((2)\) 成立，故 \(\psi:V\rightarrow W^{\lor}\) 为单射，又 \(\dim V=\dim W^{\lor}\)，其自动为同构。若存在 \(w\in W\) 在右根中，即 \(\psi(v)\) 总属于 \(W^{\lor}\) 的一个子空间：

\[{}^{\bot}\langle w \rangle=\{\lambda\in W^{\lor}|\lambda(v)=0\} \]

若 \(w\ne0\)，则 \({}^{\bot}\langle w \rangle\) 为 \(W^{\lor}\) 的真子集。只需要取 \(w\) 扩展为的基和其对偶基，自动有 \(w^{\lor}\notin {}^{\bot}\langle w \rangle\)，故 \(\mathrm{im}\psi\) 为 \(W^{\lor}\) 的真子集，与其同构性矛盾。故 \(B\) 右根为 \(\{0\}\)，\((1)\) 自动成立。

定义 8-5 ：对于二元组 \((V,B)\)，其中 \(V\) 为 \(F\) 向量空间，\(B:V\times V\rightarrow F\) 双线性形式，从 \((V_1,B_1)\) 到 \((V_2,B_2)\) 的同构为满足以下条件的线性映射 \(\varphi\in\mathrm{Hom}(V_1,V_2)\)：

• \(\varphi:V_1\xrightarrow{\sim}V_2\)，为向量空间同构。
• \(B_2(\varphi(v),\varphi(v'))=B_1(v,v')\)。

若存在这样的映射，则称二者同构，记作 \((V_1,B_1)\simeq(V_2,B_2)\)。不难验证其给出了一组等价关系，只需构造 \(\mathrm{id}_V\)，同构合成，同构的逆即得反身，传递和对称性。显然它给出了一个等价类：

\[\{(V,B)|\dim V=n\}_{/\simeq}\xrightarrow{1:1}\{(F^n,B)\}_{/\simeq},B\leftrightarrow A\in\mathrm{M}_{n\times n}(F) \]

定义 8-6：矩阵 \(A,A'\in\mathrm{M}_{n\times n}(F)\) 是合同的，若存在一个可逆的 \(C\in\mathrm{M}_{n\times n}(F)\)，使得：

\[A={}^{\rm t}CA'C \]

记作 \(A\overset{C}{\sim} A'\)，不难验证其是等价关系。注意合同保持对称性。

命题 8-5：\(B,B':F^n\times F^n\rightarrow F\) 双线性，对应到 \(A,A'\in\mathrm{M}_{n\times n}(F)\)，则：

\[\begin{aligned} \{C|A\overset{C}{\sim} A'\}&\overset{1:1}{\longleftrightarrow}\{\varphi| (\varphi: (F^n,B)\rightarrow (F^n,B'))\}\\ C&\mapsto (F^n\xrightarrow{\sim} F^n) \end{aligned} \]

其中 \(\varphi\) 是同构。不难发现，若 \(A\) 合同 \(A'\)，则显然有 \((F^n,B)\simeq (F^n,B')\)。

证明 8-5：

同构 \(F^n\xrightarrow{\sim} F^n\) 对应一个可逆的 \(C\in\mathrm{M}_{n\times n}(F)\)：

\[\begin{aligned} B'(Cv_1,Cv_2)&={}^{\rm t}(Cv_1)A'(Cv_2)\\ &={}^{\rm t} v_1({}^{\rm t}CA'C)v_2\\ &={}^{\rm t}v_1Av_2\\ &=B(v_1,v_2) \end{aligned} \]

故 \(C\) 和 \(\varphi\) 是一一对应的。证毕。

下设 \(\mathrm{Char}_F\ne 2\)，否则乘除 \(2\) 会出问题。考虑对称双线性形式 \(V\times V\rightarrow F\)，其中 \(V\) 有限维，对 \(V\) 选定一组有序基，使得其变为 \(F^n\)。

定义 8-7：定义 \(n\) 元二次型为齐次二次多项式 \(f\in\mathrm{F}[X_1,\cdots,X_n]\)，其中：

\[f=\sum_i a_{ii}X_i^2+2\sum_{i<j}a_{ij}X_iX_j,a_{ij}\in F \]

若我们假设 \(\forall i,j,a_{ij}=a_{ji}\)，则 \(f\) 还可以表示为：

\[f=\sum_{i,j}a_{i,j}X_iX_j \]

则存在三个结构的一一对应关系：

\[\{f|f\ \text{为}\ n\ \text{元二次型}\}\overset{1:1}\longleftrightarrow\{A\in\mathrm{M}_{n\times n}(F)|{}^{\rm t}A=A\}\overset{1:1}\longleftrightarrow\{B:F^n\times F^n\rightarrow F|B\ \text{为对称双线性形式}\} \]

其中第一个映射直接令 \(A=(a_{i,j})_{i,j}\) 即可，第二个映射即 \(B(e_i,e_j)=a_{i,j}\)。

对 \(v\in F^n=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\ x_n\end{pmatrix}\)，定义 \(f(v)\) 为：

\[f(v)=\sum_{i,j}a_{ij}x_ix_j=B(v,v) \]

命题 8-6：按上述定义有：

\[B(v_1,v_2)=\dfrac{1}{2}(f(v_1+v_2)-f(v_1)-f(v_2)) \]

所以 \(f\) 或其对应的 \(A\) 矩阵，\(B\) 双线性形式，由以下求值映射唯一确定：

\[\begin{aligned} F^n&\rightarrow F\\ v&\mapsto f(v) \end{aligned} \]

证明 8-6：

只需注意到：

\[\begin{aligned} f(v_1+v_2)&=B(v_1+v_2,v_1+v_2)\\ &=B(v_1,v_1)+B(v_2,v_2)+2B(v_1,v_2)\\ &=f(v_1)+f(v_2)+2B(v_1,v_2) \end{aligned} \]

其中利用 \(B\) 的双重线性性和对称性。

但一般的多项式不由求值映射唯一确定！甚至一般的二次型都并不唯一确定。考虑取 \(F=\mathbb{F}_2,A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)，则：

\[\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=2xy=0 \]

在 \(\mathbb{F}_2\) 中恒为 \(0\)，但 \(A\) 本身并非零矩阵。

定义 8-8：对 \(V\) 有限维 \(F\) 向量空间，\(B:V\times V\rightarrow F\) 对称双线性形式，此时将二元组 \((V,B)\) 成为域 \(F\) 上的二次型，实现在空间 \(V\) 上，也可以等价的用 \((V,f)\) 描述，其中 \(f=B(v,v)\)。

无非是上述命题的另一种描述。

命题 8-7：二次型 \(f,f'\) 对应的双线性形式为 \(B,B'\)，则 \((F^n,B)\simeq (F^n,B')\)，当且仅当 \(f,f'\) 可以通过一次可逆的线性变量替换相互转化，此时我们称 \(f,f'\) 同构。

证明 8-7：

\((F^n,B)\simeq (F^n,B')\) 即等价于其对应的 \(A,A'\) 合同，存在一个可逆 \(n\times n\) 矩阵 \(C\) 满足：

\[A={}^{\rm t}CA'C \]

接着考虑 \(f(v)=B(v,v)\) 的值 \({}^{\rm t}vAv\)：

\[\begin{aligned} f(v)=&\begin{pmatrix}x_1,\cdots,x_n\end{pmatrix}{}^{\rm t}A\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\ x_n\end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix}x_1,\cdots,x_n\end{pmatrix}{}^{\rm t}CA'C\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\ x_n\end{pmatrix}\\ =&{}^{\rm t}\left(C \begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\ x_n\end{pmatrix} \right) A' \left( C \begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\ x_n\end{pmatrix} \right)\\ =& f'(v') \end{aligned} \]

其中 \(v'=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\ y_n\end{pmatrix}\)：

\[\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\ y_n\end{pmatrix}=C\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\ x_n\end{pmatrix},y_i=\sum_{j=1}^n c_{ij}x_j \]

故 \((F^n,B)\simeq (F^n,B')\) 等价于 \(f,f'\) 可以通过一次可逆的线性变量替换相互转化，这个线性替换对应的矩阵即为 \(C\)。

下面的讨论依然有 \(\mathrm{Char}_F\ne 2\)，我们来讨论对二次型应用配方。

命题 8-8：任何二次型均同构于以下形式：

\[a_1X_1^2+\cdots+a_nX_n^2 \]

即若干一维的双线性形式的直和。

例子 8-8：比如有 \(F=\mathbb{Q},n=3\)，则 我们有：

\[\begin{aligned} f(X,Y,Z)&=5X^2+6Y^2+4Z^2-4XY-4YZ\\ &=5X^2+5Y^2+(2Z-Y)^2-4XY\\ &\simeq 5X^2+5Y^2+Z^2-4XY(Z:=2Z-Y) \\ &=5\left(X^2-\frac{4}{5}XY+Y^2\right)+Z^2\\ &=5\left(\left(X-\frac{2}{5}Y\right)^2+\dfrac{21}{25}Y^2\right)+Z^2\\ &=5\left(X-\frac{2}{5}Y\right)^2+\frac{21}{5}Y^2+Z^2\\ &\simeq 5X^2+\frac{21}{5}Y^2+Z^2\left(X:=X-\frac{2}{5}Y\right) \end{aligned} \]

证明 8-8：

考虑归纳法，\(n=1\) 时问题平凡。下设 \(n\ge 2\) 且存在 \(a_{ij}\ne 0\)，否则问题平凡。

第一种情况，如果存在 \(i\) 使得 \(a_{ii}\ne 0\)。不妨将变量重排使得 \(i=1\)，则：

\[f=a_{11}\left(X_1+\frac{1}{a_{11}}\sum_{j=2}^n a_{1j}X_j\right)^2+\sum_{2\le i,j\le n}a_{ij}X_iX_j-\dfrac{1}{a_{11}}\left(\sum_{j=2}^n a_{1j}X_j\right)^2 \]

做一次换元：

\[Y_i=\begin{cases} X_1+\dfrac{1}{a_{11}}\sum_{j=2}^n a_{1j}X_j&i=1\\ X_i&i>1 \end{cases} \]

显然线性可逆，不难写出其逆变换。则 \(f\) 变为：

\[f=a_{11}Y_1^2+g \]

其中 \(g\) 是关于 \(Y_2,\cdots,Y_n\) 的二次型，对其施归纳法即得原命题成立。

第二种情况，如果所有对角线元素均为 \(0\)，考虑找到 \(i<j\) 使得 \(a_{ij}\ne 0\)。则我们取：

\[Y_k=\begin{cases} X_i-X_j & k=i\\ X_k & k\ne i \end{cases} \]

不难验证其线性可逆。然后我们有：

\[\begin{aligned} \frac{1}{2}f&=\sum_{k<h}a_{kh}X_kX_h\\ &=\sum_{k<h,k,h\ne i}a_{kh}X_kX_h+\sum_{i<h} a_{ih}(Y_i+Y_j)Y_h+\sum_{k<i}a_{ki}Y_k(Y_i+Y_j) \end{aligned} \]

显然只有 \(a_{ij}\) 项对 \(Y_j^2\) 做贡献，故 \(\dfrac{1}{2}f\) 可以归约到上一种情况计算。证毕

实际上，如果我们想要 \(f\) 对角化（即完成上述同构），考虑将它转化为对称 \(n\times n\) 矩阵 \(A\)，则由于任何可逆矩阵 \(C\) 都可以表示为若干初等矩阵的乘积，所以实际上我们是在找一列初等矩阵 \((U_1,\cdots,U_k)\) 使得：

\[{}^{\rm t}(U_1\cdots U_k)A(U_1\cdots U_k) \]

也即：

\[{}^{\rm t} U_k\cdots {}^{\rm t}U_1AU_1\cdots U_k \]

实际上就是先做一列初等变换，再将其行列交换再反过来做一遍。

定义 8-9：\(f=a_1X_1^2+\cdots+a_rX_r^2\)，其中 \(1\le r\le n,a_i\in F^{\times}=F\backslash\{0\}\)，则其对应的矩阵即：

\[\begin{pmatrix} a_1&&&&&\\ &\ddots&&&&\\ && a_r&&&\\ \\ \\ \end{pmatrix} \]

留空为 0。定义 \(f\) 的秩 \(\mathrm{rk} f=n-\dim V=r\)，其中 \(V\) 表示对应双线性形式的根基。则双线性形式非退化，当且仅当 \(r=n\)。

命题 8-9：

考虑 \(F\) 为代数闭域，如 \(\mathbb C\)。则有以下结论：

1. \(\forall f\)，其均同构于 \(X_1^2+\cdots+X_r^2\)，其中 \(0\le r\le n\)。

\[\begin{aligned} \{f|f\ \text{为}\ n\ \text{元二次型}\}_{/\simeq}&\overset{1:1}\longleftrightarrow \{0,1,\cdots,n\}\\ f&\mapsto \mathrm{rk}f \end{aligned} \]

证明 8-9：

我们已知：

\[f\simeq a_1X_1^2+\cdots a_rX_r,a_i\in F^{\times} \]

而由于是代数闭域，所以存在 \(b_i\in F\)，使得 \(a_i=b_i^2\)，则我们令：

\[Y_i=\begin{cases} b_iX_i&i\le r\\ X_i&i>r \end{cases} \]

则：

\[f\simeq Y_1^2+\cdots +Y_r^2 \]

故 \((1)\) 得证。

考虑 \((2)\) 映射的满性，对所有 \(r\)，一定有：

\[\mathrm{rk}(X_1^2+\cdots+X_r^2)=r \]

考虑单性，给定 \(f,f'\) 分别同构于 \(X_1^2+\cdots+X_r^2,X_1^2+\cdots+X_{r'}^2\)，则：

\[\mathrm{rk}f=\mathrm{rk}f'\Rightarrow r=r' \Rightarrow f=f' \]

故原映射为同构。\((2)\) 得证。

接下来我们考虑在实数域上定义的二次型，此时平方根不一定存在。取 \(n\in \mathbb{Z}_{\ge 1}\)，且 \(f\simeq a_1X_1^2+\cdots+a_rX_r^2,a_i\in \mathbb{R}^{\times},0\le r=\mathrm{rk} f\le n\)。我们令：

\[Y_i=\begin{cases} \sqrt{|a_i|}X_i&i\le r\\ X_i&i>r \end{cases} \]

适当重排后，我们有：

\[f\simeq X_1^2+\cdots+X_p^2-X_{p+1}^2-\cdots-X_r^2,0\le p\le r\le n \]

定义 8-10：对 \(\mathbb R\) 上线性空间 \(V\) 和对称双线性形式 \(B:V\times V\rightarrow \mathbb R\)，我们有如下定义，若 \(\forall v\ne 0\)：

• \(B(v,v)\ge 0\)，则称 \(B\) 半正定。
• \(B(v,v)> 0\)，则称 \(B\) 正定。
• \(B(v,v)\le 0\)，则称 \(B\) 半负定。
• \(B(v,v)< 0\)，则称 \(B\) 负定。
• 否则，称 \(B\) 不定。

对 \(V_0\subset V\) 子空间，若 \(B|_{V_0\times V_0}\) 正定，则称 \(V_0\) 为正定子空间，其余几种情况类似定义。

命题 8-10：对有限维 \(V\)，若 \(B\) 正定或负定，则 \(B\) 非退化。

证明 8-10：

否则取根基内 \(v\ne 0\)，则 \(B(v,v)=0\)，矛盾。

命题 8-11：

\(X_1^2+\cdots+X_p^2-X_{p+1}^2-\cdots-X_r^2\) 为

• 半正定 \(\iff p=r\)
• 正定 \(\iff p=n\)

对于负的情况，考虑 \(-f\)。

证明 8-11：

对实数域，我们有 \(a_1^2+\cdots+a_s^2\ge 0\)，且等号成立当且仅当 \(a_i=0,\forall i\)。

命题 8-12：惯性定理：

\[\begin{aligned} \{(p,r)\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^2|0\le p\le r\le n\}&\overset{1:1}\longleftrightarrow \{n\ \text{元实二次型}\}_{/\simeq}\\ (p,r)&\mapsto X_1^2+\cdots+X_p^2-X_{p+1}^2-\cdots-X_r^2 \end{aligned} \]

左侧可以等价于 \(\{(p,q)\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^2|p+q\le n\}\)，其中 \(p\) 称为正惯性质数，\(q\) 称为负惯性质数。

引理 8-12：有 \((V,B)\simeq (\mathbb{R}^n,X_1^2+\cdots+X_p^2-\cdots)\)，则：

1. 存在正定子空间，其 \(\dim=p\)。
2. 任何子空间，若维数大于 \(p\)，则非正定。

引理证明 8-12：

对 \((1)\)，取 \(V_0=\langle e_1,\cdots,e_p\rangle\)，其中 \(e_i\) 为标准基，显然正定。

对 \((2)\)，取 \(V_1\subset V=\mathbb{R}^n,\dim V_1>p\)，设 \(N=\langle e_{p+1},\cdots,e_n \rangle\)。则：

\[\dim(V_1\cap N)=\dim V_1+\dim N-\dim(V_1+N)>-n+p+n-p=0 \]

取 \(v_1\in {V_1\cap N},v_1\ne 0\)，则 \(f(v_1)=B(v_1,v_1)\le 0\)，故 \(V_1\) 非正定。

证明 8-12：

满性已知。

下证单性。若 $ (V,B) \overset{\varphi}\simeq (V',B'),\dim V=n$，对 \(V,V'\) 选定一组有序基，则其对应的对称矩阵对角元为：

\[\begin{aligned} \begin{matrix}\underbrace{1,\cdots,1,}\\p\end{matrix}\begin{matrix}\underbrace{-1,\cdots,-1,}\\r-p\end{matrix}\begin{matrix}\underbrace{0,\cdots,0}\\n-r\end{matrix}\\ \begin{matrix}\underbrace{1,\cdots,1,}\\p'\end{matrix}\begin{matrix}\underbrace{-1,\cdots,-1,}\\r-p'\end{matrix}\begin{matrix}\underbrace{0,\cdots,0}\\n-r\end{matrix} \end{aligned} \]

其中 \(r=\mathrm{rk}(B)=\mathrm{rk}(B')\)。

不妨设 \(p'>p\)，则根据引理，我们找到一个正定子空间 \(V_+'\subset V',\dim V_+'=p'\)，则 \(\varphi^{-1}(V_+')\subset V\) 亦为正定子空间，但 \(\dim\varphi^{-1}(V_+')=p'>p\)，矛盾。

故 \(p'=p\)，单性得证。故上述映射为同构。

定义 8-11：选定域 \(F\)，双线性形式 \(B_i:V_i\times V_i'\rightarrow F(i\in\{1,2\})\)，\(B_1\) 非退化，\(V_i,V_i'\) 有限维，则：

• 对 \(T\in\mathrm{Hom}(V_1,V_2)\)，存在唯一的 \(T^{\ast}\in\mathrm{Hom}(V_2',V_1')\) 使得：
  \[ B_2(Tv_1,v_2')=B_1(v_1,T^{\ast}v_2') \]
  \(T^{\ast}\) 称为 \(T\) 的右伴随。
• 对 \(T\in\mathrm{Hom}(V_1',V_2')\)，存在唯一的 \({}^{\ast}T\in\mathrm{Hom}(V_2,V_1)\) 使得：
  \[ B_2(v_2,Tv_1')=B_1({}^{\ast}Tv_2,v_1') \]
  \({}^{\ast}T\) 称为 \(T\) 的左伴随。

证明 8-11：我们来具体刻画一下伴随。

首先来看右伴随，考虑对 \(V_i,V_i'\) 选定一组有序基，则有 \(B_i\longleftrightarrow A_i\in\mathrm{M}_{n\times n}(F)\)，\(T\) 看作一个矩阵。则：

\[\begin{aligned} B_2(Tv_1,v_2')&={}^{\rm t}(Tv_1)A_2v_2'\\ &={}^{\rm t}v_1{}^{\rm t}TA_2v_2'={}^{\rm t}v_1A_1(A_1^{-1}\ {}^{\rm t}T A_2)v_2' \end{aligned} \]

其中取 \(A_1\) 的逆是合法的，因为 \(B_1\) 非退化。与 \(B_1(v_1,T^{\ast}v_2')={}^{\rm t}v_1A_1T^{\ast}v_2'\) 对比可以发现：

\[T^{\ast}=A_1^{-1}\ {}^{\rm t}TA_2 \]

类似的对左伴随考虑。

\[\begin{aligned} B_2(v_2,Tv_1')&={}^{\rm t}v_2A_2Tv_1'\\ &={}^{\rm t}v_2(A_2TA_1^{-1})A_1v_1' \end{aligned} \]

与 \(B_1({}^{\ast}Tv_2,v_1')={}^{\rm t}({}^{\ast}Tv_2)A_1v_1={}^{\rm t}v_2{}^{\rm t}({}^{\ast}T)A_1v_1'\) 对比可以发现：

\[{}^{\ast}T={}^{\rm t}(A_2TA_1^{-1})={}^{\rm t}A_1^{-1}\ {}^{\rm t}T\ {}^{\rm t}A_2 \]

若 \(B_1,B_2\) 均非退化，则我们有：\(({}^{\ast} T)^{\ast}=T={}^{\ast}(T^{\ast})\)。只需要在双线性形式中把 \(T\) 向左向右各移动一次移动回来即可。

我们有：\((ST)^{\ast}=T^{\ast}S^{\ast},{}^{\ast}(ST)={}^{\ast}T{}^{\ast}S\)。只需要把 \(S,T\) 分别移动到另一边即可。

若 \(B_1,B_2\) 均非退化，则 \(\mathrm{rk}(T)=\mathrm{rk}(T^{\ast})=\mathrm{rk}({}^{\ast}T)\)。考虑到 \(T\) 变到其伴随的时候只乘了可逆矩阵和做了转置即可。

若 \(V_1=V_2=V_1'=V_2'=V,B_1=B_2=B,T\in\mathrm{End}(V)\) 且 \(B\) 非退化，（反）对称，则 \({}^{\ast}T=T^{\ast}\)。只需要验证定义即可。

定义 8-12：\(T\in\mathrm{End}(V)\)，\(B_1=B_2\) 非退化，（反）对称，则我们：

• 称 \(T\) 自伴，若 \(T^{\ast}=T\)。
• 称 $$T 反自伴，若 \(T^{\ast}=-T\)。

考虑上述的一个特例。取 \(A=1_{n\times n}\)，\(T\in\mathrm{End}(F^n)\simeq\mathrm{M}_{n\times n}(F)\)，则：

• \(T\) 自伴，等价于 \(T\) 作为矩阵对称。
• \(T\) 反自伴，等价于 \(T\) 作为矩阵反对称。

定义 8-13：考虑非退化双线性形式 \(B:V\times W\rightarrow F\) 且 \(\dim V=\dim W\) 均有限，则：

• 取 \(V_0\subset V\) 为子空间，定义 \(V_0^{\bot}=\{w\in W|B(v_0,w)=0,\forall v_0\in V_0\}\)。
• 取 \(W_0\subset W\) 为子空间，定义 \({}^{\bot}W_0=\{v\in V|B(v,w_0)=0,\forall w_0\in W_0\}\)。

由线性性，不难看出 \(V_0^{\bot},{}^{\bot}W_0\) 分别为 \(W,V\) 的子空间。

命题 8-13：有以下等式成立：

\[\dim V_0^{\bot}+\dim V_0=\dim V=\dim W=\dim W_0+\dim {}^{\bot}W_0 \]

引理 8-13：\(\dim W\) 有限，\(w_1^{\lor},\cdots,w_d^{\lor}\in W^{\lor}\) 线性无关，定义 \({}^{\bot}\langle w_1^{\lor},\cdots,w_d^{\lor} \rangle\) 为：

\[\{w\in W|\langle w_i^{\lor},w \rangle _W=0,\forall i\}\subset W \]

则 \(\dim{}^{\bot}\langle w_1^{\lor},\cdots,w_d^{\lor} \rangle=\dim W-d\)。

引理证明 8-13：

\(d=n\) 时 \(w_1^{\lor},\cdots,w_n^{\lor}\) 为 \(W^{\lor}\) 的基，根据典范配对 \(\langle,\rangle _W\) 非退化，则 \({}^{\bot}\langle w_1^{\lor},\cdots,w_d^{\lor} \rangle=\{0\}\)。

\(d=1\) 时，\(w_1^{\lor}\ne 0\) 且 \({}^{\bot}\langle w_1^{\lor}\rangle=\ker(w_1^{\lor}:W\rightarrow F)\)。根据像和核的关系：

\[\dim{}^{\bot}\langle w_1^{\lor} \rangle=\dim W-\dim F=n-1 \]

一般情况。我们将 \(w_1^{\lor},\cdots,w_d^{\lor}\) 扩充为 \(W^{\lor}\) 的一组基 \(w_1^{\lor},\cdots,w_n^{\lor}\in W^{\lor},n=\dim W=\dim W^{\lor}\)。显然有：

\[{}^{\bot}\langle w_1^{\lor},\cdots,w_n^{\lor} \rangle\subset\cdots\subset{}^{\bot}\langle w_1^{\lor}\rangle \]

我们考虑

\[\begin{aligned} &\dim({}^{\bot}\langle w_1^{\lor},\cdots,w_{k+1}^{\lor} \rangle={}^{\bot}\langle w_1^{\lor},\cdots,w_{k}^{\lor} \rangle\cap{}^{\bot}\langle w_{k+1}^{\lor} \rangle)\\ \ge& \dim({}^{\bot}\langle w_1^{\lor},\cdots,w_{k}^{\lor} \rangle)+\dim({}^{\bot}\langle w_{k+1}^{\lor} \rangle)-\dim({}^{\bot}\langle w_{k+1}^{\lor} \rangle+{}^{\bot}\langle w_1^{\lor},\cdots,w_{k}^{\lor} \rangle)\\ \ge& \dim({}^{\bot}\langle w_1^{\lor},\cdots,w_{k}^{\lor} \rangle)+\dim({}^{\bot}\langle w_{k+1}^{\lor} \rangle)-\dim W^{\lor}\\ =&\dim({}^{\bot}\langle w_1^{\lor},\cdots,w_{k}^{\lor} \rangle)-1 \end{aligned} \]

发现每一步至多降 \(1\)，共 \(n-1\) 步，需要恰好降 \(n-1\) 维，所以每一步恰好降 $$1$，即：

\[\forall k,\dim{}^{\bot}\langle w_1^{\lor},\cdots,w_k^{\lor} \rangle=n-k \]

代入 \(k=d\)，即得引理。

证明 8-13：我们只证明与 \(V\) 有关的左半边。考虑先前所证明的 \(B(v,w)=\langle \psi(v),w \rangle _W\) ，其中 \(\psi:V\xrightarrow{\sim} W^{\lor}\)。为同构是因为 \(B\) 非退化。考虑对 \(\psi(V_0)\subset W^{\lor}\) 选一组基 \(w_1^{\lor},\cdots,w_d^{\lor}\)，由引理可得，

\[\dim V_0^{\bot}=\dim{}^{\bot}\langle w_1^{\lor},\cdots,w_d^{\lor}\rangle=\dim W-d=\dim V-\dim V_0 \]

对等式变形即得原命题。

命题 8-14：\(B\) 非退化，则 \({}^{\bot}(V_0^{\bot})=V_0,({}^{\bot}W_0)^{\bot}=W_0\)。

证明 8-14：显然有 \(V_0\subset {}^{\bot}(V_0^{\bot})\)，但又有 \(\dim V_0=\dim {}^{\bot}(V_0^{\bot})\)，故原等式成立。

九、实内积结构

定义 9-1：\(V\) 为 \(\mathbb R\) 向量空间，双线性形式 \((\cdot|\cdot):V\times V\rightarrow \mathbb R\)，若 \((\cdot|\cdot)\) 正定且对称，则称 \((\cdot|\cdot)\) 为 \(V\) 上的内积，\((V,(\cdot|\cdot))\) 称为实内积空间，在本章简称内积空间。

例子 9-1：

• 取 \(V=\mathbb{R}^n,(x|y)=x\cdot y=\displaystyle\sum_{i=1}^nx_iy_i\)。称为 \(\mathbb{R}^n\) 上的标准内积。
• \(V=\{f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R},\text{连续函数}\}\)，且 \((f_1|f_2)=\displaystyle\int_0^1 f_1f_2\mathrm{d}x\)。不难验证对称，双线性，由保序性可得正定性。

若 \(V\) 有限维，则正定性可推得 \((\cdot|\cdot)\) 非退化。

定义 9-2：

• 记 \(v\bot v'\) 表示 \((v|v')=0\)。若 \(V_1,V_2\subset V\) 为子空间，则若 \(\forall v_1\in V_1,v_2\in V_2\) 都有 \(v_1\bot v_2\)，则称 \(V_1\bot V_2\)。
• 记 \(\lVert v \rVert\) 表示 \(\sqrt{(v|v)}\)。称 \(v\) 为单位向量，若 \(\lVert v\rVert=1\)。
• \(V_0^{\bot}\) 定义为 \(\{ v\in V|\forall v_0\in V_0,v_0\bot v \}\)。

根据线性性拆 \((v_1+v_2|v_1+v_2)\)，我们可以得到以下等式：

\[(v_1|v_2)=\dfrac{1}{2}(\lVert v_1+v_2 \rVert^2-\lVert v_1 \rVert^2-\lVert v_2 \rVert^2) \]

命题 9-1：由以上推到可以得到内积空间中的勾股定理：

\[v_1\bot v_2\Rightarrow \lVert v_1+v_2 \rVert^2=\lVert v_1 \rVert^2+\lVert v_2 \rVert^2 \]

命题 9-2：柯西不等式：

\[(v|w)^2\le (v|v)(w|w) \]

证明 9-2：

等号成立，当且仅当 \(v,w\) 线性相关，即 \(\exist t\in\mathbb{R}\) 使得 \(v=tw\) 或 \(w=tv\)。（考虑两种情况是因为有可能 \(t=0\)）

线性相关时等号显然成立，只需要把 \(t\) 根据线性性拆出来即可。下设 \(v,w\) 线性无关，则 \(v+tw\ne0\)，根据正定性，对所有 \(t\) 有：

\[0<(v+tw|v+tw)=(v|v)+t^2(w|w)+2t(v|w),\forall t \]

故 \(\Delta=(2(v|w))^2-4(v|v)(w|w)<0\)，即：

\[(v|w)^2< (v|v)(w|w) \]

命题 9-3：三角不等式：

\[\lVert v+w \rVert\le \lVert v \rVert+\lVert w \rVert \]

等号成立当且仅当 \(\exist t\ge 0\)，\(v=tw\) 或 \(w=tv\)。

证明 9-3：

\[\begin{aligned} \lVert v+w \rVert^2&=\lVert v\rVert^2+\lVert w\rVert^2+2(v|w)\\ &\le \lVert v\rVert^2+\lVert w\rVert^2+2|(v|w)|\\ &\le \lVert v\rVert^2+\lVert w\rVert^2+2\lVert v\rVert\lVert w\rVert\\ &=(\lVert v\rVert+\lVert w\rVert)^2 \end{aligned} \]

其中第二个不等号成立，当且仅当 \(v,w\) 线性相关。第一个不等号成立，当且仅当 \((v|w)\ge 0\)，即线性相关对应的 \(t\ge 0\)。

定义 9-3：定义 \(0\le \angle(v,w)< \pi\) 为：

\[\cos\angle(v,w)=\dfrac{(v|w)}{\lVert v\rVert\lVert w\rVert},v,w\ne 0 \]

注意到三角不等式表明，我们定义 $d(v,w)=\lVert v-w \rVert $，则可以将 \((V,d)\) 定义为度量空间，可以在上面定义极限等操作。

定义 9-4：\((V,(\cdot|\cdot)_V),(W,(\cdot|\cdot)_W)\) 为内积空间，若 \(T\in\mathrm{Hom}(V,W)\) 满足：

\[(Tv_1|Tv_2)_W=(v_1|v_2)_V,\forall v_1,v_2\in V \]

等价于说

\[\lVert Tv \rVert _W=\lVert v \rVert _V,\forall v\in V \]

则称 \(T\) 是保距的。

从保距可以推出单性。因为有 \(Tv=0\Rightarrow \lVert Tv \rVert=0\Rightarrow \lVert v \rVert=0\Rightarrow v=0\)。

定义 9-5：若 \(T\) 保距且为向量空间同构，则称其为内积空间的同构，\(T^{-1}\) 亦为内积空间同构。

定义 9-6：\((V,(\cdot|\cdot))\) 为内积空间，\(S\subset V-\{0\}\) 为子集，若 \(\forall v,v'\in S\)，\(v\ne v'\Rightarrow v\bot v'\)，则称 \(S\) 是正交子集。进一步，若 \(\forall v\in S\) 为单位向量，则称 \(S\) 为单位正交子集。由下命题，也可称为单位正交基。

命题 9-4：\(S\) 正交可以推得其线性无关。

证明 9-4：

若 \(\displaystyle\sum_{s\in S}a_ss=0\)，则 \(\forall s'\in S\) 有：

\[0=\left(\sum_{s\in S}a_ss | s' \right)=\sum_{s\in S}a_s(s|s')=a_{s'}\lVert s' \rVert^2 \]

由于 \(s'\ne 0\)，故 \(a_{s'}=0,\forall s'\in S\)。即 \(S\) 线性无关。

若选择 \(v_1,\cdots,v_n\) 单位正交基作为 \(V\) 的基，将其变为 \(\mathbb{R}^n\)，则有 \((\mathbb{R}^n,(\cdot|\cdot))\) 与 \((V,(\cdot|\cdot)_V)\) 之间的同构，其中 \((\cdot|\cdot)\) 为标准内积：

\[\begin{aligned} \mathbb{R}^n&\xrightarrow{\sim} V\\ (x_1,\cdots,x_n)&\mapsto\sum_{i=1}^n x_iv_i \end{aligned} \]

且其保距：

\[\left(\sum_i a_iv_i|\sum_j b_jv_j \right)=\sum_{i,j}a_ib_j(v_i|v_j)=\sum_{i}a_ib_i=((a_i)_i|(b_j)_j) \]

定义 9-6：对 \(A\in\mathrm{M}_{n\times n}(\mathbb R)\)，且 \({}^{\rm t}A=A\)，如果 \({}^{\rm t} vAv\ge 0\) 且等号成立当且仅当 \(v=0\)，则称 \(A\) 为正定矩阵。

取 \(\mathbb{R}^n=\mathrm{M}^{n\times 1}(\mathbb R)\) 上的内积为 \((v|w)={}^{\rm t}vAw\)，则 \((v|w)=v\cdot Aw={}^{(\rm t)}Av\cdot w\)，其中 \(\cdot\) 为 \(\mathbb{R}^n\) 上标准内积。

定义 9-7：\((V,(\cdot|\cdot)_V)\) 为内积空间，则取 \(V_0\subset V\) 为子空间依然对应一个内积空间 \((V_0,(\cdot|\cdot)_{V_0})\)，定义 \(V_0\) 的正交补 \(V_0^{\bot}\) 为：

\[\{v\in V|\forall v_0\in V_0,v\bot v_0\}\subset V \]

定义 9-8：对内积空间 \((V,(\cdot|\cdot))\) 和一族子空间 \((V_i)_{i\in I}\)，如果：

• 有直和分解 \(V=\displaystyle\bigoplus_{i\in I} V_i\) 成立。
• 当 \(i\ne j\) 时有 \(V_i\bot V_j\)。

则称 \(V=\displaystyle\bigoplus_{i\in I} V_i\) 为 \(V\) 的正交直和分解。

命题 9-5：对内积空间 \((V,(\cdot|\cdot))\) 和有限维子空间 \(V_0\) 有正交直和分解：

\[V=V_0\oplus V_0^{\bot} \]

考虑 \(v_1\cdots,v_m\) 为 \(V_0\) 的单位正交基，\(\forall v\in V\) 有：

\[\begin{aligned} v=\sum_{i=1}^m(v_i|v)v_i \in V_0\\ +\left(v-\sum_{i=1}^m(v_i|v)v_i\right) \in V_0^{\bot} \end{aligned} \]