符号化方法
OI wiki 新增加的一页，在 GF 计数领域非常有用，所以总结一下。
一些符号约定
符号化方法是把组合对象（比如树，字符串，图等我们关心它组合意义的东西）转化为 GF 形式表达的一种方法，考虑把在这些组合对象组成的集合上进行的操作，变成在 GF 上进行的操作，从而大大提升效率。一般地，我们定义组合类：
其中 \(\mathcal{A}\) 为组合对象组成的集合，\(\lvert\cdot\rvert\) 是一个单元操作，把一个组合对象映射为一个非负整数。举个例子，比如对于一棵树，我们关心它的结点数，所以就定义 \(|t|\) 为 \(t\) 这棵树的结点数量。我们定义 \(\mathcal{A}_n=\{\alpha\in\mathcal{A}||\alpha|=n\}\)。
对于组合类 \((\mathcal{A},\lvert\cdot\rvert)\) ，其对应的 OGF 为：
对应的 EGF 为：
其中 \(a_n=\operatorname{card}(\mathcal{A}_n)\)，\(\operatorname{card}\) 表示集合的基数。一般来说，OGF 用于无标号的情况，EGF 用于有标号的情况。
定义中性对象 \(\epsilon\) 满足 \(|\epsilon|=0\)，和中性集合 \(\mathcal{E}=\{\epsilon\}\)，其对应的 OGF，EGF 为：
定义原子对象 \(\circ\) 满足 \(\lvert\circ\rvert=1\)，和原子集合 \(\mathcal{Z}=\{\circ\}\)，其对应的 OGF，EGF 为：
显然我们能得到结论，\(\forall\mathcal{A}\)，都有 \(\mathcal{A}\cong\mathcal{A}\times\mathcal{E}\cong\mathcal{E}\times \mathcal{A}\)，其中我们称两个组合集 \(\mathcal{A},\mathcal{B}\) 满足 \(\mathcal{A}\cong\mathcal{B}\) 当且仅当它们不平凡同构。
无标号
本部分介绍的所有操作是基于无标号的，所以对应的 GF 均采用 OGF。
不相交并
对于两个组合类的并 \(\mathcal{A},\mathcal{B}\)，如果我们单纯将它记为：
即简单的拼接，如果 \(\mathcal{A}\cap\mathcal{B}\ne\emptyset\)，就会与不相交的前提相违背。所以我们把它记为：
即给两个乘上不同的中性对象，不改变集合的元素本质，但给它们“染上了颜色”，从而不管是否有 \(\mathcal{A}\cap\mathcal{B}=\emptyset\)，都可以直接拼接。而对应的 OGF 为：
即两个集合对应 OGF 的幂级数加法。
笛卡尔积
我们定义两个集合的笛卡尔积 \(\mathcal{A}\times\mathcal{B}\) 为：
其中如果 \(\gamma=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\)，则我们记 \(|\gamma|=|\alpha_1|+|\alpha_2|+\cdots+|\alpha_n|\)。通过定义可以找到对应的 OGF：
即两个集合对应 OGF 的集合幂级数乘法。
序列构造
我们定义一个集合的序列构造 \(\operatorname{SEQ}(\mathcal{C})\) 为：
其中为了保证构造出的集合合理，必须有 \(\mathcal{C}_0=\emptyset\)。感性理解就是在这个集合里选 \(0\) 个的方案，选 \(1\) 个的方案，选 \(2\) 个的方案等等的并，且选择组成的是序列，即顺序有所谓。对应的 OGF 为：
循环构造
我们定义一个集合的循环构造 \(\operatorname{CYC}(\mathcal{B})\) 为：
其中 \(\mathbf{S}\) 为一个等价关系，表示二者循环同构，\(/\mathbf{S}\) 表示把原集合按照在这个等价意义下等价的元素剔除。感性理解就是在 \(\operatorname{SEQ}(\mathcal{B})\) 的集合中，去掉循环同构的序列。其对应的 OGF 不那么显然，根据 OI wiki，式子是：
其中 \(\varphi\) 为欧拉函数。
可重集构造
我们定义一个集合的可重集构造 \(\operatorname{MSET}(\mathcal{A})\) 为：
其中 \(\mathbf{R}\) 为一个等价关系，表示两个序列对应同一个可重集，\(/\mathbf{R}\) 表示把原集合按照该等价关系相同的元素剔除。感性来看就是在序列构造的基础上，要求组成的是可重集，即顺序无所谓。除定义外，我们还能得到这样的递推式：
表示在原有的生成的可重集内，每个都加入若干个 \(\alpha_n\)。更进一步，我们能发现：
因为 \(\operatorname{SEQ}\) 对应的 OGF 已知，所以 \(\operatorname{MSET}\) 对应的 OGF 为：
不要忘了 \(\operatorname{SEQ}\) 要求不能出现大小为 \(0\) 的元素。
进一步地，我们还能通过取对数继续化简这个 OGF（具体过程可以参考我的 一篇题解）：
可重集构造又被称作 Euler 变换。
幂集构造
我们定义一个集合的幂集构造 \(\operatorname{PSET}(\mathcal{B})\) 为其所有子集的并。有递推式：
即剩下一个元素可以选，也可以不选。进一步地，我们有：
对应的 OGF 为：
可以发现与 \(\operatorname{MSET}\) 的非常像，仅仅是换了几个符号，所以另一种 \(\exp\) 的形式也可以类似地得出：
根据定义容易得到：
带限制的情况
上面所有的讨论都是基于不限组成部分的情况，但如果要求原序列生成的可重集个数满足某种限制——比如恰为 \(k\)——那就无法解决了。定义 \(\mathfrak{K}\) 为上述 \(\operatorname{SEQ,MSET,PSET,CYC}\) 的其中的一种操作，定义以下三种限制：
为组成部分大于等于 \(l\)，恰等于 \(k\)，和位于 \(l..r\) 中。以 \(\mathcal{A}=\mathfrak{K}_{l..r}(\mathcal{B})\) 为例，这要求：
考虑引入二元 GF 来解决这个问题，如果设 \(\mathcal{X}(\alpha)\) 表示组成 \(\alpha\) 的元素个数，则我们定义 \(A_{n,k}\) 为：
则对应的二元 GF 为：
容易发现，\(\mathfrak{K}_{l..r}\) 的限制只需要提取出 \(u^{l..r}\) 的系数，就能得到对应的 OGF，其他两个限制是类似的。
具体来看，对于 \(\operatorname{SEQ}(\mathcal{B})\)：
其中 \(A_{n,k}z^n=B^k(z)\) 是由于对于 \(\operatorname{SEQ}\) 构造，\(B(z)^k\) 就表示组成部分为 \(k\) 个的 OGF。这样显然有：
对于 \(\operatorname{MSET}(\mathcal{B})\)：
只是给每一个元素增加了一个 \(u\)，表示这个元素单独的时候表示 \(1\) 个元素，从而两个相乘表示拼接的时候也会把 \(u\) 的指数相加。可以用类似的方法得到 \(\exp\) 形式：
把 \(\exp\) 展开后即可提取 \(u^l\) 的系数。
注意在这种情况下，对于 \(b_0\) 的定义很重要。如果 \(b_0=1\)，则有可能出现较多的常数项不便于计算。
对于 \(\operatorname{PSET}(\mathcal{B})\)，可以采用类似的思路：
\(\exp\) 形式类似：
依然是把 \(\exp\) 展开提取系数。
一些例题
定义 \(f(i)\) 为把 \(i\) 表示成若干正整数之和的方案数，正整数之间的顺序无所谓。求 \(f(1\sim10^5)\)，答案对 \(998,244,353\) 取模。
如果我们定义组合类 \((\mathcal{I},\lvert\cdot\rvert)\)，其中 \(\mathcal{I}=\mathbb{N}_+\)，\(\lvert i \rvert=i\)，则我们发现题目里给出的分拆其实相当于：
因为不同的数组成成一个新的组合类，它的大小恰等于各个组分之和，即对于正整数的分拆，又因为顺序无所谓，所以用 \(\operatorname{MSET}\)。具体算的方法，可以考虑把 \(\operatorname{MSET}\) 的形式展开一下：
这样每个 \(i_k\) 会对所有 \(k\) 的倍数做贡献，枚举倍数预处理出多项式就可以直接做 \(\exp\) 了，时间复杂度 \(\mathcal{O}(n\log n)\)。
int main()
{
int n, m = 1; scanf("%d", &n); while (m <= n) m <<= 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = i; j < m; j += i) (F[j] += ksm(j / i, mod - 2)) %= mod;
getExp(F, G, m);
for (int i = 1; i <= n; ++i) printf("%d\n", G[i]);
return 0;
}
求 \(n\) 个点的无标号无根树数量，答案对 \(998244353\) 取模。(\(1\le n\le 2\times10^5\))
发现如果我们求的是有根树，则钦定一个根后，剩下的点其实是分成若干集合，变成子树，且各个子树又是递归结构。所以定义组合类 \((\mathcal{T},\lvert\cdot\rvert)\)，其中 \(\mathcal{T}\) 表示所有无标号有根树的集合，\(|t|\) 表示这棵树结点大小，则：
展开成 OGF 就可以做了：
具体做法见我的 一篇题解。
求 \(n\) 个点的每个点度数不超过 \(4\) 且根的度数不超过 \(3\) 的有根树的数目。(\(1\le n\le 10^5\))
这道题一个显然的想法是设组合类 \((\mathcal{T},\lvert\cdot\rvert)\)，与上一道题类似的意义，有等式：
不幸的是，如果按照这个等式进行 OGF 的展开，会得到一个非常长的式子，非常不便于计算。注意到这个等式必须要求 \(\operatorname{MSET}\) 取 \(0..3\) 是因为 \(\mathcal{T}\) 内没有 \(\epsilon\) 元素，这样的话，满足度数 \(\le 3\) 就必须显式表示。而如果我们定义 \(\hat{\mathcal{T}}=\mathcal{T}+\{\epsilon\}\)，则会有：
而这个式子展开就会方便很多了。考虑把 \(\exp\) 展开：
这样能得到：
可以用半在线卷积或者牛顿迭代分别在 \(\mathcal{O}(n\log^2n)\) 和 \(\mathcal{O}(n\log n)\) 的时间内求解。
inline void copy(int* f, int* g, int n) { for (int i = 0; i < n; ++i) g[i] = f[i]; }
inline void clear(int* f, int n) { for (int i = 0; i < n; ++i) f[i] = 0; }
inline void cdq(int l, int r)
{
if (l + 1 == r) return (l % 3 == 1) ? ((A[l] += (ll)A[l / 3] * inv3 % mod) %= mod, void()) : void();
int mid = (l + r) >> 1; cdq(l, mid); init(r - l);
copy(A + l, F, mid - l); clear(F + mid - l, lim - mid + l);
copy(A, G, r - l); clear(G + r - l, lim - r + l);
for (int i = 0; i < lim; ++i) H[i] = 0;
for (int i = 0; i < r - l; ++i) if (!(i & 1)) H[i] = A[i / 2];
NTT(F, lim, 1); NTT(G, lim, 1); NTT(H, lim, 1);
for (int i = 0; i < lim; ++i)
F[i] = ((ll)F[i] * H[i] % mod * inv2 % mod + (ll)F[i] * G[i] % mod * G[i] % mod * inv2 % mod * (!l ? inv3 : 1) % mod) % mod;
NTT(F, lim, mod - 2);
for (int i = mid; i < r; ++i) (A[i] += F[i - l - 1]) %= mod;
cdq(mid, r);
}
int main()
{
int m; scanf("%d", &m); while (n <= m) n <<= 1; A[0] = 1;
cdq(0, n); printf("%d\n", A[m]); return 0;
}
顺便提一句，如果按照 \(\mathcal{T}=\{\circ\}\times\operatorname{MSET}_{0..3}(\mathcal{T})\) 展开得到的是：
如果把 \(T(z)\) 换为 \(T(z)+1\)，那就跟上面那个式子一样了。所以常数项一般来说处理为 \(0\) 会更加方便，甚至有时候必须处理为 \(0\)（比如上题无标号无根树，因为没有限制，所以一旦不处理为 \(0\)，那常数项就会爆炸）
有标号
本部分介绍的所有内容是基于有标号的，所以对应的 GF 采用 EGF。
一些有标号的例子
对于排列组成的组合类 \((\mathcal{P},\lvert\cdot\rvert)\)，定义 \(|p|\) 为排列的长度，则其 EGF 为：
对于圆排列组成的组合类 \((\mathcal{C},\lvert\cdot\rvert)\)，定义 \(|c|\) 为圆排列的长度，则其 EGF 为：
能看出 \(\exp \hat{C}(z)=\hat{P}(z)\)。
对于图 \(G=(V,E)\)，且 \(|E|=0\)，定义其组合类 \((\mathcal{U},\lvert\cdot\rvert)\)，定义 \(|u|=|V|\)，则其 EGF 为：
这是由于完全没有边的图，相同大小的点集仅对应一个。
集合的有标号乘法
首先我们要知道，把两个元素做有标号乘法会有什么结果。比如 \(\beta,\gamma\) 为两个有标号元素，则我们定义二者的有标号乘法为这两个元素拼接在一起，并重新标号。而对一个元素重新标号有两种情况，要么是把标号的值域扩大，要么缩小，这导出了对元素有标号乘法两种等价的定义：
其中 \(\rho\) 表示将标号的值域缩小后的对应。
其中 \(f,e\) 表示将标号的值域扩大后的对应，\(\operatorname{Im}(e)\) 表示对应到的值的集合。可能有点难理解，举个例子吧，比如将一个三角形 \(1-2-3\) 和一个线段 \(1-2\) 乘在一起会得到 \(10\) 个结果：
可以观察到，两个集合 \(\beta,\gamma\) 大小分别为 \(n_1,n_2\)，如果令 \(n=n_1+n_2\)，则：
有了这个定义，我们就能得到两个集合的有标号乘法 \(\mathcal{B}\ast\mathcal{C}\) 为：
对应的 EGF 操作为：
其中：
即 EGF 的幂级数乘法。容易发现这个乘法满足结合律：
序列构造
我们定义一个集合的序列构造 \(\operatorname{SEQ}(\mathcal{B})\) 为：
其中 \(\mathcal{B}^n=(\mathcal{B}\ast\mathcal{B}\ast\mathcal{B}\ast\cdots)\)，共 \(n\) 个 \(\mathcal{B}\)。定义 \(k\) 序列构造 \(\operatorname{SEQ}_k(\mathcal{B})\) 为：
可以找到对应的 EGF：
\(\operatorname{SEQ}\) 构造依然要求 \(\mathcal{B}_0=\emptyset\)。
感性理解就是选取 \(0,1,2,\cdots\) 个元素构成的有标号，顺序有所谓的序列。
集合构造
我们定义一个集合的集合构造 \(\operatorname{SET}(\mathcal{B})\) 为：
其中 \(k\) 集合构造 \(\operatorname{SET}_k(\mathcal{B})=\operatorname{SEQ}_k(\mathcal{B})/\mathbf{R}\)，\(\mathbf{R}\) 为等价关系，表示两个序列中一个是另一个的排列，\(/\mathbf{R}\) 表示去掉等价的元素。可以找到对应的 EGF：
注意到所有东西都是有标号的，所以所有的数都是不同的，这样的话，\(\operatorname{MSET,PSET}\) 都会对应到 \(\operatorname{SET}\)，即它们都是等价的。感性理解就是选取 \(0,1,2,\cdots\) 个元素构成的有标号，顺序无所谓的序列。
循环构造
我们定义一个集合的循环构造 \(\operatorname{CYC}(\mathcal{B})\) 为：
其中 \(k\) 循环构造 \(\operatorname{CYC}_k=\operatorname{SEQ}_k/\mathbf{S}\)，\(\mathbf{S}\) 为等价关系，表示两个序列循环同构。这样可以找到对应的 EGF：
通过以上这些操作，我们可以构造出一开始举出的三个例子 \(\mathcal{U,P,S}\)：
受这个启发，可以构造出的更多操作
满射
满射，即从集合 \(\mathcal{A}\) 到集合 \(\mathcal{B}\) 的一种函数，且每个值至少用到一次。我们定义满射集合 \(\mathcal{R}\) 为：
如果给出一个 \(r\ge 1\)，我们定义 \(\mathcal{R}^{(r)}_n\) 为从 \([1\cdots n]\) 到 \([1\cdots r]\) 的满射的集合，一个例子 \(\mathcal{R}_9^{(5)}\) 的元素之一：
注意如果把 \(9\rightarrow\mathbf{4}\) 换为 \(9\rightarrow\mathbf{3}\)，\(\phi\) 就不是个满射。此外，我们定义：
注意到 \(\mathcal{R}^{(r)}\) 可以用一个 \(r\) 元组集合，且它们的并集是 \(A\) 集合表示：
即 \(B\) 集合对应的 \(A\) 集合的元素的集合，上面举的例子就是：
这样就可以找到对应的 EGF 了：
这样 \(n![z^n]\hat{R}^{(r)}=R^{(r)}_n\)，二项式定理爆拆：
注意到 \(\mathcal{R}=\operatorname{SEQ}(\operatorname{SET}_{\ge 1}(\mathcal{Z}))\)，这样可以导出：
简单推导一下：
可以得到：
分割集合
定义 \(S^{(r)}_n\) 表示把集合 \(\{1,2,\cdots,n\}\) 分成 \(r\) 个不相交集合的方案数，定义 \(\mathcal{S}^{(r)}=\bigcup_n \mathcal{S}^{(r)}_n\)，这个组合集对应的元素为一种分割，分割的每一部分被叫做一个块。而一个分割可以被一个有标号类的集合表示（每个代表一个块），所以有：
可以发现，\(S^{(r)}_n=\dfrac{1}{r!}R^{(r)}_n\)。从组合意义可以看出，一个 \(r\) 分割恰好对应 \(r!\) 个 \(r\) 满射，两个满射在分割意义下是等价的，当且仅当一个是另一个的排列。
容易发现，分割数跟第二类斯特林数有很大的关系，即：
根据第二类斯特林数的定义可以得出。所以有：
观察到 \(S_n\) 其实就是贝尔数。
注意到 \(\mathcal{S}=\operatorname{SET}\{\operatorname{SET}_{\ge 1}(\mathcal{Z})\}\)，这样可以导出：
简单推导一下：
可以得到：
平面图
这个 "Alignments" 我也不知道怎么翻译好，于是就直译了。一个平面图被定义为一个良标号的圆组成的序列，定义 \(\mathcal{O}\) 为平面图的集合，则显然有：
排列
注意到一个排列其实就是若干圆排列的集合，可以从置换环的角度考虑，这样排列的集合 \(\mathcal{P}\) 就有：
能导出 EGF：
接下来就用刚刚的方法推导一些东西吧。
树
树分为两种，一种是平面树，特点是子树之间有顺序，另一种是非平面树，特点是子树之间无顺序。此外，我们定义集合 \(\Omega\in\mathbb{N}\) 为树的所有点的出度的集合，其中因为树有叶子，所以一定有 \(0\in\Omega\)。
对于平面有根树，本质上就是确定根之后，剩下的点分成若干部分变成子树，然后递归下去，所以对于平面有根树的集合 \(\mathcal{A}\) 有：
这样对应的 EGF 为：
容易发现这个和不带标号的平面有根树很像，具体来讲，不带标号的平面有根树个数为：
原因根据组合意义显然。而根据我不会的拉格朗日反演可以得到：
而对于非平面有根树，思路类似，对于它的集合 \(\mathcal{T}\)，我们有：
这样对应的 EGF 为：
注意到如果 \(\Omega=\mathbb{N}\)，则有：
可与通过我不会的拉格朗日反演得到：
如果我们考虑森林，其实就是把若干个树组成一个森林，且顺序无所谓，所以森林的集合 \(\mathcal{F}\) 为：
即 \(\hat{F}(z)=\exp\hat{T}(z)\)。
写在最后
本篇文章参考 Analytic Combinatorics 这本书的第一，二章，对原文内容做了很大简化，有需要的同学可以找来原书看。由于本人数学很差，所以如果有错还请请喷并指出qwq
