随笔分类 - 数学
OI 中的数学
摘要：实在不知道标题叫啥了，总不能就 DFT 三个字母吧。是最近把 $\rm DFT$ 的过程自己推了一遍后的浅显理解，以及更快的 $\rm FFT$ 板子。因为转置原理对于实现的优化实在是太多了，所以我也简单学了一下，不过真的啥都不学不懂。 DFT 在干啥 首先我们要知道 $\rm DFT$ 是什么，简
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摘要：题意 给出 $n$ 次多项式 $A,B$ 和常数 $C$，求 $A\times B^C$ 的系数对 $n+1$ 取模的结果，其中乘法定义为模 $n$ 意义下的循环卷积。保证 $n$ 能被分为若干不超过 $10$ 的正整数的乘积且 $n+1$ 是质数。($1\le n\le 5\times 10^5,
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摘要：又学了一下这东西，发现以前好多理解的不够深刻，于是决定补一篇博客。大概不算入门教程。 本文 \(\operatorname{or,and,xor}\) 表示位运算。 FWT 相关 FWT 类似 FFT，是对序列进行线性变换后，将卷积的计算简化为点积，从而极大减少计算的复杂度。 即假如我们通过某种方式
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摘要：我的同余，就像筛子，全是漏洞。 本文如果不特殊说明，出现的字母均属于 \(\mathbb{N}_+\) 集合。 一些概念 按照从易到难的顺序。 整除与同余。 设 \(a,b(a\ne 0)\)，如果 \(\exist c\)，使得 \(ac=b\)，则称 \(b\) 整除 \(a\)，或 \(a\)
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摘要：题意 有 \(n\) 个球，\(m\) 个盒子，求分别在以下 \(12\) 个限制条件下把球放入盒子里的方案数： 球区分/不区分，盒子区分/不区分，无特殊限制/每个盒子至多放一个/每个盒子至少放一个。 答案对 \(998,244,353\) 取模。(\(1\le n,m\le 2\times 10^
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摘要：瞎做，做了一些蓝题，总结一下，就当是，杂题记录吧。哦顺便，这些题来源于 xzy的概率期望题单 中我没做过的蓝题。 P6834 [Cnoi2020]梦原 有个以 \(1\) 为根的 \(n\) 个结点的树，给出参数 \(k\)，第 \(i\) 个结点会从 \([i-k,i-1]\cap \mathbb
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摘要：怎么说呢，这题确实算是基础练习题。就是强行六合一确实很顶。 \(T\) 组询问，每次给出 \(A,B,C\)，对于 \(type=0,1,2\)，分别求： \(\prod_{i=1}^A\prod_{j=1}^B\prod_{k=1}^C\left(\dfrac{\mathrm{lcm}(i,j)}
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摘要：这道题题解区有很多神仙题解，讲解得很全面，本篇题解仅做一些细节补充和代码实现方面的讲解。 题意 求 \(n\) 个点的无标号无根树数量，答案对 \(998,244,353\) 取模。(\(1\le n\le 2\times10^5\)) 题解 注意到无根树这个限制比较恶心，因为对于一棵树我们总要找个
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摘要：前话——狄利克雷卷积 定义 对于两个数论函数 \(f,g\)，我们定义它们的狄利克雷卷积 \(f\ast g\) 为： \((f\ast g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g\left(\dfrac{n}{d}\right)\) 一些常见的数论函数： \(\rm id\)，定义为 \(\mat
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摘要：Min_25 筛是一种亚线性筛法，可以在 $\mathcal{O}(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{\log n})$ 的时间复杂度下快速算出形如： $$\sum_{i=1}^n f(i)$$ 的值，不过一般比较好实现的方法被证明复杂度是 $\mathcal{O}(n^{1-\epsi
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摘要：刚学完矩阵树定理，这不得再学个 LGV 引理。 前置知识：行列式，如果不会可以看矩阵树定理那篇博客。 正文——LGV 引理的内容 对于一个有向无环有权图，我们定义： \(s\) 为图上的一条路径。 \(w_s\) 为路径上边的权值积。 \(e_{u,v}\) 为 \(u,v\) 两点之间所有路径 \
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摘要：矩阵树定理，看名字就知道是把矩阵是树联系起来的一个定理，可以用于求图的任意/最大/最小生成树个数。 前置概念——行列式 他问我，一个 \(3\) 行 \(4\) 列的行列式怎么算，把我吓死了，你那叫懂吗？——汤神。 一般地，对于一个 \(n\times n\) 的方阵 \(\bf A\)，我们定义它
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摘要：OI wiki 新增加的一页，在 GF 计数领域非常有用，所以总结一下。 一些符号约定 符号化方法是把组合对象（比如树，字符串，图等我们关心它组合意义的东西）转化为 GF 形式表达的一种方法，考虑把在这些组合对象组成的集合上进行的操作，变成在 GF 上进行的操作，从而大大提升效率。一般地，我们定义组
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摘要：本博客内容大部分来源于对《具体数学》第五章的整理，略去了其中有关超几何变换的部分。 需要掌握一些 \(\sum\) 的处理技巧，有限微积分和泰勒展开（泰勒展开只在证明用一点点，不会也没事）。 upd. 评论区有人指出上指标求和的组合意义错了，已订正。 为了有一定实力的同学可以略过基本恒等式，为了您的
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摘要：打算开 GF 这个万恶之源了，但在此之前先把多项式的那堆板子理理清楚吧。代码没有刻意卡常，而且写成的年代不同，码风和实现方法会有一点不一样，板子也不会太全，之后会遇到问题会在这里慢慢补充。 多项式乘法 给定一个 \(n\) 次多项式 \(F(x)=\sum_{i=0}^n f_ix^i\) 和 \(
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