Python题解—最少硬币问题

最少硬币问题

题目描述

有 5 种硬币，面值分别为 1， 5， 10， 25， 50，数量无限。输入非负整数 S（S < 250） ，请你选用硬币，使其和为 S。要求输出最少的硬币组合。

问题分析：

1. 这个问题上手确实令人很懵。这时我们必须要从小处开始找寻规律。1可以有1表示，2可以有1 1 表示，3可以由 2 1 继而由1 1 1 表示。求一个大数的最优解，一种可能是它直接就是相应面值的金额，那么一共只需要1枚硬币，可除此之外，它都是由一个最优子结构加上一枚硬币构成。所以，要完成对上层的优化，变成了一个子问题的最优化，这显然就是动态规划的原理，我们进而要将问题往动态规划上思考，去研究其递归关系。
2. 从一个子结构，不断扩展。如果我们从输入的值倒推是困难的。如果我们从基础的往下推，把所有数值的最少硬币组合都表示出来。也就是所谓的“打表法”，以空间去换取时间。这是可行的，而且面对连续的输入这是极为高效的，因为我们只需要在储存的数组里查询即可。
3. 本题还有一个问题是要输出硬币组合，所以在这个递归的过程中，我们必须进行过程的记录。对于每次往下推的过程中，我们将最后一枚放入组合的硬币存储起来，那么我们从而可以从递归关系中获取所有的硬币信息。

拟定计划：

1. 使用数组储存最少硬币数量，将要组成的金额由数组的序列来表示。先定义一个初始值，设的大一点，开辟相应的内存空间。
2. 我们从面值为1的硬币开始递归，直到面值为50的硬币也递归完成。递归规则：dp[i] = min(dp[i], dp[i - m] + 1)。在这个过程中要注意数组不能越界。
3. 再定义一个数组来储存硬币组合关系，同样将要组成的金额由数组的序列来表示。这个完全可以放在递归过程中进行。

money = [1, 5, 10, 25, 50]
dp = [999] * 251
dp[0] = 0
design = [999] * 251

s = int(input())

for i in money:
    for j in range(i, len(dp)):
        #dp[j] = min(d[j], dp[j - i] + 1)
        if dp[j - i] + 1 <= dp[j]:
            dp[j] = dp[j - i] + 1
            design[j] = i

list = []
if dp[s] < 999 :
    while s > 0:
        list.append(design[s])
        s = s - design[s]
else:
    print("no answer")

list.sort()

for i in list:
    print(i, end=' ')

回顾反思：

1. 这是我第一次认真地分析解决动态规划问题。还是相当有难度的。
2. 我们要关注一点，一定要从简单的开始思考，从而发现规律，发现递归关系。这一点是动态规划很令人头疼的地方。
3. 打表法，以空间换取时间。将所要的所有信息都储存起来，要使用的时候查询即可，这是一个很好的办法。
4. 我们可以在递归的过程中存储关键信息，从而表述整个过程。
5. 对于数组来说，其序列索引值也储存了一定的信息，我们常常会利用到这一点。