Python题解—付账问题

付账问题

题目描述

几个人一起出去吃饭是常有的事。但在结帐的时候，常常会出现一些争执。

现在有 n 个人出去吃饭，他们总共消费了 S 元。其中第 i 个人带了 $a_i$元。幸运的是，所有人带的钱的总数是足够付账的，但现在问题来了：每个人分别要出多少钱呢？

为了公平起见，我们希望在总付钱量恰好为 S 的前提下，最后每个人付的钱的标准差最小。这里我们约定，每个人支付的钱数可以是任意非负实数，即可以不是 1 分钱的整数倍。你需要输出最小的标准差是多少。

标准差的介绍：标准差是多个数与它们平均数差值的平方平均数，一般用于刻画这些数之间的"偏差有多大"。形式化地说，设第 ii 个人付的钱为 $b_i$ 元，那么标准差为 :

输入描述

第一行包含两个整数 n、S；

第二行包含 n 个非负整数 $a_1, \cdots, a_n$。

其中，$n \leq 5 \times 10^5, 0 \leq a_i \leq 10^9$ 。

输出描述

输出最小的标准差，四舍五入保留 4 位小数。

保证正确答案在加上或减去 $10^{−9}$ 后不会导致四舍五入的结果发生变化。

样例输入

5 2333
666 666 666 666 666

样例输出

0.0000

问题分析：

1. 本题依然很容易犯错，第一次钱不到平均数自然很容易想到，但第二次凑钱其实仍有可能钱不够，从而产生问题。
2. 我们可以预想到这是个复杂的递归结构。只有当一个递归里面所有的数都大于平均数时，才能够停止。我们当然能想到用线性表这个数据结构来存储。但是这样每次都要遍历，或者把已经计算过的去掉。很显然很难表示，时间复杂度也很高。
3. 该问题解决的巧妙之处在于，将这个线性表排序。排序过后，线性表有了更多的信息。只要看的第一个大于平均值，那么剩下的肯定都大于平均值，问题也就化为了清晰的一次一次比较循环。这也提醒我们在有大小比较时，排序是个很好的方向。

拟定计划：

1. 用数组存储钱。然后对数组排序。
2. 进行一次比较，如果小于平均数，那么他要把钱全部献出，得出一个方差。然后更新平均水平，因为剩下的人要取付剩下的钱，方差要最小，肯定是每个人付平均的钱。
3. 如果大于平均数，那么剩下的都只要把平均数付了就行，方差也得以计算了。

n, s = map(int,input().split())

a = list(map(int,input().split()))
a.sort()

avg = s/n

sum = 0

for i in range(n):
     
     # 当钱达不到剩下平摊的平均水平时，钱全部拿走
     if a[i]*(n-i) < s:
          sum += (a[i]-avg) ** 2 
          s -= a[i]
     else:
          cur_avg = s/(n-i);      #更新平均出钱数
          sum += (cur_avg - avg) ** 2 * (n-i)
          break

result = (sum / n) ** 0.5

print('%.4f' % result)

回顾反思：

1. 处理数组的大小比较问题，对数组进行排序是一个非常重要的思想。
2. 处理复杂问题，我们可以递归一层一层地看，动态模拟地去看，取简单例子慢慢分析。