计算机中使用的数理逻辑学习笔记
布尔代数运算律
布尔运算等式变换
BDD(二元决策树)
BDD描述了一个过程，这个过程按照给定的值（0/1）进行向下搜索，直到终点。
从真值表中派生（Derive）二元决策树：
化简：将冗余的部分去掉
对于左边红框内，因为无论\(C\)取何值，最终的结果总是为0，因此\(C\)的存在对于该分支的结果并没有影响，因此可以将其删除。对于右边红框由\(B\)延伸到\(C\)处时，无论\(B\)取何值，总是延伸到相同的\(C\)，因此在这里\(B\)的取值也对该分支没有影响，因此可以直接将\(B\)节点删除，从而得到了右图。
Shannon expansion formula(香农展开)
算法步骤：
- 固定一个变量，画出此变量的节点以及01分支
- 看是否有分支可以合并，如果可以则合并，否则再选取另一个变量转到步骤1
- 直到分支节点处变为0或1，则结束。
即：每次提取一个变量，将原来的表达式扩展为该变量取不同值的形式。
示例：
如图a所示，将\(A\)取值为0时，原表达式\(f\)进化为为\(f_0\)，将\(A\)取值为1时，\(f\)进化为\(f_1\)。
BDD在计算机中的存储时，每个节点对应一个三元组：(变量名称，指针1，指针2)
其中，变量名称指定变量，指针1，指针2分别指定，当前变量取值分别为0或1时，应该指向的节点。
如(a)表示一个节点分支，则其在计算机中的存储可以表示为(V, g, h)。(b)表示了一组存储的三元组。(c)表示了(b)代表的BDD。
计算BDD的输出时，只需要沿着标识路径一直往下走即可，所到达的终止节点的值即为输出结果。
注：
- 一个节点的输出路径有且仅有一条是active path
- 从一个节点到0或1终点，有且仅有一条由active path组成的路径
计算“和的积”与“积的和”的个数
“和的积”的个数：主合取范式中，合取式的个数，即：使输出结果为0的路径数目。
“积的和”的个数：主析取范式中，析取式的个数，即：使输出结果为1的路径数目。
用分支的权值计算：
步骤：
- 最上层结点的两个分支权均赋值为1。
- 其余的结点的两个分支权均赋值为它所有入度权值的和。
其中， 和的积(0): 8+7+7=22 积的和(1): (8+8+7=23)
图的简化(reduce) (ODBB)
简化后的函数图包含以下性质：
- 不包含左右子节点相同的节点
- 不包含这样的节点：分别以左右子节点为根节点的子图同形
注：在简化的图中，以每一节点为根的子图也是简化的。任意的布尔函数有唯一的简化图可以将其表示，使得图的节点数目最少
化简思想为：将原图按层排列，从终止节点(底层)依次向上进行标记，最后相同标记的只取一个节点就完成了图的简化。
样例：
第一步：将节点放到各层列表中，此处需要注意的是，要把终止节点全部都放在最后一层
第二步：从终止节点到根节点对每个list进行操作
对于每个节点，oldkey的初始化均为(-1,-1)，终止节点的oldkey最后应该只有一个0或1值，同时终止节点最终也应该至多只有两个id(1,2)和oldkey(0,1)
对于非终止节点，其oldkey最后为两个值，前一个值表示其取0时应该指向的节点id，另一个值表示其取1时应该指向的节点id。low,high分别表示其取0和1时指向的节点。
当某个节点的low值和high值相等时，说明该节点的取值对于该分支的最终结果并没有影响，因此可以直接删除该节点。
OBDD的Apply操作是通过深度优先搜索的方法，对一些已知的布尔函数 OBDD 表示进行二元布尔运算得到另外一些布尔函数 OBDD 表示的操作。整个过程从上至下进行，我们需要做的预备工作是给每个节点编号（1，2，3.... 每个都不相同），然后从顶层开始，用两个 OBDD 树的顶层的节点合成一个新的节点，合成的规则就三种：
- 两个节点都为叶节点，可以直接根据布尔运算得出结果，合成的节点也是叶节点。
- 如果有一个节点为非叶子节点，看这两个节点的 index 值是否一样，如果是一样的，比如两个节点都表示 x1，那么新节 点的 index 就是 x1，新节点的左孩子通过两个老节点的左孩子生成，新节点的右节点通过两个老节点的右孩子生成。
- 如果两个节点的 index 值不同，比如 index(u)\(<\)index(v)，新节点的 index 为较小的 index(u)，新节点的左孩子由 u 的左孩子与 v 生成，新节点的右孩子由 u 的右孩子与 v 生成，当 index(u)\(>\)index(v)反过来做即可。
举例：\(f=(x_1+x_2)*x_3+x_4,g=x_1*x_3^{'}+x_4\)，求\(f+g\)的OBDD
关于 OBDD 的 ITE 的实现过程
ITE操作是一个三元布尔操作符，对于具有相同变量序的三个布尔函数f、g和h，ITE操作可用来实现：if f then g else h。对于相同变量序：\(x_1<x_2<...<x_n\)下的布尔函数\(f,g\)和\(h\),\(ITE(f,g,h)=f\cdot g+f^{'}\cdot h\)
在算法中，常用小写 ite 来表示 ITE。下表给出了一些二元布尔运算的 ITE 操作实现:
程序转化为逻辑表达式
FDS(Fair Discrete System)
一个Fair Discrete System(FDS) \(D = \lt V, O, \Theta, p, J, C \gt\)包括：
- \(V\)：一组有限的类型化状态变量，一个V-state s表示V的一个解释
\( \sum_V \)：表示所有的V-states集合 - \(O \subseteq V\): 可观察变量的集合
- $\Theta $：一个初始条件。一个描述初始状态的能够满足的断言
- \(p\)：一个过渡关系。一个断言\(p(V, V^{'})\)，引用状态变量的当前版本和即将变换成的版本。例如，\(x^{'}=x+1\)对应于赋值\(x:=x+1\)
- \(J={J_1,...,J_k}\)：一个公平的(justice)需求集合。确保对于每个\(j_i,i=1,...,k\)的计算包含无限多个\(j_i\)-states。
- \(C=\lbrace <p_1,q_1>,...,<p_n,q_n>\rbrace\)：一个包含compassion需求的集合。无限多个\(p_i\)-states意味着无限多个\(q_i\)-states。
例子：
- 首先表示\(V\)，状态变量
a) 首先第一行就是程序最上面的初始化，左边两个变量一写，右边写个 natural。
b) 接下来定义$\pi \(，程序有几个部分(用||连接)就定义几个\)\pi \(，每个\)\pi \(对应的元素就是每一行语句\)𝑙_0$ ~ \(𝑙_𝑘\)
- 表示\(\Theta\)
\(\Theta\)表示初始条件，而初始时，每个\(\pi\)都处于第一行语句\(l_0\)，再加上变量的初始化，把它们合取即可。
- 表示𝜌：表示𝜌之前得先说明几个定义：
- \(\pi^{'}\)可能在此表示下一个状态
- \(pres(V)\)。对于\(V\)里面的每个元素都可以这样表示：\(e=e^{'}\)，然后把它们用合取符号连接起来。上面例子的\(press(V)\)就应该表示为：
- \(at\_l_j\)是一个缩写，表示\(\pi_i = l_j\)，\(at^{'}\_l_j\)表示\(\pi_i^{'}=l_j\)
- \(p_I=press(V)\)，\(p_{l_0}\)表示语句\(l_0\)转换成逻辑公式之后的一个符号。需要掌握\(p_{l_k}\)
- $p:p_I \vee p_{l_0} \vee p_{l_1} \vee p_{m_0} $
语句的表示
a) 赋值语句样例：\(y := e\)
进行该语句时，需要进行以下状态检查以确定该赋值语句是否能够成立。\(at\_l_j \wedge at^{'}\_l_k \wedge y^{'} = e\wedge pres(V-\lbrace \pi_i,y\rbrace)\)。
进行以上例题中的\(m_0\)赋值语句时，就应该表示成：\(p_{m_0}:\pi_2=m_0 \wedge \pi_2^{'}=m_1 \wedge \pi_1^{'} = \pi_1 \wedge x^{'} = 1 \wedge y^{'} = y\)
b) if语句：if b then \(l_1: S_1\) else \(l_2:S_2\)
如果这里没有else语句，那么\(l_2\)就是跳出if下一步要执行的语句
c) while语句：while b do [\(l_1:S_1\)]
上面例子\(l_0\)就可以表示为
- 表示\(J\)：一般把\(!at\_l_j\)这个符号加入\(J\)集合中
上面例子的\(J\)集合可表示为
- 表示\(C\)。一般该集合为\(\empty\)
子句冲突规则
SAT
SAT: 给定一个命题公式，确定是否存在变量赋值以使该公式计算为真，这称为布尔可满足性问题。结果是，找到一个满足条件的解决方案或者证明不存在解决方案。
SAT问题的基本形式指给定一个命题变量集合\(X\)和一个\(X\)上的合取范式\(\varphi (X)\)，判断是否存在一个真值赋值\(t(X)\)，使得\(\varphi (X)\)为真。如果能找到，则称\(\varphi (x)\)是可满足的（satisfiable），否则称\(\varphi (x)\)是不可满足的（unsatisfiable）。SAT问题的模型发现形式指当\(\varphi (x)\)可满足时，给出使公式\(\varphi (x)\)可满足的一组赋值。
实际生产中的 NP 难题可以转化为 SAT 问题进行求解，因此，首先要进行规约和编码，目前 SAT 问题编码多采用 CNF 形式。DIMACS 作为标准格式广泛用于 CNF 布尔公式，也被历届 SAT 国际竞赛采用。 DIMACS 文件用字符 c 引导的注释文字行开始。紧接注释之后的一行 p cnf 表示该实例是 CNF 形式的公式，nbvar 指公式包含的变量数目，nbclauses 指公式包含的子句数目，要求1至 nbvar 之间的每个变量至少在某个子句中出现一次。然后下面各行是子句序列，每个子句由一系列互不相同的介于 -nbvar 和 nbvar 的非空数字组成，并以 0 结束。正的数字表示相应序号变量的正文字形式，负的数字表示对应序号变量的负文字形式。
最近几年的SAT国际竞赛结果证明，预处理技术对SAT求解器性能至关重要。早期的预处理技术使用原始 DPLL （DavisPutnamLogemannLoveland，简称DPLL）提出的单元传播和纯文字规则，后来发展了一些更复杂的技术如超二元解析、单元子句和探针等。
命题逻辑基于SAT Solver的DPLL可满足性判定算法
合取范式样例：\((p∨q∨r)∧(p∨┐q∨r)∧(┐p∨q∨r)\)
析取范式样例：\((p∧q∧r)∨(p∧q∧┐r)∨(p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(┐p∧┐q∧r)\)
DPLL（Davis-Putnam-Logemann-Loveland）算法，是一种完备的、以回溯为基础的算法，用于解决在合取范式（CNF）中命题逻辑的布尔可满足性问题；也就是解决CNF-SAT问题。
DPLL 的核心思想就是依次对 CNF 实例的每个变量进行赋值，其搜索空间可以用一个二叉树来表示，树中的每个节点对应一个变量，取值只能为 0 或 1，左右子树分别表示变量取 0 或 1 的情况，从二叉树中根节点到叶子节点的一条路径就表示 CNF 实例中的一组变量赋值序列，DPLL 算法就是对这棵二叉树从根节点开始进行 DFS（深度优先搜索） 遍历所有的通路，以找到使问题可满足的解。
预处理：将公式转换为对应的合取范式（CNF）
DPLL 框架
- Iterative Description（迭代描述）
status = preprocess(); //预操作
if (status!=UNKNOWN) return status;
while(1) {
decide_next_branch(); //变量决策环节
while (true) {
status = deduce(); //推理环节（BCP）
if (status == CONFLICT) { blevel = analyze_conflict(); //冲突分析
if (blevel == 0) return UNSATISFIABLE; else backtrack(blevel);
//智能回溯，对应
}else if (status == SATISFIABLE) return SATISFIABLE;
else break;
}
}
- Recursive description（递归描述）
DPLL(formula, assignment){
necessary = deduction(formula, assignment);
new_asgnmnt = union(necessary, assignment);
if (is_satisfied(formula, new_asgnmnt))
return SATISFIABLE;
else if (is_conflicting(formula, new_asgnmnt))
return CONFLICT;
var = choose_free_variable(formula, new_asgnmnt);
asgn1 = union(new_asgnmnt, assign(var, 1));
if (DPLL(formula, asgn1)==SATISFIABLE)
return SATISFIABLE;
else {
asgn2 = union (new_asgnmnt, assign(var, 0));
return DPLL(formula, asgn2);
}
}
基于迭代的实现相对于基于递归的实现有以下优势：
- 递归速度慢且容易发生溢出，相对于迭代就有很多自身的劣势。
- 迭代具有非时间顺序回溯（智能回溯）的优势。
- 递归需要更多的内存存储空间。
以下讨论基于迭代框架。
算法框图：
算法流程：
首先执行的是 preprocess()这个预处理操作，其实就是对 CNF 实例进行各种化简减轻后续的求解工作量。如果预处理不能直接 得出结果的话，就进行后面的 decide_next_branch()操作，这就是变量决策操作，它会分析从 哪个变量开始赋值是最合适的。对变量赋值以后，会执行一个deduce() 操作，可以管它叫推理操作，目的是识别该赋值所导致的必要赋值。 当然不正确的赋值可能会产生错误，这就会产生冲突，我们需要 analyze_conflict()分析这个冲 突得到冲突发生的根源位置，然后通过 backtrack()回溯到这个位置，为这个变量赋另外一个值， 继续往下搜索，如此循环，直到找到满足 SAT 的一组真值指派。如果回溯到了最顶层还没有解 决问题的话，那就表示这个 CNF 实例是不可满足的。
变量决策(decide_next_branch())
基于这样的一个事实：先对哪个变量进行赋值，会直接影响二叉搜索树的规模大 小，也就会影响求解时间，所以如何快速有效地决策出下一个将要赋值的变量，这很重要。以下将介绍四种变量决策方式：
- MOM(JW)方法
- Literal Count Heuristics 方法
- VSIDS 方法
- 一个改进的方法--（A Fast and Robust SAT Solver）
- MOM 法或者 JW 法
思想： 在一个子句中， 只要一个文字得到满足，那么这个子句就得到满足了。
所以，如果一个子句的长度越长（含有字母数越多），那么可以使得该子句满足的文字数目也就越多，这个子句也就越容易满足，所以它就不是所谓的“矛盾的主要方面”，我们不需要过于关注这个子句；然而，如果一个子句长度很小，那它就很不容易被满足，所以我们要优先考虑它们，给予它们更高的权重， 这样做的目的就是让那些不容易被满足的子句优先得到满足。
具体的方法是求解出和变量 \(l\) 相对应的 \(J\) 值，哪个变量 \(J\) 值大就选哪个先赋值，变量对应的 \(J\) 值的计算公式如下：
其中 \(l\) 表示变量，\(Ci\) 表示包含变量 \(l\) 的子句，共有 \(m\) 个子句， \(n_i\) 表示这个子句的长度。它体现出了 MOM 算法的两个关键点：“最短的子句”和“出现频率最高的变量”，”最短子句”体现在长度越短（\(n\) 越小）， \(2^{-n_i}\) 的值就越大，它能给 \(J\) 值的贡献就越多；”出现频率最高的变量”体现在 \(l\) 出现次数越多的话，相加的项数就越多，\(J\) 值就更容易变的很大。
- Literal Count Heuristics 方法
它主要是统计已经给某些字母赋值但仍然没有得到满足 的子句的数量，这个数量依赖于变量赋值，所以每次换变量的时候，所有自由变量都需要重 新统计这个数量，效率较低。 - VSIDS，Variable State Independent Decaying Sum(独立变量状态 衰减和策略)
具体操作步骤如下：
- 为每一个变量设定一个 score，这个 score 的初始值就是该变量在所有子句集中出现的次数
- 每当一个包含该字母的冲突子句被添加进数据库，该字母的 score 就会加 1
- 哪个变量的 socre 值最大，就从这个变量开始赋值
* 另外，为了防止一些变量长时间得不到赋值，经过一定时间的决策后，每一个变量的 score 值都会被 decay，具体方式是把 score 值除以一个常数(通常为 2-4 左右)
推理(deduce())
当一个变量被赋值后，可以通过推理来减少一些不必要的搜索，加快效率。推理过程主要依赖于 Unit clause rule（单元子句规则），所谓单元子句就是：在这个子句中，除了一个文字未赋值 外，其他所有的文字都被赋值并体现为假，这样的子句就是 Unit clause（单元子句），剩下的 这个文字就是 unit literal（单元文字）。很容知道，在单元子句中，这最后一个文字必须体现 为真，整个子句才能被满足，把所有的单元文字都赋值并体现为真的过程就是 BCP（布尔约束 传播）。
BCP 的目标就是识别出单元子句并对单元文字赋值，能够减少搜索空间或提前逼出冲突。
以下将介绍三种BCP实现方法：
- counters 方法
- head/tail list 方法
- 2-literal watching 方法
counters 方法
具体做法是是为每个变量设置两个 lists，分别用来保存所有包含这个变量的正负字母的子句，并且每个子句都设置两个计数器，分别统计体现为真的字母数和体现为假的字母数。如果体现为假的字母等于总字母数，那就产生了冲突；如果体现为假的字母数比总字母数少 1，那就出现了单元子句，就需要对单元文字进行自动赋值。
举例
注：用\(!\)取代了逻辑非，因为不知道逻辑非怎么弄出来
初始的时候，1-8 号子句各有两个计数器（分别记录赋值为 0 和 1 的文字数量），一开始所有计数器的值都是 0。变量 \(m\) 有链表分别用来保存所有包含 \(m\) 和 \(!m\) 的子句，包含 \(m\) 的 链表中有子句 2，3，4，5，而包含 \(!m\) 的链表中有子句 1，7，8，其余变量也均有这样的两个链表。当给 \(m\) 赋 0 时，包含 \(m\) 的链表中的子句 2，3，4，5 的 0 计数器就会更新，数量加 1， 包含 \(!m\) 的链表中的子句 1，7，8 的 1 计数器也会更新，数量加 1；如果再给 \(p\) 赋 0 的话，包 含 \(p\) 的链表中的子句 1，2，3，8 的 0 计数器就也会更新，数量加 1，此时 2，3 两个子句的 0 计数器数量变为 2，比总文字数 3 少 1，均成为了单元子句，2 可以推出 \(q\) 必须赋 1，而 3 可以 推出 \(q\) 必须赋 0，产生冲突，BCP 完成任务。
head/tail list 方法
它为每个子句设置两个引用指针，分别是头指针和尾指针，初始时，头指针指向子句第一个文字，尾指针指向最后一个文字，每个子句的文字存放在一个数组中。对于一个变量 \(v\)，设置有四个链表，分别装有句头是 \(v\) 的子句，句头是非 \(v\) 子句，句尾是 \(v\) 的子句， 句尾是非 \(v\) 的子句，分别标记为 clause_of_pos_head(v)，clause_of_pos_tail(v)， clause_of_neg_head(v)，clause_of_neg_tail(v)。假设有 \(m\) 个子句的话，所有变量的四个链表中就共存放着 \(2m\) 个子句，无论后面这些子句怎么调换位置，子句总数是不变的。
因为是合取式，因此一共有2m个子句
假设某变量 \(v\) 被赋值为 1，那么所有句头和句尾为 \(v\) 的子句就都可以忽略了，因为他们已经被满足了。而对于句头或句尾是非 \(v\) 的子句，就需要移动头尾指针寻找下一个未被赋值的字母，头指针往后移，尾指针往前移，移动时可能会发生以下四种情况：
- 第一个遇到的文字 \(l\) 已经体现为真了，那么子句就已经满足了，什么都不用做，忽略这个子句就行了。
- 第一个遇到的文字 \(l\) 是未赋值的，且不是句尾，那么就把这个子句 \(c\) 从 \(v\) 的链表中移除，放入到 \(l\) 的对应的链表中。
- 如果头尾之间只剩一个变量未赋值，其他文字都体现为假了，就出现了单元子句，直接推断出单元文字的取值。
- 如果头尾之间所有文字都体现为假，那产生冲突，需要回溯。当一个变量被赋值的时候，平均有 m/n 个子句需要更新（m 为子句数，n 为变量数）。
举例
初始时，我们可以将各个子句填入变量的链表中，如下表所示：
此时，头尾指针分别指向每个子句的头部和尾部。当我们给 \(m\) 赋值为 0 的时候，\(m\) 的 clause_of_neg_head(m)链表中的子句 1，7，8 就可以忽略不看了，因为已经被满足，把它们标注为绿色，而 clause_of_pos_head(m) 中的子句 2，3，4，5 还没有被满足，这些子句头指针需要后移一位，转移后这些子句的头指针指向的文字就不是 \(m\) 了，所以需要将表格中 2，3，4，5 的位置换一下，更换位置的子句用红色标注，这次赋值后结果如下：
以此类推，当我们再给 \(p\) 赋 0 的时候，4，5 就可以不用考虑了，2，3 的头指针需再后移一位，2，3 在表格中的位置也需要更换，如下表所示：
此时已经满足条件（3）了，形成了两个单元子句，2 可以推出 \(q\) 必须赋 1，而 3 可以推 出 \(q\) 必须赋 0，产生冲突，BCP 完成任务。
2-literal watching
这个方法与 H/T 类似，也要为每个子句关联两个指针，与 H/T 不同之处是，这两个指针没有先后次序，也就没有所谓的头和尾的概念，这样设置会带来很多好 处，比如初始时这两个指针的位置可以是任意的（H/T 必须放在头和尾的位置），移动时也可 以向前后两个方向移动（H/T 中头指针只能向后移，尾指针只能向前移），回溯时无需改动指针的位置（W/T 回溯时需要把指针变回原来的位置）。但这种设置也有弊端，即只有遍历完所 有子句的文字后，才能识别出单元子句。相对应的，每个变量 v 也设置了两个 list 来分别存放以 watching 指针分为 v 以及非 v 的子句。接下来的操作都与 W/T 类似，当某个变量 v 赋值为 1 的话，watching 指针为 v 的子句可以忽略，watching 指针为非 v 的子句开始移动指针。
冲突分析与学习(analyze_conflict())
目的: 是找到冲突产生的原因，这就是分析的过程；并告诉 SAT 处 理器这些搜索空间是会产生冲突的，以后不要再踩这些坑了，这就是学习的过程。
早期解决冲突的方法就是回到上一层，将变量取值翻转，继续往下进行搜索，这也叫时序回 溯。但是这样做的结果很可能是冲突依旧存在，因为上一层的赋值也许并不是冲突产生的根本原 因，从而白白浪费一次计算的时间，效率非常低。目前主流的 SAT 处理器都采用基于冲突分析和学习的非时序回溯算法，它可以智能地分析 出冲突产生的根本原因，并回跳多个决策层，并把会导致冲突的子句加入到子句集中。
以下为一次冲突分析和学习的例子：
从图中我们可以看出，导致冲突产生的根本原因是第 1 层中将 \(x_9\) 赋为 0，在第 3 层中 将 \(x_{10}\) 赋为 0，在第 3 层中将 \(x_{11}\) 赋为 0，在第 6 层中将 \(x_1\) 赋为 1（\(x_1\)=1@6 表示在第 6 层将 x1 赋值为 1）。由此我们可以直接回溯到第 3 层进行重新赋值，而不是仅仅回溯到上一层，并且我们知道$(x_9 = 0) \cap (x_{10} = 0) \cap (x_{11} = 0) \cap (x_1 = 1) \(会导致冲突，我们就可以添 加子句\)w_{10} = (x_9 \cup x_{10} \cup x_{11} \cup !x_1)$ 添加进子句库中，在接下里的搜索过程中就能预防相同的变量赋值再次出现。
相关代码：
analyze_conflict(){
cl = find_conflicting_clause(); // 找到冲突子句 cl
while (!stop_criterion_met(cl)) {
lit = choose_literal(cl); // 选择一个文字
var = variable_of_literal( lit ); //这个文字所对应的变量命名为var
ante = antecedent( var ); // ante 为一个单元子句
cl = resolve(cl, ante, var);
// resolve()返回一个子句，除了 var 所对应的文字，这子句需要包含 cl 和 ante 中的
// 所有文字，其中 cl 是一个冲突子句，ante 是一个单元子句，所以返回的 cl 也是一个冲突子句
}
add_clause_to_database(cl);
back_dl = clause_asserting_level(cl);
return back_dl;
}
数据的存储方式
数据存储方式主要包括以下三种：
- 早期的链表和指针数组的存储方式
- 数组方式
- trie 存储方式
各个方法优缺点：
数组方式：数组采用连续空间存储，内存利用率和存储效率更高，局部访问能力更强。连续存储能提高，cache 命中率，从而增加计算速度。但不灵活。
链表方式：便于对子句进行增加和删除操作，存储效率低。因为缺少局部访问能力，往往会造成缓存丢失。
head/tail 和 2-literal watching 都被称为“膨胀数据结构”，它们都采用数组存储子句，最具竞争力。
以下主要介绍Tire数据存储方式。
Tire 是以三叉树的方式存储，它的每个内部节点都是都是一个变量的索引，从根节点到叶节点路径上的所有变量组成一个子句。每个节点的三条孩子边分别被标记为 Pos(positive)、Neg(negative)和 DC(dont care)，例如节点 v 的 Pos 边表示文字 v,Neg 边表示文字 !v ，DC 边表示没有这个变量的文字。Tire 的叶节点是 T 或者 F，T 表示 CNF 实例中有这个子句，F 表示没有这个子句。下面是文中给出的一个例子：
从图中我们可以清楚地看出这个 CNF 实例中有哪些子句，以 \(V_1\) 的左孩子的三条路径举例，第一条路径从根节点到叶节点为\((V_1，+)，(V_2，+)，T，\)表示\((V_1+V_2)\)这个子句是存在的；第二条路径从根节点到叶节点为\((V_1，+)，(V_2，-)，F，\)表示\((V_1+ !v_2)\) 这个子句是不存在的；第三条路径从根节点到叶节点为\((V_1，+)，(V_2，DC)，T，\)表 示\((V1)\)这个子句是不存在的，以此类推，可以得出所有的子句，$ (V_1+V_2)(V_1^{'}+V_3) (V_1^{'} +V_3{'})(V_2+V_3^{'})$。
Alloy
Alloy搜索的方法是：我给定一个定义域范围，对这个范围里所有的定义值都进行检查。本质是找语句中为假的可能，证明命题为假，因为为假说明命题一定错。
基础语法
sig: 类似于class
pred: 用来定义谓词
举例：
sig Platform {}
// there are "Platform" things
sig Man{ceiling, floor: platform}
// each Man has a ceiling and a floor Platform
pred Above(m, n: Man){
m.floor = n.ceiling
}
// Man m is "above" Man n if m's floor is n's ceiling
其中m,n:Man表示m,n都是Man的实例
fact: 用来定义已知条件
举例：
fact {
all m: Man | some n: Man | Above (n, m)
}
// one Man's ceiling is another Man's floor
该示例表示对于任意人来说，都存在某个人在他的上面
assert：表示假设
check: 用于检验
assert BelowToo{
all m: Man | some n: Man | Above(m, n)
}
// one Man's floor is another Man's ceiling ?
check BelowToo for 2
// check "one Man's floor is another MAn's ceiling"
// counterexample(反例) with 2 or less platform and men?
for 2：表示范围，用于举例的实例个数。这里表示有2个Man和两个platform。我们的目标是找出不满足BelowToo的反例来证明该命题是错误的。这里一共有2^4种可能，首先第一步，我们就要排除掉不满足fact的，因为fact是已知条件，如果不满足fact，则不考虑。然后再在剩下的结果中找出不满足假设的，若找到，则证明假设有错误。
找出的一个反例如下：
从此可以看出对于Man1，Man0在他的下面，但是对于Man0来说，没有人在他下面，所以这种情况就不满足假设。
注：当我们举例时要注意考虑所有情况，而不是自己假设存在的合理情况，比如这里，Man1就在自己的上面，但是它依旧符合fact
abstract：定义抽象，同java
all x: e | F // all: F holds for every x in e
all x: e1, y: e2 | F
all x, y: e | F
all disj x, y: e | F
some: F holds for at least one x in e
no: F holds for no x in e
one: F holds for exactly one x in e
lone: F holds for at most one x in e
set: any number
disj: short of distinct
举例：
some n: Name, a: Address | a in n.address
// some name maps to some address — address book not empty
no n: Name | n in n.^address
// no name can be reached by lookups from itself — address book acyclic
all n: Name | lone a: Address | a in n.address
// every name maps to at most one address — address book is functional
all n: Name | no disj a, a': Address | (a + a') in n.address
// no name maps to two or more distinct addresses — same as above
RecentlyUsed: set Name
// RecentlyUsed is a subset of the set Name
^: 表示传递闭包
+: 表示并集
-: 表示差集
in: 表示子集
.: 表示点乘，和数据库中的left join相同，但是结果中会去掉相同的那一项
#r: r中的元组数
&: intersection，交集
=: 表示判等
->: 交叉商，笛卡尔乘积
[]: 相当于按key取值
~: 转置
*: 自反传递闭包
{(N0)} + {(N1)} = {(N0), (N1)}
{(N0)} = {(N1)} = false
{(N0)} in none = false
{N0}.{N0, N1} = {N1}
{(N1), (N2)} & {(N0), (N2)} = {(N2)}
{(N0, A0), (N1, A1)} & {(N0, A0), (N1, A2)} = {(N0, A0)}
{(N0), (N1)} -> {(A0), (A1)} = {(N0, A0), (N0, A1), (N1, A0), (N1, A1)}
e1[e2] = e2.e1
a.b.c[d] = d.(a.b.c)
{(N0, A0), (N1, A0), (N2, A2)}[{(N1)}] = {(A0)}
~{(N0, N1), (N1, N2), (N2, N3)} = {(N1, N0), (N2, N1), (N3, N2)}
^{(N0, N1), (N1, N2), (N2, N3)} = {(N0, N1), (N0, N2), (N0, N3), (N1, N2), (N1, N3), (N2, N3)}
*{(N0, N1), (N1, N2), (N2, N3)} = {(N0, N0), (N0, N1), (N0, N2), (N0, N3), (N1, N1),
(N1, N2), (N1, N3), (N2, N2), (N2, N3), (N3, N3)}
<:: 域约束，第一个集合中元组后面的值在在后面指定的集合中
:>: 范围约束，后面集合中元组前面的一个值在后面指定的集合中
++: 相当于继承+重载
p ++ q = p – (domain(q) <: p) + q
{(N0, N1), (N1, N2), (N2, A0)} :> {(A0)} = {(N2, A0)}
{(N0, N1), (N1, N2), (N2, A0)} :> {(N0), (N1), (N2)} = {(N0, N1), (N1, N2)}
{(N0), (N1)} <: {(N0, N1), (N1, N2), (N2, A0)} = {(N0, N1), (N1, N2)}
{(N0, N1), (N1, N2), (N2, A0)} ++ {(N0, N1), (N1, A0)} = {(N0, N1), (N1, A0), (N2, A0)}
let: 定义局部变量
if f then e1 else e2: if语句
all n: Name |
some n.workAddress => n.address = n.workAddress
else n.address = n.homeAddress
all n: Name |
let w = n.workAddress, a = n.address |
some w => a = w else a = n.homeAddress
all n: Name |
let w = n.workAddress |
n.address = if some w then w else n.homeAddress
all n: Name |
n.address = let w = n.workAddress |
if some w then w else n.homeAddress
团
团与最大团：无向图G中任何两个节点均有边连接节点子集称为团。若C是无向图G的一个团，并且不能再加进任何一个G的结点使其成为一个更大的团，则称此C为最大团。也就是最大团就是不能被其他团所包含的一个团。
团：
{X2,X4},{X1,X2},{X3,X5},{x1,x3},{x2,x5},
最大团：
{X2,X4},{X1,X2},{X3,X5},{x1,x3},
条件随机场
判别模型: 根据所提供的features进行学习，最后在不同的数据分类之间画出了一个明显或者比较明显的边界。
生成模型: 先从训练样本数据中，学习所有的数据的分布情况，最终确定一个联合分布，来作为所有的输入数据的分布。对于新的样本数据（inference）对应的结果，通过学习到的模型的联合分布 ，再结合新样本的特征，通过条件概率就能计算出来 。
有向图的联合概率分布：
例如：
图中的概率如下：
基于计数器的BCP算法是一种容易理解与实现的 BCP 算法。假设每个子句（clause）拥有两个计数器（counter），一个用于子句中的值1字面量（literal）的计数，一个用于子句中的值0字面量的计数。每个变量（variable）都有两个列表，其中包含所有子句，其中该变量分别显示为正值和负值。当为变量分配一个值时，包含此字面量的所有子句将更新其计数器。设实例具有m个子句（clause）和n个变量（variable），并且平均每个子句具有l个字面值（literal）。那么每当给一个变量赋值时，有多少个计数器（counter）需要更新。简要概述分析过程。
答：l/n表示每个变量平均在每个子句中出现的次数，然后乘以子句的数量m，所以，有一个变量被赋值的时候，会有平均 ml/n 个计数器需要更新，在回溯的时候，每取消一个变量赋值，也会平均有 ml/n 个计数器的更新。
参考链接
© 12/28/2019 contributed by Fan zhonghao
