二次函数+圆相结合的定值问题
专题：二次函数+圆\(\qquad \qquad\)题型：动点问题+定值问题\(\qquad \qquad\)难度系数：★★★★★
【题目】
（24-25九年级·湖北武汉）如图1，在平面直角坐标系\(xOy\)中，开口向上的抛物线\(y=ax^2+bx+c\)与\(x\)轴交于\(A\)，\(B(1,0)\)两点，与\(y\)轴交于点\(C\)，且\(OA=OC=3OB\)．
(2)若点\(G\)为抛物线上一点，当\(∠GBA=∠BCO\)时，直接写出点\(G\)的坐标；
(3)如图2，若\(M\)为线段\(AB\)的中点，\(N\)为抛物线的顶点，\(⊙T\)经过\(A\)，\(B\)，\(C\)三点．经过圆心\(T\)的直线交抛物线于\(D\)，\(E\)两点，直线\(ND\)交\(x\)轴于点\(P\)，直线\(NE\)交\(x\)轴于点\(Q\)．求\(MP·MQ\)的值．
【详解】
（1）解：\(\because B(1,0)\)，\(\therefore OB=1\)，
\(\therefore OA=OC=3OB=3\)，
\(\therefore A(-3,0)\)，\(C(0,-3)\)，
将\(A(-3,0)\)，\(B(1,0)\)，\(C(0,-3)\)代入\(y=ax^2+bx+c\)
得：\(\left\{\begin{array}{c} 0=9 a-3 b+c \\ 0=a+b+c \\ c=-3 \end{array}\right.\)，解得\(\left\{\begin{array}{c} a=1 \\ b=2 \\ c=-3 \end{array}\right.\)，
\(\therefore\)该抛物线的函数表达式为\(y=x^2+2x-3\)；
（2）分析：\(∠BCO\)是已知角，易知\(G_1\)，\(G_2\)的大致位置，如下图，那如何求坐标呢？
虽然\(∠BCO\)是已知角，但不是特殊角，下面有两种方法求解
方法1 构造全等三角形，取点\(M(-2,1)\)，过点\(M\)作\(MP⊥x\)轴，易得\(△BOC≌△MPB\)，再求出直线\(MB\)方程，与抛物线解析式联立便可求出点\(G_1\)的坐标；同理求出点\(G_1\)的坐标.
方法2 过点\(G_1\)作\(G_1 P⊥x\)轴，易得\(△BOC∼△G_1 PB\)，则\(\dfrac{G_1 P}{B P}=\dfrac{O B}{O C}=\dfrac{1}{3}\)，
设\(G_1 (n,n^2+2n-3)\)的坐标，
则\(\dfrac{G_1 P}{B P}=\left|\dfrac{n^2+2 n-3}{1-n}\right|=\dfrac{1}{3}.\)，解得\(n=-\dfrac{10}{3}\)或\(-\dfrac{8}{3}\)，
则\(G_1\left(-\dfrac{10}{3}, \dfrac{13}{9}\right)\)，\(G_2\left(-\dfrac{8}{3},-\dfrac{11}{9}\right)\).
等角问题，主要利用全等三角形或相似三角形处理；本题中显然相似三角形更简便.
（3）分析：求\(MP·MQ\)的值，应该是个定值，即根据题中的运动情况求定值问题；
方法主要有代数法与几何法.
方法1 代数法
第一步：分析题中的运动情况
抛物线是确定的，\(A,B,C\)三点是确定的，过该三点的圆是确定的，
根据三角形外接圆的定义可知，
圆心\(T\)在\(AB\)的垂直平分线\(x=-1\)，与\(AC\)的垂直平分线\(y=x\)的交点处，
\(\therefore T(-1,-1)\)，
其他直线与点都是变化的，源头是直线\(TE\)(绕着定点\(T\)旋转的直线)，
第二步：分析所求的量
所求量为\(MP·MQ=|1+x_P ||1+x_Q |=|(1+x_P )(1+x_Q )|\)，
第三步：引入变量
引入变量表示\(|(1+x_P )(1+x_Q )|\)，
由于源头是直线\(TE\)，可设直线\(TE\)方程为\(y=k(x+1)-1\)，
引入的变量即\(k\)，再想办法用\(k\)表示\(x_P\)与\(x_Q\)，证明\(|(1+x_P )(1+x_Q )|\)的结果与\(k\)无关便可；
(也可想办法直接找到\(x_P\)与\(x_Q\)的关系，或设点\(E(n,n^2+2n-3)\)，用\(n\)表示\(x_P\)与\(x_Q\))
直线若知道与一点，或两个点，直线方程便确定了，给引入变量提供思路.
如何\(k\)表示\(x_P\)与\(x_Q\)呢？
那想下点\(P\)与\(Q\)是如何产生的就可知，
即要求出直线\(PN\)与\(QN\)方程\(⇔\)由于点\(N\)是定点，求出点\(D\)、\(E\)坐标（显然是用\(k\)表示）.
分析动点的产生，“逆着回去分析”.
具体的解题过程
解：\(MP⋅MQ=\dfrac{16}{3}\)；理由如下：
\(\because ⊙T\)经过\(A\),\(B\),\(C\)三点，
\(\therefore\)圆心\(T\)在\(AB\)的垂直平分线\(x=-1\)，与\(AC\)的垂直平分线\(y=x\)的交点处，
选两条简单的直线求.
\(\therefore T(-1,-1)\)．
设经过\(T(-1,-1)\)的直线\(DE\)解析式为\(y=k(x+1)-1\)，
直线方程采取了点斜式求解，快捷些.
联立得：\(\left\{\begin{array}{c} y=k(x+1)-1 \\ y=x^2+2 x-3 \end{array}\right.\)，即：\(x^2+(2-k)x-2-k=0\)（※），
\(\because D\),\(E\)为抛物线上两点，\(\therefore\)设\(D(m,m^2+2m-3)\)，\(E(n,n^2+2n-3)\)，
\(\therefore m+n=k-2\)，\(mn=-k-2\)．
方程（※）很难解出来，故很难用\(k\)表示点\(D\),\(E\)的坐标，从而\(x_P\)与\(x_Q\)很难用\(k\)表示；这里采取“设而不求”，用了韦达定理.
\(\because N\)为抛物线的顶点，\(\therefore N(-1,-4)\)，
\(\because D(m,m^2+2m-3)\)，
\(\therefore l_{ND}\)表示为\(y=\dfrac{m^2+2 m-3+4}{m+1}(x+1)-4\)，即：\(y=(m+1)(x+1)-4\)，
用了斜率公式与点斜式求直线方程.
\(\because\)直线\(ND\)交\(x\)轴于点\(P\)，
\(\therefore\)令\(y=0\)，得\((m+1)(x+1)-4=0\)，解得\(x_p=\dfrac{4}{m+1}-1\)，
\(\therefore M P=\left|x_p+1\right|=\left|\dfrac{4}{m+1}-1+1\right|=\left|\dfrac{4}{m+1}\right|\)，
同理\(M Q=\left|\dfrac{4}{n+1}\right|\)，
\(\therefore M P \cdot M Q=\left|\dfrac{4}{m+1}\right| \cdot\left|\dfrac{4}{n+1}\right|=\left|\dfrac{16}{(m+1)(n+1)}\right|=\left|\dfrac{16}{m n+m+n+1}\right|\)\(=\left|\dfrac{16}{k-2-k-2+1}\right|=\dfrac{16}{3}\)．
由韦达定理得到\(m\)，\(n\)的关系把结果化简得到\(MP⋅MQ\)为定值.
故\(MP⋅MQ\)的值为\(\dfrac{16}{3}\)．
方法2 几何法
几何法想到了圆的相交弦定理（不太可能）、相似（尝试了直接找与\(MP\)、\(MQ\)有关的三角形或间接法，都失败）.
总结
- 第二问，处理同角问题，主要是利用全等三角形或相似三角形求解便可；
- 第三问，处理定值问题，首先要了解题中哪些量是确定的哪些是变化，变化的源头在哪里
- 处理定值问题，大致的思路是代数法与几何法：代数法优点是较为“套路”，即引入变量表示所求量证明其是定值（引入什么量简便，过程中有时候要采取“设而不求”的技巧），缺点是计算量可能较大；几何法主要是通过观察利用几何的知识点求解，优点是你观察出来的话解题过程会较为简便，缺点是题目复杂较难观察出来.
- 拓展知识：经过点\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)的直线斜率\(k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)；直线的点斜式：若直线的斜率为\(k\)，且经过点\(P(x_P,y_P)\)，则直线方程为\(y=k(x-x_P )+y_P\).
