抽象函数+能成立问题

专题：函数\(\qquad \qquad\) 题型：抽象函数+能成立问题\(\qquad \qquad\) 难度系数：★★★

题目

已知\(f(x+y)=f(x)+f(y)-2\)，\(f(1)=4\)，当\(x>0\)时，\(f(x)>2\)，若存在\(x∈[1,2]\)，使得\(f(ax^2-4x)+f(2x)=1\)，则\(a\)的取值范围为 \(\underline{\quad \quad}\) .

（先思考后看分析，更有收获）

 
 

思考痕迹

这是抽象函数的问题，易得\(f(ax^2-4x)+f(2x)=1⇒f(ax^2-2x)=-1\)，则要想办法求出\(m\)满足\(f(m)=-1\)，有些难度，即使求出得到\(f(ax^2-2x)=f(m)\)，也不能马上认为\(ax^2-2x=m\)，需要知道\(f(x)\)是单调函数才行.
 

详解

设\(g(x)=f(x)-2\)，这个是如何想到的呢？

依题意得，\(g(x+y)=g(x)+g(y)，g(1)=f(1)-2=2\)，当\(x>0\)时，\(g(x)>0\)，

若存在\(x∈[1,2]\)，使得\(g(ax^2-4x)+g(2x)=-3⇒g(ax^2-2x)=-3\)，

接着要求出\(m\)满足\(g(m)=-3\)和证明函数\(g(x)\)是单调函数.

设\(x_1>x_2\)，则\(x_1-x_2>0\)，\(g(x_1-x_2 )>0\)

所以\(g(x_1 )-g(x_2 )=g(x_1-x_2 )>0\)，即\(g(x)\)是增函数，

证明抽象函数的单调性要用上函数单调性的定义.

因为\(g(x+y)=g(x)+g(y)\)，

所以\(g(2)=g(1)+g(1)=4\)，\(g(3)=g(1)+g(2)=6\)，

又因为\(g(3)=g\left(\dfrac{3}{2}\right)+g\left(\dfrac{3}{2}\right)=2 g\left(\dfrac{3}{2}\right)\)，所以\(g\left(\dfrac{3}{2}\right)=3\)，

抽象函数的赋值，理解抽象函数的结构，大胆取值尝试.

因为\(g(x+y)=g(x)+g(y)\)，

令\(y=-x\)，得\(g(0)=g(x)+g(-x)\)，所以\(g(-x)=-g(x)\)，即\(g(x)\)是奇函数，

经过不断的赋值尝试，较难得到\(g(m)=-3\)，想到了函数的奇偶性.

又因为\(g(x)\)是奇函数，所以\(g\left(-\dfrac{3}{2}\right)=-3\)，

则存在\(x∈[1,2]\)，使得\(g(ax^2-2x)=g\left(-\dfrac{3}{2}\right)\)，

因为\(g(x)\)是增函数，所以存在\(x∈[1,2]\)，\(ax^2-2x=-\dfrac{3}{2}\)，

所以存在\(x∈[1,2]\)，\(a=\dfrac{2 x-\dfrac{3}{2}}{x^2}=-\dfrac{3}{2} \cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)^2+2 \cdot \dfrac{1}{x}=-\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{3}\right)^2+\dfrac{2}{3}\)成立，

分离参数法是求解恒成立或能成立问题的一大利器，配方法.

因为\(x∈[1,2]\)，所以\(-\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{3}\right)^2+\dfrac{2}{3} \in\left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}\right]\)，

所以\(a \in\left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}\right]\).
 

略解

观察抽象函数\(f(x+y)=f(x)+f(y)-2\)，可知一次函数\(f(x)=kx+b\)符合，

\(f(x)=kx+b\)满足抽象函数方程，但不能说\(f(x)\)就是一次函数.

则\(k(x+y)+b=kx+b+ky+b-2=k(x+y)+2b-2\)，所以\(b=2\)，

又因为\(f(1)=4\)，所以\(k+b=4\)，所以\(k=2\)，

所以\(f(x)=2x+2\)，它也符合条件“当\(x>0\)时，\(f(x)>2\)”，

存在\(x∈[1,2]\)，使得\(f(ax^2-4x)+f(2x)=1\)，

\(⇔\)存在\(x∈[1,2]\)，使得\(2(ax^2-4x)+2+4x+2=1⇒2ax^2-4x+3=0\)，

同上得\(a \in\left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}\right]\).

这略解不太严谨，但过程相当简洁.也很好解释了上解中的妙手\(g(x)=f(x)-2\).
 

常见抽象函数方程

抽象函数方程	对应函数
\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)	正比例函数\(f(x)=kx(x≠0)\)
\(f(xy)=f(x)f(y)\)或\(f\left(\dfrac{x}{y}\right)=\dfrac{f(x)}{f(y)}\)	幂函数\(f(x)=x^α\)
\(f(x+y)=f(x)f(y)\)或\(f(x-y)=\dfrac{f(x)}{f(y)}\)	指数函数\(f(x)=a^x (a>0且a≠1)\)
\(f(xy)=f(x)+f(y)\)或\(f\left(\dfrac{x}{y}\right)=f(x)-f(y)\)	对数函数\(f(x)=\log_a⁡x (a>0且a≠1)\)