分段函数+函数性质的新定义问题
专题：分段函数+函数性质 \(\qquad \qquad\) 题型：新定义问题 \(\qquad \qquad\) 难度系数：★★★
【题目】
所谓图形\(D\)完全覆盖曲线\(G\)是指\(G\)中的每一个点都落在\(D\)的内部或边界，现用一个有两个顶点在\(x\)轴上的矩形区域完全覆盖函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l} -4 x(x-1), 0 \leq x \leq 1 \\ 4 x(x+1),-1 \leq x<0 \end{array}\right.\)，\(x\in\left[-1,1\right]\)的图像，则这个矩形对角线长的最小值为（ ）.
A．\(\dfrac{256}{205}\) \(\qquad \qquad\) B．\(\dfrac{256}{225}\) \(\qquad \qquad\) C．\(\dfrac{289}{240}\) \(\qquad \qquad\) D．\(\dfrac{289}{120}\)
【详解】
依题意，可知所求矩形也是关于原点对称.
设矩形在\(x\)轴上方的点为\(A\)，\(x\)轴上两点分别为\(B\)、\(C\)（\(B\)在\(C\)左侧）.
由对称性：只考虑\(y>0\)，
利用对称性，减少讨论范围，减少计算.
依题意可知，当矩形的对角线\(|BC|\)取到最小值时，矩形四边均与\(f\left(x\right)\)的图像相切.
还是由于对称性，对角线\(\left|BC\right|=2\left|OB\right|=-2x_B\)，即求出点的横坐标便可.
设直线\(AB：y=k_1x+m_1\)，\(x_B=-\dfrac{m_1}{k_1} \)
联立方程\(\left\{\begin{array}{c} y=k_1 x+m_1 \\ y=-4 x(x-1) \end{array}\right.\)得\(4x^2+\left(k_1-4\right)x+m_1=0\)，
由于相切则\(\Delta=0\Rightarrow\left(k_1-4\right)^2-4\cdot4\cdot m_1=0\Rightarrow m_1=\dfrac{\left(k_1-4\right)^2}{16}\)，
利用高二学的导数，会简单些.
此时\(x_B=-\dfrac{m_1}{k_1}=-\dfrac{\left(k_1-4\right)^2}{16k_1}\)， 求\(k_1\)便可得出答案.
设直线设直线\(AC：y=k_2x+m_2\)，
同理可得\(x_C=-\dfrac{m_2}{k_2}=-\dfrac{\left(k_2-4\right)^2}{16k_2}\)，
由于点\(B\)与点\(C\)关于原点对称，所以\(x_B+x_C=0\)，
即\(-\dfrac{\left(k_1-4\right)^2}{16k_1}+-\dfrac{\left(k_2-4\right)^2}{16k_2}=0\Rightarrow k_1+k_2=-\dfrac{16}{15}\)，
由于\(AB\bot AC\)，则有\(k_1k_2=-1\)，
直线\(l_1\bot l_2\)，则\(k_1k_2=-1\)；直线\(l_1||l_2\)，则\(k_1=k_2\).
又\(k_1+k_2=-\dfrac{16}{15}\)，
所以\(k_1\),\(k_2\)是方程\(k^2+\dfrac{16}{15}k-1=0\)的两个实数根，
解得\(k_1=\dfrac{3}{5}，k_2=-\dfrac{5}{3}.\)
所以矩形对角线的最小值为\(\left|BC\right|=2\left|OB\right|=-2x_B=-2\left[-\dfrac{\left(k_1-4\right)^2}{16k_1}\right]=\dfrac{289}{120}\).
故选：\(D\).
总结
- 对于涉及图象，多数形结合，注意观察图像的特点，比如点\(B\)与点\(C\)关于原点对称得\(x_B+x_C=0\)是关键；
- 对于函数有中心对称或轴对称，均可讨论一边情况便可；在运算中，遇到同理问题，要避免重复计算；
- 充分利用已知条件，比如题中的矩形，前面用了对称性只用了“平行四边形”的性质，那容易想到要用上\(AB\bot AC\)或对角线相等；
- 对问题的分析，要懂得层层“转化”：要求什么只需求什么，由难化简；
- 本题还是其他想法，比如\(AB\bot AC\)的利用能否求出点\(A\)的坐标呢？不用\(k_1k_2=-1\)，用射影定理是否可行？一题多解有助于思维的提高！
