二次函数与圆的综合（初三）

专题：二次函数 + 圆 $\qquad \qquad$ 题型：隐圆 + 轨迹 $\qquad \qquad$ 难度系数：★★★★★

（2024 年湖北模拟预测）如图，抛物线 $y=-x^2+3x+4$ 与 $x$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1) 直接写出 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点的坐标；

(2) 如图（1）， $P$ 是抛物线上异于 $A$ ， $B$ 的一点，将点 $B$ 绕点 $P$ 顺时针旋转 $45°$ 得到点 $Q$ ，若点 $Q$ 恰好在直线上，求点 $P$ 的坐标；

(3) 如图（2）， $M$ ， $N$ 是抛物线上异于 $B$ ， $C$ 的两个动点，直线 $BN$ 与直线 $CM$ 交于点 $T$ ，若直线 $MN$ 经过定点 $\left(1,3\right)$ ，求证：点 $T$ 的运动轨迹是一条定直线．

【详解】
（1）解：对于抛物线 $y=-x^2+3x+4$ ，当 $x=0$ 时， $y=4$ ，则 $C\left(0,4\right)$ ，

当 $y=0$ ，即 $-x^2+3x+4=0$ ，解得： $x_1=-1$ ， $x_2=4$ $∴ A\left(-1,0\right),B\left(4,0\right)$ .

（2）解：

典型的 “定弦定角的隐圆问题”，依题意可知，点 $P$ 在以 $AB=5$ 为弦，圆周角为 $\angle APB=45°$ 的上，则点 $P$ 为抛物线与 $\odot D$ 的交点，即 $PD$ 等于圆的半径.

如图所示，以 $AB$ 为斜边向上作等腰直角三角形 $\triangle ABD$ ，

$∵A\left(-1,0\right),B\left(4,0\right)$ ，则 $AB=5$ ， $∴x_D=\dfrac{-1+4}{2}=\dfrac{3}{5}$ ， $y_D=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{5}{2}$ ，

$∴D\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2}\right)$
确定圆心 $D$ 坐标和求半径.

依题意， $\angle APB=45° =\dfrac{1}{2}\angle ADB$ ，

$∴P$ 是半径为 $\dfrac{5}{2}\sqrt2$ 的 $\odot D$ 与抛物线的交点，

设 $P\left(m,-m^2+3m+4\right)$ ，其中 $-1<m<4$ ，

$∴\left(m-\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(-m^2+3m+4-\dfrac{5}{2}\right)^2=\left(\dfrac{5}{2}\sqrt2\right)^2$ ，

由 $PD=r=\dfrac{5}{2}\sqrt2$ ，通过设元求点 $P$ 坐标.

整理得 $\left(m+1\right)\left(m-4\right)\left(m-2\right)\left(m-1\right)=0$ ，解得： $m=\pm1,2,4$ ，

$∵-1<m<4$ ， $∴m=1$ 或 $m=2$ ，

则 $P\left(1,6\right)$ 或 $P\left(2,6\right)$ ；

（3）要点 1：要证 “点 $T\left(m,n\right)$ 的运动轨迹是一条定直线”，即只需要证明 $m,n$ 存在一次函数关系或 $m,n$ 其中一个是定值．

要点 2：要确定动点 $T$ 的轨迹，需要了解它运动的源头和它是如何产生的；

方法 1 ：逆向思考，动点 $T$ 是直线 $NB$ 和 $MC$ 的交点，则可设法求出两条直线的方程，再联立便可知 $m,n$ 的关系；

要求直线 $NB$ 和 $MC$ 方程，这可设点 $M(x_1,y_1)$ 和 $N(x_2,y_2)$ ，由直线 $MN$ 联立抛物线可知 $x_1,y_1,\ x_2,y_2$ 的关系；

$x_1,y_1,\ x_2,y_2$ 表示 $m,n$ 便可得到 $m,n$ 的关系，确定轨迹.

方法 2 ：设点 $T\left(m,n\right)$ ，由点 $T$ 和点 $C$ 得到直线 $MC$ 的方程，由点 $T$ 和点 $B$ 得到直线 $NB$ 的方程；

两条直线方程分别与抛物线联立方程得到点 $M，N$ 的坐标；

再利用直线 $MN$ 过点 $(1,3)$ 得到 $m,n$ 的关系从而确定轨迹.

解：设 $T\left(m,n\right)$ ，

$∵B(4,0)$ ， $C\left(0,4\right)$ ，

设直线 $TB,TC$ 的解析式分别为 $y_1=k_1x+b_1$ ， $y_2=k_2x+b_2$ ，

利用高中的直线的点斜式方程，求解会简单些.

$\therefore\left\{\begin{array}{l} 4 k_1+b_1=0 \\ m k_1+b_1=n \end{array}\right.$ ， $\left\{\begin{array}{c} b_2=4 \\ m k_2+b_2=n \end{array}\right.$ ，

解得： $\left\{\begin{array}{l} k_1=\dfrac{n}{m-4} \\ b_2=\dfrac{4 n}{4-m} \end{array}\right.$ ， $\left\{\begin{array}{c} k_2=\dfrac{n-4}{m} \\ b_2=4 \end{array}\right.$ ，

$\therefore y_1=\dfrac{n}{m-4} x+\frac{4 n}{4-m}$ ， $y_2=\dfrac{n-4}{m} x+4$

联立 $\left\{\begin{array}{l} y_1=\frac{n}{m-4} x+\frac{4 n}{4-m} \\ y=-x^2+3 x+4 \end{array}\right.$ ， $\left\{\begin{array}{c} y_2=\frac{n-4}{m} x+4 \\ y=-x^2+3 x+4 \end{array}\right.$ ，

消去 $y$ 得： $x^2+\left(\dfrac{n}{m-4}-3\right) x-4+\dfrac{4 n}{4-m}=0$ ， $x^2+\left(\dfrac{n-4}{m}-3\right) x=0$ ，

$\therefore x_B+x_N=3-\dfrac{n}{m-4}$ ，即 $x_N=-\dfrac{n}{m-4}-1$ ，

由 $x^2+\left(\dfrac{n-4}{m}-3\right) x=0$ 可得 $x_M=3-\dfrac{n-4}{m}$ ，

两直线方程与抛物线联立，可求点 $M，N$ 的坐标；而仅求它们横坐标会简单些，不要死求，注意到点 $B,C$ 是定点，用韦达定理简单些.

依题意，直线 $MN$ 的解析式为 $y=k(x-1)+3$ ，即 $y=kx-k+3$ ，

联立 $\left\{\begin{array}{c} y=k x-k+3 \\ y=-x^2+3 x+4 \end{array}\right.$ ，则 $x^2+\left(k-3\right)x-\left(k+1\right)=0$ ，

$∴x_M+x_N=3-k$ ， $x_M\cdot x_N=-k-1$ ，

利用韦达定理是常规手段.

$\therefore\left\{\begin{array}{c} \left(-\dfrac{n}{m-4}-1\right)\left(3-\dfrac{n-4}{m}\right)=-k-1 \\ -\dfrac{n}{m-4}-1+3-\dfrac{n-4}{m}=3-k \end{array}\right.$ ，