二次函数与圆的综合(初三)

专题:二次函数 + 圆 题型:隐圆 + 轨迹 难度系数:★★★★★
 

(2024 年湖北模拟预测)如图,抛物线 y=x2+3x+4 x 轴分别交于 AB 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C

(1) 直接写出 ABC 三点的坐标;

(2) 如图(1),P 是抛物线上异于 AB 的一点,将点 B 绕点 P 顺时针旋转 45° 得到点 Q,若点 Q 恰好在直线上,求点 P 的坐标;

(3) 如图(2),MN 是抛物线上异于 BC 的两个动点,直线 BN 与直线 CM 交于点 T,若直线 MN 经过定点 (1,3),求证:点 T 的运动轨迹是一条定直线.


 

【详解】
(1)解:对于抛物线 y=x2+3x+4,当 x=0 时,y=4,则 C(0,4)

y=0,即 x2+3x+4=0,解得:x1=1x2=4A(1,0),B(4,0).
 

(2)解:

典型的 “定弦定角的隐圆问题”,依题意可知,点 P 在以 AB=5 为弦,圆周角为 APB=45° 的上,则点 P 为抛物线与 D 的交点,即 PD 等于圆的半径.

如图所示,以 AB 为斜边向上作等腰直角三角形 ABD

A(1,0),B(4,0),则 AB=5xD=1+42=35yD=12AB=52

D(32,52)
确定圆心 D 坐标和求半径.

依题意,APB=45°=12ADB

P 是半径为 522 D 与抛物线的交点,

P(m,m2+3m+4),其中 1<m<4

(m32)2+(m2+3m+452)2=(522)2

PD=r=522,通过设元求点 P 坐标.

整理得 (m+1)(m4)(m2)(m1)=0,解得:m=±1,2,4

1<m<4m=1 m=2

P(1,6) P(2,6)
 

(3)要点 1:要证 “点 T(m,n) 的运动轨迹是一条定直线”,即只需要证明 m,n 存在一次函数关系或 m,n 其中一个是定值.

要点 2:要确定动点 T 的轨迹,需要了解它运动的源头和它是如何产生的;

方法 1 逆向思考,动点 T 是直线 NB MC 的交点,则可设法求出两条直线的方程,再联立便可知 m,n 的关系;

要求直线 NB MC 方程,这可设点 M(x1,y1) N(x2,y2),由直线 MN 联立抛物线可知 x1,y1, x2,y2 的关系;

x1,y1, x2,y2 表示 m,n 便可得到 m,n 的关系,确定轨迹.

方法 2 设点 T(m,n),由点 T 和点 C 得到直线 MC 的方程,由点 T 和点 B 得到直线 NB 的方程;

两条直线方程分别与抛物线联立方程得到点 MN 的坐标;

再利用直线 MN 过点 (1,3) 得到 m,n 的关系从而确定轨迹.

解:设 T(m,n)

B(4,0)C(0,4)

设直线 TB,TC 的解析式分别为 y1=k1x+b1y2=k2x+b2

利用高中的直线的点斜式方程,求解会简单些.

{4k1+b1=0mk1+b1=n{b2=4mk2+b2=n

解得:{k1=nm4b2=4n4m{k2=n4mb2=4

y1=nm4x+4n4my2=n4mx+4

联立 {y1=nm4x+4n4my=x2+3x+4{y2=n4mx+4y=x2+3x+4

消去 y 得:x2+(nm43)x4+4n4m=0x2+(n4m3)x=0

xB+xN=3nm4,即 xN=nm41

x2+(n4m3)x=0 可得 xM=3n4m

两直线方程与抛物线联立,可求点 MN 的坐标;而仅求它们横坐标会简单些,不要死求,注意到点 B,C 是定点,用韦达定理简单些.

依题意,直线 MN 的解析式为 y=k(x1)+3,即 y=kxk+3

联立 {y=kxk+3y=x2+3x+4,则 x2+(k3)x(k+1)=0

xM+xN=3kxMxN=k1

利用韦达定理是常规手段.

{(nm41)(3n4m)=k1nm41+3n4m=3k

消去 k 得:nm4+n4m+1=(nm4+1)(3n4m)1

解得:n=m+4(与直线 BC 重合,故舍去)或 n=m+8.

即点 T 的运动轨迹是一条定直线 y=x+8

消参 k m,n 的关系式,确定动点 T 的轨迹.

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