专题:二次函数 + 圆 题型:隐圆 + 轨迹 难度系数:★★★★★
(2024 年湖北模拟预测)如图,抛物线 y=−x2+3x+4 与 x 轴分别交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C.
(1) 直接写出 A,B,C 三点的坐标;
(2) 如图(1),P 是抛物线上异于 A,B 的一点,将点 B 绕点 P 顺时针旋转 45° 得到点 Q,若点 Q 恰好在直线上,求点 P 的坐标;
(3) 如图(2),M,N 是抛物线上异于 B,C 的两个动点,直线 BN 与直线 CM 交于点 T,若直线 MN 经过定点 (1,3),求证:点 T 的运动轨迹是一条定直线.

【详解】
(1)解:对于抛物线 y=−x2+3x+4,当 x=0 时,y=4,则 C(0,4),
当 y=0,即 −x2+3x+4=0,解得:x1=−1,x2=4∴A(−1,0),B(4,0).
(2)解:

典型的 “定弦定角的隐圆问题”,依题意可知,点 P 在以 AB=5 为弦,圆周角为 ∠APB=45° 的上,则点 P 为抛物线与 ⊙D 的交点,即 PD 等于圆的半径.
如图所示,以 AB 为斜边向上作等腰直角三角形 △ABD,

∵A(−1,0),B(4,0),则 AB=5,∴xD=−1+42=35,yD=12AB=52,
∴D(32,52)
确定圆心 D 坐标和求半径.
依题意,∠APB=45°=12∠ADB,
∴P 是半径为 52√2 的 ⊙D 与抛物线的交点,
设 P(m,−m2+3m+4),其中 −1<m<4,
∴(m−32)2+(−m2+3m+4−52)2=(52√2)2,
由 PD=r=52√2,通过设元求点 P 坐标.
整理得 (m+1)(m−4)(m−2)(m−1)=0,解得:m=±1,2,4,
∵−1<m<4,∴m=1 或 m=2,
则 P(1,6) 或 P(2,6);
(3)要点 1:要证 “点 T(m,n) 的运动轨迹是一条定直线”,即只需要证明 m,n 存在一次函数关系或 m,n 其中一个是定值.
要点 2:要确定动点 T 的轨迹,需要了解它运动的源头和它是如何产生的;
方法 1 :逆向思考,动点 T 是直线 NB 和 MC 的交点,则可设法求出两条直线的方程,再联立便可知 m,n 的关系;
要求直线 NB 和 MC 方程,这可设点 M(x1,y1) 和 N(x2,y2),由直线 MN 联立抛物线可知 x1,y1, x2,y2 的关系;
x1,y1, x2,y2 表示 m,n 便可得到 m,n 的关系,确定轨迹.
方法 2 :设点 T(m,n),由点 T 和点 C 得到直线 MC 的方程,由点 T 和点 B 得到直线 NB 的方程;
两条直线方程分别与抛物线联立方程得到点 M,N 的坐标;
再利用直线 MN 过点 (1,3) 得到 m,n 的关系从而确定轨迹.
解:设 T(m,n),
∵B(4,0),C(0,4),
设直线 TB,TC 的解析式分别为 y1=k1x+b1,y2=k2x+b2,
利用高中的直线的点斜式方程,求解会简单些.
∴{4k1+b1=0mk1+b1=n,{b2=4mk2+b2=n,
解得:⎧⎪
⎪⎨⎪
⎪⎩k1=nm−4b2=4n4−m,⎧⎨⎩k2=n−4mb2=4,
∴y1=nm−4x+4n4−m,y2=n−4mx+4
联立 {y1=nm−4x+4n4−my=−x2+3x+4,{y2=n−4mx+4y=−x2+3x+4,
消去 y 得:x2+(nm−4−3)x−4+4n4−m=0,x2+(n−4m−3)x=0,
∴xB+xN=3−nm−4,即 xN=−nm−4−1,
由 x2+(n−4m−3)x=0 可得 xM=3−n−4m,
两直线方程与抛物线联立,可求点 M,N 的坐标;而仅求它们横坐标会简单些,不要死求,注意到点 B,C 是定点,用韦达定理简单些.
依题意,直线 MN 的解析式为 y=k(x−1)+3,即 y=kx−k+3,
联立 {y=kx−k+3y=−x2+3x+4,则 x2+(k−3)x−(k+1)=0,
∴xM+xN=3−k,xM⋅xN=−k−1,
利用韦达定理是常规手段.
∴⎧⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪⎩(−nm−4−1)(3−n−4m)=−k−1−nm−4−1+3−n−4m=3−k,
消去 k 得:nm−4+n−4m+1=(nm−4+1)(3−n−4m)−1,
解得:n=−m+4(与直线 BC 重合,故舍去)或 n=m+8.
即点 T 的运动轨迹是一条定直线 y=x+8.
消参 k 得 m,n 的关系式,确定动点 T 的轨迹.
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