抽象函数中图象变换的应用

一 问题引入

在高一学函数性质时，我们会遇到一些抽象函数的问题，先看两道例题：
【例 1】已知函数 $f\left(2x+1\right)$ 的定义域为 $\left[1,2\right]$，则函数 $f\left(4x+1\right)$ 的定义域是 $\underline{\quad \quad}$.

【例 2】已知函数 $f\left(x\right)$ 的定义域为 $\mathrm{R}$，且 $f\left(2x-1\right)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称，$f\left(3x+2\right)$ 是奇函数，则下列选项中值一定为 $0$ 的是（ ）
A．$f\left(\dfrac{7}{2}\right)$ $\qquad \qquad \qquad$ B．$f\left(2024\right)$ $\qquad \qquad \qquad$ C．$f\left(1\right)$ $\qquad \qquad \qquad$ D．$f\left(\dfrac{3}{2}\right)$
以上两题中没告知函数解析式，我们可以利用函数图象变换的方法处理类似的问题.
 

二 图象变换

图象变换包括平移变换、伸缩变换、对称变换和翻转变换，我们只需了解前两种变换.
（等我们学了必修第一册第五章三角函数会有更好的理解）
回忆下，我们刚学一次函数 $y=kx+b(k\neq0)$ 时，是如何知道图象是一直线的呢？
就是 “列表 — 描点 — 连线”！
 

1 平移变换

我们知道平移变换口诀：左加右减，上加下减，
Eg1：$y=f(x)$ 向左平移 $1$ 个单位，向下平移 $2$ 个单位后的函数是 $y=f(x+1)-2$；
Eg2：$y=f(2x-4)$ 向左平移 $1$ 个单位后的函数是 $y=f[2(x+1)-4]=f(2x-2)$；
为什么不是 $y=f(2x+1-4)=f(2x-3)$？
用描点的方式了解下 (不太严谨)，
角度 1
假设 $y=f\left(2x-4\right)$ 是 $y=2x-4$，其图象向左平移 $1$ 个单位后，如下图显然平移变换后的函数是 $y=2x-2$.

角度 2
若点 $(x_0,y_0)$ 在 $y=f(2x-4)$ 图象上，则 $y_0=f(2x_0-4)$；而点 $(x_0,y_0)$ 经过平移变换 “向左平移 $1$ 个单位” 后是 $(x_0-1,y_0)$，显然点 $(x_0-1,y_0)$ 在 $y=f(2x-2)$ 图象上而不是 $y=f(2x-3)$.
简而言之，“左加右减” 是对 $x$ 进行加减，$y=f[2$($x+1$)$-4]$ 中的小括号不能不要.
 

2 伸缩变换

$y=f(x)$ 的图象要伸缩变换：纵坐标 $y$ 不变横坐标 $x$ 扩大 $2$ 倍，即 $(x,y)$ 会变成 $(2x,y)$，它的解析式会是什么？
用具体例子感受下，
$y=x^2$ 经过伸缩变换：纵坐标 $y$ 不变横坐标 $x$ 扩大 $2$ 倍，点 $A(1,1)$ 到点 $B(2,1)$；
点 $(x_0,y_0)$ 在 $y=x^2$ 图象上，则 $y_0={x_0}^2$，变换后对应的点 $(x_1,y_1)$，有 $\left\{\begin{array}{l} x_1=2 x_0 \\ y_1=y_0 \end{array}\right.$，
则 $\left\{\begin{array}{l} x_0=\dfrac{x_1}{2} \\ y_0=y_1 \end{array}\right.$，所以 $y_1={\left(\dfrac{x_1}{2}\right)}^2=\dfrac{x_1^2}{4}$，故变换后的函数解析式为 $y=\dfrac{x^2}{4}$.

若 $y=x^2$ 经过伸缩变换：纵坐标 $y$ 不变横坐标 $x$ 缩小到原来的 $\dfrac{1}{2}$，点 $(1,1)$ 到点 $(2,1)$；
变换后的函数解析式为 $y={(2x)}^2=4x^2$.

简而言之，将 $y=f(x)$ 的图象上各点的横坐标伸长 $(0<b<1)$ 或缩短 $(b>1)$ 到原来的 $\dfrac{1}{b}$ 倍，而纵坐标不变，得到函数 $y=f(bx)$ 的图象.
若将 $y=f(x)$ 的图象上各点的纵坐标伸长 $(a>1)$ 或缩短 $(0<a<1)$ 到原来的 $a$ 倍，而横坐标不变，得到函数 $y=af(x)$ 的图象.
 

三 图象变换的逆运用

我们知道了函数图象经过平移变换或伸缩变换后函数解析式的变换.
那函数 $y=f(2x-2)$ 如何变换后变成函数 $y=f(x)$ 呢？
方法 1 先平移后伸缩
$y=f(2x-2)=f[2(x-1)]$ 向左平移 $1$ 个单位得到 $y=f(2x)$，再横坐标 $x$ 扩大 $2$ 倍得到 $y=f(x)$.
方法 2 先伸缩后平移
$y=f(2x-2)$ 横坐标 $x$ 扩大 $2$ 倍得到 $y=f(x-2)$，再向左平移 $2$ 个单位得到 $y=f(x)$.
 

四 问题的解决

我们了解了以上两点，现在试试如何解决一开始提出的两个问题，
【例 1】已知函数 $f\left(\dfrac{x}{2}+1\right)$ 的定义域为 $\left[-1,2\right]$，则函数 $f\left(2x+1\right)$ 的定义域是 $\underline{\quad \quad}$ .
解 利用图象变换求解，
函数 $f\left(\dfrac{x}{2}+1\right)=f\left[\dfrac{1}{2}\left(x+2\right)\right]$ 的定义域为 $\left[-1,2\right]$
$\stackrel {向右平移 2 个单位}{\Longrightarrow}$$f\left(\dfrac{x}{2}\right)$ 的定义域为 $[1,4]$
$\stackrel {横坐标缩小到原来的 \frac {1}{4}}{\Longrightarrow}$$f\left(2x\right)$ 的定义域为 $\left[\dfrac{1}{4},1\right]$
$\stackrel {向左平移 \frac {1}{2} 个单位}{\Longrightarrow}$$f\left(2x\right)$ 的定义域为 $\left[-\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2}\right]$
故答案为 $\left[-\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2}\right]$.
 

【例 2】已知函数 $f\left(x\right)$ 的定义域为 $\mathrm{R}$，且 $f\left(2x-1\right)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称，$f\left(3x+2\right)$ 是奇函数，则下列选项中值一定为 $0$ 的是（ ）
A．$f\left(\dfrac{7}{2}\right)$ $\qquad \qquad \qquad$ B．$f\left(2024\right)$ $\qquad \qquad \qquad$C．$f\left(1\right)$ $\qquad \qquad \qquad$ D．$f\left(\dfrac{3}{2}\right)$
解 由的图象关于直线 $x=1$ 对称
$\stackrel {向左平移 \frac {1}{2} 个单位}{\Longrightarrow}$$f\left(2x\right)$ 的图象关于直线 $x=\dfrac{1}{2}$ 对称
$\stackrel {横坐标扩大 2 倍}{\Longrightarrow}$$f\left(x\right)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称

由 $f\left(3x+2\right)$ 是奇函数，关于 $(0,0)$ 对称
$\stackrel {向右平移 \frac {2}{3} 个单位}{\Longrightarrow}$$f\left(3x\right)$ 的图象关于 $\left(\dfrac{2}{3},0\right)$ 对称
$\stackrel {横坐标扩大 3 倍}{\Longrightarrow}$$f\left(x\right)$ 的图象关于 $(2,0$) 对称

则 $f\left(x\right)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称，且关于 $(2,0)$ 对称，
假设当 $0<x<1$ 时，$y=x$，反复使用以上两点，结合图象可得函数 $f\left(x\right)$ 周期为 $4$.

则 $f\left(2024\right)=f(0)=0$.

$f\left(\dfrac{7}{2}\right)=f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-f\left(\dfrac{3}{2}\right)$，$f\left(1\right)$ 都不确定是否为 $0$．
故选：$B$.
 

问题的另解
【例 1】因为函数 $f\left(\dfrac{x}{2}+1\right)$ 的定义域为 $\left[-1,2\right]$，即 $x\in\left[-1,2\right]$，所以 $\dfrac{x}{2}+1\in\left[\dfrac{1}{2},2\right]$，
由 $\dfrac{1}{2}\le2x+1\le2$ 解得 $-\dfrac{1}{4}\le x\le\dfrac{1}{2}$，

所以函数 $f\left(4x+1\right)$ 的定义域为 $\left[-\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2}\right]$.
 

【例 2】$f\left(2x-1\right)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称，
则 $f\left(2x-1\right)=f\left(2(-x+2)-1\right)=f(-2x+3)$.
即 $f\left(2x-1\right)=f\left(2(-x+2)-1\right)=f(-(2x-1)+2)$，
令 $t=2x-1$，则 $f\left(t\right)=f(-t+2)$，
则 $f\left(x\right)$ 也关于 $x=1$ 对称.
$f\left(3x+2\right)$ 是奇函数，
则 $f\left(3x+2\right)+f(-3x+2)=0$，$f\left(3x+2\right)+f(-(3x+2)+4)=0$，
令 $t=3x+2$，则 $f\left(t\right)+f(-t+4)=0$，则 $f\left(x\right)$ 也关于 $(2,0)$ 对称.
且令 $t=2$，得 $f(2)=0$.
由前面知道 $f\left(t\right)=f(-t+2)=-f(-t+4)$，且令 $t=0$，则 $f(0)=f(2)=f(4)=0$.
且 $f(-t+2)=-f(-t+4)=-(-f(-t+6))=f(-t+6)$，
令 $m=-t+2$，则 $f(m)=f(m+4)$，
故 $f\left(x\right)$ 周期为 $4$.
则 $f\left(2024\right)=f(0)=0$.

$f\left(\dfrac{7}{2}\right)=f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-f\left(\dfrac{3}{2}\right)$，$f\left(1\right)$，都不确定是否为 $0$．
故选：$B$.
 

五 巩固练习

1. 已知函数 $f\left(2x-1\right)$ 的定义域为 $\left(-1,9\right)$，则函数 $f\left(3x+1\right)$ 的定义域为（ ）
   A．$\left(-\dfrac{1}{3},\dfrac{4}{3}\right)$ $\qquad \qquad$B．$\left(-\dfrac{4}{3},\dfrac{16}{3}\right)$ $\qquad \qquad$ C．$\left(-\dfrac{2}{3},\dfrac{8}{3}\right)$ $\qquad \qquad$D．$\left(-2,28\right)$

2. 已知函数 $f\left(x\right)$ 对任意的 $x\in R$ 都有 $f\left(x+8\right)=-f\left(x\right)$，若 $y=f\left(x+2\right)$ 的图象关于点 $\left(-2,0\right)$ 对称，且 $f\left(3\right)=3$，则 $f\left(43\right)=$（ ）
   A．$0$ $\qquad \qquad \qquad$ B．$-3$ $\qquad \qquad \qquad$ C．$3$ $\qquad \qquad \qquad$ D．$4$

3. 已知函数 $y=f\left(2x-1\right)$ 的图象关于点 $\left(-1,1\right)$ 对称，则下列函数是奇函数的是（ ）
   A．$y=f\left(2x-2\right)+1$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$y=f\left(2x-3\right)+1$
   C．$y=f\left(2x-2\right)-1$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$y=f\left(2x-3\right)-1$

4. 已知 $f\left(x-1\right)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，$g\left(x\right)=f\left(2x+3\right)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，则（ ）
   A．$g\left(2\right)=0$ $\qquad \qquad$B．$g\left(3\right)=0$ $\qquad \qquad$ C．$f\left(3\right)=0$ $\qquad \qquad$D．$f\left(5\right)=0$

5. (多选) 已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathrm{R}$，$f(x+1)$ 为奇函数，$f(x+2)$ 为偶函数，且 $x\in[0,1]$ 时，$f(x)$ 单调递增，则下列结论正确的为（ ）
   A．$f(x)$ 是偶函数 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$f(x)$ 的图象关于点 $(-1,0)$ 中心对称
   C．$f(2024)=0$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$f\left(\dfrac{5}{4}\right)+f\left(-\dfrac{1}{4}\right)<0$

参考答案

1. 【详解】函数 $f\left(2x-1\right)$ 的定义域为 $\left(-1,9\right)$，
   $\stackrel {向左平移 \frac {1}{2} 个单位}{\Longrightarrow}$ 函数 $f\left(2x\right)$ 的定义域为 $\left(-\dfrac{3}{2},\dfrac{17}{2}\right)$，
   $\stackrel {横坐标缩小到原来的 \frac {2}{3} 倍}{\Longrightarrow}$ 函数 $f\left(3x\right)$ 的定义域为 $\left(-1,\dfrac{17}{3}\right)$，
   $\stackrel {向左平移 \frac {1}{3} 个单位}{\Longrightarrow}$ 函数 $f\left(3x+1\right)$ 的定义域为 $\left(-\dfrac{4}{3},\dfrac{16}{3}\right)$.
   故选：$B$.
2. 【详解】由于 $y=f\left(x+2\right)$ 的图象关于点 $(-2，0)$ 对称，
   故 $y=f\left(x\right)$ 的图象关于点 $(0，0)$ 对称，即 $y=f\left(x\right)$ 为奇函数，
   又 $f\left(x+8\right)=-f\left(x\right)$，
   则 $f\left(x+16\right)=-f\left(x+8\right)=f\left(x\right)$，即 $16$ 为 $f\left(x\right)$ 的周期，
   令 $x=-3$ 代入 $f\left(x+8\right)=-f\left(x\right)$，则 $f\left(5\right)=-f\left(-3\right)=f\left(3\right)=3$，
   故 $f\left(43\right)=f\left(43-3\times16\right)=f\left(-5\right)=-f\left(5\right)=-3$，
   故选：$B$
3. 【详解】函数 $y=f\left(2x-1\right)$ 的图象关于点 $\left(-1,1\right)$ 对称，
   所以函数 $y=f\left(2x-1\right)$ 的图象向右平移 $1$ 个单位，
   向下平移一个单位后函数的图象关于点 $\left(0,0\right)$ 对称，
   即可得 $y=f\left[2\left(x-1\right)-1\right]-1=f\left(2x-3\right)-1$.
   故选：$D$
4. 【详解】因为 $f\left(x-1\right)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，
   所以函数 $f\left(x\right)$ 关于点 $\left(-1,0\right)$ 对称，且 $f\left(-1\right)=0$
   因为 $g\left(x\right)=f\left(2x+3\right)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，
   所以函数 $f\left(x\right)$ 关于直线 $x=3$ 对称，
   所以 $f\left(7\right)=0$，即 $g\left(2\right)=0$.
   故选：$A$
5. 【详解】因为 $f(x+1)$ 为奇函数，所以 $f(x)$ 关于 $(1,0)$ 对称 ①，
   因为 $f(x+2)$ 为偶函数，所以 $f(x)$ 关于 $x=2$ 对称 ②，
   $x\in[0,1]$ 时，$f(x)$ 单调递增，
   假设当 $0\le x\le1$ 时，$y=x-1$，
   反复使用以上①②两点，
   结合图象可得函数周期为 $T=4$，$f(x)$ 是偶函数，$f(x)$ 的图象关于点 $(-1,0)$ 中心对称，$f(2024)=f(0)$ 不一定为 $0$.
   
   故 $AB$ 正确，$C$ 错误；
   因为 $f\left(\dfrac{5}{4}\right)+f\left(-\dfrac{1}{4}\right)=f\left(2-\dfrac{3}{4}\right)+f\left(\dfrac{1}{4}\right)$$=-f\left(-\dfrac{3}{4}\right)+f\left(\dfrac{1}{4}\right)=f\left(\dfrac{1}{4}\right)-f\left(\dfrac{3}{4}\right)$，
   且 $x\in[0,1]$ 时，$f(x)$ 单调递增，
   所以 $f\left(\dfrac{1}{4}\right)<f\left(\dfrac{3}{4}\right)$，即 $f\left(\dfrac{1}{4}\right)-f\left(\dfrac{3}{4}\right)<0$，
   故 $D$ 正确.
   故选：$ABD$.