费马点模型

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中考必备，难度5颗星！

费马点模型

一 费马点概念

到一个三角形三个顶点距离之和最小的点，称为三角形的费马点.

二 费马点模型

如下图，\(∆ABC\)的三个内角均不大于\(120^{\circ}\)，点\(P\)在三角形内，
当\(\angle \mathrm{BPC}=\angle \mathrm{APC}=\angle \mathrm{CPA}=120^{\circ}\)，\(PA+PB+PC\)的值最小.

证明 将\(∆ABP\)绕点\(B\)逆时针旋转\(60°\)，得到\(∆A'BP'\)，连接\(PP'\)，

则\(∆BPP'\)是等边三角形，所以\(PB=PP'\).
由旋转的性质可得\(PA+PB+PC=P^{\prime} A^{\prime}+PP^{\prime}+PC^{\prime}>A^{\prime} C\)，
所以当\(A^{\prime}\) 、\(P^{\prime}\) 、\(P\)、\(C\)四点共线时，\(PA+PB+PC\)的值最小.
因为\(∆BPP^{\prime}\)是等边三角形，\(∠BPP^{\circ}=60^{\circ}\)，
所以\(∠BPC=120^{\circ}\)，
因为\(∠APB=∠A^{\prime} P^{\prime} B\)，\(∠BP^{\circ} P=60^{\circ}\)，
所以\(∠APB=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}\)，
则\(∠CPA=360^{\circ}-120^{\circ}-120^{\circ}=120^{\circ}\)，
故当\(∠BPC=∠APC=∠CPA=120^{\circ}\)，\(PA+PB+PC\)的值最小.
（我们不能仅记住模型的结论，而要理解其证明：\(∆ABP\)旋转\(60°\)把\(PA\)、\(PB\)、\(PC\)集中）

三 如何确定费马点的位置

以下确定三个内角均不大于\(120^{\circ}\)的\(∆ABC\)的费马点，并给出略证.
第一步：分别以\(AB\)、\(AC\)为边作等边\(△ABD\)与等边\(△ACE\)，

第二步 ：连接\(CD\)、\(BE\)，即可得到\(△ADC≌△ABE\)， \(△ADC\)可以看成由\(△ABE\)顺时针旋转\(60^{\circ}\)得到，则对应边\(BE\)和\(CD\)所成角为\(60^{\circ}\)，即\(∠BPC=120^{\circ}\).

第三步 ：此时\(CD\)、\(BE\)的交点即为点\(P\)（费马点），
在\(BP\)上取点\(P'\)，使得\(BP^{\prime}=BP\)，
又因为\(∠DPB=60^{\circ}\)，所以\(∆BPP'\)是等边三角形，
所以\(∠PBP'=60^{\circ}\)，所以\(∠DBP'=∠ABP\)，易得\(∆DBP'=∆ABP\)，
所以\(∠APB=∠DP^{\prime} B=180^{\circ}-∠PP^{\prime} B=120^{\circ}\)，
又因为\(∠BPC=120^{\circ}\)，所以\(∠APC=120^{\circ}\)，
故点\(P\)为\(∆ABC\)费马点.

四 例题详析

例1 如图，在\(△MNG\)中，\(M N=4 \sqrt{2}\)，\(∠M=75^{\circ}\)，\(MG=3\)，点\(O\)是\(△MNG\)内一点，则点\(O\)到\(△MNG\)三个顶点的距离和最小值是\(\underline{\quad \quad}\).

解析
1 确定模型
求点\(O\)到\(△MNG\)三个顶点的距离和\(MO＋NO＋GO\)的最小值，明显的费马点模型；
2 转化
（回顾费马点模型的证明过程，通过旋转把\(MO\)、\(NO\)、\(GO\)集中）
连接\(OM\)，\(ON\)，\(OG\)，把\(∆MNO\)绕着点\(N\)逆时针旋转\(60^{\circ}\)得到\(∆CDN\)，

则易得点\(O\)到\(△MNG\)三个顶点的距离和\(MO＋NO＋GO=CD+DO+OG\)，
\(∴\)当\(C、D、O、G\)四点共线时，\(MO＋NO＋GO\)值最小，
即\(MO＋NO＋GO\)值最小值为\(CG\)；
3 求值
过点\(C\)作\(CH⊥MG\)，交\(GM\)的延长线于\(H\)，
\(∵∠NMG＝75^{\circ}\)，\(∠CMN＝60^{\circ}\)，\(∴∠CMG＝135^{\circ}\)，\(∴∠CMH＝45^{\circ}\)，
\(\because M N=4 \sqrt{2}\)，\(∴CH=MH=4\)，
\(\therefore C G=\sqrt{C H^2+G H^2}=\sqrt{16+49}=\sqrt{65}\)，
\(∴NO＋GO＋MO\)的最小值是\(\sqrt{65}\).
 

例2 已知正方形\(ABCD\)内一动点\(E\)到\(A\)、\(B\)、\(C\)三点的距离之和的最小值为\(\sqrt{2}+\sqrt{6}\)，求此正方形的边长．
解析
1 确定模型
当点\(E\)在\(∆ABC\)内，明显属于费马点模型；
当点\(E\)在\(∆ABC\)外时，作点\(E\)关于直线\(AC\)的对称点\(E'\)，则\(AE=AE'\)，\(CE=CE'\)，

显然\(BE>BE'\)，所以\(AE+BE+CE>AE^{\prime}+BE^{\prime}+CE^{\prime}\)，
即使得\(AE+BE+CE\)取到最小值的点\(E\)在在\(∆ABC\)内.
2 转化
如图，连接\(AC\)，把\(△AEC\)绕着点\(C\)顺时针旋转\(60^{\circ}\)得到\(△GFC\)，连接\(EF、BG、AG\)，

易证\(△EFG\)、\(△AGC\)都是等边三角形，则\(EF＝CE\)，
又\(∵FG＝AE\)，\(∴AE＋BE＋CE＝BE＋EF＋FG\)，
\(∴\)线段\(BG\)即为点\(E\)到\(A、B、C\)三点距离之和的最小值；
3 求值
设正方形的边长为\(a\)，则\(B O=C O=\dfrac{\sqrt{2}}{2} a\)，\(G C=\sqrt{2} a\)，\(G O=\dfrac{\sqrt{6}}{2} a\)，
\(\therefore B G=B O+G O=\dfrac{\sqrt{2}}{2} a+\dfrac{\sqrt{6}}{2} a\)，
\(∵\)点\(E\)到\(A、B、C\)三点的距离之和的最小值是\(\sqrt{2}+\sqrt{6}\)，
\(\therefore \dfrac{\sqrt{2}}{2} a+\dfrac{\sqrt{6}}{2} a=\sqrt{2}+\sqrt{6}\)，解得\(a=2\).
 

方法二
本题由于图形具有一定的对称性，\(∆ABC\)费马点\(E\)满足\(∠BEC=∠AEC=∠CEA=120^{\circ}\)，
故易得费马点\(E\)在线段\(BO\)上，

设正方形的边长为\(a\)，则\(A O=B O=\dfrac{\sqrt{2}}{2} a\)，\(E O=\dfrac{\sqrt{6}}{6} a\)，
\(A E=C E=2 E O=\dfrac{\sqrt{6}}{3} a\)，\(B E=B O-E O=\dfrac{\sqrt{2}}{2} a-\dfrac{\sqrt{6}}{6} a\)，
所以\(A E+B E+C E=\dfrac{\sqrt{6}}{3} a+\dfrac{\sqrt{6}}{3} a+\dfrac{\sqrt{6}}{6} a-\dfrac{\sqrt{2}}{6} a=\dfrac{\sqrt{2}}{2} a+\dfrac{\sqrt{6}}{2} a\)，
所以\(\dfrac{\sqrt{2}}{2} a+\dfrac{\sqrt{6}}{2} a=\sqrt{2}+\sqrt{6}\)，解得\(a=2\).