8.4 平面与空间点、直线、面之间的位置关系

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必修第二册同步拔高，难度3颗星！

模块导图

知识剖析

平面

无限延展，无边界.
判断 一张纸是一个平面(×)；
平面\(ABCD\)就是四边形\(ABCD\) (×)；
两个平面可相交于一点 (×).
原因均是平面是无限延展的.
 

三个基本事实与三个推论

1 基本事实1
不共线的三点确定一个平面.

注 “确定”的意思是“有且只有”，过不共线三点的平面有且只有一个，故说确定一个平面.
判断 三点确定一个平面 (×)；原因是三点未必共线.
用途:用于确定平面.

 

2 基本事实2
如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内.
用途:常用于证明直线在平面内.

 

3 基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
用途:常用于证明线在面内，证明点在线上.

推论1:直线与直线外的一点确定一个平面.
推论2:两条相交直线确定一个平面.
推论3:两条平行直线确定一个平面.
image.png
 


图形语言，文字语言，符号语言的转化

图形语言 文字语言 符号语言
image.png 点\(A\)在直线\(a\)上，点\(B\)在直线\(a\)外 \(A \in a，B \notin a\)
image.png 点\(A\)在平面\(\alpha\)内，点\(B\)在平面\(\alpha\)外 \(A \subset \alpha，B \nsubseteq \alpha\)
image.png 直线\(a\)在平面\(\alpha\)内，直线\(b\)在平面\(\alpha\)外 \(a \subset \alpha，b \nsubseteq \alpha\)
image.png 直线\(a\)与平面\(\alpha\)相交于点 \(a \cap \alpha=A\)
image.png 平面\(\alpha\)与平面\(\beta\)相交于直线\(a\) \(\alpha \cap \beta=a\)

注 点用大写字母表示，直线用小写字母表示，平面用希腊字母表示.
 

空间点，直线，面之间的位置关系

1 线线的位置关系
(1) 空间直线的位置关系

\[\left\{\begin{array}{l} \text { 共面: } a \cap b=A， a / / b \\ \text { 异面: } a \text { 与 } b \text { 异面 } \end{array}\right.\]

 

(2) 平行线的传递公理
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表述:\(a // b\)，\(b / / c⟹ a / / c\)
 

(3) 等角定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
 

(4) 异面直线
(i) 定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；
(ii) 图形语言

符号语言

\[\left.\begin{array}{l} P \notin \alpha \\ A \in \alpha \\ a \in \alpha \\ A \notin \alpha \end{array}\right\} \Rightarrow P A \text { 与 } a \text { 异面 }\]

 

2 线面的位置关系
(1) 直线与平面的位置关系

\[\left\{\begin{array}{l} l \subset \alpha \quad \text { 在面内 } \\ l \cap \alpha=A \text { 相交 } \\ l / / \alpha \quad \text { 平行 } \end{array}\right.\]

 

(2) 图形语言

例 若直线\(a\)在平面\(M\)内，直线\(m\)平行直线\(a\)，则直线\(m\)与平面\(M\)的位置关系是 \(\underline{\quad \quad}\) .
答案 \(m//M\)或者\(m⊂M\).
 

3 面面的位置关系
(1) 平面与平面的位置关系

\[\begin{cases}\alpha / / \beta & \text { 平行 } \\ \alpha \cap \beta= a &\text { 斜交 } \\ \alpha \perp \beta & \text { 垂直 }\end{cases} \]

(2) 图形语言

 

经典例题

【题型一】平面的确定

【典题1】 设\(P\)表示一个点，\(a\) ，\(b\)表示两条直线，\(α\) ，\(β\)表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是 (　　)．
① \(P∈a ，P∈α⇒a⊂α\)
② \(a∩b=P ，b⊂β⇒a⊂β\)　
③ \(a∥b ，a⊂α ，P∈b ，P∈α⇒b⊂α\)
④ \(α∩β=b ，P∈α ，P∈β⇒P∈b\)
  A. \((1) (2)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \((2) (3)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C. \((1) (4)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \((3) (4)\)
【解析】 对于① 当\(a∩α=P\)时，\(P∈a\)，\(P∈α\)，但\(a⊄α\)，①错；
对于②\(a∩β=P\)时，②错；
对于③ 如图，\(∵a //b\) ，\(P∈b\) ，\(∴P∉a\) ，\(∴\)由直线\(a\)与点\(P\)确定唯一平面\(α\)，
image.png
又\(a∥b\)，由\(a\)与\(b\)确定唯一平面\(β\)，但\(β\)经过直线\(a\)与点\(P\) ，\(∴β\)与\(α\)重合，\(∴b⊂α\) ，故③正确；
对于④ \(P∈α\)，\(P∈β⇒\)点\(P\)是平面\(α、β\)的公共点，\(α∩β=b⇒\)线\(b\)是平面\(α、β\)的交线，而两平面的交点必在其交线上，故④正确．故选\(D\).
【点拨】
① 熟悉点、线、面及其之间关系的符号表示；
② 判断尽量利用画图进行思考，若要排除选项则举出一反例；
③ 确定平面的方法---不共线的三点确定一个平面、直线与直线外的一点确定一个平面、两条相交直线确定一个平面、两条平行直线确定一个平面.
 

【典题2】 在正方体\(ABCD—A_1 B_1 C_1 D_1\)中，\(E\)，\(F\)分别为棱\(AA_1\)，\(CC_1\)的中点，则在空间中与三条直线\(A_1 D_1\)，\(EF\)，\(CD\)都相交的直线有\(\underline{\quad \quad}\)条．
【解析】 在\(EF\)上任意取一点\(M\)，直线\(A_1 D_1\)与\(M\)确定一个平面，这个平面与\(CD\)有且仅有\(1\)个交点\(N\)，当\(M\)取不同的位置时就确定不同的平面，从而与\(CD\)有不同的交点\(N\)，而直线\(MN\)与这\(3\)条异面直线都有交点如图所示．
image.png
【点拨】
其实就是过三直线\(A_1 D_1\)，\(EF\)，\(CD\)中任一条直线的平面与另外两直线分别交于点\(M、N\)，则直线\(MN\)为所求直线，而这样的平面有无数个，则直线\(MN\)有无数条.
 

【题型二】三点共线、三线共点、四点共面

【典题1】 如图，在正方体\(ABCD—A_1 B_1 C_1 D_1\)中，点\(P\) ，\(Q\) ，\(R\) 分别在棱\(AB\) ，\(BB_1\) ，\(CC_1\)上，且\(DP\)，\(QR\) 相交于点\(O\)，求证\(O\) ，\(B\) ，\(C\)三点共线.

【证明】 \(∵ P\in\)直线\(AB\) ，\(D\in\)直线\(CD\)，
\(\therefore P \in\)平面\(ABCD\) ， \(D \in\)平面\(ABCD\).
\(∴\)直线\(D P \subset\)平面\(ABCD\).
又\(\because O \in\)直线\(DP\)，\(\therefore O \in\)平面\(ABCD\).
同理可证，\(O \in\)平面\(BCC_1 B_1\).
\(∵\)平面\(A B C D \cap\)平面\(BCC_1 B_1=\)直线\(BC\)，
\(\therefore O \in\)直线\(BC\).
\(∴O ，B ，C\) 三点共线.
【点拨】
① 本题利用了基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
② 证明三点\(A、B、C\)共线，一般思路是证明点\(A\)在直线\(BC\)上.

【典题2】 如图所示，正方体\(ABCD—A_1 B_1 C_1 D_1\)中，\(E、F\)分别是\(AB\)和\(AA_1\)的中点．
求证:\((1) E、C、D_1 、F\)四点共面；\(\qquad \qquad\)\((2) CE、D_1 F、DA\)三线共点．

【证明】 　
(1) 连接\(EF\)，\(CD_1\)，\(A_1 B\).
\(∵E、F\)分别是\(AB\)、\(AA_1\)的中点，\(\therefore E F / / A_{1} B\).
又\(A_1 B//D_1 C\) ，\(∴EF//CD_1\)，
\(∴\)直线\(EF\)与直线\(CD_1\)共面，
即\(E、C、D_1 、F\)四点共面．
(2) \(∵EF//CD_1\) ，\(EF<CD_1\) ，
\(∴CE\)与\(D_1 F\)必相交，设交点为\(P\)，
则由\(P \in C E\)，\(C E \subset\)平面\(ABCD\)，得\(P \in\)平面\(ABCD\).
同理\(P \in\)平面\(ADD_1 A_1\).
又平面\(A B C D \cap\)平面\(ADD_1 A_1=DA\)，
\(∴P \in\)直线\(DA\)
\(∴CE、D_1 F、DA\)三线共点．

【点拨】
① 证明四点共面可转化为两线共面，即证明两直线必定相交或平行(利用推论2：两相交线确定一个平面和推论3：两条平行直线确定一个平面)；
② 证明三线\(a，b，c\)共点\(P\)，一般思路是
(1) 先设两直线\(a，b\)相交于点\(P\)，再证明点\(P \in c\).
(2) 证明\(a\)与\(b\)相交于点\(P\)，\(c\)与\(b\)相交于点\(M\)，再证明两交点\(P、M\)重合；
③ 证明多线共面，首先由其中两直线确定平面，再证其余直线在此平面内.
 

巩固练习

1 (★★) 一块蛋糕切三道最多可以切\(\underline{\quad \quad}\) 块？
 

2 (★) 下列命题正确的是 (　　)
 Ａ.经过三点确定一个平面
 Ｂ.经过一条直线和一个点确定一个平面
 Ｃ.四边形确定一个平面
 Ｄ.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
 

3 (★) 以下四个命题中，正确命题的个数是 (　　)
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点\(A、B、C、D\)共面，点\(A、B、C、E\)共面，则\(A、B、C、D、E\)共面；
③若直线\(a、b\)共面，直线\(a、c\)共面，则直线\(b、c\)共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
  A. \(0\)　　\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(1\) 　 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C. \(2\)　　\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 　 D. \(3\)
 

4 (★★) 空间四边形\(ABCD\)中，各边长均为\(1\)，若\(BD=1\)，则\(AC\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．　
 

5 (★★★) 如图，已知\(E、F、G、H\)分别是正方体\(ABCD—A_1 B_1 C_1 D_1\)的棱\(AB\)、\(BC\)、\(CC_1\)、\(C_1 D_1\)的中点，证明\(FE、HG、DC\)三线共点．

     

6 (★★★) 如图，在正方体\(ABCD—A_1 B_1 C_1 D_1\)中，点\(E，F\)分别是棱\(AA_1\)，\(CC_1\)的中点，求证点\(D_1，E，F，B\)共面.

 
 
 

参考答案

  1. 【答案】 \(8\)
  2. 【答案】 \(D\)
    【解析】 对于\(A\)，若三点共线时就错了；对于\(B\)，若点在直线上，是不能确定一个平面的；对于\(C\)，空间四边形就不属于平面图形，注意四边形在立体几何里分为平面四边形和空间四边形了。
  3. 【答案】 \(B\)
    【解析】 ①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面．这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确．②从条件看出两平面有三个公共点\(A、B、C\)，但是若\(A、B、C\)共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．
  4. 【答案】 \((0， \sqrt{3})\)
    【解析】 如图所示，\(△ABD\)与\(△BCD\)均为边长为\(1\)的正三角形，当\(△ABD\)与\(△CBD\)重合时，\(AC=0\)，将\(△ABD\)以\(BD\)为轴转动，到\(A，B，C，D\)四点再共面时，\(A C=\sqrt{3}\)，故\(AC\)的取值范围是\(0<A C<\sqrt{3}\).
    image.png
  5. 【证明】

    连结\(C_1 B\)，\(HE\)，\(FG\)，由题意知\(HC_1//EB，\) \(HC_1=EB\)，
    \(∴\)四边形\(HC_1 BE\)是平行四边形．\(∴HE∥C_1 B\).
    又\(C_1 G=GC=CF=BF\)，故\(G F=\dfrac{1}{2} C_{1} B\)，\(GF//C_1 B\)
    \(∴GF∥HE\)，且\(GF≠HE\)，\(∴HG\)与\(EF\)相交．
    设交点为\(K\)，则\(K \in H G\)，\(H G \subset\)平面\(D_1 C_1 CD\)，
    \(\therefore K \in\)平面\(D_1 C_1 CD\).
    \(\because K \in E F\)，\(E F \subset\)平面\(ABCD\)，\(∴K∈\)平面\(ABCD\).
    \(∵\)平面\(D_1 C_1 CD∩\)平面\(ABCD=DC\)，
    \(∴K∈DC\)，\(∴FE、HG、DC\)三线共点．
  6. 【证明】
    连接\(D_1 E\)，\(D_1 F\)，并分别延长，使\(D_1 F\)与\(DC\)的延长线交于点\(H\)，
    \(D_1 E\)的延长线与\(DA\)的延长线交于点\(G\).

    \(∵ D_1，E，F\)三点不共线，
    \(∴ D_1，E，F\)确定一个平面\(α\)，\(∴ G，H∈α\).
    又\(∵\)点\(E\)是\(AA_1\)的中点，
    \(\therefore E A / / D D_{1}\)，\(E A=\dfrac{1}{2} D D_{1}\)
    \(∴\)点\(A\)是\(DG\)的中点.
    同理可得，点\(C\)是\(DH\)的中点.
    \(∴ CH = BC = BA = GA\).
    又\(∵\) 四边形 \(ABCD\)是正方形，\(∴ ∠BCH = ∠BAG = 90^°\).
    连接\(BH\)，\(BG\).
    \(∴ △BCH\)，\(△GAB\)是全等的等腰直角三角形.
    \(∴ ∠CBH =∠ABG = 45°\).
    \(∴ ∠GBA +∠ABC+∠CBH = 180°\).
    \(∴ G，B，H\)三点共线.
    又\(G，H∈α\)，\(\therefore G H \subset \alpha\)，而\(B∈GH\)， \(∴ B∈α\).
    \(∴ D_1，E，F，B\)四点共面.
     

【题型三】点、线、面的位置关系

【典题1】 分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 (　　)
 Ａ.异面直线 \(\qquad \qquad\) Ｂ.相交直线 \(\qquad \qquad\) Ｃ.不相交直线 \(\qquad \qquad\) Ｄ.不平行直线
【解析】 已知直线\(a\)与\(b\)是异面直线，直线\(AB\)与直线\(CD\)分别与两条直线\(a\)与直线\(b\)相交与点\(A ，B，C ，D\)，
image.png
根据题意可得当点\(D\)与点\(B\)重合时，两条直线相交，当点\(D\)与点\(B\)不重合时，两条直线异面．
下面证明两条直线不平行
假设直线\(AB\)与直线\(CD\)平行，则\(A ，B ，C ，D\)四点共面，
所以直线\(BD\)与直线\(AC\)共面，
这与直线\(a\)、直线\(b\)异面相互矛盾，
所以假设错误，即直线\(AB\)与直线\(CD\)不平行．
所以分别与两条异面直线都相交的两条直线一定不平行．
故选\(D\)．
【点拨】 证明两条直线不平行时，利用了反证法.
 

【典题2】 若直线l不平行于平面\(\alpha\)，且\(l \not \subset a\)，则 (　　)
  A.\(\alpha\)内所有直线与\(l\)异面
  B.\(\alpha\)内不存在与\(l\)平行的直线
  C.\(\alpha\)内存在唯一的直线与\(l\)平行
  D.\(\alpha\)内的直线与\(l\)都相交
【解析】 若直线\(l\)不平行于平面\(\alpha\)，且\(l⊄a\)，则\(l\)与平面\(\alpha\)相交，
\(\alpha\)内与\(l\)相交的直线在同一面内，故\(A\)选项错误．
直线\(A\)与面相交的点，过此点的所有直线均与\(A\)相交，平面内其他的线则不与其相交，故\(C，D\)项说法错误．
若\(\alpha\)内存在与\(l\)平行的直线，则根据线面平行的判定定理可知\(l\)与面\(\alpha\)平行，已知直线\(l\)不平行于平面\(\alpha\)，故\(\alpha\)内不存在与\(l\)平行的直线，\(B\)项说法正确．
故选\(B\)．
【点拨】
① 线面的位置关系有：在面内\(l⊂α\)，相交\(l∩α=A\)，平行\(l//α\);
② 在证明选项\(B\)的时候利用了反证法.
 

【典题3】 如果三个平面将空间分成\(6\)个互不重叠的部分，则这三个平面的位置是 (　　)
  A．两两相交于三条交线
  B．两个平面互相平行，另一平面与它们相交
  C．两两相交于同一条直线
  D．\(B\)中情况或\(C\)中情况都可能发生
【解析】 \(A\)选项中，若三个平面两两相交，且有三条交线，则把空间分成\(7\)或\(8\)部分；故\(A\)不正确．
\(B\)选项中，若两个平面互相平行，另一平面与它们相交，则把空间分成\(6\)部分；故\(B\)正确．
\(C\)选项中，若三个平面两两相交于同一条直线，则把空间分成\(6\)部分；故\(C\)正确．故选\(D\)．
【点拨】 本题考核空间想象能力，要注意多种情况，可根据交线的条数进行分类讨论.
 

巩固练习

1 (★) 在图中，\(G、H、M、N\)分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线\(GH、MN\)是异面直线的图形有\(\underline{\quad \quad}\)．(填上所有正确答案的序号)

 

2 (★) 已知直线\(m ，n ，l\)，若\(m∥n\) ，\(n∩l=P\)，则\(m\)与\(l\)的位置关系是 (　　)
  A．异面直线 \(\qquad \qquad\) B．相交直线 \(\qquad \qquad\) C．平行直线 \(\qquad \qquad\) D．相交直线或异面直线
 

3 (★) 下列命题中正确的个数是 ( )
①若直线\(l\)上有无数个点不在平面\(\alpha\)内，则\(l∥ \alpha\).
②若直线\(l\)与平面\(\alpha\)平行，则\(l\)与平面a内的任意一条直线都平行.
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.
④若直线\(l\)与平面\(\alpha\)平行，则\(l\)与平面\(\alpha\)内的任意一条直线都没有公共点.
  A．\(0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(3\)
 

4 (★) 平面\(\alpha\)与平面\(\beta， \gamma\)都相交，则这三个平面可能有（　　）
  A．\(1\)条或\(2\)条交线 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2\)条或\(3\)条交线
  C．仅\(2\)条交线 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(1\)条或\(2\)条或\(3\)条交线
 

5 (★) 若三个平面两两相交，则它们的交线条数是 (　　)
  A．\(1\)条 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2\)条 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(3\)条 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(1\)条或\(3\)条
 

参考答案

  1. 【答案】 ② ④
    【解析】 　图①中，直线\(GH∥MN\)；
    图②中，\(G、H、N\)三点共面，但\(M \notin\)面\(GHN\)，因此直线\(GH\)与\(MN\)异面；
    图③中，连接\(MG\)，\(GM∥HN\)，因此\(GH\)与\(MN\)共面；
    图④中，\(G、M、N\)共面，但\(H \notin\)面\(GMN\)，因此\(GH\)与\(MN\)异面．
    所以图②、④中\(GH\)与\(MN\)异面．
  2. 【答案】 \(D\)
    【解析】 如图，\(AB∥CD\)，\(CD∩DD_1=D\)，\(∴AB\)与\(DD_1\)异面，\(AB∥CD\)，\(CD∩AD=D\)，\(∴AB\)与\(AD\)相交，
    \(∴\)若\(m∥n\)，\(n∩l=P\)，则\(l\)与\(m\)的位置关系 相交或异面．故选\(D\)．
    image.png
  3. 【答案】 \(B\)
    【解析】 \(B\)，只有④对．
  4. 【答案】 \(D\)
    【解析】 ①若平面\(β∥\)平面\(γ\)，平面\(α\)与平面\(β\)，\(γ\)都相交，则它们有\(2\)条交线，且这\(2\)条交线互相平行；
    ②若平面\(β∩\)平面\(γ=a\)，平面\(α\)是经过直线\(a\)的平面，则三个平面只有一条交线，即直线\(a\)；
    ③若平面\(β∩\)平面\(γ=a\)，平面\(α\)与平面\(β，γ\)都相交，但交线与直线\(a\)不重合，则它们有\(3\)条交线，例如棱柱或棱锥的三个侧面相交于三条直线，即三条侧棱
    综上所述，这三个平面的交线的条数可能是\(1\)条、\(2\)条或\(3\)条
    故选 \(D\)
  5. 【答案】 \(D\)
    【解析】 如图，三个平面有一条交线的情况，
    image.png
    三个平面有两条交线的情况，
    image.png
    故选\(D\)．
posted @ 2023-05-11 20:04  贵哥讲数学  阅读(411)  评论(0)  编辑  收藏  举报
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