10.2 事件的相互独立性
\(\mathbf{{\large {\color{Red} {欢迎到学科网下载资料学习}} } }\)【高分突破系列】 高一数学下学期同步知识点剖析精品讲义！
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必修第二册同步拔高，难度2颗星！
模块导图
知识剖析
事件的相互独立性
① 独立事件
对任意两个事件\(A\)与\(B\)，如果\(P(AB)=P(A)P(B)\)成立，则我们称事件\(A\)与事件\(B\)相互独立，简称独立.
② \(n\)个事件独立
\(n\)个事件\(A_1\)，\(A_2\)，… ，\(A_n\)两两独立时，等式\(P(A_1 A_2\cdot \cdot \cdot A_n )=P(A_1 )P(A_2 )\cdot \cdot \cdot P(A_n)\)成立.
频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数\(n\)的增大，频率偏离的概率的幅度会缩小，即事件\(A\)发生的频率\(f_n (A)\)会逐渐稳定于事件\(A\)发生的概率\(P(A)\).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率\(f_n (A)\)估计概率\(P(A)\).
案例 我扔骰子前\(3\)次都是\(6\)，那第\(4\)次投出骰子是\(6\)的可能性有多大呢？理性分析，应该是\(\dfrac{1}{6}\)，因为第\(4\)次投骰子的概率与前三次无关；那假如我扔骰子前\(300\)次都是\(6\)，那第\(301\)次是\(6\)的可能性又有多大呢？此时，频率的稳定性会告诉你第\(301\)次是\(6\)的可能性很大，只能说明骰子是有问题的，这数学不就告诉你赌博十赌九输的原因了么！
案例 估值\(π\)值.(可百度下“用概率计算圆周率\(π\)”)
(2)随机模拟
蒙特卡洛方法：利用随机模拟解决问题的方法.
经典例题
【题型一】概率与频率
【典题1】 下列说法中，正确的是 ( )
A．概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B．做\(n\)次随机试验，事件发生\(m\)次，则事件发生的频率\(\dfrac{m}{n}\)就是事件的概率
C．频率是不能脱离\(n\)次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值
D．任意事件\(A\)发生的概率\(P(A)\)总满足\(0<P(A)<1\).
【解析】 根据题意，依次分析选项：
对于\(A\)，由概率与频率的关系，\(A\)正确；
对于\(B\)，概率是频率的稳定值，\(B\)错误；
对于\(C\)，由概率与频率的关系，\(C\)正确；
对于\(D\)，任意事件A发生的概率率\(P(A)\)总满足\(0≤P(A)≤1\)，\(D\)错误；
故选：\(AC\)．
【点拨】 正确理解概率与频率之间的关系.
【题型二】独立事件
【典题1】 已知事件\(A\)，\(B\)，且\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.2\)，则下列结论正确的是 ( )
A. 如果\(\mathrm{B} \subseteq \mathrm{A}\)，那么\(P(A \cup B)=0.4\)，\(P(AB)=0.2\)
B．如果\(A\)与\(B\)互斥，那么\(P(A\cup B)=0.6\)，\(P(AB)=0\)
C．如果\(A\)与\(B\)相互独立，那么\(P(A\cup B)=0.6\)，\(P(AB)=0\)
D．如果\(A\)与\(B\)相互独立，那么\(P(\bar{A} \bar{B})=0.48\)， \(P(\bar{A} B)=0.12\)
【解析】 事件\(A\)， \(B\)，且\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.2\)，
对于\(A\)，若\(B\subseteq A\)，则\(P(A\cup B)=P(A)=0.4\)，\(P(AB)=P(B)=0.2\)，故\(A\)正确；
对于\(B\) ，若\(A\)与\(B\)互斥，则\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0.6\)，\(P(AB)=0\)，故\(B\)正确；
对于\(C\)，若\(A\)与\(B\)相互独立，则\(P(AB)=P(A)P(B)=0.08\)，
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.2-0.08-0.52\)，故\(C\)错误；
对于\(D\)，若\(A\)与\(B\)相互独立，则\(P(\bar{A} \bar{B})=P(\bar{A}) P(\bar{B})=0.6 \times 0.8=0.48\)，
\(P(\bar{A} B)=P(\bar{A}) P(B)=0.6 \times 0.2=0.12\)，故\(D\)正确．
故选：\(ABD\)．
【点拨】 可借助\(venn\)图理解事件之间包含、和事件与积事件；事件的互斥与事件的独立要作好区别：事件\(A\)、\(B\)互斥，说明两个事件不可能同时发生；而事件\(A\)、\(B\)相互独立，是指两个事件发生互不影响.
【典题2】 三个元件\(T_1\)，\(T_2\)，\(T_3\)正常工作的概率分别为\(\dfrac{1}{2}\)，\(\dfrac{3}{4}\)，\(\dfrac{3}{4}\)，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是\(\underline{\quad \quad}\) ．
【解析】 记\(T_1\)正常工作为事件\(A\)，\(T_2\)正常工作为事件\(B\)，记\(T_3\)正常工作为事件\(C\)，
则\(P(A)=\dfrac{1}{2}\) ，\(P(B)=P(C)=\dfrac{3}{4}\)；
电路不发生故障，即\(T_1\)正常工作且\(T_2\) ，\(T_3\)至少有一个正常工作，
\(T_2\)、\(T_3\)不发生故障即\(T_2\) 、\(T_3\)至少有一个正常工作的概率 \(P_1=1-\left(1-\dfrac{3}{4}\right)\left(1-\dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{15}{16}\)，(淘汰法)
所以整个电路不发生故障的概率为 \(P=P(A) \times P_1=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{15}{16}=\dfrac{15}{32}\)，
故答案为：\(\dfrac{15}{32}\)
【点拨】 遇到“至少”“至多”之类的字眼，可考虑用淘汰法.
【典题3】 校运动会招聘志愿者，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率是\(\dfrac{2}{3}\)，甲、乙两人都不能被录用的概率为\(\dfrac{1}{12}\)，丙、乙两人都能被录用的概率为\(\dfrac{3}{8}\)，且三人是否录用相互独立．
(1)求乙、丙两人各自能被录用的概率；
(2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率．
【解析】 (1)设乙、丙能被录用的概率分别为\(x\)，\(y\)，
则 \(\left\{\begin{array}{l}
\left(1-\dfrac{2}{3}\right) \times(1-x)=\dfrac{1}{12} \\
x y=\dfrac{3}{8}
\end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l}
x=\dfrac{3}{4} \\
y=\dfrac{1}{2}
\end{array}\right.\)，
\(∴\)乙、丙能被录用的概率分别为\(\dfrac{3}{4}\)，\(\dfrac{1}{2}\)，
(2)设甲、乙、丙能被录用的事件分别为\(A\)、\(B\)、\(C\)，
则\(P(A)=\dfrac{2}{3}\)，\(P(B)=\dfrac{3}{4}\)，\(P(C)=\dfrac{1}{2}\)，
且\(A\)、\(B\)、\(C\)相互独立，三人至少有两人能被录用包括\(ABC\)、\(\bar{A} BC\)、\(A\bar{B} C\)、\(AB\bar{C}\)四种彼此互斥的情况，(理解题意，明确所求概率对应事件包含的“小事件”)
则其概率为\(P(ABC+\bar{A} BC+A\bar{B} C+AB\bar{C})\)\(=P(ABC)+P(\bar{A} BC)+P(A\bar{B} C)+P(AB\bar{C})\)
\(=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{17}{24}\)．
【典题4】 某景区内有\(10\)个景点，其平面图如图所示，当\(t=0\)时甲在\(A\)地，乙在\(B\)地，若每经过一个单位时间，他们都将随机走向与之相邻的任意一个景区，记某时刻甲、乙出现在同一景区的概率为\(P(t)\)，则\(P(2)=\) \(\underline{\quad \quad}\)；\(P(3)=\) \(\underline{\quad \quad}\)．
【解析】
给每个景区编号，记\(t\)时刻，第\(k(k=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10)\)个景点路径条数为\(f(k，t)\)，
| \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) | \(sum\) | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(t=0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) |
| \(t=1\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(4\) |
| \(t=2\) | \(4\) | \(1\) | \(2\) | \(2\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(14\) |
| \(t=3\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(8\) | \(7\) | \(2\) | \(4\) | \(4\) | \(2\) | \(4\) | \(52\) |
则\((k，t)\)满足以下条件:
\(f(1，t)=f(2，t-1)+f(3，t-1)+f(4，t-1)+f(5，t-1)\)，
\(f(2，t)=f(1，t-1)+f(3，t-1)+f(6，t-1)\)，
\(f(3，t)=f(1，t-1)+f(3，t-1)+f(5，t-1)+f(8，t-1)\)，
\(f(4，t)=f(1，t-1)+f(3，t-1)+f(5，t-1)+f(8，t-1)\)，
\(f(5，t)=f(1，t-1)+f(4，t-1)+f(9，t-1)\)，
\(f(6，t)=f(2，t-1)+f(7，t-1)+f(10，t-1)\)，
\(f(7，t)=f(3，t-1)+f(6，t-1)+f(8，t-1)+f(10，t-1)\)，
\(f(8，t)=f(4，t-1)+f(7，t-1)f(9，t-1)+f(10，t-1)\)，
\(f(9，t)=f(5，t-1)+f(8，t-1)+f(10，t-1)\)，
\(f(10，t)=f(6，t-1)+f(7，t-1)+f(8，t-1)+f(9，t-1)\)，
\(\because\) 图象对称，
\(\therefore P(2)=2 \times \dfrac{4}{14} \times \dfrac{0}{14}+4 \times \dfrac{1}{14} \times \dfrac{1}{14}+4 \times \dfrac{1}{14} \times \dfrac{2}{14}=\dfrac{3}{49}\)，
\(P(3)=2 \times \dfrac{6}{52} \times \dfrac{4}{52}+4 \times \dfrac{7}{52} \times \dfrac{2}{52}+4 \times \dfrac{8}{52} \times \dfrac{4}{52}=\dfrac{29}{338}\)．
故答案为: \(\dfrac{3}{49}\)， \(\dfrac{29}{338}\)．
巩固练习
1 (★) 下列说法正确的是 ( )
A．任何事件的概率总是在\((0，1)\)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
2 (★) 气象台预报“茂名市明天降雨的概率是\(80\%\)”，下列理解正确的是 ( )
A．茂名市明天将有\(80\%\)的地区降雨
B．茂名市明天将有\(80\%\)的时间降雨
C．明天出行不带雨具肯定要淋雨
D．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大
3 (★) 下列说法正确的是 ( )
①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度；
②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数；
③每个试验结果出现的频率之和不一定等于\(1\)；
④概率就是频率．
A．① \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．①②④ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．①② \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．③④
4 (★) 抛掷两枚硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为 \(P_1\)，\(P_2\) ，\(P_3\) ，则下列判断中错误的是 ( )
A． \(P_1=P_2=P_3\) \(\qquad\) B．\(P_1+P_2=P_3\) \(\qquad\) C．\(P_1+P_2+P_3=1\) \(\qquad\) D．\(P_3=2P_1=2P_2\)
5 (★★) (多选题)已知事件\(A\) ， \(B\)相互独立，且\(P(A)=\dfrac{1}{3}\)， \(P(B)=\dfrac{1}{2}\)，则 ( )
A． \(P(\bar{A})=\dfrac{2}{3}\) \(\qquad\) B．\(P(A \bar{B})=\dfrac{1}{3}\) \(\qquad\) C．\(P(A+B)=\dfrac{2}{3}\) \(\qquad\)D．\(P(A \bar{B}+\bar{A} B)=\dfrac{1}{2}\)
6 (★★) (多选题)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲的中靶概率为\(0.8\)，乙的中靶概率为\(0.9\)，则下列结论正确的为 ( )
A．两人都中靶的概率为\(0.72\)
B．恰好有一人中靶的概率为\(0.18\)
C．两人都脱靶的概率为\(0.14\)
D．恰好有一人脱靶的概率为\(0.26\)
7.(★) 打靶时，\(A\) 每打\(10\)次可中靶\(8\)次， \(B\)每打\(10\)次可中靶\(7\)次，若人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是\(\underline{\quad \quad}\)．
8.(★★) 从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为\(\dfrac{1}{2}\) ，\(\dfrac{1}{3}\) ，\(\dfrac{1}{4}\) ，一辆车从甲地到乙地，恰好遇到个红灯的概率为 \(\underline{\quad \quad}\)．
9.(★★) 甲、乙、丙三人射击同一目标，命中目标的概率分别为\(\dfrac{1}{2}\) ，\(\dfrac{1}{3}\) ，\(\dfrac{1}{4}\)，且彼此射击互不影响，现在三人射击该目标各一次，则目标被击中的概率为\(\underline{\quad \quad}\)．(用数字作答)
10.(★★) 排球比赛的规则是\(5\)局\(3\)胜制(无平局)，甲在每局比赛获胜的概率都相等为\(\dfrac{2}{3}\)，前\(2\)局中乙队以\(2：0\)领先，则最后乙队获胜的概率是\(\underline{\quad \quad}\)．
11.(★★) 如图，元件\(A_i(i=1，2，3，4)\)通过电流的概率均为\(0.9\)，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在 \(M\)，\(N\) 之间通过的概率是\(\underline{\quad \quad}\)．
12.(★★) 某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为\(m\)、\(\dfrac{1}{3}\)、\(n\)，已知三个社团他都能进入的概率为\(\dfrac{1}{24}\)，至少进入一个社团的概率为\(\dfrac{3}{4}\)，且\(m>n\)．
(1)求\(m\)与\(n\)的值；
(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分\(1\)分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分\(2\)分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分\(3\)分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于\(4\)分的概率．
参考答案
- 【答案】 \(C\)
【解析】 由于必然事件的概率为\(1\)，不可能事件的概率为\(0\)，故\(A\)不正确．
频率的数值是通过实验完成的，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，
故\(B\) 、\(D\) 不正确．
频率是不能脱离 次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，
随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故\(C\)正确．
故选：\(C\) ． - 【答案】 \(D\)
【解析】 茂名市明天降雨的概率是 的含义是：茂名市明天降雨的可能性达 ，\(D\) 正确．故选：\(D\) ． - 【答案】 \(C\)
【解析】 在第四个说法中，概率就是频率是错误的，故答案中只要包含④就是错误的，
故只有 ， 不包含④，
而 和 的区别在于②对不对，
每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数，这个说法是正确的，
故选：\(C\) ． - 【答案】 \(A\)
【解析】 抛掷两枚硬币，记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为 \(P_1\)，\(P_2\) ，\(P_3\) ，
则 \(P_1=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\)，\(P_2=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\) ，\(P_3=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\) ，
\(\therefore P_1=P_2 \neq P_3\)，故\(A\)错误； \(P_1+P_2=P_3\)，故\(B\)正确；
\(P_1+P_2+P_3=1\)，故\(C\)正确；\(P_3=2 P_1=2 P_2\) ，故\(D\)正确．
故选：\(A\) ． - 【答案】 \(AC\)
【解析】 事件\(A\)，\(B\)相互独立，且\(P(A)=\dfrac{1}{3}\)，\(P(B)=\dfrac{1}{2}\)，
对于\(A\)，\(P(\bar{A})=1-P(\mathrm{~A})=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\)，故 \(A\)正确；
对于\(B\)，\(P(A \bar{B})=P(\mathrm{~A}) P(\bar{B})=\dfrac{1}{3} \times\left(1-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{6}\)，故\(B\)错误；
对于\(C\) ，\(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A B)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{3}\)，故\(C\)正确；
对于\(D\)，\(P(A \bar{B}+\bar{A} B)=P(A \bar{B})+P(\bar{A} B)-P(A \bar{B} \bar{A} B)\)\(=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{9}\) ，故\(D\) 错误．
故选：\(AC\) ． - 【答案】 \(AD\)
【解析】 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，
设事件\(A\)表示“甲中靶”，事件\(B\)表示“乙中靶”，则\(P(A)=0.8\)， \(P(B)=0.9\)，
对于\(A\) ，两人都中靶的概率为\(P(A B)=P(\mathrm{~A}) P(\mathrm{~B})=0.8 \times 0.9=0.72\)，故 \(A\)正确；
对于\(B\) ，恰好有一人中靶的概率为：\(P(\bar{A} B+A \bar{B})=(1-0.8) \times 0.9+0.8 \times(1-0.9)=0.26\)
，故\(B\) 错误；
对于\(C\) ，两人都脱靶的概率为：\(P(\bar{A} \bar{B})=(1-0.8)(1-0.9)=0.02\)
，故\(C\) 错误；
对于\(D\) ，恰好有一人中靶的概率为：\(P(\bar{A} B+A \bar{B})=(1-0.8) \times 0.9+0.8 \times(1-0.9)=0.26\)
，故\(D\) 正确．
故选：\(AD\) ． - 【答案】 \(\dfrac{14}{25}\)
【解析】 \(A\)每打\(10\)次可中靶\(8\)次， \(B\)每打\(10\)次可中靶\(7\)次
\(\therefore A\)中靶的概率是\(\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}\) ，\(B\) 中靶的概率是\(\dfrac{7}{10}\) ，
\(\because A\)和 \(B\)是否中靶是相互独立的，
根据相互独立事件同时发生的概率得到它们都中靶的概率是\(\dfrac{4}{5} \times \dfrac{7}{10}=\dfrac{14}{25}\). - 【答案】 \(\dfrac{1}{4}\)
【解析】 从甲地到乙地要经过\(3\)个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为\(\dfrac{1}{2}\) ，\(\dfrac{1}{3}\) ， \(\dfrac{1}{4}\)，
一辆车从甲地到乙地，恰好遇到\(2\)个红灯的概率为：\(P=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} \times\left(1-\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{2} \times\left(1-\dfrac{1}{3}\right) \times \dfrac{1}{4}+\left(1-\dfrac{1}{2}\right) \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}\)． - 【答案】 \(\dfrac{3}{4}\)
【解析】 目标被击中的概率等于\(1\)减去甲、乙、丙三人都没有击中目标的概率，
故目标被击中的概率是\(1-\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\left(1-\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{3}{4}\)，
故答案为：\(\dfrac{3}{4}\)． - 【答案】 \(\dfrac{19}{27}\)
【解析】 \(∵\)排球比赛的规则是\(5\)局\(3\)胜制(无平局)，甲在每局比赛获胜的概率都相等为\(\dfrac{2}{3}\)，
前\(2\)局中乙队以\(2：0\)领先，
\(∴\)最后乙队获胜的概率：\(p=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}×\dfrac{1}{3}+(\dfrac{2}{3} )^2×\dfrac{1}{3}=\dfrac{19}{27}\)． - 【答案】 \(0.8829\)
【解析】 电流能通过 \(A_1\)、\(A_2\) 的概率为\(0.9 \times 0.9=0.81\) ，电流能通过\(A_3\)的概率为\(0.9\)，
故电流不能通过\(A_1\)、\(A_2\)，且也不能通过\(A_3\)的概率为\((1-0.81)(1-0.9)=0.019\) ，
故电流能通过系统 \(A_1\)、\(A_2\) 、\(A_3\)的概率为\(1-0.019=0.981\) ，
而电流能通过\(A_4\)的概率为\(0.9\)，
故电流能在\(M\) ，\(N\) 之间通过的概率是 \((1-0.019) \times 0.9=0.8829\). - 【答案】 (1) \(m=\dfrac{1}{2}\)，\(n=\dfrac{1}{4}\) (2)\(\dfrac{1}{6}\)
【解析】 (1)由题意列出方程组，得\(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{3} m n=\dfrac{1}{24} \\ 1-(1-m)\left(1-\dfrac{1}{3}\right)(1-n)=\dfrac{3}{4} \\ m>n \end{array}\right.\)，
解得\(m=\dfrac{1}{2}\)，\(n=\dfrac{1}{4}\)．
(2)由题令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为\(X_i\)，
获得样本等候课学分分数不低于\(4\)分为事件\(A\)，
则 \(P\left(X_4\right)=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}\)， \(P\left(X_5\right)=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{24}\)， \(P\left(X_6\right)=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{24}\)，
\(P(A)=P\left(X_4\right)+P\left(X_5\right)+P\left(X_6\right)=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{24}=\dfrac{1}{6}\)．
