10.1 随机事件与概率
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模块导图
知识剖析
随机事件与概率
① 有限样本空间与随机事件
(1) 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母\(E\)表示，
我们把随机试验\(E\)的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为\(E\)试验的样本空间.用\(Ω\)表示样本空间，用\(ω\)表示样本点.如果一个随机试验有\(n\)个可能结果结果\(ω_1\)，\(ω_2\) ，… ，\(ω_n\)，则称样本空间\(Ω=\{ω_1 ，ω_2 ，… ，ω_n\}\)为有限样本空间.
(2) 事件
样本空间\(Ω\)的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件成为基本事件.随机事件一般用大写字母\(A\) ，\(B\) ，\(C\) ，…表示.
各种事件
必然事件，不可能事件，随机事件.
在\(12\)件瓷器中，有\(10\)件一级品，\(2\)件二级品，从中任取\(3\)件.
(1) “\(3\)件都是二级品”是什么事件？
(2) “\(3\)件都是一级品”是什么事件？
(3)“至少有一件是一级品”是什么事件？
解 (1)因为\(12\)件瓷器中，只有\(2\)件二级品，取出\(3\)件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件.
(2)“\(3\)件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件.
(3)“至少有一件是一级品”是必然事件，因为\(12\)件瓷器中只有\(2\)件二级品，取三件必有一级品.
事件的关系和运算
1 包含
一般地，若事件\(A\)发生，则事件\(B\)一定发生，我们就称事件\(A\)包含于事件\(B\)，记作\(A\subseteq B\)；
2 并事件(或和事件)
一般地，事件\(A\)与事件\(B\)至少有一个发生，我们称这个事件为事件\(A\)与事件\(B\)的并事件(或和事件)，记作\(A\cup B\)(或\(A+B\)).
3 交事件(或积事件)
一般地，事件\(A\)与事件\(B\)同时发生，我们称这样一个事件为事件\(A\)与事件\(B\)的交事件(或积事件)，记作\(A\cap B\)(或\(AB\)).
4 互斥
一般地，如果事件\(A\)与事件\(B\)不能同时发生，也就是\(A\cap B\)是一个不可能事件，即\(A\cap B=\varnothing\)，则称事件\(A\)与事件\(B\)互斥(或互不相容).
5 对立
一般地，如果事件\(A\)与事件\(B\)在任何一次试验中有且仅有一个发生，即\(A\cup B=Ω\)且\(A\cap B=\varnothing\)，则称事件\(A\)与事件\(B\)互为对立，事件\(A\)的对立事件记为\(\overline{A}\).
综上所述，事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示如下
| 事件的关系或运算 | 含义 | 符号表示 |
|---|---|---|
| 包含 | \(A\)发生导致\(B\)发生 | \(A\subseteq B\) |
| 并事件（和事件） | \(A\)与\(B\)至少一个发生 | \(A\cup B\)或 \(A+B\) |
| 交事件（积事件） | \(A\)与\(B\)同时发生 | \(A\cap B\)或\(AB\) |
| 互斥 | \(A\)与\(B\)不能同时发生 | \(A\cap B=\varnothing\) |
| 对立 | \(A\)与\(B\)有且仅有一个发生 | \(A\cup B=Ω\)且\(A\cap B=\varnothing\) |
类似地，我们可以定义多个事件的和事件及其积事件.例如，对于三个事件\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(A\cup B\cup C\)（或\(A+B+C\)）发生当且仅当\(A\)，\(B\)，\(C\)中至少一个发生，\(A\cap B\cap C\)（或\(ABC\)）发生当且仅当\(A\)，\(B\)，\(C\)同时发生，等等.
古典概型
(1) 古典概型的特点
有限性：样本空间的样本点只有有限个；
等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
(2) 古典概型事件\(A\)的概率
概率的基本性质
性质1 对任意事件\(A\)，都有\(P(A)≥0\)；
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为\(0\)；
性质3 若事件\(A\)与事件\(B\)互斥时，则\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)；
性质4 若事件\(A\)与事件\(B\)对立事件，则\(P(B)=1-P(A)\) ，\(P(A)=1-P(B)\)；
性质5 如果\(A\subseteq B\)，那么\(P(A)≤P(B)\)；
性质6 设\(A\) ，\(B\)是一个随机试验中的两个事件，有\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).
经典例题
【题型一】对各种事件、事件的关系和运算的理解
【典题1】 从\(5\)位男生和\(2\)位女生共\(7\)位同学中任意选派\(3\)人，属必然事件的是( )
A．\(3\)位都是女生 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．至少有\(1\)位是女生
C．\(3\)位都不是女生 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．至少有\(1\)位是男生
【解析】由于从\(5\)位男生和\(2\)位女生共7位同学中任意选派\(3\)人，
有\(3\)位男生，\(2\)位男生\(1\)位女生，\(1\)位男生\(2\)位女生，共三种情况
故\(A\)为不可能事件，\(B\)，\(C\)为随机事件，\(D\)为必然事件．
故答案为 \(D\).
【典题2】 从装有十个红球和十个白球的罐子里任取\(2\)球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个红球；至少有一个白球
B．恰有一个红球；都是白球
C．至少有一个红球；都是白球
D．至多有一个红球；都是红球
【解析】对于\(A\)，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；
对于\(B\)，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取\(2\)个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；
对于\(C\)，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；
对于\(D\)，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件.
【点拨】对立事件是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件.
【典题3】 如果事件\(A\) ，\(B\)互斥，记\(\bar{A}\)，\(\bar{B}\)分别为事件\(A\) ，\(B\)的对立事件，那么( )
A．\(A\cup B\)是必然事件 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(\bar{A}\cup\bar{B}\)是必然事件
C. \(\bar{A}\)与\(\bar{B}\)一定互斥 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(\bar{A}\)与\(\bar{B}\)一定不互斥
【解析】 用\(Venn\)图解决此类问题较为直观．如右图所示，\(\bar{A}\cup \bar{B}\)是必然事件，故选\(B\).
【点拨】利用集合的关系看事件之间的关系会更直观.
【题型二】求古典概型
【典题1】 先后投掷两枚骰子，出现的点数记作\((m ，n)\)，设\(X=m+n\)．
(1)求\(m=n\)的概率；
(2)试列举出\(X≤6\)的所有可能的结果;
(3)求\(X≤3\)或\(X>6\)的概率．
【解析】(Ⅰ)先后投掷两枚骰子，出现的点数情况有：
\((1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)\)，
\((2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)\)，
\((3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)\)，
\((4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)\)，
\((5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)\)，
\((6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)\)，
共有\(36\)种可能结果，
而\(m=n\)有\(6\)结果，为\((1 ，1) ，(2 ，2) ，(3 ，3) ，(4 ，4) ，(5 ，5) ，(6 ，6)\)，
(也可以使用树状图
)
所以 \(P(m=n)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\)，
(Ⅱ)\(X≤6\)的所有可能的结果有\((1 ，1) ，(1 ，2) ，(1 ，3) ，(1 ，4) ，(1 ，5)\)，
\((2 ，1) ，(2 ，2) ，(2 ，3) ，(2 ，4) ，(3 ，1)\)，
\((3 ，2) ，(3 ，3) ，(4 ，1) ，(4 ，2) ，(5 ，1)\) ，
共有\(15\)种情况，
(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)可知，\(X≤3\)的所有可能的结果有\(3\)种，为\((1 ，1)、(1 ，2)、(2 ，1)\)，
\(X>6\)的所有可能的结果有\(36-21=15\)，
\(p(X \leq 3 \text { 或 } X>6)=\dfrac{3}{36}+\dfrac{21}{36}=\dfrac{2}{3}\).
【点拨】根据古典概型事件\(A\)的概率 \(P(A)=\dfrac{\text { 事件 } A \text { 的样本点个数 }}{\text { 样本空间 } \Omega \text { 的样本点个数 }}\)，一般都用穷举法，比如列树状图或者把每个样本点一一列举，关键就要做到不重不漏，在一一列举的时候最好能够按照一定的规律进行.
【典题2】 任取三个整数，至少有一个数为偶数的概率为 \(\underline{\quad \quad}\).
【解析】方法一 任取三个整数，共有八种情况：
其中至少有一个数为偶数的情况有\(7\)种，所以所求概率为\(\dfrac{7}{8}=0.875\)，
方法二 任取三个整数，共有八种情况，设“都是奇数”为事件\(A\)，“至少有一个数为偶数”事件\(B\)，而事件\(A\) ，\(B\)是对立事件， \(P(A)=\dfrac{1}{8}\)，故 \(P(B)=1-P(A)=\dfrac{7}{8}=0.875\).
【点拨】
① 因为是取三个整数，列树状图时有\(3\)列.
② 方法一从正面入手，方法二从反面切入，往后题目中出现“至少”，“至多”等字眼，都可以从反面进行思考。
【典题3】 一个正方体，它的表面涂满了红色．在它的每个面上切两刀可得\(27\)个小立方块，从中任取两个，其中恰有\(1\)个一面涂有红色，\(1\)个两面涂有红色的概率为\(\underline{\quad \quad}\) .
【解析】根据题意，分析可得：
在分割下来的\(27\)个完全相等的小正方体中，有\(6\)个只有一面有红色，有\(12\)个两面有红色，8块有\(3\)面红色，而还有一个没有红色；
则从中任取\(2\)个，其中\(1\)个恰有一面涂有红色，另\(1\)个恰有两面涂有红色的情况有\(12×6\)种；
而从\(27\)块中任取两块，有\(27×26\)种情况；
则从中任取\(2\)个，其中\(1\)个恰有一面涂有红色，另\(1\)个恰有两面涂有红色的概率为\(\dfrac{12 \times 6}{27 \times 26}=\dfrac{8}{39}\).
【典题4】 数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如\(343\)、\(12521\)等，两位数的回文数有\(11、22、33、…、99\)共\(9\)个，则三位数的回文数中为偶数的概率是 \(\underline{\quad \quad}\) .
【解析】三位数的回文数为\(ABA\)，
\(A\)有\(1\)到\(9\)共\(9\)种可能，即\(1B1\)、\(2B2\)、\(3B3\)…
\(B\)共有\(0\)到\(9\)共\(10\)种可能，即\(A0A\)、\(A1A\)、\(A2A\)、\(A3A\)、…
共有\(9×10=90\)个，
其中偶数为\(A\)是偶数，共\(4\)种可能，即\(2B2\)，\(4B4\)，\(6B6\)，\(8B8\)，
\(B\)共有\(0\)到\(9\)共\(10\)种可能，即\(A0A\)、\(A1A\)、\(A2A\)、\(A3A\)、…
其有\(4×10=40\)个，
\(\therefore\)三位数的回文数中，偶数的概率\(P=\dfrac{40}{90}=\dfrac{4}{9}\).
【题型三】概率的基本性质
【典题1】 有一个公用电话亭，里面有一部电话，在观察使用这部电话的人的流量时，设在某一时刻，有\(n\)个人正在使用电话或等待使用的概率为\(P(n)\)，且\(P(n)\)与时刻t无关，统计得到 \(P(n)=\left\{\begin{array}{l}
\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \cdot P(0)， 1 \leq n \leq 6 \\
0， n \geq 7
\end{array}\right.\)，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率\(P(0)\)的值是\(\underline{\quad \quad}\)．
【解析】由题意知：本公用电话亭每次不超过\(7\)人正在使用电话或等待使用，
\(\therefore\)“有\(0、1、2、3、4、5、6\)个人正在使用电话或等待使用”是必然事件，
\(\therefore\)随机变量\(n\)的值可取\(0，1，2，3，4，5，6\)，
即\(p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)=1\)
\(\therefore p(0)+\dfrac{1}{2} p(0)+\dfrac{1}{4} p(0)+\dfrac{1}{8} p(0)+\dfrac{1}{16} p(0)+\dfrac{1}{32} p(0)+\dfrac{1}{64} p(0)=1\)，
\(\therefore p(0)=\dfrac{64}{127}\).
故答案为： \(\dfrac{64}{127}\)．
【典题2】 袋中有\(12\)个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是\(\dfrac{1}{3}\)，得到黑球或黄球的概率是\(\dfrac{5}{12}\)，得到黄球或绿球的概率也是\(\dfrac{5}{12}\)，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
【解析】从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为\(A\) ，\(B\) ，\(C\) ，\(D\)，
则\(P(A)=\dfrac{1}{3}\)\(，P(B\cup C)=P(B)+P(C)=\dfrac{5}{12}\)，
\(P(C\cup D)=P(C)+P(D)=\dfrac{5}{12}\)，
\(P(B \cup C \cup D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\)，
解 \(\left\{\begin{array}{c}
P(B)+P(C)=\dfrac{5}{12} \\
P(C)+P(D)=\dfrac{5}{12} \\
P(B)+P(C)+P(D)=\dfrac{2}{3}
\end{array}\right.\)， 得\(P(B)=\dfrac{1}{4}\)，\(P(C)=\dfrac{1}{6}\)， \(P(D)=\dfrac{1}{4}\)，
即得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为\(\dfrac{1}{4}\)，\(\dfrac{1}{6}\)，\(\dfrac{1}{4}\).
巩固练习
1(★) 将一根长为\(a\)的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，此事件是( )
A．必然事件 \(\qquad \qquad \qquad\) B．不可能事件 \(\qquad \qquad \qquad\) C．随机事件 \(\qquad \qquad \qquad\) D．不能判定
2(★) 在\(1，2，3，…，10\)这\(10\)个数字中，任取\(3\)个数字，那么“这三个数字的和大于\(6\)”这一事件是( )
A．必然事件 \(\qquad \qquad\) B．不可能事件 \(\qquad \qquad\) C．随机事件 \(\qquad \qquad\) D．以上选项均不正确
3(★) 下列每对事件是互斥事件的个数是( )
(1)将一枚均匀的硬币抛\(2\)次，记事件\(A\)：两次出现正面；事件\(B\)：只有一次出现正面
(2)某人射击一次，记事件\(A\)：中靶，事件\(B\)：射中\(9\)环
(3)某人射击一次，记事件\(A\)：射中环数大于\(5\)；事件\(B\)：射中环数小于\(5\)．
A．\(0\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(1\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(2\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(3\)个
4(★) 袋中有白球\(2\)个，红球\(3\)个，从中任取两个，则互斥且不对立的两个事件是( )
A．至少有一个白球；都是白球
B．两个白球；至少有一个红球
C．红球、白球各一个；都是白球
D．红球、白球各一个；至少有一个白球
5(★) 设\(M\)、\(N\)为两个随机事件，如果\(M\)、\(N\)为互斥事件，那么( )
A． \(\bar{M} \cup \bar{N}\)是必然事件 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(M\cup N\)是必然事件
C．\(\bar{M}\)与\(\bar{N}\)一定为互斥事件 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(\bar{M}\)与\(\bar{N}\)一定不为互斥事件
6(★) 已知一次试验，事件\(A\)与事件\(B\)不能同时发生且 \(A\)，\(B\) 至少有一个发生，又事件\(A\)与事件\(C\)不能同时发生．若 \(P(B)=0.6\)， \(P(C)=0.2\)，则 \(P(A \cup C)=\) ( )
A．\(0.6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(0.5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(0.4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．\(0.3\)
7(★) 先后抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是\(8\)，\(7\)，\(6\)的概率依次为\(P_1\)，\(P_2\)，\(P_3\)，则( )
A．\(P_1=P_2<P_3\) \(\qquad \qquad\) B．\(P_3<P_2<P_1\) \(\qquad \qquad\) C．\(P_3=P_1<P_2\) \(\qquad \qquad\)D．\(P_3=P_1>P_2\)
8(★★) 从集合\(A=\{－1，\dfrac{1}{2}，2\}\)中随机选取一个数记为\(k\)，从集合\(B=\{\dfrac{1}{2}，\dfrac{3}{2}，2\}\)中随机选取一个数记为\(a\)，则\(a^k>1\)的概率为( )
A．\(\dfrac{1}{3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\dfrac{2}{3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(\dfrac{7}{9}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(\dfrac{5}{9}\)
9(★) [多选题]抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：\(A=\) “至少一枚点数为\(1\)”，\(B=\)“两枚骰子点数一奇一偶”，\(C=\)“两枚骰子点数之和为\(8\)”，\(D=\)“两枚骰子点数之和为偶数”．判断下列结论，正确的有 ( )
A．\(A \subseteq B\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\qquad\qquad \qquad\) B．\(B\) ，\(D\) 为对立事件
C． \(A\)，\(C\) 为互斥事件 \(\qquad \qquad \qquad\qquad \qquad\) D．\(A\) ，\(D\) 相互独立
10(★) 掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数，设“出现\(3\)点”、“出现\(6\)点”分别为事件\(A\)、\(B\)，已知\(P(A)=P(B)=\dfrac{1}{6}\)，则出现点数为\(3\)的倍数的概率为\(\underline{\quad \quad}\)．
11(★) 如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ 构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为\(0.25\)、\(0.20\)、\(0.35\)，则不命中靶的概率是\(\underline{\quad \quad}\)．
12(★) 事件\(A\)，\(B\)互斥，它们都不发生的概率为\(\dfrac{2}{5}\)，且\(P(A)=2P(B)\)，则\(P(\bar{A})=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
13(★) 经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么三辆汽车经过这个十字路口，至少有两辆车向左转的概率为\(\underline{\quad \quad}\)．
14(★★) 若连掷两次骰子，分别得到的点数是\(m\)、\(n\)，将\(m\)、\(n\)作为点\(P\)的坐标，则点\(P\)落在区域\(|x-2|+|y-2| \leqslant 2\)内的概率是\(\underline{\quad \quad}\)．
15(★★) 如图所示，\(A\)、\(B\)是边长为\(1\)的小正方形组成的网格的两个顶点，在格点中任意放置点\(C\)，恰好能使其构成\(△ABC\)且面积为\(1\)的概率是\(\underline{\quad \quad}\)．
16(★) 抛掷一枚均匀的骰子，事件\(A\)表示“朝上一面的点数是偶数”，事件\(B\)表示“朝上一面的点数不超过\(4\)”，求\(P(A\cup B)\)．
17(★★) 某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过\(9\)站的地铁票价如表：
| 乘坐站数\(x\) | \(0<x≤3\) |
\(3<x≤6\) |
\(6<x≤9\) |
|---|---|---|---|
| 票价(元) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过\(9\)站，且他们各自在每个站下车的可能性是相同的．
(1)若甲、乙两人共付费\(2\)元，则甲、乙下车方案共有多少种？
(2)若甲、乙两人共付费\(4\)元，求甲比乙先到达目的地的概率．
参考答案
-
【答案】\(C\)
【解析】将一根长为a的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，这个事件是可能发生的事件，但不是必然事件．所以事件是随机事件．
故答案选择\(C\)． -
【答案】\(C\)
【解析】 从\(10\)个数字中取\(3\)个数字，这三个数字的和可能等于\(6\)，也可能大于\(6\)，
\(\therefore\)是否大于\(6\)，需要取出数字才知道，
\(\therefore\)这三个数字的和大于\(6\)”这一事件是随机事件，
故选\(C\)． -
【答案】\(C\)
【解析】(1)将一枚均匀的硬币抛\(2\)次，记事件\(A\)：两次出现正面；事件\(B\)：只有一次出现正面，事件\(A\) ，\(B\)不可能同时发生，故是互斥事件；
(2)某人射击一次，记事件\(A\)：中靶，事件\(B\)：射中\(9\)环，事件\(A\) ，\(B\)可能同时发生，故不是互斥事件
(3)某人射击一次，记事件\(A\)：射中环数大于\(5\)；事件\(B\)：射中环数小于\(5\)，事件\(A\) ，\(B\)不可能同时发生，故是互斥事件．
故选\(C\)． -
【答案】\(C\)
【解析】从装有\(3\)个红球和\(2\)个白球的红袋内任取两个球，所有的情况有\(3\)种：“\(2\)个白球”、“一个白球和一个红球”、“\(2\)个红球”．
由于对立事件一定是互斥事件，且它们之中必然有一个发生而另一个不发生，
对于\(A\)，至少有\(1\)个白球；都是白球，不是互斥事件．故不符合．
对于\(B\)两个白球；至少有一个红球，是互斥事件，但也是对立事件，故不符合．
对于\(C\)红球、白球各一个；都是白球是互斥事件，但不是对立事件不是互斥事件，故符合．
对于\(D\)红球、白球各一个；至少有一个白，不是互斥事件．故不符合．
故选：\(C\)． -
【答案】\(A\)
【解析】因为\(M\)、\(N\)为互斥事件，如图：
，
无论哪种情况，\(\bar{M} \cup \bar{N}\)是必然事件．
故选：\(A\)． -
【答案】\(A\)
【解析】 ，\(P(A \cup C)=P(\mathrm{~A})+P(\mathrm{C})=0.4+0.2=0.6\)
故选：\(A\) ． -
【答案】\(C\)
【解析】先后抛掷两枚骰子，出现的点数共有：
\((1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)\)，
\((2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)\)，
\((3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)\)，
\((4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)\)，
\((5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)\)，
\((6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)\)，共\(36\)种，
其中点数之和是\(8\)的有\(5\)种，故\(P_1=\dfrac{5}{36}\)；点数之和是\(7\)的有\(6\)种，故\(P_2=\dfrac{6}{36}\)；
点数之和是\(6\)的有\(5\)种，故\(P_3=\dfrac{5}{36}\)；故\(P_1=P_3<P_2\)，
故选\(C\) -
【答案】\(D\)
【解析】分别从集合\(A\)，\(B\)各取一个数，共有\(3×3=9\)组实数对，
若\(a=\dfrac{1}{2}\)，则由\(a^k>1\)得\(k<0\)，此时\(k=-1\)，有\(1\)个，
若\(a=\dfrac{3}{2}\)，则由\(a^k>1\)得\(k>0\)，此时\(k=\dfrac{1}{2}\)，\(2\)，有\(2\)个，
若\(a=2\)，则由\(a^k>1\)得\(k>0\)，此时\(k=\dfrac{1}{2}\)，\(2\)，有\(2\)个，共有\(5\)个，
则对应的概率\(P=\dfrac{5}{9}\)，
故选：\(D\)． -
【答案】\(BC\)
【解析】抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：
\(A=\)“至少一枚点数为\(1\)”，\(B=\)“两枚骰子点数一奇一偶”，\(C=\)“两枚骰子点数之和为\(8\)”，\(D=\)“两枚骰子点数之和为偶数”．
对于\(A\) ，当 \(A=\{1\}\)， \(B=\{2，3\}\) 时，\(A \subseteq B\) 不成立，故\(A\)错误；
对于\(B\)， \(B\)和 \(D\)不能同时发生，也不能同时不发生，故 \(B\)， \(D\)为对立事件，故\(B\)正确；
对于\(C\) ，\(A\) ，\(C\) 不能同时发生，是互斥事件，故\(C\) 正确；
对于\(D\) ， \(A\)发生与否，对\(D\)的发生有影响， \(\therefore A\)，\(D\) 不是相互独立事件，故\(D\)错误．
故选：\(BC\) ． -
【答案】\(\dfrac{1}{3}\)
【解析】由于若设“出现\(3\)点”、“出现\(6\)点”分别为事件\(A\)、\(B\)，
则事件\(A\) ，\(B\)为互斥事件，又由\(P(A)=P(B)=\dfrac{1}{6}\)，
则出现点数为\(3\)的倍数的概率为\(P(A+B)=P(A)+P(B)=\dfrac{1}{3}\)，
故答案为\(\dfrac{1}{3}\) -
【答案】\(0.2\)
【解析】由题意知，射手命中的概率为\(0.25+0.20+0.35=0.8\)，
又由射手命中靶与不命中靶为对立事件，故不命中靶的概率是\(1－0.8=0.2\)，
故答案为\(0.2\). -
【答案】\(\dfrac{3}{5}\)
【解析】\(∵\)事件\(A\) ，\(B\)互斥，\(P(AB)=0\)，
\(∵\)它们都不发生的概率为\(\dfrac{2}{5}\)，
\(\therefore [1－P(A)][1－P(B)]=\dfrac{2}{5}\)，
\(\therefore 1-P(A)-P(B)+P(AB)=1-2P(B)-P(B)=\dfrac{2}{5}\)，解得\(P(B)=\dfrac{1}{5}\)，
\(\therefore P(A)=2P(B)=\dfrac{2}{5}\)，
\(\therefore P (\bar{A})=1－A=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}\)． -
【答案】\(\dfrac{7}{27}\)
【解析】三辆车经过十字路口的情况有\(27\)种，
至少有两辆车向左转的情况数为\(7\)种，所以概率为：\(\dfrac{7}{27}\)．故答案为：\(\dfrac{7}{27}\)．
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【答案】\(\dfrac{11}{36}\)
【解析】掷两次骰子，会有\(6 \times 6=36\)种可能．
点\(P(m， n)\)落在区域\(|x-2|+|y-2| \leqslant 2\)内，即\(|m-2|+|n-2| \leqslant 2\) ，则共有以下可能性．
① \((1，1)，(1，2)，(1，3)\)；
② \((2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)\) ；
③ \((3，1)，(3，2)，(3，3)\) ；
④ \((4，2)\)；
这\(11\)个点都满足 \(|m-2|+|n-2| \leqslant 2\) ，即所求概率为 \(P=\dfrac{11}{36}\)． -
【答案】\(\dfrac{5}{36}\)
【解析】在网格中共有36个格点，而使得三角形面积为\(1\)的格点有\(5\)个
故使得三角形面积为\(1\)的概率为\(\dfrac{5}{36}\).
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【答案】\(\dfrac{5}{6}\)
【解析】由于正方体骰子，六个面上分别刻有的\(1，2，3，4，5，6\)六个数字，
则事件\(A\)“朝上一面的点数是偶数”包括向上点数为\(2\)，\(4\)，\(6\)三种情况，
事件\(B\)“朝上一面的点数不超过\(4\)”包括向上点数为\(1\)，\(2\)，\(3\)三种情况，
故事件\(A\cup B\)包括向上点数为\(1，2，3，4，6\)五种情况
故\(P(A\cup B)=\dfrac{5}{6}\)． -
【答案】\(\dfrac{4}{9}\)
【解析】(1)由题意知甲、乙乘坐地铁均不超过\(3\)站，前\(3\)站设为\(A_1， B_1， C_1\)，
甲、乙两人共有\(\left(A_1, A_1\right),\left(A_1, B_1\right),\left(A_1, C_1\right),\left(B_1, A_1\right),\left(B_1, B_1\right)\)，
\(\left(B_1, C_1\right),\left(C_1, A_1\right),\left(C_1, B_1\right),\left(C_1, C_1\right)\)，\(9\)种下车方案．
(2)设\(9\)站分别为\(A_1， B_1， C_1， A_2， B_2， C_2， A_3， B_3， C_3\)，
因为甲、乙两人共付费\(4\)元，共有甲付\(1\)元，乙付\(3\)元；甲付\(3\)元，乙付\(1\)元；甲付\(2\)元，乙付\(2\)元三类情况．
由(1)可知每类情况中有\(9\)种方案，
所以甲、乙两人共付费\(4\)元共有\(27\)种方案．
而甲比乙先到达目的地的方案有：
\(\left(A_1, A_3\right),\left(A_1,B_3\right),\left(A_1, C_3\right),\left(B_1, A_3\right),\left(B_1, B_3\right),\left(B_1, C_3\right),\left(C_1, A_3\right)\)，
\(\left(C_1, B_3\right),\left(C_1, C_3\right),\left(A_2, B_2\right),\left(A_2, C_2\right),\left(B_2, C_2\right)\)，共\(12\)种，
故所求概率为\(\dfrac{12}{27}=\dfrac{4}{9}\)．
所以甲比乙先到达目的地的概率为\(\dfrac{4}{9}\)．
