9.1 随机抽样
\(\mathbf{{\large {\color{Red} {欢迎到学科网下载资料学习}} } }\)【高分突破系列】 高一数学下学期同步知识点剖析精品讲义！
\(\mathbf{{\large {{\color{Red} {跟贵哥学数学，so \quad easy！}} }}}\)
必修第二册同步拔高，难度2颗星！
模块导图
知识剖析
全面调查和抽样调查
(1)像人口普查，对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查；
根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查.
Eg 全面调查的特点是数据全面可靠，而费时费力，故用于重大事件调查或样本少的调查，
比如对小区人员核酸检测、调查高一(1)班学生课外阅读时间；
抽样调查的优势在于对人力、财力、物力要求低，节约调查时间等，适合样本数据较多的情况，比如了解珠江的水质情况、了解全市学生的平均身高.
抽样调查的核心是样本的代表性，每个个体被抽到的概率相等，样本数据能够反应总体.
(2)调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体.从总体中抽取的那部分
个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本容量.
Eg 调查高一年级\(1234\)名学生的课外阅读时间，随机抽取\(100\)名学生，其中总体：\(1234\)名学生的课外阅读时间，个体：每个学生的课外阅读时间，样本：抽取的\(100\)名学生的课外阅读时间，样本容量：\(100\).
简单随机抽样
① 简单随机抽样的方法
一般地，设一个总体含有\(N\)个个体，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，则这样的抽样方法叫做简单随机抽样，方法有抽签法和随机数表法.
② 样本平均数
一般地，总体中有\(N\)个个体，它们的变量值分别为\(Y_1\)，\(Y_2\)，…，\(Y_N\)，则称
为总体均值，又称总体平均数.
如果总体的\(N\)个变量值中，不同的值共有\(k(k≤N)\)个，不妨记为\(Y_1\)，\(Y_2\)，…，\(Y_k\)，其中\(Y_i\)出现的频数\(f_i (i=1，2，…，k)\)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式
如果从总体中抽取一个容量为\(n\)的样本，它们的变量值分别为\(y_1\)，\(y_2\)，…，\(y_n\)，则称
为样本均值，又称样本平均数.
分层随机抽样
一般地，按一个或多个变量把总体划分为若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样.
Eg 若高一年级学生中男女比例是\(1:2\)；学霸学渣比例是\(1:4\)，我们调查学生饮食习惯，可采取简单随机抽样；调查学生身高，常识告诉我们性别对身高影响大，故采取按男女比例分层抽样；调查学生听课效率，则按照学霸学渣比例分层抽样.
获取数据的途径
① 通过调查获取数据 ② 通过试验获取数据
③ 通过观察获取数据 ④ 通过查阅获取数据
经典例题
【题型一】 调查方法
【典题1】 下列调查方式中合适的是( )
A．要了解一批节能灯的使用寿命，采用普查方式
B．调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式
C．调查珠江某段水域的水质情况，采用抽样调查方式
D．调查全市中学生的就寝时间，采用普查方式
【解析】 对于\(A\)，要了解一批节能灯的使用寿命，应采用抽样调查方式，\(A\)错误；
(用普查，那调查完后都没灯用了，哈哈)
对于\(B\)，调查你所在班级同学的身高，班级人数较少，应采用普查方式，\(B\)错误；
对于\(C\)，调查珠江某段水域的水质情况，只能抽取部分水质检查，应采用抽样调查方式，\(C\)正确；
对于\(D\)，调查全市中学生的就寝时间，全市学生人数较多，应采用抽样调查方式，\(D\)错误．
故选：\(C\)．
【点拨】 当样本个数较少或对于重大事件时，可采取全面调查；当样本个数较多时，采取抽样调查.
【典题2】 某中学进行了该学年度期末统一考试，该校为了了解高一年级\(1000\)名学生的考试成绩，从中随机抽取了\(100\)名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法正确的是( )
A．\(1000\)名学生是总体 \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) B．每个学生是个体
C．\(1000\)名学生的成绩是一个个体 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．样本的容量是\(100\)
【解析】 根据题意得，本题的总体、个体与样本考查的对象都是学生成绩，而不是学生，
所以选项\(A\)、\(B\)表达的对象都是学生，不是成绩，\(A\)、\(B\)都错误；
\(C\)中\(1000\)名学生的成绩是总体，不是个体，所以\(C\)是错误的；
\(D\)中样本的容量是\(100\)，\(D\)是正确的．
故选：\(D\)．
【点拨】 注意对调查对象的理解.
巩固练习
1.(★) 下列哪种工作不能使用抽样方法进行( )
A．测定一批炮弹的射程
B．测定海洋水域的某种微生物的含量
C．高考结束后，国家高考命题中心计算数学试卷中每个题目的难度
D．检测某学校全体高二学生的身高和体重的情况
2 (★) 在以下调查中哪个不适合抽样调查( )
A．调查班级学生每周的锻炼时间 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．调查地区新冠的发病率
C．调查一批地雷的杀伤半径 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．调查湖中所有鱼中草鱼的比例
3 (★) 从某年级\(500\)名学生中抽取\(60\)名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是( )
A．\(500\)名学生是总体 \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) B．每个被抽取的学生是个体
C．抽取的\(60\)名学生的体重是一个样本 \(\qquad \qquad \qquad\) D．抽取的\(60\)名学生的体重是样本容量
参考答案
- 【答案】 \(D\)
【解析】 抽样是为了用总体中的部分个体(即样本)来估计总体的情况，选项\(A\)、\(B\)、\(C\)都是从总体中抽取部分个体进行检验．选项\(D\)是检测全体学生的身体状况，所以，要对全体学生的身体都进行检验，而不能采取抽样的方法．
故选：\(D\)． - 【答案】 \(B\)
【解析】 对于\(A\)，调查班级学生每周的锻炼时间，总体信息量较大，应适合抽样调查；
对于\(B\)，调查地区新冠的发病率，因病人传染性强，不能漏掉一个发病者，应适用普查，不能用抽样调查；
对于\(C\)，调查一批地雷的杀伤半径，具有破坏性，应适合抽样调查；
对于\(D\)，调查湖中所有鱼中草鱼的比例，总体数量大，应适合抽样调查．
故选：\(B\)． - 【答案】 \(C\)
【解析】 从某年级\(500\)名学生中抽取\(60\)名学生进行体重的统计分析，
在\(A\)中，\(500\)名学生的体重是总体，故\(A\)错误；
在\(B\)中，每个被抽查的学生的体重是个体，故\(B\)错误；
在\(C\)中，抽查的\(60\)名学生的体重是一个样本，故\(C\)正确；
在\(D\)中，\(60\)是样本容量，故\(D\)错误．
故选：\(C\)．
【题型二】简单随机抽样
【典题1】 用简单随机抽样的方法从含有\(10\)个个体的总体中，抽取一个容量为\(3\)的样本，其中某一个体\(a\)“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是\(\underline{\quad \quad}\) .
【解析】 在抽样过程中，个体\(a\)每一次被抽中的概率是相等的，
\(\because\)总体容量为\(10\)，
故个体\(a\)“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性均为\(\dfrac{1}{10}\).
【点拨】 抽样的核心问题是样本的代表性，故要求保证对样本抽取的概率均相等.这好比你去买彩票，不可能说先让别人去买，我接着买中奖的概率大些，常识告诉你是不可能的！
【典题2】 因乙肝疫苗事件，需要对某种疫苗进行检测，现从\(800\)支中抽取\(60\)支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将\(800\)支按\(000\)，\(001\)，…，\(799\)进行编号，如果从随机数表第\(7\)行第\(10\)列的数开始向右读，则得到的第\(4\)个样本个体的编号是\(\underline{\quad \quad}\) (下面摘取了随机数表第\(7\)行至第\(9\)行)
【解析】 找到第\(7\)行第\(10\)列的数开始向右读，第一个符合条件的是\(157\)，第二个数\(245\)，第三个数\(506\)，第四个数\(887\)不合题意舍去，第五个数\(704\)符合题意．
∴第\(4\)个样本个体的编号是\(704\)，
故答案为\(704\)．
【点拨】 编号是三位数字，故读数的时候是三个数字连着读下去的.
【题型三】 分层随机抽样
【典题1】 下列问题中，最适合用分层抽样方法抽样的是( )
A．某电影院有\(32\)排座位，每排有\(40\)个座位，座位号是\(1～40\)，有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下\(32\)名听众进行座谈
B．从\(10\)台冰箱中抽出\(3\)台进行质量检查
C．某乡农田有山地\(8000\)亩，丘陵\(12000\)亩，平地\(24000\)亩，洼地\(4000\)亩，现抽取农田\(480\)亩估计全乡农田平均产量
D．从\(50\)个零件中抽取\(5\)个做质量检验
【解析】 \(A\)．总体容量较多，差异不明显，不适合分层抽样，
\(B\)．总体容量比较少，使用简单抽样即可，
\(C\)．总体容量较多，样本差异比较明显，使用分层抽样，
\(D\)．总体容量比较少，使用简单抽样即可，
故选：\(C\)．
【点拨】 用分层抽样还是简单随机抽样，看总体中样本之间差异是否明显，这是对调查目的而言，本质是要保证抽样具有代表性！
【典题2】 交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为\(N\)，其中甲社区有驾驶员\(96\)人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为\(8\)，\(23\)，\(27\)，\(43\)，则这四个社区驾驶员的总人数\(N\)为\(\underline{\quad \quad}\).
【解析】 \(\because\)甲社区有驾驶员\(96\)人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为\(8\)，
\(\therefore\)每个个体被抽到的概率为\(\dfrac{8}{96}=\dfrac{1}{12}\)，样本容量为\(8+23+27+43=101\)，
\(\therefore\)这四个社区驾驶员的总人数\(N\)为\(101 \div \dfrac{1}{12}=1212\)．
【点拨】 分层抽样是每层按比例进行抽样的.
【典题3】 某单位有老年人\(27\)人，中年人\(55\)人，青年人\(81\)人．为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为\(36\)的样本，你觉得最适合抽取样本的方法是\(\underline{\quad \quad}\)，抽取的老年人有\(\underline{\quad \quad}\)人，中年人有\(\underline{\quad \quad}\)人，青年人有\(\underline{\quad \quad}\)人.
【解析】 由于调查目的是单位人员的身体状况，明显比例以人员年纪进行分层抽样．
若直接计算抽取老年人\(36 \times \dfrac{27}{27+55+81} \approx 5.96\)，结果不是整数，
故这样直接分层抽样不可取，(也不能说四舍五入的)
通过观察数值，可先从中年人中剔除一人，然后再分层，
此时总体人数是\(27+54+81=162\)，每个个体被抽到的概率等于 \(\dfrac{36}{162}=\dfrac{2}{9}\)，
所以老年人抽取\(27 \times \dfrac{2}{9}=6\)人，中年人\(54 \times \dfrac{2}{9}=12\)人，青年人 \(81 \times \dfrac{2}{9}=18\)；
故答案是：先从中年人中剔除一人再分层抽样，\(6\)，\(12\)，\(18\).
巩固练习
1.(★) 下列问题中，最适合用简单随机方法抽样的是( )
A．某学校有学生\(1320\)人，为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为\(300\)的样本
B．从全班\(30\)名学生中，任意选取\(5\)名进行家访
C．为了准备省政协会议，某政协委员计划从\(1135\)个村庄中抽取\(50\)个进行收入调查
D．为了解某地区癌症的发病情况，从该地区的\(5000\)人中抽取\(200\)人进行统计
2.(★) 某高中为了了解本校学生考入大学一年后的学习情况，对本校上一年考入大学的同学进行了调查，根据学生所属的专业类型，制成如饼图，现从这些同学中抽出\(200\)人进行进一步调查，已知张三为理学专业，李四为工学专业，则下列说法不正确的是( )
A．采用分层随机抽样比简单随机抽样更合理
B．若按专业类型进行分层随机抽样，则理学专业和工学专业应抽取\(60\)人和\(40\)人
C．若按专业类型进行分层随机抽样，则张三被抽到的可能性比李四大
D．该问题中的样本容量为\(200\)
3.(★) 从一个容量为\(m(m≥3，m\in N)\)的总体中抽取一个容量为\(3\)的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是\(\dfrac{1}{3}\)，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是\(\underline{\quad \quad}\).
4.(★) 从某高中\(2021\)名学生中选取\(50\)名学生参加数学竞赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样方法从\(2021\)名学生中剔除\(21\)名，再从余下的\(2000\)名学生中随机抽取\(50\)名．则其中学生丙被选取和被剔除的概率分别是\(\underline{\quad \quad}\) .
5.(★) 某班对一模考试数学成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将\(70\)个同学按\(00\)，\(01\)，\(02\)，…，\(69\)进行编号，然后从随机数表第\(9\)行第\(9\)列的数开始向右读，则选出的第\(10\)个样本中第\(8\)个样本的编号是\(\underline{\quad \quad}\) (注：如表为随机数表的第\(8\)行和第\(9\)行)
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．
6.(★) 假设要考察某公司生产的\(500\)克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从\(800\)袋牛奶中抽取\(60\)袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将\(800\)袋牛奶按\(000\)，\(001\)，…，\(799\)进行编号，如果从随机数表第\(7\)行第\(8\)列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的\(5\)袋牛奶的编号\(\underline{\quad \quad}\) (下面摘取了随机数表第\(7\)行至第\(9\)行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．
7.(★) 某校高中生共有\(900\)人，其中高一年级\(300\)人，高二年级\(200\)人，高三年级\(400\)人，先采用分层抽取容量为\(45\)人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为\(\underline{\quad \quad}\) .
8.(★★) 某单位有职工\(750\)人，其中青年职工\(350\)人，中年职工\(250\)人，老年职工\(150\)人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为\(7\)人，则样本容量为 \(\underline{\quad \quad}\)．
9.(★★) 某校高一年级有学生\(400\)人，高二年级有学生\(360\)人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出\(55\)人，其中从高一年级学生中抽出\(20\)人，则从高三年级学生中抽取的人数为 \(\underline{\quad \quad}\)．
10.(★★) 某工厂生产\(A\)、\(B\)、\(C\)三种不同型号的产品，某月生产产品数量之比依次为\(m：3：2\)，现用分层抽样方法抽取一个容量为\(120\)的样本，已知\(A\)种型号产品抽取了\(45\)件，则\(C\)种型号产品抽取的件数为 \(\underline{\quad \quad}\) .
11.(★★) 某高中共有学生\(1000\)名，其中高一年级共有学生\(380\)人，高二年级男生有\(180\)人．如果在全校学生中抽取\(1\)名学生，抽到高二年级女生的概率为\(0.19\)，现采用分层抽样(按年级分层)在全校抽取\(100\)人，则应在高三年级中抽取的人数等于\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
- 【答案】 \(B\)
【解析】 在\(B\)中，调查数量较少，适合运用简单随机抽样.故选\(B\). - 【答案】 \(C\)
【解析】 对于\(A\)，\(\because\)饼图中学生专业类型鲜明，\(∴\)采用分层随机抽样比简单随机抽样更合理，故\(A\)正确；
对于\(B\)，理学专业应抽取的人数为 \(200 \times \dfrac{30}{100}=60\)，
工学专业应抽取的人数为\(200 \times \dfrac{20}{100}=40\)，故\(B\)正确；
对于\(C\)，张三与李四被抽到的可能性相等，故\(C\)错误；
对于\(D\)，该问题中的样本容量为\(200\)，故\(D\)正确．
故选：\(C\)． - 【答案】 \(\dfrac{1}{3}\)， \(\dfrac{1}{3}\)
【解析】 \(\because\)随机抽样每个个体被抽到的概率相等，
\(∴\)选取分层抽样抽取样本时总体中每个个体被抽中的概率仍为\(\dfrac{1}{3}\). - 【答案】 \(\dfrac{21}{2021}\)， \(\dfrac{50}{2021}\)
【解析】 用简单随机抽样从\(2021\)名学生中剔除\(21\)名，
则学生甲被剔除的概率 \(P=\dfrac{21}{2021}\)，被选取的概率是 \(P=\dfrac{50}{2021}\). - 【答案】 \(38\)
【解析】 \(70\)个同学按\(00\)，\(01\)，\(02\)，…，\(69\)进行编号，从随机数表第\(9\)行第\(9\)列的数开始向右读，选出的第\(10\)个样本数分别是\(29\)，(\(78\)舍去)，\(64\)，\(56\)，\(07\)，(\(82\)舍去)，\(52\)，\(42\)，(\(07\)舍去)，\(44\)，\(38\)，\(15\)，\(51\)；第\(8\)个样本的编号是\(38\)． - 【答案】 \(331\)、\(572\)、\(455\)、\(068\)、\(047\)
【解析】 找到第\(7\)行第\(8\)列的数开始向右读，第一个符合条件的是\(331\)，
第二个数是\(572\)，第三个数是\(455\)，第四个数是\(068\)，
第五个数是\(877\)它大于\(799\)故舍去，第五个数是\(047\)．
故答案为：\(331\)、\(572\)、\(455\)、\(068\)、\(047\) - 【答案】 \(15\)、\(10\)、\(20\)
【解析】 根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为 \(\dfrac{45}{900}=\dfrac{1}{20}\)，
则在高一年级抽取的人数是\(300 \times \dfrac{1}{20}=15\)人，高二年级抽取的人数是 \(200 \times \dfrac{1}{20}=10\)人，
高三年级抽取的人数是 \(400 \times \dfrac{1}{20}=20\)人，
故答案为\(15\)、\(10\)、\(20\)． - 【答案】 \(15\)
【解析】 根据分层抽样的定义和方法，每个个体被抽到的概率等于 \(\dfrac{7}{150}=\dfrac{1}{50}\)．
设样本容量等于\(n\)，则有\(\dfrac{n}{750}=\dfrac{1}{50}\)，解得\(n＝15\)，
故答案为\(15\)． - 【答案】 \(17\)
【解析】 设从高一年级学生中抽出\(x\)人，由题意得 \(\dfrac{x}{360}=\dfrac{20}{400}\)，解得\(x=18\)，
则从高三年级学生中抽取的人数为\(55-20-18=17\)人，
故答案为：\(17\)． - 【答案】 \(30\)
【解析】 \(\because\)分层抽样方法抽取一个容量为\(120\)的样本，\(A\)种型号产品抽取了\(45\)件，
\(\therefore B\)、\(C\)两种型号的产品共抽取：\(120-45=75\)，
\(\because\)某工厂生产\(A\)、\(B\)、\(C\)三种不同型号的产品，某月生产产品数量之比依次为\(m：3：2\)，
\(\therefore C\)种型号产品抽取的件数为： \(75 \times \dfrac{2}{3+2}=30\)． - 【答案】 \(25\)
【解析】 \(\because\)高中共有学生\(1000\)名，在全校学生中抽取\(1\)名学生，抽到高二年级女生的概率为\(0.19\)，
\(\therefore\)高二女生共有\(1000×0.19=190\)人，则高二共有学生\(180+190=370\)人，
则高三人数为人，
则采用分层抽样(按年级分层)在全校抽取\(100\)人，
则应在高三年级中抽取的人数等于 \(\dfrac{250}{1000} \times 100=25\)人，
故答案为：\(25\)．
