7.5 正态分布
基础知识
正态分布的概念
若连续型随机变量\(\xi\)的概率密度函数为 \(f(x)=\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}， x \in(-\infty，+\infty)\)，
其中\(\sigma\)，\(\mu\)为常数，且\(\sigma >0\)，则称\(x\)服从正态分布，简记为\(x∼N(\mu ，\sigma ^2 )\).
\(f(x)\)的图象称为正态曲线.
正态分布的期望与方差
若\(\xi∼ N(\mu ，\sigma ^2)\)，则\(E(\xi)=\mu\) ，\(D(\xi)=\sigma ^2\).
正态曲线的性质
① 曲线在\(x\)轴的上方，与\(x\)轴不相交；
② 曲线关于直线\(x=\mu\)对称；
③ 曲线在\(x=\mu\)时达到峰值\(\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\)；
④ 曲线与\(x\)轴之间的面积为\(1\)；
⑤ 当\(x<\mu\)时，曲线上升；当\(x>\mu\)时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以\(x\)轴为渐进线，向它无限靠近；
⑥ 曲线的形状由\(\sigma\)确定，
\(\sigma\)越大，峰值\(\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\)越小，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
\(\sigma\)越小，峰值\(\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\)越大，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．
正态分布的概率
若\(X∼N(\mu ，\sigma ^2)\)，\(X\)取值不超过\(x\)的概率\(P(X≤x)\)为区域\(A\)的面积，而\(P(a≤X≤b)\)为区域\(B\)的面积.
\(3\sigma\) 原则
假设\(X∼N(\mu ，\sigma^2)\)，对于给到的\(k\in N^*\)，\(P(\mu -k\sigma <x≤\mu +k\sigma )\)是一个只与\(k\)有关的定值，特别地，
\(P(\mu -\sigma <x≤\mu +\sigma )=0.6827\)
\(P(\mu -2 \sigma <x≤\mu +2 \sigma )=0.9545\)
\(P(\mu -3 \sigma <x≤\mu +3 \sigma )=0.9973\)
在实际应用中，通常认为服从于正态分布\(N(\mu ，\sigma ^2)\)的随机变量只取\((\mu -3 \sigma ，\mu +3 \sigma )\)之间的值，并简称之为\(3\sigma\)原则.
标准正态分布
① 在标准正态分布表中相应于\(x_0\)的值\(\Phi\left(x_0\right)\)是指总体取值小于\(x_0\)的概率，即\(\Phi\left(x_0\right)=P(x<x_0)\).
\(x_0≥ 0\)时，则\(\Phi\left(x_0\right)\)的值可在标准正态分布表中查到；
\(x_0<0\)时，可利用其图象的对称性获得\(\Phi\left(x_0\right)=1-\Phi\left(-x_0\right)\)来求出，
\(P\left(x_1<\xi<x_2\right)=P\left(\xi<x_2\right)-P\left(\xi<x_1\right)=\Phi\left(x_2\right)-\Phi\left(x_1\right)\)
② \(N(\mu ，\sigma ^2)\)与\(N(0 ，1)\)的关系：
(i)若\(\xi∼N(\mu ，\sigma ^2)\)，则\(\eta=\dfrac{\xi-\mu}{\sigma} \sim N(0，1)\)，有 \(P\left(\xi<x_0\right)=F\left(x_0\right)=\Phi\left(\dfrac{x_0-\mu}{\sigma}\right)\)；
(ii)若\(\xi∼ N(\mu ，\sigma ^2)\)，则 \(P\left(\xi<x_0\right)=F\left(x_0\right)=\Phi\left(\dfrac{x_0-\mu}{\sigma}\right)\).
基本方法
【题型1】 正态分布的图象与性质
【典题1】 如图所示的是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
解析 从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线\(x=20\)对称，最大值是 \(\dfrac{1}{2 \sqrt{\pi}}\)，
所以\(\mu =20\)， \(\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}=\dfrac{1}{2 \sqrt{\pi}}\)，则\(\sigma=\sqrt{2}\)．
所以概率密度函数的解析式是 \(f(x)=\dfrac{1}{2 \sqrt{\pi}} e^{-\frac{(x-20)^2}{4}}， x \in(-\infty，+\infty)\)．
总体随机变量的期望是\(\mu =20\)，方差是 \(\sigma^2=(\sqrt{2})^2=2\).
点拨 若连续型随机变量\(\xi\)的概率密度函数为\(f(x)=\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}， x \in(-\infty，+\infty)\)中对称轴\(x=\mu\)，\(E(\xi)=\mu\)，\(D(\xi)=\sigma ^2\).
【典题2】 (多选)已知三个正态分布密度函数\(\varphi_i(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu_i)^2}{2 \sigma_i^2}}\)\((x \in R， I=1，2，3)\)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A． \(\sigma_1=\sigma_2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\mu_1>\mu_3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C． \(\mu_1=\mu_2\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(\sigma_2<\sigma_3\)
解析 根据正态曲线关于\(x=\mu\)对称，且\mu 越大图象越靠近右边，
所以\(\mu_1<\mu_2=\mu_3 \text {， }\)，\(BC\)错误；
又\(\sigma\)越小数据越集中，图象越瘦长，
所以\(\sigma_1=\sigma_2<\sigma_3\)，\(AD\)正确．
故选：\(AD\)．
【典题3】 已知随机变量\(\xi\)服从正态分布\(N(0，\sigma ^2)\)，若\(P(\xi>2)=0.023\)，则\(P(-2≤\xi≤2)=\)( )
A．\(0.447\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(0.628\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(0.954\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(0.977\)
解析 \(\because\)随机变量\(\xi\)服从标准正态分布\(N(0，\sigma ^2)\)，
\(\therefore\)正态曲线关于直线\(x=0\)对称．
又\(P(\xi>2)=0.023\)，\(\therefore P(\xi<-2)=0.023\)．
\(\therefore P(-2≤\xi≤2)=1-2×0.023=0.954\)．
【巩固练习】
1.随机变量\(X～N(1，2^2)\)，则 \(D\left(\dfrac{1}{2} X\right)=\)( )
A．\(4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(\dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(1\)
2.设 \(X \sim N\left(\mu_1， \quad \sigma_1^2\right)\)，\(Y \sim N\left(\mu_2， \sigma_2^2\right)\)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( )
A．\(\mu_1<\mu_2\)， \(\sigma_1<\sigma_2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B．\(\mu_1<\mu_2\)，\(\sigma_1>\sigma_2\)
C．\(\mu_1>\mu_2\)，\(\sigma_1<\sigma_2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．\(\mu_1>\mu_2\)，\(\sigma_1>\sigma_2\)
3.若随机变量\(\xi\)服从正态分布\(N(0，1)\)，已知\(P(\xi<-1.96)=0.025\)，则\(P(|\xi|<1.96)=\)( )
A．\(0.025\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(0.050\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(0.950\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(0.975\)
4.若随机变量\(X\)服从分布\(X～N(2，\sigma ^2)\)，且\(2P(X≥3)=P(1≤X≤2)\)，则\(P(X<3)=\) \(\underline{\quad \quad}\)．
5.随机变量\(X\)服从正态分布\(X～N(10，\sigma ^2)\)，\(P(X>12)=m\)，\(P(8≤X≤10)=n\)，则\(\dfrac{2}{m}+\dfrac{1}{n}\)最小值为\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 因为\(X～N(1，2^2)\)，所以\(D(X)=4\)，所以 \(D\left(\dfrac{1}{2} X\right)=\dfrac{1}{4} D(X)=1\)． -
答案 \(A\)
解析 由正态分布的图象知，\(X\)的正态分布曲线的对称轴小于\(Y\)的正态分布曲线的对称轴，即\(\mu_1<\mu_2\)；
再由正态分布曲线的图象方差越小，随机变量的取值越集中，图象越高瘦，
方差越大，随机变量的取值越分散，图象越矮胖，可得\(\sigma_1<\sigma_2\)．
故选：\(A\)． -
答案 \(C\)
解析 由已知正态曲线的对称轴为\(x=\mu =0\)，
则\(P(\xi<-1.96)=P(\xi>1.96)=0.025\)，
\(\therefore P(|\xi|<1.96)=1-P(\xi≥1.96)-P(\xi≤-1.96)=0.950\)． -
答案 \(\dfrac{5}{6}\)
解析 设\(P(X≥3)=x\)，则\(P(1≤X≤2)=2x\)，
根据对称性，\(P(2≤X≤3)=2x\)，
则\(P(X≥2)=3x=\dfrac{1}{2}\)，\(\therefore P(X≥3)=x=\dfrac{1}{6}\)．
即\(P(X≥3)=\dfrac{1}{6}\)，\(\therefore P(X<3)=\dfrac{5}{6}\). -
答案 \(6+4 \sqrt{2}\)
解析 \(\because\)随机变量\(X\)服从正态分布\(X～N(10，\sigma ^2)\)，
\(\therefore P(X \geq 10)=\dfrac{1}{2}\)，
由\(P(8≤X≤10)=n\)，得\(P(10≤X≤12)=n\)，
又\(P(X>12)=m\)，
\(\therefore m+n=\dfrac{1}{2}\)，且\(m>0\)，\(n>0\)，
则 \(\dfrac{2}{m}+\dfrac{1}{n}=\left(\dfrac{2}{m}+\dfrac{1}{n}\right)(2 m+2 n)=6+\sqrt{\dfrac{4 n}{m} \cdot \dfrac{2 m}{n}} \geq 6+2=6+4 \sqrt{2}\)．
当且仅当\(\dfrac{4 n}{m}=\dfrac{2 m}{n}\)，即 \(m=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\)， \(n=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}\)时等号成立．
\(\therefore \dfrac{2}{m}+\dfrac{1}{n}\)的最小值为\(6+4 \sqrt{2}\)．
故答案为：\(6+4 \sqrt{2}\)．
【题型2】 正态分布的应用
【典题1】 甲、乙两类水果的质量(单位：\(kg\))分别服从正态分布 \(N\left(\mu_1， \quad \delta_1^2\right)\)，\(N\left(\mu_2， \delta_2^2\right)\)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是( )
A．甲类水果的平均质量\(\mu _1=0.4kg\)
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数\(δ_2=1.99\)
解析 由图象可知甲图象关于直线\(x=0.4\)对称，乙图象关于直线\(x=0.8\)对称，
\(\therefore \mu_1=0.4\)_， _\(\mu_2=0.8\)，
故\(A\)正确，\(C\)正确，
\(\because\)甲图象比乙图象更“高瘦”，
\(\therefore\)甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故\(B\)正确；
\(\because\)乙图象的最大值为\(1.99\)，即\(\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi} \delta_2}=1.99\)，
\(\therefore δ^2≠1.99\)，故\(D\)错误．
故选：\(D\)．
点拨 理解正态分布各要素在实际问题中的含义是关键，本题中正态分布的密度曲线期望\(\mu\)是平均质量，方差\(δ\)是质量的“参差不齐的程度”.
【典题2】 某制造企业租用一台打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队打印出了一批这样的零件，从中随机抽取\(10\)个零件，测量其内径的数据如下(单位：\(\mu m\))．
97 97 98 102 105 107 108 109 113 114
(1)计算平均值\(\mu\)与标准差\(\sigma\)．
(2)假设这台\(3D\)打印设备打印出的零件内径Z服从正态分布\(N(\mu ，\sigma ^2)\)，该团队到工厂安装调试后，试打了\(5\)个零件，度量其内径分别为(单位：\(\mu m\))\(86\)，\(95\)，\(103\)，\(109\)，\(118\)，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？
参考数据：\(P(\mu -2\sigma <Z≤\mu +2\sigma )≈0.954\)，\(P(\mu -3\sigma <Z≤\mu +3\sigma )≈0.997\)， \(0.954^3 \approx 0.87\)，\(0.997^4 \approx 0.99\)，\(0.046^2 \approx 0.002\)．
解析 (1)利用题中数据，即可计算平均值\(\mu\)与标准差\(\sigma\)，
\(\mu=\dfrac{1}{10}(97+97+98+102+105+107+108+109+113+114)=105\)，
\(\sigma^2=\dfrac{1}{10}(64+64+49+9+0+4+9+16+64+81)=36\)，则\(\sigma =6\)；
(2)需要进一步调试．
\(\because Z\)服从正态分布\(N(105，36)\)，\(P(\mu -3\sigma <Z≤\mu +3\sigma )≈0.997\)，
\(\therefore\)内径在\((87，123)\)之外的概率为\(0.003\)，而\(86 \notin(87，123)\)，
根据\(3\sigma\)原则，需要进一步调试．
点拨 \(3\sigma\)原则中，注意题中各数据与平均值\(\mu\)和标准差\(\sigma 的\)关系，比如本题中\(\mu =105\)，\(\sigma =6\)，区间\((87，123)\)中\(87=\mu -3\sigma\)，\(123=\mu +3\sigma\)，故用到\(P(\mu -3\sigma <Z≤\mu +3\sigma )\).
【巩固练习】
1.为了研究不同性别在处理多任务时的表现差异，召集了男女志愿者各\(300\)名，让他们同时完成多个任务．以下\(4\)个结论中，对志愿者完成任务所需时间分布图表理解正确的是( )
①总体看女性处理多任务平均用时更短；
②所有女性处理多任务的能力都要优于男性；
③男性的时间分布更接近正态分布；
④女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数，且男性处理多任务的用时绝对值大．
A．①④ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．②③ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．①③ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．②④
2.某市教育局为了解双减政策的落实情况，随机在本市内抽取了\(A\)，\(B\)两所初级中学，在每一所学校中各随机抽取了\(200\)名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：
由直方图判断，以下说法正确的是( )
A．总体看，\(A\)校学生做作业平均时长小于\(B\)校学生做作业平均时长
B．\(B\)校所有学生做作业时长都要大于\(A\)校学生做作业时长
C．\(A\)校学生做作业时长的中位数大于\(B\)校学生做作业的中位数
D．\(A\)校学生做作业时长分布更接近正态分布
3.在某次数学考试中，学生成绩\(X\)服从正态分布\((100，δ^2 )\)．若\(X\)在\((85，115)\)内的概率是\(0.5\)，则从参加这次考试的学生中任意选取\(3\)名学生，恰有\(2\)名学生的成绩不低于\(85\)的概率是( )
A．\(\dfrac{27}{64}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\dfrac{9}{64}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(\dfrac{3}{4}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(\dfrac{9}{16}\)
4.(多选)为了研究新冠疫情期间学生上网课的学习效果，学生返校复课后，某市对高三年级组织了一次调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度曲线函数为 \(f(x)=\dfrac{1}{9 \sqrt{2} \pi} e^{-\frac{(x-85)^2}{162}}， x \in(-\infty，+\infty)\)，则下列说法正确的是( )
A．本次调研考试的平均分为\(85\)
B．本次调研考试的方差为\(81\)
C．随机抽查一名学生，其成绩在\(125\)分以上的概率比成绩在\(45\)分以下的概率大
D．本次调研考试，其成绩在\((75，85)\)和在\((85，95)\)的人数大致一样多
5.在某次数学考试中，考生的成绩\(\xi\)服从一个正态分布，即\(\xi～N(90，100)\)．
(1)试求考试成绩\(\xi\)位于区间\((70，110]\)内的概率是多少？
(2)若这次考试共有\(2 000\)名考生，试估计考试成绩在\((80，100]\)间的考生大约有多少人？
6.以下是某一年\(A\)，\(B\)两地的气温曲线与降水量柱状图．
其中\(A\)地的气温\(u\)(单位\(^{\circ} \mathrm{C}\))与月份\(x\)的关系近似为函数\(u=-x2+13x-17.25\)，且\(A\)地的月平均降水量\(y\)(单位\(mm\))与月份\(x\)的关系近似为函数\(y=200 e^{-\frac{1}{20}(x-6.5)^2}\)．
(Ⅰ)求出\(A\)地月平均降水量\(y\)(单位\(mm\))与气温\(u\)(单位\(^{\circ} \mathrm{C}\) )的函数关系式，并作线性变换，用线性函数预测当气温\(u\)为\(23 ^{\circ} \mathrm{C}\)时，该月的平均降水量为多少\(mm\)？
(Ⅱ)若两地的月降水量均符合正态分布，分别为\(Y_1～N(100，400)\)，\(Y_2～N(105，25)\)，试根据\(A\)，\(B\)两地的降水量柱状图判断\(Y_1\)，\(Y_2\)所对应的地区，并求出\(B\)地区月降水量超过\(120mm\)的概率．
(附：对于函数 \(y=a \cdot e^{k x+b}\)，可变换为\(\ln y=\ln a+kx+b\)，令\(t=\ln y\)，\(m=\ln a+b\)，则\(t=kx+m\)．
参考数据:\(\ln 200≈5.3\)， \(e^5≈148.4\)，\(e^{5.1}≈164.0\)，\(e^{5.2}≈181.3\)， \(e^{5.3} \approx 200.3\)， \(e^{5.4} \approx 221.4\)
若随机变量\(X\)服从正态分布，则\(P(\mu -\sigma ≤X≤\mu +\sigma )=68.26%\)，\(P(\mu -2\sigma ≤X≤\mu +2\sigma )=95.44%\)，\(P(\mu -3\sigma ≤X≤\mu +3\sigma )=99.74%)\).
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 ①女性处理多任务平均用时集中在\(2-3\)分钟，男性的集中在\(3-4.5\)分钟，即①正确；
②从图中可以看到男性与女性处理任务所需的时间有交叉，所以并不是“所有女性都优于男性”，即②错误；
③根据正态分布的性质可知③正确；
④女性和男性处理多任务的用时均为正数，即④错误．
故选：\(C\)． -
答案 \(A\)
解析 由直方图可知，\(A\)校学生做作业时长大部分在\(1-2\)小时，
而\(B\)校学生做作业时长大部分在\(2.5-3\)小时，故\(A\)正确，\(C\)错误，
\(B\)校有学生做作业时长小于\(1\)小时的，而\(A\)校有学生做作业时长超过\(5\)小时的，故\(B\)错误，
\(B\)校学生做作业时长分布相对\(A\)校更对称，故\(D\)不正确．
故选：\(A\)． -
答案 \(A\)
解析 由\(X\)在\((85，115)\)内的概率是\(0.5\)，知\(P(85<X<115)=0.5\)，
所以 \(P(X \geqslant 85)=1-P(X<85)=1-\dfrac{1-P(85<X<115)}{2}\)\(=1-\dfrac{1-0.5}{2}=0.75=\dfrac{3}{4}\)，
记“任意选取\(3\)名学生，恰有\(2\)名学生的成绩不低于\(85\)”为事件\(A\)，
则 \(P(A)=C_3^2\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 \cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{27}{64}\)．
故选：\(A\)． -
答案 \(ABD\)
解析 由正态分布密度曲线函数为 \(f(x)=\dfrac{1}{9 \sqrt{2} \pi} e^{-\frac{(x-85)^2}{162}}， x \in(-\infty，+\infty)\)，
所以平均数\(\mu =85\)，方差\(\sigma ^2=81\)，所以选项\(A\)、\(B\)正确；
又\(P(x>125)=P(x<45)\)，
所以成绩在\(125\)分以上的概率等于成绩在\(45\)分以下的概率，选项\(C\)错误；
根据正态分布的对称性知，成绩在\((75，85)\)和在\((85，95)\)的人数大致一样多，选项\(D\)正确．
故选：\(ABD\)． -
答案 (1) \(0.954 4\) (2) \(1 365\)
解析 \(\because \xi～N(90，100)\)，
\(\therefore \mu =90\)， \(\sigma=\sqrt{100}=10\)．
(1)由于正态变量在区间\((\mu -2\sigma ，\mu +2\sigma ]\)内取值的概率是\(0.954 4\)，而该正态分布中，\(\mu -2\sigma =90-2×10=70\)，\(\mu +2\sigma =90+2×10=110\)，
于是考试成绩\(\xi\)位于区间\((70，110]\)内的概率就是\(0.954 4\)．
(2)由\(\mu =90\)，\(\sigma =10\)得\(\mu -\sigma =80\)，\(\mu +\sigma =100\)．
由于正态变量在区间\((\mu -\sigma ，\mu +\sigma ]\)内取值的概率是\(0.682 6\)，
所以考试成绩\(\xi\)位于区间\((80，100]\)内的概率是\(0.682 6\)．一共有\(2 000\)名考生，
所以考试成绩在\((80，100]\)间的考生大约有\(2 000×0.682 6≈1 365\)(人)． -
答案 (Ⅰ) \(181.3mm\) (Ⅱ) \(0.13\%\)
解析 (Ⅰ)由 \(u=-x^2+13 x-17.25=25-(x-6.5)^2\)，
知 \(u-25=-(x-6.5)^2\)，
又 \(y=a \cdot e^{k x+b}\)， \(\therefore y=200 e^{\frac{u-25}{20}}\)，
两边取对数得\(\ln y=\ln 200+\dfrac{u-25}{20}\)，
令\(t=\ln y\)，则 \(t=5.3+\dfrac{u-25}{20}\)，即\(t=0.05u+4.05\)，
当\(u=23\)时，\(t=5.2\)，此时 \(y=e^t=e^{5.2} \approx 181.3\)，
\(\therefore\)当气温\(u\)为\(23 ^{\circ} \mathrm{C}\)时，预计该月的平均降水量为\(181.3mm\)；
(Ⅱ)分析\(A\)，\(B\)两地的降水量柱状图，
可知\(A\)地区的月降水量的波动(方差)较大，\(B\)地区的月降水量的波动(方差)较小，
\(\therefore Y_1\)对应\(A\)地，\(Y_2\)对应\(B\)地，
由\(Y_2～N(105，25)\)，知\(\mu =105\)，\(\sigma =5\)，\(120=\mu +3\sigma\)，
由\(P(\mu -3\sigma ≤X≤\mu +3\sigma )=99.74%\)，
知 \(P(X>120)=P(X>\mu+3 \sigma)=\dfrac{1}{2} \times(1-99.74 \%)=0.13 \%\)，
即\(B\)地区月降水量超过\(120mm\)的概率为\(0.13\%\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.已知\(X～N(\mu ，\sigma ^2)\)， \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}\)，\(x\in R\)，则不正确的是( )
A．曲线\(y=f(x)\)与\(x\)轴围成的几何图形的面积小于\(1\)
B．函数\(f(x)\)图象关于直线\(x=\mu\)对称
C．\(P(X>\mu -\sigma )=2P(\mu <X<\mu +\sigma )+P(X≥\mu +\sigma )\)
D．函数\(F(x)=P(X>x)\)在\(R\)上单调递减
2.设\(X \sim N\left(\mu_1， \sigma_1^2\right)\)，\(Y \sim N\left(\mu_2， \sigma_2^2\right)\)，这两个正态曲线如图所示，下列说法正确的是( )
A． \(P\left(Y \leq \mu_1\right) \geq P\left(Y \leq \mu_2\right)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \(P\left(X \geq \sigma_1\right) \geq P\left(X \geq \sigma_2\right)\)
C．若\(t<0\)，则\(P(X≤t)≤P(Y≤t)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．若\(t<0\)，则\(P(X≥t)≤P(Y≥t)\)
3.小明上学有时做公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时\(30\min\)，样本方差为\(36\)；骑自行车平均用时\(34\min\)，样本方差为4，假设做公交车用时\(X∼N(30，6^2 )\)，骑自行车用时\(Y∼N(34，2^2 )\)，则( )
A．\(P(X≤38)>P(Y≤38)\)
B．\(P(X≤34)>P(Y≤34)\)
C．如果有\(38\)分钟可用，小明应选择坐公交车
D．如果有\(34\)分钟可用，小明应选择自行车
4.如图，三条曲线分别是甲、乙、丙三个模具厂家生产某种零件尺寸误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是( )
A．三个模具厂家生产这种零件尺寸误差的均值相等
B． \(P\left(x_{\text {乙 }} \geqslant 1\right)<P\left(x_{\text {丙 }} \geqslant 1\right)\)
C．三个模具厂家生产这种零件尺寸误差的方差从小到大依次为丙、乙、甲
D．生产这种零件时，甲厂的生产质量最好
5.(多选)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：\(cm\))服从正态分布，其密度曲线函数为\(f(x)=\dfrac{1}{10 \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-100)^2}{200}}\)，\(x \in(-\infty，+\infty)\)，则下列说法正确的是( )
A．该地水稻的平均株高为\(100cm\)
B．该地水稻株高的方差为\(10\)
C．随机测量一株水稻，其株高在\(120cm\)以上的概率比株高在\(70cm\)以下的概率大
D．随机测量一株水稻，其株高在\((80，90)\)和在\((100，110)\)(单位：\(cm\))的概率一样大
6.一批灯泡的使用时间\(X\)(单位：小时)服从正态分布\(N(10 000，400^2)\)，则这批灯泡使用时间在\((9 200，10 800]\)内的概率是\(\underline{\quad \quad}\)．
7.在某项测量中，测量结果\(\xi\)服从正态分布\(N(1，\sigma ^2)(\sigma >0)\)．若\(\xi\)在\((0，1)\)内取值的概率为\(0.4\)，则\(\xi\)在\((0，2\))内取值的概率为\(\underline{\quad \quad}\)．
8.研究珠海市农科奇观的某种作物，其单株生长果实个数\(X\)服从正态分布\(N(90，\sigma ^2)\)，且\(P(x<70)=0.1\)，从中随机抽取\(10\)株，果实个数在\([90，110]\)的株数记作随机变量\(X\)，假设\(X\)服从二项分布，则\(X\)的方差为\(\underline{\quad \quad}\)．
9.某车间生产一批零件，现从中随机抽取\(10\)个，测量其内径的数据如下(单位：\(mm\))：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209．设这\(10\)个数据的均值为\(\mu\)，标准差为\(\sigma\)．
(1)求\(\mu\)和\(\sigma\)；
(2)已知这批零件的内径\(X\)(单位：\(mm\))服从正态分布\(N(\mu ，\sigma ^2 )\)，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了\(5\)个零件，测量其内径(单位：\(mm\))分别为：\(181\)，\(190\)，\(198\)，\(204\)，\(213\)，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据\(3\sigma\)原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．
参考数据：若\(X∼N(\mu ，\sigma ^2 )\)，则：\(P(\mu -\sigma <X≤\mu +\sigma )≈0.6826\)，\(P(\mu -2\sigma <X≤\mu +2\sigma )≈0.9544\)，\(P(\mu -3\sigma <X≤\mu +3\sigma )≈0.9974，0.9974≈0.99\)．
10.某食品厂生产一种零食，该种零食每袋的质量\(X\)(单位：\(g\))服从正态分布\(N(65，4.84)\)．
(1)当质检员随机抽检\(20\)袋该种零食时，测得\(1\)袋零食的质量为\(73g\)，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据．
(2)规定：这种零食的质量在\(62.8g～69.4g\)的为合格品．
①求这种零食的合格率；(结果精确到\(0.001\))
②从该种零食中任意挑选\(n\)袋，合格品的袋数为\(Y\)，若\(Y\)的数学期望大于\(58\)，求\(n\)的最小值．
参考数据：若\(X∼N(\mu ，\sigma ^2 )\)，则\(P(\mu -\sigma ≤X≤\mu +\sigma )=0.6827\)，\(P(\mu -2\sigma ≤X≤\mu +2\sigma )=0.9545\)，\(P(\mu -3\sigma ≤X≤\mu +3\sigma )=0.9973\)．
11.某网络APP在平台开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项活动．
(1)若甲第一关通过的概率为\(\dfrac{3}{4}\)，第二关通过的概率为\(\dfrac{2}{3}\)，求甲可以进入第三关的概率；
(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为\(450\)分，现要根据得分给共\(2500\)名参加者中得分前\(400\)名发放奖励，
①假设该闯关活动平均分数为\(171\)分，\(351\)分以上共有\(57\)人，已知甲的得分为\(270\)分，问甲能否获得奖励，请说明理由；
②丙得知他的分数为\(430\)分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为\(201\)分，\(351\)分以上共有\(57\)人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪．
附：若随机变量\(Z∼N(\mu ，\sigma ^2 )\)，则\(P(\mu -\sigma ≤X≤\mu +\sigma )≈0.6827\)；\(P(\mu -2\sigma ≤X≤\mu +2\sigma )≈0.9545\)；\(P(\mu -3\sigma ≤X≤\mu +3\sigma )≈0.9973\)．
参考答案
-
答案 \(A\)
解析 \(A\)．曲线\(y=f(x)\)与\(x\)轴围成的几何图形的面积等于\(1\)，因此\(A\)不正确；
\(B\)．函数\(f(x)\)图象关于直线\(x=\mu\)对称，可得\(B\)正确；
\(C\)．\(\because P(\mu >X>\mu -\sigma )=P(\mu <X<\mu +\sigma )\)，
\(\therefore P(X>\mu -\sigma )=2P(\mu <X<\mu +\sigma )+P(X≥\mu +\sigma )\)，因此\(C\)正确；
\(D\)．函数\(F(x)=P(X>x)\)在\(R\)上单调递减，可得\(D\)正确．
故选：\(A\)． -
答案 \(D\)
解析 \(\because\)正态分布密度曲线图象关于\(x=\mu\)对称， \(\therefore \mu_1<\mu_2\)，
由图象形状可得 \(\sigma_1>\sigma_2\)，
由正态分布曲线的对称性可得：若\(t<0\)，则\(P(X≥t)≤P(Y≥t)\)．
故选：\(D\)．
-
答案 \(B\)
解析 因为\(X∼N(30，6^2 )\)，\(Y∼N(34，2^2 )\)，
将\(X\)，\(Y\)化为标准正态分布，则\(\dfrac{X-30}{6} \sim N(0，1)\)， \(\dfrac{Y-34}{2} \sim N(0，1)\)，
因为\(\dfrac{38-30}{6}<\dfrac{38-34}{2}\)，所以\(P(X≤38)<P(Y≤38)\)，故\(A\)错误；
又 \(P(X \leqslant 34)>\dfrac{1}{2}\)， \(P(Y \leqslant 34)=\dfrac{1}{2}\)，\(P(X≤34)>P(Y≤34)\)，故\(B\)正确；
因为\(P(X≤38)<P(Y≤38)\)，所以如果有\(38\)分钟可用，小明应选择自行车，故\(C\)错误；
因为\(P(X≤34)>P(Y≤34)\)，所以如果有\(34\)分钟可用，小明应选择坐公交车，故\(D\)错误．
故选：\(B\)． -
答案 \(C\)
解析 对于\(A\)，由正态分布的图象可知，三个模具厂生产某种零件尺寸误差分布的正态分布密度曲线都关于\(y\)轴对称，
则三个模具厂家生产这种零件尺寸误差的均值相等，故\(A\)正确，
对于\(B\)，乙厂对应的正态密度曲线在区间\([1，+∞)\)之间与\(x\)轴围成的面积与丙厂对应的正态密度曲线在区间\([1，+∞)\)之间与\(x\)轴围成的面积为乙小于丙，故\(P\left(x_{\text {乙 }} \geqslant 1\right)<P\left(x_{\text {丙 }} \geqslant 1\right)\)，故\(B\)正确，
对于\(C\)，由正态分布曲线的形状可知，三个模具厂家生产这种零件尺寸误差的方差从小到大依次为甲，乙丙，故\(C\)错误，
对于\(D\)，三个模具厂家生产这种零件尺寸误差的均值相等，但甲厂的方差最小，故甲厂的生产质量最好，故\(D\)正确．
故选：\(C\)． -
答案 \(AC\)
解析 由正态分布密度曲线函数为\(f(x)=\dfrac{1}{10 \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-100)^2}{200}}\)， \(x \in(-\infty， \quad+\infty)\)，
得\(\mu =100\)，\(\sigma =10\)．
\(\therefore\)该地水稻的平均株高为\(E(X)=100cm\)，故\(A\)正确；
该地水稻株高的标准差\(\sigma =10\)，方差为\(100\)，故\(B\)错误；
\(\because P(X>120)=\dfrac{1}{2}[1-P(\mu-2 \sigma<X<\mu+2 \sigma)]\)\(=\dfrac{1}{2}(1-0.9544)=0.0228\)，
\(P(X<70)=\dfrac{1}{2}[1-P(\mu-3 \sigma<X<\mu+3 \sigma)]\)\(=\dfrac{1}{2}(1-0.9974)=0.0013\)，
\(\therefore\)随机测量一株水稻，其株高在\(120cm\)以上的概率比株高在\(70cm\)以下的概率大，故\(C\)正确； \(P(80<X<90)=\dfrac{1}{2}[P(\mu-2 \sigma<X<\mu+2 \sigma)-P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)]\) \(=\dfrac{1}{2}(0.9544-0.6826)=0.1359\)，
\(P(100<X<110)=\dfrac{1}{2}[P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)]\)\(=\dfrac{1}{2} \times 0.6826=0.3413\)．
\(\therefore\)随机测量一株水稻，其株高在\((80，90)\)和在\((100，110)\)(单位：\(cm\))的概率不一样大，
故\(D\)错误．
故选：\(AC\)． -
答案 \(0.954 4\)
解析 \(\mu =10 000\)，\(\sigma =400\)，
\(P(9 200<X≤10 800)=P(10 000-2×400<X≤10 000+2×400)=0.954 4\)． -
答案 \(0.8\)
解析 易得\(P(0<\xi<1)=P(1<\xi<2)\)，
故\(P(0<\xi<2)=2P(0<\xi<1)=2×0.4=0.8\)． -
答案 \(2.4\)
解析 \(\because x∼N(90，\sigma ^2 )\)，且\(P(x<70)=0.1\)，
\(\therefore P(90<x<110)=0.5-0.1=0.4\)，
\(\therefore X～B(10，0.4)\)，
\(X\)的方差为\(10×0.4×(1-0.4)=2.4\)．
故答案为：\(2.4\)． -
答案 (1) \(6\) (2) 需要
解析 (1) \(\mu=\dfrac{1}{10}(192+192+193+197+200+202+203+204+208+209=200\)，
\(\sigma^2=\dfrac{1}{10}\left[8^2+8^2+7^2+3^2+0^2+2^2+3^2+4^2+8^2+9^2\right]=36\)，
故 \(\sigma=\sqrt{36}=6\)；
(2)由题意得：\(X～N(200，36)\)，\(P(200-18<X≤200+18)≈0.9974\)，
即\(P(182<X≤218)≈0.9974\)，
所以五个零件的内径中恰有\(1\)个不在\((\mu -3\sigma ，\mu +3\sigma ]\)的概率为
\(C_5^1(0.997)^4 \times(1-0.997) \approx 0.01485\)，
又试产的\(5\)个零件中内径出现了\(1\)个不在\((\mu -3\sigma ，\mu +3\sigma ]\)内，
所以小概率事件出现了，根据\(3\sigma\)原则，这台设备需要进一步调试． -
答案 (1) 该质检员的决定有道理(2) ①\(0.819\) ②\(71\)
解析 (1)该种零食每袋的质量\(X\)(单位：\(g\))服从正态分布\(N(65，4.84)\)，
可得\(\mu =65\)，\(\sigma =2.2\)，
则\(\mu +3\sigma =71.6\)，\(73\in (\mu +3\sigma ，+∞)\)，
所以 \(P(X>71.6)=\dfrac{1-P(58.4 \leqslant X \leqslant 71.6)}{2}=\dfrac{1-0.9973}{2}=0.00135\)，
所以\(0.00135\)远小于 \(\dfrac{1}{20}\)，此事件为小概率事件，
所以该质检员的决定有道理．
(2)①因为\(\mu =65\)，\(\sigma =2.2\)，所以\(\mu -\sigma =62.8\)，\(\mu +2\sigma =69.4\)，
由题意可知当零食质量\(X\)满足\(\mu -\sigma ≤X≤\mu +2\sigma\)时为合格品，
所以这种零食的合格率为\(\dfrac{0.6827+0.9545}{2}=0.8186 \approx 0.819\)．
②由题意可知\(Y～B(n，0.819)\)，
则\(E(Y)=0.819n>58\)，
则 \(n>\dfrac{58}{0.819} \approx 70.82\)．
故\(n\)的最小值为\(71\)． -
答案 (1)\(\dfrac{5}{6}\) (2) ①甲能够获得奖励 ②可认为乙所说为假
解析 (1)设\(A_i\)：第\(i\)次通过第一关，\(B_i\)：第\(i\)次通过第二关，
因为甲第一关通过的概率为\(\dfrac{3}{4}\)，第二关通过的概率为\(\dfrac{2}{3}\)，
甲可以进入第三关的概率为 \(P=P\left(A_1 B_1\right)+P\left(\overline{A_1} A_2 B_1\right)+P\left(A_1 \overline{B_1} B_2\right)+P\left(\overline{A_1} A_2 \overline{B_1} B_2\right)\)
\(=\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4} \times\left(1-\dfrac{2}{3}\right) \times \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{4} \times\left(1-\dfrac{2}{3}\right) \times \dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{6}\)．
(2)设此次闯关活动的分数记为\(X\)，\(X\)服从正态分布，故\(X∼N(\mu ，\sigma ^2 )\)．
①由题意可知\(\mu =171\)，
因为\(\dfrac{57}{2500}=0.0228\)，
且 \(\dfrac{1-P(\mu-2 \sigma \leqslant \mathrm{X} \leqslant \mu+2 \sigma)}{2}=\dfrac{1-0.9545}{2} \approx 0.0228\)，
所以 \(\sigma=\dfrac{351-171}{2}=90\)，
又因为 \(\dfrac{400}{2500}=0.16\)，
且 \(P(X \geqslant \mu+\sigma)=\dfrac{1-P(\mu-\sigma \leqslant X \leqslant \mu+\sigma)}{2}=\dfrac{1-0.6827}{2} \approx 0.1587<0.16\)，
\(\mu +\sigma =261\)，
所以前\(400\)名参赛者的最低得分高于\(261\)，甲的得分为\(270\)分，
故甲能够获得奖励．
②假设乙所说为真，则\(\mu =201\)，
\(P(X \geqslant \mu+2 \sigma)=\dfrac{1-P(\mu-2 \sigma \leqslant X \leqslant \mu+2 \sigma)}{2}=\dfrac{1-0.9545}{2} \approx 0.0228\)，
而 \(\dfrac{57}{2500}=0.0228\)，所以 \(\sigma=\dfrac{351-201}{2}=75\)，
从而\(\mu +3\sigma =201+3×75=426<430\)，
而 \(P(X \geqslant \mu+3 \sigma)=\dfrac{1-P(\mu-3 \sigma \leqslant X \leqslant \mu+3 \sigma)}{2}\)\(=\dfrac{1-0.9973}{2} \approx 0.0013<0.005\)，
所以\(X≥\mu +3\sigma\)为小概率事件，
所以丙的分数为\(430\)分是小概率事件，
根据小概率事件的定义可以认为其不可能发生，但却又发生了，
故可认为乙所说为假．
【B组---提高题】
1.已知连续型随机变量\(X_i～N(u_i，\sigma _i^2)(i=1，2，3)\)，其正态曲线如图所示，则下列结论正确的是( )
A． \(P\left(X_1 \leq \mu_2\right)<P\left(X_2 \leq \mu_1\right)\)
B． \(P\left(X_2 \geq \mu_2\right)>P\left(X_3 \geq \mu_3\right)\)
C． \(P\left(X_1 \leq \mu_2\right)<P\left(X_2 \leq \mu_3\right)\)
D． \(P\left(\mu_i-2 \sigma_i \leq X_i \leq \mu_i+2 \sigma_i\right)=P\left(\mu_{i+1}-2 \sigma_{i+1} \leq X_{i+1} \leq \mu_{i+1}+2 \sigma_{i+1}\right)(i=1，2)\)
2.“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自己能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用\(300\)名，其中\(275\)个高薪职位和\(25\)个普薪职位．实际报名人数为\(2000\)名，考试满分为\(400\)分．(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布)考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是\(180\)分，\(360\)分及其以上的高分考生\(30\)名．
(1)最低录取分数是多少？(结果保留为整数)
(2)考生甲的成绩为\(286\)分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．
参考资料：(1)当\(X～N(\mu ，\sigma ^2)\)时，令\(Y=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\)，则\(Y～N(0 ，1)\)．
(2)当\(Y～N(0 ，1)\)时，\(P(Y≤2.17)≈0.985\)，\(P(Y≤1.28)≈0.900\)，
\(P(Y≤1.09)≈0.863\)，\(P(Y≤1.04)≈0.85\)．
(3) \(P\left(X>x_1\right)=P\left(Y>\dfrac{x_1-u}{\sigma}\right)\)
参考答案
- 答案 \(D\)
解析 对于\(A\)： \(P\left(X_1 \leq \mu_2\right)\)是正态分布密度函数\(y=f_1 (x)\)在第二条虚线左侧与\(x\)轴围成的部分，显然大于\(0.5\)， \(P\left(X_2 \leq \mu_1\right)\)是正态分布密度函数\(y=f_2 (x)\)在第一条虚线左侧与\(x\)轴围成的部分，显然小于\(0.5\)，故 \(P\left(X_1 \leq \mu_2\right)>P\left(X_2 \leq \mu_1\right) \text {， }\)，故\(A\)错误；
对于\(B\)： \(P\left(X_2 \geq \mu_2\right)=\dfrac{1}{2}\)_， _\(P\left(X_3 \geq \mu_3\right)=\dfrac{1}{2}\)，则 \(P\left(X_2 \geq \mu_2\right)=P\left(X_3 \geq \mu_3\right)\)，故\(B\)错误；
对于\(C\)： \(P\left(X_1 \leq \mu_2\right)>0.5=P\left(X_2 \leq \mu_3\right)\)，故\(C\)错误；
对于\(D\)：由于概率表示曲线和\(x\)轴围成的部分，与是\(i\)还是\(i+1\)无关，
故 \(P\left(\mu_i-2 \sigma_i \leq X_i \leq \mu_i+2 \sigma_i\right)=P\left(\mu_{i+1}-2 \sigma_{i+1} \leq X_{i+1} \leq \mu_{i+1}+2 \sigma_{i+1}\right)(i=1，2)\)成立，故\(D\)正确．
故选：\(D\)． - 答案 (1) \(266\) (2) 能被录取为高薪职位
解析 (1)设考生的成绩为\(X\)，
则由题意可得\(X\)应服从正态分布，即\(X～N(180 ，\sigma ^2)\)，
令 \(Y=\dfrac{X-180}{\sigma}\)，则\(Y～N(0 ，1)\)．
由\(360\)分及以上高分考生\(30\)名可得\(P(X \geq 360)=\dfrac{30}{2000}\)，
即 \(P(X<360)=1-\dfrac{30}{2000}=0.985\)，
即有 \(P\left(Y<\dfrac{360-180}{\sigma}\right)=0.985\)，
则 \(\dfrac{360-180}{\sigma} \approx 2.17\)，可得\(\sigma ≈83\)，
可得\(X～N(180 ，83^2)\)，
设最低录取分数线为\(x_0\)，
则 \(P\left(X \geq x_0\right)=P\left(Y \geq \dfrac{x_0-180}{83}\right)=\dfrac{300}{2000}\)，
即有 \(P\left(Y<\dfrac{x_0-180}{83}\right)=1-\dfrac{300}{2000}=0.85\)，
即有 \(\dfrac{x_0-180}{83}=1.04\)，
可得\(x_0=266.32\)，即最低录取分数线为\(266\)；
(2) 方法一 考生甲的成绩\(286>267\)，所以能被录取，
\(P(X<286)=P\left(Y<\dfrac{286-180}{83}\right)=P(Y<1.28) \approx 0.90\)，
表明不低于考生甲的成绩的人数大约为总人数的\(1-0.90=0.10\)，\(2000×0.10=200\)，
即考生甲大约排在第\(200\)名，排在前\(275\)名之前，所以能被录取为高薪职位．
方法二 设前\(275\)名最低录取分数为\(x_1\)，则 \(P\left(X<x_1\right)=1-\dfrac{275}{2000}=0.8615\)，
而\(P(Y≤1.09)≈0.863⇒P(x≤270)≈0.863\)，
\(\therefore P(X<x_1 )<P(x≤270)⇒270>x_1\)，
而\(286>270\)，所以能被录取为高薪职位．
【C组---拓展题】
1.材料一：2018年，全国逾半省份将从秋季入学的高一年级开始实行新的学业水平考试和高考制度．所有省级行政区域均突破文理界限，由学生跨文理选科，均设置“\(3+3\)”的考试科目．前一个“\(3\)”为必考科目，为统一高考科目语文、数学、外语．除个别省级行政区域仍执行教育部委托的分省命题任务外，绝大部分省级行政区域均由教育部考试中心统一命题；后一个“\(3\)”为高中学业水平考试(简称“学考”)选考科目，由各省级行政区域自主命题．
材料二：2019年4月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8省市发布高考综合改革实施方案，方案决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．考生总成绩由全国统一高考的语文、数学、外语\(3\)个科目成绩和考生选择的\(3\)科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为\(750\)分．即通常所说的“\(3+1+2\)”模式，所谓“\(3+1+2\)”，即“\(3\)”是三门主科，分别是语文、数学、外语，这三门科目是必选的．“\(1\)”指的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩．“\(2\)”指考生要在生物、化学、思想政治、地理\(4\)门中选择\(2\)门．但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分．等级赋分指的是把考生的原始成绩根据人数的比例分为\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)五个等级，五个等级分别对应着相应的分数区间，然后再用公式换算，转换得出分数．
(1)若按照“\(3+1+2\)”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”的概率．
(2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生\(2500\)名参加语数外的网络测试，满分\(450\)分，并给前\(400\)名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为\(450\)分：
①考生甲得知他的成绩为\(270\)分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为\(171\)分，\(351\)分以上共有\(57\)人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；
②考生丙得知他的实际成绩为\(430\)分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为\(201\)分，\(351\)分以上共有\(57\)人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪．
附：\(P(\mu -\sigma ≤X<\mu +\sigma )=0.6828\)；\(P(\mu -2\sigma ≤X<\mu +2\sigma )=0.9544\)；
\(P(\mu -3\sigma ≤X<\mu +3\sigma )=0.9974\)．
参考答案
- 答案 (1)\(\dfrac{1}{4}\)；(2)①甲同学能获得荣誉证书；②乙同学说的为假.
解析 (1)设“选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”为事件\(A\)，
则 \(P(A)=\dfrac{C_3^1}{C_2^1 \cdot C_4^2}=\dfrac{1}{4}\)．
(2)设该次网络测试成绩记为\(X\)，则\(X \sim N\left(\mu， \sigma^2\right)\)．
①由\(\mu =171\)， \(\because \dfrac{57}{2500}=0.0228\)．且 \(\dfrac{1-P(\mu-2 \sigma \leq X \leq \mu+2 \sigma)}{2}=\dfrac{1-0.9544}{2}=0.0228\)．
\(\therefore \sigma=\dfrac{351-171}{2}=90\)．
而\(\dfrac{400}{2500}=0.16\)．且 \(P(X \geq \mu+\sigma)=\dfrac{1-P(\mu-\sigma \leq X \leq \mu+\sigma)}{2}\)\(=\dfrac{1-0.6828}{2}=0.1587<0.16\)．
\(\therefore\)前\(400\)名的成绩的最低分低于\(\mu +\sigma =261\)分．
而\(270>261\)，
\(\therefore\)甲同学能获得荣誉证书．
②假设乙同学说的为真．则\(\mu =201\)．
\(P(X \geq \mu+2 \sigma)=\dfrac{1-P(\mu-2 \sigma \leq X \leq \mu+2 \sigma)}{2}=\dfrac{1-0.9544}{2}=0.0228\)．
而\(\dfrac{57}{2500}=0.0228\)， \(\therefore \sigma=\dfrac{351-201}{2}=75\)，
从而\(\mu +3\sigma =201+3×75=426<430\)．
而 \(P(X \geq \mu+3 \sigma)=\dfrac{1-P(\mu-3 \sigma \leq X \leq \mu+3 \sigma)}{2}\)\(=\dfrac{1-0.9974}{2}=0.0013<0.005\)．
\(\therefore\)事件“\(X≥\mu +3\sigma\)”为小概率事件，即“丙同学的成绩为\(430\)分”是小概率事件，可以认为不可能发生，却发生了．
\(\therefore\)乙同学说的为假．
