7.2 随机变量及其分布
基础知识
随机变量
① 概念
一般地，对于随机试验样本空间\(Ω\)中每个样本点\(ω\)，都有唯一的实数\(X(ω)\)与之对应，我们称\(X\)为随机变量.
② 分类
随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量.
【例】投掷一个骰子，得到的点数为\(X\)，它是离散型随机变量，能够一一列举出来；一人一天摄取的卡路里\(Y\)，它是连续型随机变量.
分布列
① 概念
一般地，设离散型随机变量\(X\)可能取的值为\(x_1\) ，\(x_2\) ，⋯ ，\(x_i\)，⋯ ，\(x_n\)，\(X\)取每一个值\(x_i (i=1 ，2 ，⋯ ，n)\)的概率\(P(X=x_i)=p_i\)，则称以下表格
| \(X\) | \(x_1\) | \(x_2\) | ⋯ | \(x_i\) | ⋯ | \(x_n\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(P\) | \(p_1\) | \(p_2\) | ⋯ | \(p_i\) | ⋯ | \(p_n\) |
为随机变量\(X\)的概率分布列，简称\(X\)的分布列.
② 性质
离散型随机变量的分布列具有下述两个性质
(1) \(P_i≥0\) ，\(i=1 ，2 ，⋯，n\)
(2) \(p_1+p_2+⋯+p_n=1\)
【例】掷一个骰子，出现的数字为\(X\)，则\(X\)的分布列为
| \(X\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(P\) | \(\dfrac{1}{6}\) | \(\dfrac{1}{6}\) | \(\dfrac{1}{6}\) | \(\dfrac{1}{6}\) | \(\dfrac{1}{6}\) | \(\dfrac{1}{6}\) |
两点分布
如果随机变量\(X\)的分布列为
| \(X\) | \(0\) | \(1\) |
|---|---|---|
| \(p\) | \(1-p\) | \(p\) |
则称\(X\)服从两点分布，并称\(p=P(X=1)\)为成功概率.
【例】掷硬币属于两点分布，出现的面为随机变量\(X\)，出现反面记为\(X=0\)，正面记为\(X=1\).
\(X\)的分布列是
| \(X\) | \(0\) | \(1\) |
|---|---|---|
| \(p\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) |
基本方法
【题型1】 随机变量
【典题1】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)北京国际机场候机厅中2034年5月1日的旅客数量；
(2)2034年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；
(3)2034年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；
(4)体积为\(1000cm^3\)的球半径长．
解析(1)旅客人数可能是\(0\)，\(1\)，\(2\)，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(2)所查酒驾的人数可能是\(0\)，\(1\)，\(2\)，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．
(4)球的体积为\(1000cm^3\)时，球的半径为定值，不是随机变量．
【典题2】写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：
(1)在2014年北京大学的自主招生中，参与面试的\(5\)名考生中，通过面试的考生人数\(X\)；
(2)一个袋中装有\(2\)个白球和\(5\)个黑球，从中任取\(3\)个，其中所含白球的个数\(X\)；
(3)一袋中装有\(5\)只同样大小的球，编号为\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)．现从该袋内随机取出\(3\)只球，被取出的球的最大号码数\(X\)．
解析 (1)\(X\)可能取\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)．
\(X=i\)，表示面试通过的有\(i\)人，其中\(i=0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)．
(2)\(X\)可取\(0\)，\(1\)，\(2\)．
\(X=i\)，表示取出的\(3\)个球中有\(i\)个白球，\(3-i\)个黑球，其中\(i=0\)，\(1\)，\(2\)．
(3)\(X\)可取\(3\)，\(4\)，\(5\)．
\(X=3\)，表示取出的\(3\)个球的编号为\(1\)，\(2\)，\(3\)；
\(X=4\)，表示取出的\(3\)个球的编号为\(1\)，\(2\)，\(4\)或\(1\)，\(3\)，\(4\)或\(2\)，\(3\)，\(4\)；
\(X=5\)，表示取出的\(3\)个球的编号为\(1\)，\(2\)，\(5\)或\(1\)，3，\(5\)或\(1\)，\(4\)，\(5\)或\(2\)，\(3\)，\(5\)或\(2\)，\(4\)，\(5\)或\(3\)，\(4\)，\(5\)．
【巩固练习】
1.下面给出四个随机变量：
①高速公路上某收费站在未来\(1\)小时内经过的车辆数\(X\)；
②一个沿直线\(y=x\)进行随机运动的质点，它在该直线上的位置\(Y\)；
③某网站未来\(1\)小时的点击量；
④某人一生中的身高\(X\)．
其中是离散型随机变量的序号为( )
A．①② \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．③④ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．①③ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．②④
2.下列变量中，不是随机变量的是( )
A．2024年奥运会上中国取得的金牌数 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．每一年从地球上消失的动物种数
C．2008年奥运会上中国取得的金牌数 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．某人投篮\(6\)次投中的次数
3.袋中有大小相同的\(5\)个球，分别标有\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量\(X\)，则\(X\)所有可能取值的个数是( )
A．\(5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(9\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(10\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(25\)
4.某班有学生\(45\)人，其中\(O\)型血的有\(10\)人，\(A\)型血的有\(12\)人，\(B\)型血的有\(8\)人，\(AB\)型血的有\(15\)人，用\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)分别表示\(O\)型，\(A\)型，\(B\)型，\(AB\)型，现任抽一人，其血型是随机变量\(ξ\)，则\(ξ\)的可能取值为\(\underline{\quad \quad}\)．
5.写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果：
(1)袋中有大小相同的红球\(10\)个，白球\(5\)个，从袋中每次任取\(1\)个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
(2)从标有\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(6\)的\(6\)张卡片中任取\(2\)张，所取卡片上的数字之和．
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 ①收费站在未来\(1\)小时内经过的车辆数\(X\)有限且可一一列出，是离散型随机变量；
同理③也是；而②④都是不可一一列出的连续变化的数，不符合离散型随机变量的定义． -
答案 \(C\)
解析 选项\(A\)中由于2024年奥运会还没有举行，中国取得多少枚金牌并不知道，符合随机变量的定义；选项\(B\)中每一年消失的动物种数，其结果不知，也符合随机变量的定义；选项\(C\)中北京奥运会已结束，金牌数是确定的，不是随机变量；选项\(D\)中某人投篮投中与否在投前并不知道，其结果是随机的，也是随机变量． -
答案 \(B\)
解析\(X\)的可能取值是\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(6\)，\(7\)，\(8\)，\(9\)，\(10\)，共\(9\)个．故选\(B\)． -
答案 \(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)
-
答案 (1) \(X=1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，…，\(10\)，\(11\) (2) \(X=3\)，\(4\)，\(5\)，…，\(11\)
解析 (1)设所需要的取球次数为\(X\)，则\(X=1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，…，\(10\)，\(11\)，
\(X=i\)表示前\(i-1\)次取到红球，第\(i\)次取到白球，这里\(i=1\)，\(2\)，…，\(11\)．
(2)设所取卡片上的数字和为\(X\)，则\(X=3\)，\(4\)，\(5\)，…，\(11\)．
\(X=3\)，表示取出标有\(1\)，\(2\)的两张卡片；
\(X=4\)，表示取出标有\(1\)，\(3\)的两张卡片；
……
\(X=11\)，表示取出标有\(5\)，\(6\)的两张卡片．
【题型2】 随机变量的分布列的性质
【典题1】 设随机变量\(X\)的分布列\(P(X=i)=\dfrac{k}{2^i}(i=1，2，3)\)，则\(P(X≥2)=\) \(\underline{\quad \quad}\)．
解析 由已知得随机变量\(X\)的分布列为
| \(X\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|
| \(P\) | \(\dfrac{k}{2}\) | \(\dfrac{k}{4}\) | \(\dfrac{k}{8}\) |
\(\therefore \dfrac{k}{2}+\dfrac{k}{4}+\dfrac{k}{8}=1\)， \(\therefore k=\dfrac{8}{7}\)．
\(\therefore P(X \geqslant 2)=P(X=2)+P(X=3)=\dfrac{k}{4}+\dfrac{k}{8}=\dfrac{2}{7}+\dfrac{1}{7}=\dfrac{3}{7}\)．
点拨 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质
(1) \(P_i≥0\) ，\(i=1\) ，\(2\) ，⋯，\(n\)
(2) \(p_1+p_2+⋯+p_n=1\)
【巩固练习】
1.设离散型随机变量\(X\)的概率分布列如下表：
| \(X\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P\) | \(\dfrac{1}{10}\) | \(p\) | \(\dfrac{3}{10}\) | \(\dfrac{1}{10}\) |
则\(p\)等于( )
A．\(\dfrac{1}{10}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \(\dfrac{2}{10}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(\dfrac{2}{5}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(\dfrac{1}{2}\)
2.已知随机变量\(ξ\)的分布列为：
| \(ξ\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(P\) | \(\dfrac{1}{12}\) | \(\dfrac{3}{12}\) | \(\dfrac{4}{12}\) | \(\dfrac{1}{12}\) | \(\dfrac{2}{12}\) | \(\dfrac{1}{12}\) |
若\(P(ξ^2<x)=\dfrac{11}{12}\)，则实数\(x\)的取值范围是( )
A．\(4<x≤9\) \(\qquad \qquad\) B．\(4≤x<9\) \(\qquad \qquad\) C．\(x<4\)或\(x≥9\) \(\qquad \qquad\) D．\(x≤4\)或\(x>9\)
3.设随机变量\(ξ\)的分布列如表：
| \(ξ\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(P\) | \(a_1\) | \(a_2\) | \(a_3\) | \(a_4\) | \(a_5\) | \(a_6\) |
其中\(a_1\)，\(a_1\)，…，\(a_6\)构成等差数列，则\(a_1 \cdot a_6\)的( )
A．最大值为\(\dfrac{1}{9}\) \(\qquad \qquad \qquad\) B．最大值为\(\dfrac{1}{36}\)\(\qquad \qquad \qquad\) C．最小值为\(\dfrac{1}{9}\) \(\qquad \qquad \qquad\) D．最小值为\(\dfrac{1}{36}\)
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 由\(\dfrac{1}{10}+\dfrac{3}{10}+\dfrac{1}{10}+p=1\)，解得 \(p=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}\)． -
答案 \(A\)
解析 由随机变量\(ξ\)的分布列，知：\(ξ^2\)的可能取值为\(0\)，\(1\)，\(4\)，\(9\)，
且\(P(ξ^2=0)=\dfrac{4}{12}\)，\(P(ξ^2=1)=\dfrac{3}{12}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{4}{12}\)，
\(P(ξ^2=4)=\dfrac{1}{12}+\dfrac{2}{12}=\dfrac{3}{12}\)，\(P(ξ^2=9)=\dfrac{1}{12}\)，
\(\because P\left(\xi^2<x\right)=\dfrac{11}{12}\)，
\(\therefore\)实数\(x\)的取值范围是\(4<x≤9\)．
故选：\(A\)． -
答案 \(B\)
解析 \(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=1\)，
由等差数列的性质可得\(a_1+a_6=\dfrac{1}{3}\)，
所以\(a_1 \cdot a_6 \leq\left(\dfrac{a_1+a_6}{2}\right)^2=\dfrac{1}{36}\)，
所以\(a_1 \cdot a_6\)的最大值为\(\dfrac{1}{36}\)，无最小值．
故选：\(B\)．
【题型3】 求随机变量的分布列
【典题1】将\(3\)个小球任意地放入\(4\)个大玻璃杯中，杯子中球的最多个数记为\(X\)，求\(X\)的分布列．
解析依题意可知，杯子中球的最多个数\(X\)的所有可能取值为\(1\)，\(2\)，\(3\)．
当\(X=1\)时，对应于\(4\)个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形；
当\(X=2\)时，对应于\(4\)个杯子中恰有一个杯子放两球的情形；
当\(X=3\)时，对应于\(4\)个杯子中恰有一个杯子放三个球的情形．
\(P(X=1)=\dfrac{A_4^3}{4^3}=\dfrac{3}{8}\); \(P(X=2)=\dfrac{C_3^2 \cdot C_4^1 \cdot C_3^1}{4^3}=\dfrac{9}{16}\); \(P(X=3)=\dfrac{C_4^1}{4^3}=\dfrac{1}{16}\)
可得\(X\)的分布列为
| \(X\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|
| \(P\) | \(\dfrac{3}{8}\) | \(\dfrac{9}{16}\) | \(\dfrac{1}{16}\) |
点拨 求随机变量的分布列，基本步骤为：先确认随机变量的可能值，再求各概率，最后要检查概率之和是否为\(1\).
【典题2】已知某射手射中固定靶的概率为\(\dfrac{3}{4}\)，射中移动靶的概率为\(\dfrac{2}{3}\)，每次射中固定靶、移动靶分别得\(1\)分、\(2\)分，脱靶均得\(0\)分，每次射击的结果相互独立，该射手进行\(3\)次打靶射击:向固定靶射击\(1\)次，向移动靶射击\(2\)次．
(1)求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶\(1\)次”的概率；
(2)求该射手的总得分\(X\)的分布列．
解析 (1)记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶\(1\)次”为事件\(D\)，射中固定靶为事件\(A\)，射中移动靶分别为事件\(B\)，\(C\)，
则\(D=A B \bar{C}+A \bar{B} C\)，其中\(A B \bar{C}\)，\(A \bar{B} C\)互斥，\(A\)，\(B\)，\(C\)， \(\bar{B}\)， \(\bar{C}\)相互独立，
\(P(A)=\dfrac{3}{4}\)，\(P(B)=P(C)=\dfrac{2}{3}\)，
\(\therefore P(D)=P(A B \bar{C})+P(A \bar{B} C)\)\(=\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{3} \times\left(1-\dfrac{2}{3}\right)+\dfrac{3}{4} \times\left(1-\dfrac{2}{3}\right) \times \dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\)．
即该射手射中固定靶且恰好射中移动靶\(1\)次的概率为\(\dfrac{1}{3}\)．
(2)\(X\)的可能取值为\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)．
\(P(X=0)=\left(1-\dfrac{3}{4}\right)\left(1-\dfrac{2}{3}\right)\left(1-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{1}{36}\)， \(P(X=1)=\dfrac{3}{4} \times\left(1-\dfrac{2}{3}\right) \times\left(1-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{1}{12}\)，
\(P(X=2)=\left(1-\dfrac{3}{4}\right) \times \dfrac{2}{3} \times\left(1-\dfrac{2}{3}\right) \times 2=\dfrac{1}{9}\)，
\(P(X=3)=\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{3} \times\left(1-\dfrac{2}{3}\right) \times 2=\dfrac{1}{3}\)，
\(P(X=4)=\left(1-\dfrac{3}{4}\right) \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{9}\)，
\(P(X=5)=\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\)，
该射手的总得分\(X\)的分布列为:
| \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(P\) | \(\dfrac{1}{36}\) | \(\dfrac{1}{12}\) | \(\dfrac{1}{9}\) | \(\dfrac{1}{3}\) | \(\dfrac{1}{9}\) | \(\dfrac{1}{3}\) |
【巩固练习】
1.一个袋中有形状、大小完全相同的\(3\)个白球和\(4\)个红球．
(1)从中任意摸出一球，用\(0\)表示摸出白球，用\(1\)表示摸出红球，即 \(X= \begin{cases}0， & \text { 摸出白球 } \\ 1， & \text { 摸出红球 }\end{cases}\)，求\(X\)的分布列；
(2)从中任意摸出两个球，用“\(X=0\)”表示两个球全是白球，用“\(X=1\)”表示两个球不全是白球，求\(X\)的分布列．
2.甲、乙、丙三人组成“梦之队”参加市知识竞答比赛，每轮活动由甲、乙、丙各完成一道问题，在每一轮活动中，如果三人都答对，则“梦之队”得\(3\)分；如果只有两个人答对，则“梦之队”得\(2\)分；如果三人只有一个人答对，则“梦之队”\(1\)分，如果三个人都没有答对，则“梦之队”得\(0\)分．已知甲每轮答对的概率是\(\dfrac{3}{4}\)，乙每轮答对的概率是\(\dfrac{2}{3}\)，丙每轮答对的概率是\(\dfrac{1}{2}\)；每轮活动中甲、乙、丙答对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“梦之队”参加三轮活动，求“梦之队”第一轮得分\(X\)的分布列.
3.某数学兴趣小组有\(5\)名同学，其中\(3\)名男生\(2\)名女生，现从中选\(2\)人去参加一项活动．
(1)求选出的\(2\)人中，恰有\(1\)名男生，\(1\)名女生的概率；
(2)用\(X\)表示选出的\(2\)人中男生的个数，求\(X\)的分布列．
4.为了让更多的人了解中国传统文化，某地举办了一场中国传统文化知识大赛，为了了解本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取\(n\)名人员，将他们的成绩(满分\(100\)分)作为样本，对所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的参赛人员中成绩在\([50，60)\)内的频数为\(3\)．
(1)求\(n\)的值；
(2)已知抽取的\(n\)名参赛人员中，成绩在\([80，90)\)和\([90，100]\)内的女士都有\(2\)人，现从成绩在\([80，90)\)和\([90，100]\)内的参赛人员中各随机抽取\(2\)人，记这\(4\)人中女士的人数为\(X\)，求\(X\)的分布列．
参考答案
- 解析 (1)由题意知\(P(X=0)=\dfrac{3}{7}\)，\(P(X=1)=\dfrac{4}{7}\)．
\(\therefore X\)的分布列如下表：
| \(X\) | \(0\) | \(1\) |
|---|---|---|
| \(P\) | \(\dfrac{3}{7}\) | \(\dfrac{4}{7}\) |
(2)由题意知\(P(X=0)=\dfrac{C_3^2}{C_7^2}=\dfrac{1}{7}\)， \(P(X=1)=1-P(X=0)=\dfrac{6}{7}\)．
\(\therefore X\)的分布列如下表：
| \(X\) | \(0\) | \(1\) |
|---|---|---|
| \(P\) | \(\dfrac{1}{7}\) | \(\dfrac{6}{7}\) |
- 解析 由题意可知\(X\)的可能取值为\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，
\(P(X=0)=\dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{24}\)；
\(P(X=1)=\dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\)；
\(P(X=2)=\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{11}{24}\)；
\(P(X=3)=\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\)；
所以\(X\)的分布列为:
| \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P\) | \(\dfrac{1}{24}\) | \(\dfrac{1}{4}\) | \(\dfrac{11}{24}\) | \(\dfrac{1}{4}\) |
- 解析 某数学兴趣小组有\(5\)名同学，其中\(3\)名男生\(2\)名女生，
从中选\(2\)人去参加一项活动，有\(C_5^2=10\) (种)选法，
设“选出的两人中，恰有\(1\)名男生，\(1\)名女生”为事件\(A\)，
则\(P(A)=\dfrac{C_3^1 C_2^1}{10}=\dfrac{3}{5}\)．
(2)根据题意，\(X\)可能的取值为\(0\)，\(1\)，\(2\)，
\(P(X=0)=\dfrac{C_2^2}{10}=\dfrac{1}{10}\)， \(P(X=1)=\dfrac{C_3^1 C_2^1}{10}=\dfrac{3}{5}\)， \(P(X=2)=\dfrac{C_3^2}{10}=\dfrac{3}{10}\)．
故\(X\)的分布列为:
| \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P\) | \(\dfrac{1}{10}\) | \(\dfrac{3}{5}\) | \(\dfrac{3}{10}\) |
- 解析 (1)由题中频率分布直方图知，成绩在\([50，60)\)内的频率为:
\(1-(0.0400+0.0300+0.0125+0.0100)×10=0.075\)
\(∵\)成绩在\([50，60)\)内的频数为\(3\)，
\(\therefore n=\dfrac{3}{0.075}=40\)．
(2)由(1)及题中频率分布直方图知，
抽取的参赛人员中成绩在\([80，90)\)内的人数为\(0.0125×10×40=5\)，
成绩在\([90，100]\)内的人数为\(0.0100×10×40=4\)，
易知 \(X\)的可能取值为\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，
\(P(X=0)=\dfrac{C_3^2 C_2^2}{C_5^2 C_4^2}=\dfrac{1}{20}\)，
\(P(X=1)=\dfrac{C_2^1 C_3^1 C_2^2+C_3^2 C_2^1 C_2^1}{C_5^2 C_4^2}=\dfrac{3}{10}\)，
\(P(X=2)=\dfrac{C_2^2 C_2^2+C_2^1 C_3^1 C_2^1 C_2^1+C_3^2 C_2^2}{C_5^2 C_4^2}=\dfrac{7}{15}\)，
\(P(X=3)=\dfrac{C_2^2 C_2^1 C_2^1+C_3^1 C_2^1 C_2^2}{C_5^2 C_4^2}=\dfrac{1}{6}\)，
\(P(X=4)=\dfrac{C_2^2 C_2^2}{C_5^2 C_4^2}=\dfrac{1}{60}\)，
\(\therefore X\)的分布列为:
| \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(P\) | \(\dfrac{1}{20}\) | \(\dfrac{3}{10}\) | \(\dfrac{7}{15}\) | \(\dfrac{1}{6}\) | \(\dfrac{1}{60}\) |
分层练习
【A组---基础题】
1.将一枚均匀骰子掷两次，随机变量为( )
A．第一次出现的点数 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．第二次出现的点数
C．两次出现的点数之和 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．两次出现相同点的种数
2.抛掷两枚骰子，所得点数之和为\(ξ\)，那么\(ξ=4\)表示的随机试验结果是( )
A．一枚是\(3\)点，一枚是\(1\)点 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．两枚都是\(2\)点
C．两枚都是\(4\)点 \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) D．一枚是\(3\)点，一枚是\(1\)点或两枚都是\(2\)点
3.已知随机变量\(X\)的分布列为\(P(X=i)=\dfrac{i}{2 a}(i=1，2，3，4)\)，则\(P(2<X≤4)\)等于( )
A．\(\dfrac{9}{10}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\dfrac{7}{10}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(\dfrac{3}{5}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(\dfrac{1}{2}\)
4.设随机变量\(ξ\)的分布列为\(P\left(\xi=\dfrac{k}{5}\right)=a k(k=1，2，3，4，5)\)，则下列说法错误的是( )
A. \(15a=1\) \(\qquad\) B. \(P(0.5<ξ<0.8)=0.2\) \(\qquad\) C. \(P(0.1<ξ<0.5)=0.2\) \(\qquad\) D. \(P(ξ=1)=0.3\)
5.已知随机变量\(ξ\)的分布列如表：
| \(ξ\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
|---|---|---|---|
| \(P\) | \(a\) | \(b\) | \(c\) |
其中\(a\)，\(b\)，\(c\)成等差数列，则\(P(|ξ|=1)\)的值是( )
A. \(\dfrac{2}{3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(\dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C. \(\dfrac{1}{4}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(\dfrac{1}{3}\)
6.下列随机变量中不 是离散型随机变量的是\(\underline{\quad \quad}\)．
①某地车展中，预订各类汽车的总人数\(X\)；
②北京故宫某周内每天接待的游客人数；
③正弦曲线上的点\(P\)到\(x\)轴的距离\(X\)；
④小麦的亩产量\(X\)；
⑤王老师在一次英语课上提问的学生人数\(X\)．
7.设\(ξ\)是一个离散型随机变量，其分布列如下表．则常数\(q=\) \(\underline{\quad \quad}\)．
| \(ξ\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
|---|---|---|---|
| \(P\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(1-2q\) | \(q^2\) |
8.某商店试销某种商品\(20\)天，获得如下数据：
| 日销售量(件) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| 频数 | \(1\) | \(5\) | \(9\) | \(5\) |
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品\(3\)件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于\(2\)件，则当天进货补充至\(3\)件，否则不进货．将频率视为概率．
(1)求当天商店不进货的概率；
(2)记\(X\)为第二天开始营业时该商品的件数，求\(X\)的分布列．
9.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得\(1\)分，不中得\(0\)分．已知某运动员罚球命中的概率为\(0.7\)，则他罚球一次得分的分布列．
10.在\(1\)，\(2\)，\(3\)，…，\(9\)这\(9\)个自然数中，任取\(3\)个数，
(1)求这\(3\)个数中恰有\(1\)个是偶数的概率；(用数字作答)
(2)设\(ξ\)为这\(3\)个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为\(1\)，\(2\)，\(3\)，则有两组相邻的数\(1\)，\(2\)和\(2\)，\(3\)，此时\(ξ\)的值是\(2\))．求随机变量\(ξ\)的分布列．
11.有\(2\)件次品和\(3\)件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出\(2\)件次品或者检测出\(3\)件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用\(100\)元，设\(X\)表示总检测费用(单位:元)，求\(X\)的分布列．
12.中国悠久文化之一“石头、尖刀、布”游戏，留传至今，仍然是人们喜爱的一种比胜负的游戏方式．“石头”即拳头，“尖刀”即食指和中指，“布”即手掌，“石头”胜“尖刀”，“尖刀”胜“布”，“布”胜“石头”．现在有甲、乙、丙三人玩“石头、尖刀、布”游戏比胜负，假定每个人每次伸出什么手势是随机的并且是均等的．(一次游戏，可以仅一人获胜或两人同时获胜或不分胜负，不分胜负即三人手势均相同或互不相同)．
(1)若进行一次“石头、尖刀、布”游戏，求仅甲获胜的概率和有两人同时获胜的概率；
(2)若进行一次“石头、尖刀、布”游戏，仅一人获胜时，获胜者得\(5\)分，失败者各得分\(-2\)；有\(2\)人同时获胜时，获胜者各得\(3\)分，失败者得\(-2\)分；不分胜负时，各得\(0\)分．现在进行两次“石头、尖刀、布”游戏，用\(X\)表示甲所得的总分数，求\(X\)的分布列．
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 \(A\)，\(B\)，\(D\)中出现的点数虽然是随机的，但是其取值所反映的结果，都不能整体反映本试验，\(C\)整体反映两次投掷的结果，可以预见两次出现的点数的和是\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(6\)，\(7\)，\(8\)，\(9\)，\(10\)，\(11\)，\(12\)这十一种结果，但每掷一次之前都无法确定是哪一个，因此是随机变量． -
答案 \(D\)
-
答案 \(B\)
解析依题意\(\dfrac{1}{2 a}+\dfrac{2}{2 a}+\dfrac{3}{2 a}+\dfrac{4}{2 a}=1\)，解得\(a=5\)．
所以 \(P(2<X \leq 4)=P(X=3)+P(X=4)=\dfrac{3}{10}+\dfrac{4}{10}=\dfrac{7}{10}\)．
故选：\(B\)． -
答案 \(D\)
解析 由题意可得\(a+2a+3a+4a+5a=1\)，则\(15a=1\)，故\(A\)正确；
\(P(0.5<ξ<0.8)=P(ξ=0.6)=3a=\dfrac{3}{15}=0.2\)，故\(B\)正确；
\(P(0.1<ξ<0.5)=P(ξ=0.2)+P(ξ=0.4)\)\(=\dfrac{1}{15}×1+\dfrac{1}{15}×2=\dfrac{3}{15}=0.2\)，
故\(C\)正确；
\(P(ξ=1)=\dfrac{1}{15}×5=\dfrac{1}{3}\)，故\(D\)不正确，
故选：\(D\)． -
答案 \(A\)
解析 因为\(a\)，\(b\)，\(c\)成等差数列，所以\(b=\dfrac{a+c}{2}\)，
根据随机变量分布列的性质：\(a+b+c=1\)，
所以 \(\dfrac{3(a+c)}{2}=1 \Rightarrow a+c=\dfrac{2}{3}\)，
所以\(P(|ξ|=1)=P(ξ=1)+P(ξ=-1)=\dfrac{2}{3}\)，
故选：\(A\)． -
答案 ①②⑤
解析 ③中\(X\)的值在\([-1，1]\)内取值，不能一一列出，不是离散型随机变量；④中\(X\)的值可在
某一区间内取值，不能一一列出，不是离散型随机变量．①②⑤是离散型随机变量． -
答案 \(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
解析 由离散型随机变量分布列的性质可得，\(\dfrac{1}{2}+1-2q+q^2=1\)，
解得 \(q=1 \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，
又当\(q=1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)时， \(1-2 q=-1-\sqrt{2}<0\)，
\(\therefore q=1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)舍去，\(\therefore q=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)． -
解析 (1)\(P(“\)当天商店不进货\(”)=P(“\)当天商品销售量为\(0\)件\(”)+P(“\)当天商品销售量为\(1\)件\(”)\)
\(=\dfrac{1}{20}+\dfrac{5}{20}=\dfrac{3}{10}\)．
(2)由题意知，\(X\)的可能取值为\(2\)，\(3\)．
\(P(X=2)=P(“\)当天商品销售量为\(1\)件\(”) =\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}\)；
\(P(X=3)=P(“\)当天商品销售量为\(0\)件\(”)+P(“\)当天商品销售量为\(2\)件\(”)+P(“\)当天商品销售量为\(3\)件\(”)\)\(=\dfrac{1}{20}+\dfrac{9}{20}+\dfrac{5}{20}=\dfrac{3}{4}\)．
故\(X\)的分布列为
| \(X\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|
| \(P\) | \(\dfrac{1}{4}\) | \(\dfrac{3}{4}\) |
- 解析 用随机变量\(X\)表示“每次罚球所得分值”，根据题意，\(X\)可能的取值为\(0\)，\(1\)，且取这两个值的概率分别为\(0.3\)，\(0.7\)，因此所求的分布列是
| \(X\) | \(1\) | \(0\) |
|---|---|---|
| \(P\) | \(0.7\) | \(0.3\) |
- 解析 (1)记“这\(3\)个数恰有一个是偶数”为事件\(A\)，
则 \(P(A)=\dfrac{C_4^1 C_5^2}{C_9^3}=\dfrac{10}{21}\)．
(2)随机变量\(ξ\)的取值为\(0\)，\(1\)，\(2\)，
\(ξ=2\)的情况:\(123\)、\(234\)、\(345\)、\(456\)、\(567\)、\(678\)、\(789\)，共\(7\)种可能，
\(ξ=1\)的情况:\(12(4-9)\)，\(89(1-6)\)，有\(6×2=12\)种；
\(23(5-9)\)，\(34(1，6-9)\)，…\(78(1-5)\)，有\(5×6=30\)种；
总共\(42\)种，
\(ξ=0\)的情况:\(C_9^3-7-42=35\)种，
故 \(P(\xi=0)=\dfrac{35}{C_9^3}=\dfrac{5}{12}\)， \(P(\xi=1)=\dfrac{42}{C_9^3}=\dfrac{1}{2}\)， \(P(\xi=2)=\dfrac{7}{C_9^3}=\dfrac{1}{12}\)，
所以\(ξ\)的分布列为
| \(ξ\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P\) | \(\dfrac{5}{12}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{1}{12}\) |
- 解析 (1)第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为 \(\dfrac{A_2^1 \cdot A_3^1}{A_5^2}=\dfrac{3}{10}\)；
(2)\(∵X=200\)，\(300\)，\(400\)，
又 \(P(X=200)=\dfrac{A_2^2}{A_5^2}=\dfrac{1}{10}\)， \(P(X=300)=\dfrac{A_3^3+C_2^1 \cdot A_2^2 \cdot A_3^1}{A_5^3}=\dfrac{3}{10}\)，
\(P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)\)\(=1-\dfrac{1}{10}-\dfrac{3}{10}=\dfrac{3}{5}\)，
\(\therefore X\)的分布列为:
| \(X\) | \(200\) | \(300\) | \(400\) |
|---|---|---|---|
| \(P\) | \(\dfrac{1}{10}\) | \(\dfrac{3}{10}\) | \(\dfrac{3}{5}\) |
- 解析 (1)设“仅甲获胜”为事件\(A\)，“有两人同时获胜”为事件\(B\)，
则 \(P(A)=\dfrac{3}{3 \times 3 \times 3}=\dfrac{1}{9}\)， \(P(B)=\dfrac{C_3^2 \times 3}{3 \times 3 \times 3}=\dfrac{1}{3}\)．
(2)一场比赛中，甲可得\(5\)分，\(3\)分，\(0\)分，\(-2\)分，
甲得\(5\)分的概率为\(\dfrac{1}{9}\)，甲得\(3\)分的概率为 \(\dfrac{C_2^1 \times 3}{3 \times 3 \times 3}=\dfrac{2}{9}\)，
甲得\(0\)分的概率为 \(\dfrac{3 \times 2 \times 1+3}{3 \times 3 \times 3}=\dfrac{1}{3}\)，甲得\(-2\)分的概率为\(\dfrac{1}{3}\)，
则\(X\)的所有可能取值为\(10\)，\(8\)，\(6\)，\(5\)，\(3\)，\(1\)，\(0\)，\(-2\)，\(-4\)，
\(P(X=10)=\dfrac{1}{9} \times \dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{81}\)， \(P(X=8)=\dfrac{1}{9} \times \dfrac{2}{9} \times 2=\dfrac{4}{81}\)，
\(P(X=6)=\dfrac{2}{9} \times \dfrac{2}{9}=\dfrac{4}{81}\)， \(P(X=5)=\dfrac{1}{9} \times \dfrac{1}{3} \times 2=\dfrac{2}{27}\)，
\(P(X=3)=\dfrac{1}{9} \times \dfrac{1}{3} \times 2+\dfrac{2}{9} \times \dfrac{1}{3} \times 2=\dfrac{2}{9}\)， \(P(X=1)=\dfrac{2}{9} \times \dfrac{1}{3} \times 2=\dfrac{4}{27}\)，
\(P(X=0)=\dfrac{1}{3}×\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}\)，\(P(X=-2)=\dfrac{1}{3}×\dfrac{1}{3}×2=\dfrac{2}{9}\)，
\(P(X=-4)=\dfrac{1}{3}×\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}\)，
所以\(X\)的分别列为:
| \(X\) | \(10\) | \(8\) | \(6\) | \(5\) | \(3\) | \(1\) | \(0\) | \(-2\) | \(-4\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(P\) | \(\dfrac{1}{81}\) | \(\dfrac{4}{81}\) | \(\dfrac{4}{81}\) | \(\dfrac{2}{27}\) | \(\dfrac{2}{9}\) | \(\dfrac{4}{27}\) | \(\dfrac{1}{9}\) | \(\dfrac{2}{9}\) | \(\dfrac{1}{9}\) |
【B组---提高题】
1.(多选)设随机变量\(ξ\)的分布列如表：
| \(ξ\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | ... | \(2020\) | \(2021\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(P\) | \(a_1\) | \(a_2\) | \(a_3\) | ... | \(a_{2020}\) | \(a_{2021}\) |
则下列说法正确的是( )
A.当\(\{a_n \}\)为等差数列时， \(a_2+a_{2020}=\dfrac{2}{2021}\)
B.数列\(\{a_n \}\)的通项公式可能为 \(a_n=\dfrac{2022}{202 \ln (n+1)}\)
C.当数列\(\{a_n \}\)满足\(a_n=\dfrac{1}{2^n}(n=1，2， \cdots， 2020)\)时， \(a_{2021}=\dfrac{1}{2^{2021}}\)
D. 当数列\(\{a_n \}\)满足\(P(\xi \leq k)=k^2 a_k(k=1，2， \quad \cdots， 2021)\)时， \((n+1) a_n=(n-1) a_{n-1}(n \geq 2)\)
2.从装有\(6\)个白球，\(4\)个黑球和\(2\)个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢\(2\)元，而每取出一个白球输\(1\)元，取出黄球无输赢，
(1)以\(X\)表示赢得的钱数，随机变量\(X\)可以取哪些值？求\(X\)的分布列．
(2)求出赢钱的概率，即时的概率．
参考答案
-
答案 \(ACD\)
解析 对于\(A\)，因为\(\{a_n \}\)为等差数列，所以 \(S_{2021}=\dfrac{2021\left(a_1+a_{2021}\right)}{2}=1\)，
则有 \(a_2+a_{2020}=a_1+a_{2021}=\dfrac{2}{2021}\)，故\(A\)正确；
对于\(B\)，若数列\(\{a_n \}\)的通项公式为 \(a_n=\dfrac{2022}{2021 n(n+1)}=\dfrac{2022}{2021}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)\)，
则 \(S_{2021}=\dfrac{2022}{2021}\left(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{2021}-\dfrac{1}{2022}\right)=\dfrac{2022}{2021}\left(1-\dfrac{1}{2022}\right)=1\)，
故\(B\)正确；
对于\(C\)，因为\(a_n=\dfrac{1}{2}\)，
所以 \(S_{2021}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{2^{2020}}\right)}{1-\dfrac{1}{2}}+a_{2021}=1-\dfrac{1}{2^{2020}}+a_{2021}=1\)，
则有 \(a_{2021}=\dfrac{1}{2^{2020}}\)，故\(C\)错误；
对于\(D\)，令\(S_k=P(\xi \leq k)=k^2 a_k\) ，
则 \(a_{k+1}=S_{k+1}-S_k=(k+1)^2 a_{k+1}-k^2 a_k\)，
故 \(\dfrac{a_{k+1}}{a_k}=\dfrac{k}{k+2}\)，所以 \(\dfrac{a_n}{a_{n-1}}=\dfrac{n-1}{n+1}(n \geq 2)\)，
即 \((n+1) a_n=(n-1) a_{n-1}(n \geq 2)\)，故\(D\)正确．
故选：\(ABD\)． -
解析 (1)从箱中取两个球的情形有以下\(6\)种：
\(\{2\)白\(\}\)，\(\{1\)白\(1\)黄\(\}\)，\(\{1\)白\(1\)黑\(\}\)，\(\{2\)黄\(\}\)，\(\{1\)黑\(1\)黄\(\}\)，\(\{2\)黑\(\}\)．
当取到\(2\)白时，结果输\(2\)元，随机变量\(X=-2\)；
当取到\(1\)白\(1\)黄时，输\(1\)元，随机变量\(X=-1\)；
当取到\(1\)白\(1\)黑时，随机变量\(X=1\)；
当取到\(2\)黄时，\(X=0\)；当取到\(1\)黑\(1\)黄时，\(X=2\)；
当取到\(2\)黑时，\(X=4\)．
则\(X\)的可能取值为\(-2\)，\(-1\)，\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(4\)．
\(P(X=-2)=\dfrac{C_6^2}{C_{12}^2}=\dfrac{5}{22}\)， \(P(X=-1)=\dfrac{C_6^1 C_2^1}{C_{12}^2}=\dfrac{2}{11}\)，
\(P(X=0)=\dfrac{C_2^2}{C_{12}^2}=\dfrac{1}{66}\)， \(P(X=1)=\dfrac{C_6^1 C_4^1}{C_{12}^2}=\dfrac{4}{11}\)，
\(P(X=2)=\dfrac{C_4^1 C_2^1}{C_{12}^2}=\dfrac{4}{33}\)， \(P(X=4)=\dfrac{C_4^2}{C_{12}^2}=\dfrac{1}{11}\)．
从而得到\(X\)的分布列如下：
| \(X\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(P\) | \(\dfrac{5}{22}\) | \(\dfrac{2}{11}\) | \(\dfrac{1}{66}\) | \(\dfrac{4}{11}\) | \(\dfrac{4}{33}\) | \(\dfrac{1}{11}\) |
(2) \(P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=4)\)\(=\dfrac{4}{11}+\dfrac{4}{33}+\dfrac{1}{11}=\dfrac{19}{33}\)．
\(\therefore\)赢钱的概率为 \(\dfrac{19}{33}\)．
