7.1.2全概率公式

基础知识

全概率公式

一般地，设 $A_1$ ，$A_2$ ，… ，$A_n$ 是一组两两互斥的事件，$A_1\cup A_2\cup …\cup A_n=Ω$，且 $P(A_i )>0$，$i=1$ ，$2$，… ，$n$，则对任意的事件 $B\subseteq Ω$，有

$$P(B)=\sum_{i=1}^n P\left(A_i\right) P\left(B \mid A_i\right)$$

我们称它为全概率公式.
 

贝叶斯公式

设 $A_1$ ，$A_2$ ，… ，$A_n$ 是一组两两互斥的事件，$A_1\cup A_2\cup …\cup A_n=Ω$，且 $P(A_i )>0$，$i=1$ ，$2$，… ，$n$，
则对任意的事件 $B\subseteq Ω$，$P(B)>0$，有

$$P\left(A_i \mid B\right)=\dfrac{P\left(A_i B\right)}{P(B)}=\dfrac{P\left(A_i\right) P\left(B \mid A_i\right)}{\sum_{k=1}^n P\left(A_k\right) P\left(B \mid A_k\right)}，i=1，2，… ，n$$

 

基本方法

【题型1】 全概率公式

【典题 1】 有三个同样的箱子，甲箱中有 $2$ 只红球，$6$ 只白球，乙箱中有 $6$ 只红球，$4$ 只白球，丙箱中有 $3$ 只红球，$5$ 只白球．
  (1) 随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球，求三球都为红球的概率；
  (2) 从甲，乙、丙中随机取一箱，再从该箱中任取一球，求该球为红球的概率．
解析 (1) 根据题意，记事件 $A_1$: 从甲箱中取一球为红球，事件 $A_2$: 从乙箱中取一球为红球，
事件 $A_3$: 从丙箱中取一球为红球，
记事件 $B$: 取得的三球都为红球，且事件 $A_1$，$A_2$，$A_3$ 相互独立，
所以 $P(B)=P\left(A_1\right) \cdot P\left(A_2\right) \cdot P\left(A_3\right)=\dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{8}=\dfrac{9}{160}$，
所以三球都为红球的概率为 $\dfrac{9}{160}$．
(2) 记事件 $C$: 该球为红球，事件 $D_1$: 取甲箱，事件 $D_2$: 取乙箱，事件 $D_3$: 取丙箱
因为 $P(C|D_1)=\dfrac{1}{4}$， $P\left(C \mid D_2\right)=\dfrac{3}{5}$，$P(C|D_3)=\dfrac{3}{8}$，
所以 $P(C)=P(D_1 )\cdot P(C∣D_1 )+P(D_2 )\cdot P(C∣D_2 )+P(D_3 )\cdot P(C∣D_3 )$
$=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{8}=\dfrac{49}{120}$，
所以该球为红球的概率为 $\dfrac{49}{120}$．
点拨 注意从集合的角度利用 $venn$ 图理解各概率之间的关系.
 

【典题 2】某品牌汽车厂今年计划生产 $10$ 万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件 $M$，其中由本厂自主生产的配件 $M$ 可以满足 $20\%$ 的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购．已知本厂生产配件 $M$ 的成本为 $500$ 元 / 件，从甲、乙两厂订购配件 $M$ 的成本分别为 $600$ 元 / 件和 $800$ 元 / 件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件 $M$ 的平均成本控制为 $640$ 元 / 件．
  (1) 分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件 $M$ 的数量；
  (2) 已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件 $M$ 的次品率分别为 $4\%$，$2\%$ 和 $1\%$，求该厂生产的一辆轿车使用的配件 $M$ 是次品的概率；
  (3) 现有一辆轿车由于使用了次品配件 $M$ 出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为 $14000$ 元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件 $M$ 来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？
解析 (1) 设使用甲厂生产的配件 $M$ 的比例为 $a$，则使用乙厂生产的配件 $M$ 的比例为 $0.8-a$，
由已知可得 $600a+(0.8-a)800+500×0.2=640$，解得 $a=0.5$．
所以需要从甲厂订购配件 $M$ 的数量为 $10×0.5=5$ 万个；
从乙厂订购配件 $M$ 的数量为 $10×(0.8-0.5)=3$ 万个．
(2) 由 (Ⅰ) 知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件 $M$ 的比例分别为 $0.5$，$0.3$，$0.2$，
所以该汽车厂使用的配件 $M$ 的次品率的估计值为 $0.5×0.04+0.3×0.02+0.2×0.01=0.028$，
所以该厂生产的一辆轿车使用的配件 $M$ 是次品的概率为 $0.028$．
(3) 设 $A=$“该轿车使用了次品配件 $M$”，$B_1=$“配件 $M$ 来自甲厂”，
$B_2=$“配件 $M$ 来自乙厂”，$B_3=$“配件 $M$ 来自本厂”．
由 (2) 可知 $P(A)=0.028$．
该次品配件 $M$ 来自甲厂的概率为： $P\left(B_1 \mid A\right)=\dfrac{P\left(A B_1\right)}{P(A)}=\dfrac{P\left(B_1\right) P\left(A \mid B_1\right)}{P(A)}=\dfrac{0.5 \times 0.04}{0.028}=\dfrac{5}{7}$，
该次品配件 $M$ 来自乙厂的概率为： $P\left(B_2 \mid A\right)=\dfrac{P\left(A B_2\right)}{P(A)}=\dfrac{P\left(B_2\right) P\left(A \mid B_2\right)}{P(A)}=\dfrac{0.3 \times 0.02}{0.028}=\dfrac{3}{14}$，
该次品配件 $M$ 来自本厂的概率为： $P\left(B_3 \mid A\right)=\dfrac{P\left(A B_3\right)}{P(A)}=\dfrac{P\left(B_3\right) P\left(A \mid B_3\right)}{P(A)}=\dfrac{0.2 \times 0.01}{0.028}=\dfrac{1}{14}$，
所以甲厂应承担的费用为 $14000\times \dfrac{5}{7}=10000$ 元，乙厂应承担的费用为 $14000\times \dfrac{3}{14}=3000$ 元，本厂应承担的费用为 $14000\times \dfrac{1}{14}=1000$ 元．
点拨理解各数据的含义是关键；$P(A_i)$ 是试验之前就已知的概率，称为先验概率；当已知抽到的是次品，$P(B_i∣A)$ 是这件次品来自对应工厂的可能性大小，通常称为后验概率，这可视为要求对应工厂承担相应的责任.
 

【巩固练习】

1. 已知 $P(B)=0.3$，$P(B|A)=0.9$，$P(B|\bar{A})=0.2$，则 $P(\bar{A})=$(　　)
  A．$\dfrac{6}{7}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{1}{7}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{1}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{1}{10}$
 

2. 甲袋中有 $5$ 个白球、$1$ 个红球，乙袋中有 $4$ 个白球、$2$ 个红球，从两个袋中任选一袋，从中任取一球，则取到的球是红球的概率为 (　　)
  A．$\dfrac{3}{4}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{2}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{1}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{1}{4}$
 

3. 从有 $3$ 个红球和 $4$ 个黑球的盒子中，每次随机摸出一个球，摸出的球不再放回．则第 $2$ 次摸到红球的概率为 (　　)
  A．$\dfrac{1}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{3}{7}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{2}{7}$
 

4. 有 $3$ 台车床加工同一型号的零件，第 $1$ 台加工的次品率为 $6\%$，第 $2$，$3$ 台加工的次品率均为 $5\%$；加工出来的零件混放在一起，且第 $1$，$2$，$3$ 台车床加工的零件数分别占总数的 $25\%$，$30\%$，$45\%$．现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为 (　　)
  A．$0.0415$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$0.0515$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$0.0425$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$0.0525$
 

5. 设某医院仓库中有 $10$ 盒同样规格的 $X$ 光片，已知其中有 $5$ 盒、$3$ 盒、$2$ 盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种 $X$ 光片的次品率依次为 $\dfrac{1}{10}$， $\dfrac{1}{15}$，$\dfrac{1}{20}$，现从这 $10$ 盒中任取一盒，再从这盒中任取一张 $X$ 光片，则取得的 $X$ 光片是次品的概率为 (　　)
  A．$0.08$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$0.1$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$0.15$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$0.2$
 

6. 从数字 $1$，$2$，$3$，$4$ 中任取一个数，记为 $x$，再从 $1$，…，$x$ 中任取一个数，记为 $y$，则 $P(y=2)=$ $\underline{\quad \quad}$ .
 
 

参考答案

1. 答案 $B$
   解析 $P(B)=P(A)P(B∣A)+P(\bar{A})P(B∣\bar{A})$，
   $\because P(B)=0.3$，$P(B|A)=0.9$，$P(B|\bar{A})=0.2$，
   $\therefore 0.3=P(A)\times 0.9+[(1-P(A)]\times 0.2$，解得 $P(A)=\dfrac{1}{7}$．
   故选：$B$．

2. 答案 $D$
   解析 设事件 $A$ 表示 “选中甲袋”，事件 $B$ 表示 “选中乙袋”，事件 $C$ 表示 “取到红球”，
   则 $P(A)=\dfrac{1}{2}$，$P(B)=\dfrac{1}{2}$，$P(C∣A)=\dfrac{1}{6}$，$P(C∣B)=\dfrac{2}{6}$，
   则取到的球是红球的概率为：$P(C)=P(A)P(C∣A)+P(B)P(C∣B)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{4}$．
   故选：$D$．

3. 答案 $C$
   解析 从有 $3$ 个红球和 $4$ 个黑球的盒子中，
   每次随机摸出一个球，摸出的球不再放回，
   用 $A_1$ 表示第一次摸到红球，$A_2$ 表示第二次摸到红球，
   $B_1$ 表示第一次摸到黑球，$B_2$ 表示第二次摸到黑球．
   则由全概率公式得第 $2$ 次摸到红球的概率为：
   $P(A_2 )=P(A_1 A_2\cup B_1 A_2 )$$=P(A_1 A_2 )+P(B_1 A_2 )=P(A_1 )P(A_2∣A_1 )+P(B_1 )P(A_2∣B_1 )$
   $=\dfrac{3}{3+4} \times \dfrac{3-1}{3+4-1}+\dfrac{4}{3+4} \times \dfrac{3}{3+4-1}=\dfrac{3}{7}$．
   故选：$C$．

4. 答案 $D$
   解析 设 $B=$“任取一个零件为次品”，$A_i=$“零件为第 $i$ 台车床加工”$(i=1，2，3)$，
   则 $Ω=A_1\cup A_2\cup A_3$，$A_1$，$A_2$，$A_3$，两两互斥．
   根据题意得：$P(A_1 )=0.25$，$P(A_2 )=0.3$，$P(A_3 )=0.45$．
   $P(B∣A_1 )=0.06$，$P(B∣A_2 )=P(B∣A_3 )=0.05$．
   由全概率公式得 $P(B)=P(A_1 )P(B∣A_1 )+P(A_2 )P(B∣A_2 )+P(A_3 )P(B∣A_3 )$
   $=0.25\times 0.06+0.3\times 0.05+0.45\times 0.05=0.0525$．
   故选：$D$．

5. 答案 $A$
   解析 以 $A_1$，$A_2$，$A_3$ 分别表示取得的这盒 $X$ 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，$B$ 表示取得的 $X$ 光片为次品，$P(A_1 )=\dfrac{5}{10}$，$P(A_2 )=\dfrac{3}{10}$， $P\left(A_3\right)=\dfrac{2}{10}$，$P(B∣A_1 )=\dfrac{1}{10}$，$P(B∣A_2 )=\dfrac{1}{15}$，$P(B∣A_3 )=\dfrac{1}{20}$，
   由全概率公式得：$P(B)=P(A_1 )P(B∣A_1 )+P(A_2 )P(B∣A_2 )+P(A_3 )P(B∣A_3 )$
   $=\dfrac{5}{10} \times \dfrac{1}{10}+\dfrac{3}{10} \times \dfrac{1}{15}+\dfrac{2}{10} \times \dfrac{1}{20}=0.08$．
   故选：$A$．

6. 答案 $\dfrac{13}{48}$
   解析 由离散型随机变量的概率分布有 $P(x=1)=P(x=2)=P(x=3)=P(x=4)=\dfrac{1}{4}$，
   由题意得 $P(y=2|x=1)=0$，$P(y=2|x=2)=\dfrac{1}{2}$，$P(y=2|x=3)=\dfrac{1}{3}$，$P(y=2|x=4)=\dfrac{1}{4}$，
   则根据全概率公式得到
   $P(y=2)=P(x=1)P(y=2|x=1)+P(x=2)P(y=2|x=2)$ $+P(x=3)P(y=2|x=3)+P(x=4)P(y=2|x=4)$
   $=\dfrac{1}{4}\left(0+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{13}{48}$.
    

【题型2】 贝叶斯公式

【典题 1】 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为 $2:1$，货车中途停车修理的概率为 $0.02$，客车为 $0.01$，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率。
解析 设 $B=\{$ 中途停车修理 $\}$，$A_1=\{$ 经过的是货车 $\}$，$A_2=\{$ 经过的是客车 $\}$，
则 $B=A_1 B\cup A_2 B$，
由贝叶斯公式有 $P\left(A_1 \mid B\right)=\dfrac{P\left(A_1 B\right)}{P(B)}=\dfrac{P\left(A_1\right) P\left(B \mid A_1\right)}{P\left(A_1\right) P\left(B \mid A_1\right)+P\left(A_2\right) P\left(B \mid A_2\right)}$
$=\dfrac{\dfrac{2}{3} \times 0.02}{\dfrac{2}{3} \times 0.02+\dfrac{1}{3} \times 0.01}=0.8$.
点拨 理解各数据表示含义是关键.
 

【典题 2】 托马斯・贝叶斯 (ThomasBayes) 在研究 “逆向概率” 的问题中得到了一个公式：$P\left(A_i \mid B\right)=\dfrac{P\left(A_i\right) P\left(B \mid A_i\right)}{\sum_{j=1}^n P\left(A_j\right) P\left(B \mid A_j\right)}$，这个公式被称为贝叶斯公式 (贝叶斯定理)，其中 $\sum_{j=1}^n P\left(A_j\right) P\left(B \mid A_j\right)$ 称为 $B$ 的全概率．假设甲袋中有 $3$ 个白球和 $3$ 个红球，乙袋中有 $2$ 个白球和 $2$ 个红球．现从甲袋中任取 $2$ 个球放入乙袋，再从乙袋中任取 $2$ 个球．已知从乙袋中取出的是 $2$ 个红球，则从甲袋中取出的也是 $2$ 个红球的概率为 (　　)
  A． $\dfrac{5}{13}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B． $\dfrac{16}{75}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{3}{8}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D． $\dfrac{3}{5}$
解析 设从甲中取出 $2$ 个球，其中红球的个数为 $i$ 个的事件为 $A_i$，事件 $A$ 的概率为 $P(A_i)$，从乙中取出 $2$ 个球，其中红球的个数为 $2$ 个的事件为 $B$，事件 $B$ 的概率为 $P(B)$，由题意可知，
① $P\left(A_0\right)=\dfrac{C_3^2 C_3^0}{C_6^2}=\dfrac{1}{5}$， $P\left(B \mid A_0\right)=\dfrac{C_2^2 C_4^0}{C_6^2}=\dfrac{1}{15}$，
② $P\left(A_1\right)=\dfrac{C_3^1 C_3^1}{C_6^2}=\dfrac{3}{5}$， $P\left(B \mid A_1\right)=\dfrac{C_3^2 C_3^0}{C_6^2}=\dfrac{1}{5}$，
③ $P\left(A_2\right)=\dfrac{C_3^0 C_3^2}{C_6^2}=\dfrac{1}{5}$， $P\left(B \mid A_2\right)=\dfrac{C_4^2 C_2^0}{C_6^2}=\dfrac{2}{5}$，
根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是 $2$ 个红球，则从甲袋中取出的也是 $2$ 个红球的概率为 $P\left(A_2 \mid B\right)=\dfrac{P\left(A_2\right) P\left(B \mid A_2\right)}{P\left(A_0\right) P\left(B \mid A_0\right)+P\left(A_1\right) P\left(B \mid A_1\right)+P\left(A_2\right) P\left(B \mid A_2\right)}=\dfrac{3}{8}$．
故选：$C$．
 

【巩固练习】

1. 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为 $p$，若第一次及格则第二次及格的概率也为 $p$；若第一次不及格则第二次及格的概率为 $\dfrac{p}{2}$．若已知他第二次已经及格，则他第一次及格的概率为 $\underline{\quad \quad}$．
 

2. 已知在自然人群中，男性色盲患者出现的概率为 $7\%$，女性色盲患者出现的概率为 $0.5\%$．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，则此人是男性的概率是 $\underline{\quad \quad}$．
 

3. 已知甲袋中有 $6$ 只红球，$4$ 只白球，乙袋中有 $8$ 只红球，$6$ 只白球，随机取一只袋，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为 $\underline{\quad \quad}$．
 

4.$12$ 件产品中有 $4$ 件次品，在先取 $1$ 件的情况下，任取 $2$ 件产品皆为正品，求先取 $1$ 件为次品的概率.
 

参考答案

1. 答案 $\dfrac{2 p}{1+p}$
   解析 设 “该学生第 $i$ 次及格” 为事件 $A_i$，$i=1$，$2$，显然 $A_1$，$A_2$ 为样本空间的一个完备事件组，且已知 $P(A_1 )=p$，$P(A_2∣A_1 )=p$， $P\left(\overline{A_1}\right)=1-p$， $P\left(A_2 \mid \overline{A_1}\right)=\dfrac{p}{2}$，
   由全概率公式得， $P\left(A_2\right)=P\left(A_1\right) P\left(A_2 \mid A_1\right)+P\left(\overline{A_1}\right) P\left(A_2 \mid \overline{A_1}\right)=\dfrac{p}{2}(1+p)$．
   由贝叶斯公式得， $P\left(A_1 \mid A_2\right)=\dfrac{P\left(A_1\right) P\left(A_2 \mid A_1\right)}{P\left(A_2\right)}=\dfrac{2 p}{1+p}$．

2. 答案 $\dfrac{14}{15}$
   解析 以事件 $A$ 表示 “选出的是男性”，
   则事件 $\bar{A}$ 表示 “选出的是女性”，以事件 $H$ 表示 “选出的是色盲患者”，
   由题意 $P(A)=P(\bar{A})=\dfrac{1}{2}$，$P(H∣A)=7\%$，$P(H∣\bar{A})=0.5\%$，
   由贝叶斯公式得今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，
   则此人是男性的概率是： $P(A \mid H)=\dfrac{P(A H)}{P(H)}=\dfrac{P(H \mid A) P(A)}{P(H \mid A) P(A)+P(H \mid A) P(A)}$$=\dfrac{7 \% \times \dfrac{1}{2}}{7 \% \times \dfrac{1}{2}+0.5 \% \times \dfrac{1}{2}}=\dfrac{14}{15}$．
   故答案为：$\dfrac{14}{15}$．

3. 答案 $\dfrac{21}{41}$
   解析 设事件 $B$ 为取出的球是红球，事件 $A_1$ 为该球来自甲袋，事件 $A_2$ 为该球来自乙袋，
   则由题意知：$P(A_1 )=P(A_1 )=\dfrac{1}{2}$， $P\left(B \mid A_1\right)=\dfrac{6}{6+4}=\dfrac{3}{5}$， $P\left(B \mid A_2\right)=\dfrac{8}{8+6}=\dfrac{4}{7}$，
   由全概率公式可得： $P(B)=P\left(B \mid A_1\right) P\left(A_1\right)+P\left(B \mid A_2\right) P\left(A_2\right)$$=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{7}=\dfrac{41}{70}$，
   所以 $P\left(A_1 \mid B\right)=\dfrac{P\left(A_1 B\right)}{P(B)}=\dfrac{P\left(B \mid A_1\right) P\left(A_1\right)}{P(B)}=\dfrac{3}{\frac{40}{70}}=\dfrac{21}{41}$．

4. 答案 $\dfrac{2}{5}$
   解析令 $A=\{$ 先取的 $1$ 件是次品 $\}$，$P(A)=\dfrac{1}{3}$，$P(\bar{A} )=\dfrac{2}{3}$，
   令 $B=\{$ 后取的 $2$ 件皆为正品 $\}$，
   则 $P(B \mid A)=\dfrac{C_8^2}{C_{11}^2}=\dfrac{28}{55}$， $P(B \mid \bar{A})=\dfrac{C_7^2}{C_{11}^2}=\dfrac{21}{55}$，
   由贝叶斯公式得 $P(A \mid B)=\dfrac{P(A B)}{P(B)}=\dfrac{P(A) P(B \mid A)}{P(A) P(B \mid A)+P(\bar{A}) P(B \mid A)}$
   $=\dfrac{\dfrac{1}{3} \times \dfrac{28}{55}}{\dfrac{1}{3} \times \dfrac{28}{55}+\dfrac{2}{3} \times \dfrac{21}{55}}=\dfrac{2}{5}$.
    

分层练习

【A组---基础题】

1. 设 $A$，$B$ 为两个事件，已知 $P(B)=0.4$，$P(A)=0.5$，$P(B|A)=0.3$，则 $P(B∣\bar{A})=$ (　　)
  A．$0.3$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$0.4$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$0.5$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$0.6$
 

2. 某高校有智能餐厅 $A$、人工餐厅 $B$，甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去 $A$ 餐厅，那么第二天去 $A$ 餐厅的概率为 $0.6$；如果第一天去 $B$ 餐厅，那么第二天去 $A$ 餐厅的概率为 $0.8$．则甲第二天去 $A$ 餐厅用餐的概率为 (　　)
  A．$0.75$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$0.7$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$0.56$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$0.38$
 

3. 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 $30\%$，二厂生产的占 $70\%$．这两个厂的产品次品率分别为 $1\%$，$2\%$，则从这批产品中任取一件，该产品是次品的概率是 (　　)
  A．$0.015$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$0.03$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$0.0002$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$0.017$
 

4. 盒中放有 $12$ 个乒乓球，其中 $9$ 个是新的，第一次比赛时从中任取 $3$ 个来使用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从中任取 $3$ 个球，则第二次取出的球都是新球的概率为 (　　)
  A．$\dfrac{441}{3025}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{441}{1025}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{5}{121}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{13}{41}$
 

5.(多选) 有 $3$ 台车床加工同一型号的零件，第 $1$ 台车床加工的次品率为 $0.06$，第 $2$ 台车床加工的次品率为 $0.05$，第 $3$ 台车床加工的次品率为 $0.08$，加工出来的零件混放在一起．已知第 $1$，$2$，$3$ 台车床加工的零件数分别占总数的 $0.25$，$0.3$，$0.45$，现从中任意选取 $1$ 个零件，则 (　　)
  A．该零件是由第 $1$ 台车床加工的次品的概率为 $0.06$
  B．该零件是次品的概率为 $0.066$
  C．在取到的零件是次品的前提下，该零件是由第 $2$ 台车床加工的概率为 $\dfrac{5}{22}$
  D．在取到的零件是次品的前提下，该零件是由第 $3$ 台车床加工的概率为 $\dfrac{6}{11}$
 

6. 甲罐中有 $5$ 个红球，$2$ 个白球和 $3$ 个黑球，乙罐中有 $4$ 个红球，$3$ 个白球和 $3$ 个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 $A_1$，$A_2$ 和 $A_3$ 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 $B$ 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是 $\underline{\quad \quad}$ (写出所有正确结论的编号)．
 ①$P(B)=\dfrac{2}{5}$；   ② $P\left(B \mid A_1\right)=\dfrac{5}{11}$；  ③事件 $B$ 与事件 $A_1$ 相互独立；   ④$A_1$，$A_2$，$A_3$ 是两两互斥的事件．
 

7. 轰炸机轰炸某目标，它能飞到距目标 $400$、$200$、$100$(米) 的概率分别是 $0.5$、$0.3$、$0.2$，又设它在距目标 $400$、$200$、$100$(米) 时的命中率分别是 $0.01$、$0.02$、$0.1$，则目标被命中的概率为 $\underline{\quad \quad}$ .
 

8. 某电子设备厂所用元件是由甲、乙、丙三家元件制造厂提供，根据以往数据：甲、乙、丙三厂的产品分别占总产量的 $15\%$，$80\%$，$5\%$，且各厂产品的次品率分别为 $2\%$，$1\%$，$3\%$．今将三个厂生产的产品在仓库中均匀混合，且无其它区别的标志．
  (1) 在仓库中随机取一个元件，求它是次品的概率；
  (2) 在仓库中随机取一个元件，若已知取到的是次品，则该次品来自乙厂的概率是多少？
 
 

9. 设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为 $\dfrac{1}{7}$， $\dfrac{1}{5}$，$\dfrac{1}{4}$．现从这三个地区任抽取一个人，假设这个人来自三个地区的可能性相同．
  (1) 求此人感染此病的概率；
  (2) 若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．
 
 
 

参考答案

1. 答案 $C$
   解析 由 $P(A)=0.5$，得 $P(\bar{A})=0.5$，
   由 $P(B)=P(A)P(B∣A)+P(\bar{A})P(B∣\bar{A})$，
   即 $0.4=0.5\times 0.3+0.5P(B|\bar{A})$，
   $\therefore P(B|\bar{A})=0.5$．
   故选：$C$．

2. 答案 $B$
   解析 设第一天去 $A$ 餐厅为事件 $A_1$，第二天去 $A$ 餐厅为事件 $A_2$，第一天去 $B$ 餐厅为事件 $B_1$，
   则 $P(A_2 )=P(A_2∣A_1 )P(A_1 )+P(A_2∣B_1 )P(B_1 )$$=0.6\times 0.5+0.8\times 0.5=0.7$．
   故选：$B$．

3. 答案 $D$
   解析 设事件 $A$ 为 “任取一件为次品”．事件 $B_i$ 为 “任取一件为 $i$ 厂的产品”，$i=1$，$2$．
   则 $Ω=B_1\cup B_2$，且 $B_1$，$B_2$ 互斥．
   易知 $P(B_1 )=0.3$，$P(B_2 )=0.7$，$P(A∣B_1 )=0.01$，$P(A∣B_2 )=0.02$．
   $\therefore P(A)=P(A∣B_1 )P(B_1 )+P(A∣B_2 )P(B_2 )$$=0.01\times 0.3+0.02\times 0.7=0.017$．
   故选：$D$．

4. 答案 $A$
   解析 令 $A_i$ 表示第一次任取 $3$ 个球使用时，取出 $i$ 个新球 $(i=0，1，2，3)$，
   B$(i=0，1，2，3)$ 表示 “第二次任取的 $3$ 个球都是新球”，
   则 $P\left(A_0\right)=\dfrac{C_3^3}{C_{12}^3}=\dfrac{1}{220}$， $P\left(A_1\right)=\dfrac{C_3^2 C_9^1}{C_{12}^3}=\dfrac{27}{220}$，
   $P\left(A_2\right)=\dfrac{C_3^1 C_9^2}{C_{12}^3}=\dfrac{108}{220}$， $P\left(A_3\right)=\dfrac{C_9^3}{C_{12}^3}=\dfrac{84}{220}$，
   由全概率公式，第二次取到的球都是新球的概率为：
   $P(B)=P(A_0 )P(B∣A_0 )+P(A_1 )P(B∣A_1 )+P(A_2 )P(B∣A_2 )+P(A_3 )P(B∣A_3 )$
   $=\dfrac{1}{220} \times \dfrac{C_9^3}{C_{12}^3}+\dfrac{27}{220} \times \dfrac{C_8^3}{C_{12}^3}+\dfrac{108}{220} \times \dfrac{C_7^3}{C_{12}^3}+\dfrac{84}{220} \times \dfrac{C_6^3}{C_{12}^3}=\dfrac{441}{3025}$．
   故选：$A$．

5. 答案 $BCD$
   解析 有 $3$ 台车床加工同一型号的零件，第 $1$ 台车床加工的次品率为 $0.06$，第 $2$ 台车床加工的次品率为 $0.05$，第 $3$ 台车床加工的次品率为 $0.08$，加工出来的零件混放在一起．
   第 $1$，$2$，$3$ 台车床加工的零件数分别占总数的 $0.25$，$0.3$，$0.45$，
   对于 $A$，记事件 $A$ 为 “零件由第 $i(i=1，2，3)$ 台车床加工”，记事件 $B$ 为 “零件为次品”，
   则 $P(A_1 )=0.25$，$P(A_2 )=0.3$，$P(A_3 )=0.45$，$P(B∣A_1 )=0.06$，$P(B∣A_2 )=0.05$，$P(B∣A_3 )=0.08$．
   由条件概率得该零件是由第 $1$ 台车床加工的次品的概率：
   $P(A_1 B)=P(A_1 )\cdot P(B∣A_1 )=0.25\times 0.06=0.015$，故 $A$ 错误；
   对于 $B$，由全概率公式得该零件是次品的概率为：
   $P(B)=P(A_1 )\cdot P(B∣A_1 )+P(A_2 )\cdot P(B∣A_2 )+P(A_3 )\cdot P(B∣A_3 )$$=0.25\times 0.06+0.3\times 0.05+0.45\times 0.08=0.066$，故 $B$ 正确；
   对于 $C$，在取到的零件是次品的前提下，由贝叶斯公式得该零件是由第 $2$ 台车床加工的概率为： $P\left(A_2 \mid B\right)=\dfrac{P\left(A_2\right) \cdot P\left(B \mid A_2\right)}{P(B)}=\dfrac{0.3 \times 0.05}{0.066}=\dfrac{5}{22}$，故 $C$ 正确；
   对于 $D$，在取到的零件是次品的前提下，由贝叶斯公式得该零件是由第 $3$ 台车床加工的概率为： $P\left(A_3 \mid B\right)=\dfrac{P\left(A_3\right) \cdot P\left(B \mid A_3\right)}{P(B)}=\dfrac{0.45 \times 0.08}{0.066}=\dfrac{6}{11}$，故 $D$ 正确．
   故选：$BCD$．

6. 答案 ②④
   解析由题意 $A_1$，$A_2$，$A_3$ 是两两互斥的事件，
   $P(A_1)=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$， $P\left( A_2\right)=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}$，$P(A_3)=\dfrac{3}{10}$；
   $P\left(B \mid A_1\right)=\dfrac{P\left(B A_1\right)}{P\left(A_1\right)}=\dfrac{\frac{1}{2} \times \frac{5}{11}}{\frac{1}{2}}=\dfrac{5}{11}$，由此知，②正确；
   $P\left(B \mid A_2\right)=\dfrac{4}{11}$， $P\left(B \mid A_3\right)=\dfrac{4}{11}$；
   而 $P(B)=P(A_1 B)+P(A_2 B)+P(A_3 B)$$=P(A_1 )P(B∣A_1 )+P(A_2 )P(B∣A_2 ) +P(A_3 )P(B∣A_3 )$ $=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{5}{11}+\dfrac{1}{5} \times \dfrac{4}{11}+\dfrac{3}{10} \times \dfrac{4}{11}=\dfrac{9}{22}$．由此知①③不正确；
   $A_1$，$A_2$，$A_3$ 是两两互斥的事件，由此知④正确；
   对照四个命题知②④正确；
   故答案为:②④．

7. 答案 $0.031$
   解析 设事件 $A_1=\{$ 飞机能飞到距目标 $400$ 米处 $\}$，$A_2=\{$ 飞机能飞到距目标 $200$ 米处 $\}$，
   $A_3=\{$ 飞机能飞到距目标 $100$ 米处 $\}$，$B=\{$ 目标被击中 $\}$，
   由题意得 $P(A_1 )=0.5$，$P(A_2 )=0.3$，$P(A_3 )=0.2$
   $P(B|A_1 )=0.01$，$P(B|A_2 )=0.02$，$P(B|A_3 )=0.03$，
   由全概率公式 $P(B)=P(A_1 )P(B│A_1 )+ P(A_2 )P(B│A_2 )+P(A_3 )P(B│A_3 )=0.031$.

8. 答案 (1)$0.0125$ (2) $0.64$
   解析 (1) 设 $B=$“随机取一个元件是次品”，$A_i (i=1，2，3)$ 分别表示甲、乙、丙三家元件制造厂提供，$Ω=A_1\cup A_2\cup A_3$，且 $A_1$，$A_2$，$A_3$ 两两互斥，
   根据题意可得：$P(A_1 )=0.15$，$P(A_2 )=0.8$，$P(A_3 )=0.05$，
   $P(B∣A_1 )=0.02$，$P(B∣A_2 )=0.01$，$P(B∣A_3 )=0.03$，
   由全概率公式可得：$P(B)=P(A_1 )P(B∣A_1 )+P(A_2 )P(B∣A_2 )+P(A_3 )P(B∣A_3 )$
   $=0.15\times 0.02+0.8\times 0.01+0.05\times 0.03=0.0125$．
   (2) $P\left(A_2 \mid B\right)=\dfrac{P\left(A_2 B\right)}{P(B)}=\dfrac{0.008}{0.0125}=0.64$．

9. 答案 (1) $\dfrac{83}{420}$ (2) $\dfrac{28}{83}$
   解析 (1) 设 $B$ 表示 “此人感染此病”，
   $A_1$，$A_2$，$A_3$ 表示此人选自甲、乙、丙三个地区，
   由题意得 $P(A_1 )=P(A_2 )=P(A_3 )=\dfrac{1}{3}$，$P(B∣A_1 )=\dfrac{1}{7}$，$P(B∣A_2 )=\dfrac{1}{5}$，$P(B∣A_3 )=\dfrac{1}{4}$，
   由全概率公式得此人感染此病的概率：
   $P(B)=P(A_1 )P(B∣A_1 )+P(A_2 )P(B∣A_2 )+P(A_3 )P(B∣A_3 )$
   $=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{83}{420}$．
   (2) 由贝叶斯公式得若此人感染此病，此人选自乙地区的概率为：
   $P\left(A_2 \mid B\right)=\dfrac{P\left(A_2\right) P\left(B \mid A_2\right)}{P(B)}=\dfrac{\frac{1}{3} \times \frac{1}{5}}{\frac{83}{420}}=\dfrac{28}{83}$．
    

【B组---提高题】

1.(多选) 现有编号为 $1$，$2$，$3$ 的三个口袋，其中 $1$ 号口袋内装有两个 $1$ 号球，一个 $2$ 号球和一个 $3$ 号球：$2$ 号口袋内装有两个 $1$ 号球，一个 $3$ 号球；$3$ 号口袋内装有三个 $1$ 号球，两个 $2$ 号球；第一次先从 $1$ 号口袋内随机抽取 $1$ 个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是 (　　)
  A．在第一次抽到 $3$ 号球的条件下，第二次抽到 $1$ 号球的概率是 $\dfrac{3}{5}$
  B．第二次取到 $1$ 号球的概率 $\dfrac{1}{2}$
  C．如果第二次取到 $1$ 号球，则它来自 $1$ 号口袋的概率最大
  D．如果将 $5$ 个不同小球放入这 $3$ 个口袋内，每个口袋至少放 $1$ 个，则不同的分配方法有 $150$ 种
 
 

参考答案

1. 答案 $BCD$
   解析 对于 $A$ 选项，记事件 $A_i$，$B_i$ 分别表示第一次、第二次取到 $i$ 号球，$i=1$，$2$，$3$，
   则第一次抽到 $3$ 号球的条件下，第二次抽到 $1$ 号球的概率 $P(B_1∣A_3 )=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$，故 $A$ 错误；
   对于 $B$ 选项，记事件 $A_i$，$B_i$ 分别表示第一次、第二次取到 $i$ 号球，$i=1$，$2$，$3$，
   依题意 $A_1$，$A_2$，$A_3$ 两两互斥，其和为 $Ω$，并且 $P\left(A_1\right)=\dfrac{2}{4}$，$P(A_2 )=P(A_3 )=\dfrac{1}{4}$，
   所以 $P\left(B_1 \mid A_1\right)=\dfrac{2}{4}$， $P\left(B_1 \mid A_2\right)=\dfrac{2}{4}$， $P\left(B_1 \mid A_3\right)=\dfrac{3}{6}$，
   $P(B_2∣A_1 )=\dfrac{1}{4}$，$P(B_2∣A_2 )=\dfrac{1}{4}$，$P(B_2∣A_3 )=\dfrac{2}{6}$，
   $P(B_3∣A_1 )=\dfrac{1}{4}$，$P(B_3∣A_2 )=\dfrac{1}{4}$，$P(B_3∣A_3 )=\dfrac{1}{6}$，
   应用全概率公式，有 $P\left(B_1\right)=\sum_{i=1}^3 P\left(A_i\right) \cdot P\left(B_1 \mid A_i\right)=\dfrac{2}{4} \times \dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4} \times \dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$，
   故 $B$ 正确；
   对于 $C$ 选项，依题设知，第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上的号数相同，
   则 $P\left(A_1 \mid B_1\right)=\dfrac{P\left(A_1\right) \cdot P\left(B_1 \mid A_1\right)}{P\left(B_1\right)}=\dfrac{2}{4} \times \dfrac{2}{4} \times 2=\dfrac{1}{2}$；
   $P\left(A_2 \mid B_1\right)=\dfrac{P\left(A_2\right) \cdot P\left(B_1 \mid A_2\right)}{P\left(B_1\right)}=\dfrac{1}{4} \times \dfrac{2}{4} \times 2=\dfrac{1}{4}$；
   $P\left(A_3 \mid B_1\right)=\dfrac{P\left(A_3\right) \cdot P\left(B_1 \mid A_3\right)}{P\left(B_1\right)}=\dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{6} \times 2=\dfrac{1}{4}$；
   故在第二次取到 $1$ 号球的条件下，它取自编号为 $1$ 的口袋的概率最大．故 $C$ 正确；
   对于 $D$ 选项，先将 $5$ 个不同的小球分成 $1$，$1$，$3$ 或 $2$，$2$，$1$ 三份，再放入三个不同的口袋，
   则不同的分配方法有 $\left(\dfrac{C_5^1 C_4^1 C^3}{A_2^2}+\dfrac{C_5^2 C_3^2 C_1^1}{A_2^2}\right)^2 A_3^3=150$，故 $D$ 正确．
   故选：$BCD$．
    

【C组---拓展题】

1. 近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线．他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单．某外卖小哥每天来往于 $r$ 个外卖店 (外卖店的编号分别为 $1$，$2$，……，$r$，其中 $r≥3$)，约定：每天他首先从 $1$ 号外卖店取单，叫做第 $1$ 次取单，之后，他等可能的前往其余 $r-1$ 个外卖店中的任何一个店取单叫做第 $2$ 次取单，依此类推．假设从第 $2$ 次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的 $r-1$ 个外卖店取单．设事件 $A_k=\{$ 第 $k$ 次取单恰好是从 $1$ 号店取单 $\}$，$P(A_k)$ 是事件 $A_k$ 发生的概率，显然 $P(A_1)=1$，$P(A_2)=0$，则 $P(A_3)=$ $\underline{\quad \quad}$， $P\left(A_{k+1}\right)$ 与 $P(A_k)$ 的关系式为 $\underline{\quad \quad}$．
    
    

参考答案

1. 答案 $\dfrac{1}{r-1}$； $P\left(A_{k+1}\right)=\left[1-P\left(A_k\right)\right] \dfrac{1}{r-1}$
   解析 由于约定外卖小哥 “首先从 $1$ 号外卖店取单”，所以肯定有 $P(A_1)=1$，
   根据 “游戏规则”，第二次取单肯定不会 $1$ 号店了，故 $P(A_2)=0$；
   第二次是 $1$ 号外的一家店取单，那第三次在剩下的 $r-1$ 家店中随机得到 $1$ 号店取单的概率当然是 $\dfrac{1}{r-1}$，即 $P\left(A_3\right)=\dfrac{1}{r-1}$；
   第 $k+1$ 次是否 “从 $1$ 号店取单”，取决于第 $k$ 次的情况，
   $P\left(A_{k+1}\right)=P\left(\bar{A}_k\right) P\left(A_{k+1} \mid \bar{A}_k\right)+P\left(A_k\right) P\left(A_{k+1} \mid A_k\right)$
   $=\left[1-P\left(A_k\right)\right] \dfrac{1}{r-1}+P\left(A_k\right) \cdot 0$$=\left[1-P\left(A_k\right)\right] \dfrac{1}{r-1}$
   ( $P\left(A_{k+1} \mid \bar{A}_k\right)=\dfrac{1}{r-1}$-- 在第 $k$ 次不是从 $1$ 号店取单条件下第 $k+1$ 次从 $1$ 号店取单的概率为 $\dfrac{1}{r-1}$， $P\left(A_{k+1} \mid A_k\right)=0$-- 第 $k$ 次从 $1$ 号店取单下第 $k+1$ 次从 $1$ 号店取单的概率当然为 $0$)
   故答案为 $\dfrac{1}{r-1}$； $P\left(A_{k+1}\right)=\left[1-P\left(A_k\right)\right] \dfrac{1}{r-1}$．