6.2 有条件限制的排列组合问题
基础知识
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
(1) 分类加法计数原理
做一件事情，完成它可以有\(n\)类办法，在第一类办法中有\(m_1\)种不同的方法，在第二类办法中有\(m_2\)种不同的方法，……，在第\(n\)类办法中有\(m_n\)种不同的方法 那么完成这件事共有\(N=m_1+m_2+⋯+m_n\)种不同的方法.
(2) 分步乘法计数原理
做一件事情，完成它需要分成\(n\)个步骤，做第一步有\(m_1\)种不同的方法，做第二步有\(m_2\)种不同的方法，……，做第\(n\)步有\(m_n\)种不同的方法，那么完成这件事有\(N=m_1× m_2×⋯× m_n\)种不同的方法.
排列与组合
(1) 排列概念
从\(n\)个不同元素中，任取\(m(m≤ n)\)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从\(n\)不同元素中取出\(m\)个元素的一个排列.
(2) 组合概念
一般地，从\(n\)个不同元素中取出\(m(m≤ n)\)个元素并成一组，叫做从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的一个组合.
基本方法
方法1 特殊元素和特殊位置优先策略
遇到有特殊要求的元素或位置，可以先优先考虑处理他们.
【典题1】 由\(0\)，\(1\) ，\(2\)，\(3\) ，\(4\)，\(5\)可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解析 由于个位必须是奇数，首位(十万位)不能为\(0\)，有特殊要求，应该优先安排.
(个位、首位属于特殊位置，\(0\)属于特殊元素)
方法1 从位置的角度入手，作法如下：先排个位有\(C_3^1\)，然后排首位有\(C_4^1\)，最后排其它位置有\(A_4^3\)，由分步计数原理得\(C_4^1 C_3^1 A_4^3=288\).
方法2 从元素的角度入手，分\(2\)类，作法如下：
(1)若五位奇数含\(0\)的，先排\(0\)有\(C_3^1\)，再选个奇数排个位有\(C_3^1\)，最后从\(4\)个数字中选\(3\)个排列有\(A_4^3\)，由分步计数原理得\(C_3^1 C_3^1 A_4^3=216\)；
(2)若五位奇数不含\(0\)的，选个奇数排个位有\(C_3^1\)，再全排列剩下\(4\)个数有\(A_4^4\)，由分步计数原理得\(C_3^1 A_4^4=72\)；
故共\(216+72=288\).
【典题2】 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？
解析 方法1 (视学生甲为特殊元素，优先处理)
分两步，先安排甲就位，有\(A_5^1\)种可能，再安排其他\(6\)名学生，有\(A_6^6\)种可能，由分步计数原理得排法有\(A_5^1 A_6^6=3600\)种.
方法2 (视首位与末位为特殊位置，优先处理)
分两步，先从其他\(6\)名学生中抽出\(2\)名学生在首位与末位就位(此时甲不可能坐在首位或末位)，有\(A_6^2\)种可能，再安排剩下的\(5\)名学生就位，有\(A_5^5\)种可能，由分步计数原理得排法有\(A_6^2 A_5^5=3600\)种.
练习 \(6\)人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法.
答案 \(504\)
练习现要给\(4\)个唱歌节目和\(2\)个小品节目排列演出顺序，要求\(2\)个小品节目之间恰好有\(3\)个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是\(\underline{\quad \quad}\). (用数字作答)
答案 由题意可知演出顺序的排列种数是\(A_2^2 A_4^3 A_2^2=96\).
方法2 相邻元素捆绑策略
若某几个元素要求相邻，可以用捆绑法来解决问题.
即将需要相邻的元素合并一起视为一个复合元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意复合元素内部也必须排列.
【典题1】 \(7\)人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？
解析 由于甲乙相邻、丙丁相邻，可先将甲乙捆绑看成一个复合元素，丙丁捆绑也看成一个复合元素，再与其它元素共\(5\)个元素进行全排列\(A_5^5\)，同时对相邻元素内部进行自排\(A_2^2 A_2^2\)，
由分步计数原理可得共有\(A_5^5 A_2^2 A_2^2=480\)种不同的排法.
练习1 小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，\(5\)人坐一排．若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为\(\underline{\quad \quad}\) .
答案 \(12\)
练习2 \(3\)位男生和\(3\)位女生共\(6\)位同学站成一排，若男生甲不站两端，\(3\)位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是\(\underline{\quad \quad}\) .
答案 \(6\)位同学站成一排，\(3\)位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，\(C_3^2 A_2^2 A_4^2 A_2^2=432\)种，其中男生甲站两端的有\(A_2^1 C_3^2 A_2^2 A_3^2 A_2^2=144\)，符合条件的排法故共有\(288\).
方法3 不相邻问题插空策略
若某些元素要求不能相邻，则采取插空法.
即先把没有要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端.
【典题1】 一个晚会的节目有\(4\)个舞蹈，\(2\)个相声，\(3\)个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？
解析 分两步进行，
第一步 排\(2\)个相声和\(3\)个独唱共有\(A_5^5\)种，
第二步 将\(4\)个舞蹈插入第一步排好的\(6\)个空档(包括元素之间空档和首尾两个空档)排列，共有种\(A_6^4\)不同的方法，
由分步计数原理，节目的不同顺序共有\(A_5^5 A_6^4\)种.
练习七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是\(\underline{\quad \quad}\) .
答案 \(3600\)
方法4 元素相同问题隔板策略
将\(n\)个相同的元素分成\(m\)份(\(n\) ，\(m\)为正整数)，每份至少一个元素，可以用\(m-1\)块隔板，插入\(n\)个元素排成一排的\(n-1\)个空隙中，所有分法数为\(C_{n-1}^{m-1}\).
【典题1】 有\(10\)个运动员名额，分给\(7\)个班，每班至少一个，有多少种分配方案？
解析 题中说“\(10\)个运动员名额”，说明他们是没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成\(9\)个空隙.在\(9\)个空档中选\(6\)个位置插个隔板，可把名额分成\(7\)份，对应地分给\(7\)个班级，每一种插板方法对应一种分法共有\(C_9^6\)种分法.
练习 将\(12\)个相同的小球分给甲、乙、丙三个人，其中甲至少\(1\)个，乙至少\(2\)个，丙至少\(3\)个，则共有多少种不同的分法？
答案 \(28\)
方法5 定序问题倍缩或空位插入策略
对某些元素的顺序要求是固定的，可用倍缩法或者空位法.
【典题1】 \(7\)人排队，其中甲乙丙\(3\)人顺序一定共有多少不同的排法？
解析 方法1 倍缩法
对\(7\)人全排列有\(A_7^7\)种排法，其中甲乙丙的顺序是随意的，
甲乙丙三人排列一共有\(A_3^3\)种(分别是甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲)，
假设“\(7\)人排队，其中甲乙丙\(3\)人按甲乙丙顺序”有\(x\)种排法，则后\(5\)种情况同理也是有\(x\)种排法，
所以\(A_3^3 \cdot x=A_7^7 \Rightarrow x=\dfrac{A_7^7}{A_3^3}\).
方法2 空位法
设想\(7\)人坐在\(7\)把椅子上照相，那先让除甲乙丙以外的\(4\)人就坐，共有\(A_7^4\)种方法；其余的三个位置再安排甲乙丙就坐，由于他们顺序一定，即只有\(1\)种坐法，则共有\(A_7^4\cdot 1=A_7^4\)种方法.
练习 停车场划出一排\(12\)个停车位置，今有\(8\)辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？
答案 \(C_9^1 A_8^8\)
方法6 排列组合混合问题先选后排策略
【典题1】 有\(5\)个不同的小球，装入\(4\)个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少不同的装法.
解析第一步从\(5\)个球中选出\(2\)个组成复合元共有\(C_5^2\)种方法.再把\(4\)个元素(包含一个复合元素)装入\(4\)个不同的盒内有\(A_4^4\)种方法，根据分步计数原理装球的方法共有\(C_5^2 A_4^4\).
解决排列组合混合问题，先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?
练习 一个班有\(6\)名战士，其中正副班长各\(1\)人现从中选\(4\)人完成四种不同的任务，每人完成一种任务，且正副班长有且只有\(1\)人参加，则不同的选法有\(\underline{\quad \quad}\)种
答案 \(192\)
方法7 平均分组问题除法策略
【典题1】 将\(6\)位志愿者分成\(4\)组，其中两个组各\(2\)人，另两个组各\(1\)人，分赴世博会的四个不同场馆服务，则有多少种不同的分配方案？
解析 ① 分组
分组的时候，分四步取书得\(C_6^2 C_4^2 C_2^2 C_1^1\)种方法，但这里出现重复计数的现象，
不妨给\(6\)位志愿者起名字\(a_1\)，\(a_2\) ，\(a_3\) ，\(a_4\)，\(a_5\)，\(a_6\)，
我们先看两组都是\(2\)人的情况，若第一步是\(a_1 a_2\)，第二步是\(a_3 a_4\)，记为\((a_1 a_2 ，a_3 a_4)\)，
它与\((a_3 a_4 ，a_1 a_2)\)的分法其实是一样的，则重复了\(A_2^2\)次，
故分两组\(2\)人其实只有\(\dfrac{C_6^2 C_4^2}{A_2^2}\)；
那两组\(1\)人的分法有\(\dfrac{C_2^2 C_1^1}{A_2^2}\)种，故先将\(6\)名志愿者分为\(4\)组，共有\(\dfrac{C_6^2 C_4^2 C_2^1 C_1^1}{A_2^2 A_2^2}\)种分法；
② 分配
再将\(4\)组人员分到\(4\)个不同场馆去，共有\(A_4^4\)种分法，
故所有分配方案有： \(\dfrac{C_6^2 C_4^2 C_2^1 C_1^1}{A_2^2 A_2^2} A_4^4=1080\)种．
点拨
① 对于这些分组问题，一般思路是先分组再分配，由于\(4\)个场馆是强调不一样的，故后面要有分配\(A_4^4\)；
② 在遇到平均分组的时候，要注意“重复计数的现象”，采取“除法策略”，因为它是“重复了倍数计数”，采取起名字的方法能让你更好理解其中缘由！
练习1 将\(4\)名大学生分配到\(3\)个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则有多少种不同的分配方案？
答案 \(36\)
练习2 \(6\)本不同的书平均分成\(3\)堆，每堆\(2\)本共有多少分法？
答案 \(15\)
方法8 分类讨论策略
【典题1】 \(6\)本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的分法？
解析 分三种情况讨论：
①三人每人\(2\)本，有\(C_6^2 C_4^2 C_2^2=90\)种不同的分法，
(由于分组数目一样，可先让甲从6本书里拿\(2\)本\(C_6^2\)，再让乙在剩下的\(4\)本里拿\(2\)本\(C_4^2\)，最后丙拿剩下的\(2\)本\(C_2^2\))
②三人中一人\(1\)本，一人\(2\)本，一人\(3\)本，有\(C_6^1 C_5^2 C_3^3 A_3^3=360\)种不同的分法，
(先给书“分组\(C_6^1 C_5^2 C_3^3\)”，由于题中说到甲乙丙\(3\)人，说明他们谁拿几本书是有区别的，故还要“后排列\(A_3^3\)”)
③三人中一人\(4\)本，其余\(2\)人各\(1\)本，有\(C_6^4 C_3^1 A_2^2=90\)种不同的分法，
(先从\(6\)本书中抽出\(4\)本\(C_6^4\)，再把它给甲乙丙其中\(1\)人\(C_3^1\)，最后把剩下\(2\)本给剩下\(2\)人\(A_2^2\))
则有\(90+360+90=540\)种不同的分法.
点拨
该题\(6\)本书是不一样的，不能用“隔板法”，要分类讨论.
有点像处理定序问题的倍缩法.
若题目只改一个字“\(6\)本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有 种不同的分法.”则就用“隔板法”得到答案为\(C_5^2=10\)种.
练习 某运动会组委会要派五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作，要求每项工作至少有一人参加，则不同的派给方案共有\(\underline{\quad \quad}\) .
答案 五名志愿者分别为\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)，\(E\)，
当一组\(3\)人另两组各\(1\)人时，有\(C_5^3=10\)种分法，
当一组\(1\)人另两组各\(2\)人时，有\(\dfrac{1}{2} C_5^1 \cdot C_4^2=15\)种分法，
所以不同的派给方案为\((10+15)\cdot A_3^3=150\)种．故选\(A\).
方法9 正难则反总体淘汰策略
若题目从其正面入手比较麻烦，可能分类太多或不确定，或不清楚是否出现“重复计数”，则可考虑从反面入手用“淘汰法”.
【典题1】 从\(0\)，\(1\) ，\(2\) ，\(3\) ，\(4\) ，\(5\) ，\(6\) ，\(7\) ，\(8\) ，\(9\)这十个数字中取出三个数，使其和为不小于\(10\)的偶数，不同的取法有多少种？
解析这问题中如果直接求不小于\(10\)的偶数很困难，可用总体淘汰法.
三个数之和为偶数有两种可能，所取的三个数含有\(3\)个偶数的取法有\(C_5^3\)，
只含有\(1\)个偶数的取法有\(C_5^1 C_5^2\)，和为偶数的取法共有\(C_5^1 C_5^2+C_5^3\)，
而其中和小于\(10\)的偶数共\(9\)种，
符合条件的取法共有\(C_5^1 C_5^2+C_5^3-9=51\).
练习 \(6\)人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法.
答案 \(504\)
分层练习
【A组---基础题】
1.有\(5\)位学生和\(2\)位老师并坐一排合影，若教师不能坐在两端，且要坐在一起，则有( )种不同坐法
A．\(7!\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(240\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(480\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(960\)种
2.小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，\(5\)人坐一排．若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为( )
A．\(6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(12\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(24\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(48\)
3.甲、乙两人从\(4\)门课程中各选修\(2\)门，则甲、乙所选的课程中至少有\(1\)门不相同的选法共有( )
A．\(6\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(12\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(30\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(36\)种
4.\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)，\(E\)五人并排站成一排，如果\(B\)必须站在\(A\)的右边(\(A\)，\(B\)可以不相邻)那么不同的排法种数是( )
A．\(62\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(60\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(24\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(22\)种
5.某高中的\(4\)名高三学生计划在高考结束后到西藏、新疆、香港等\(3\)个地区去旅游，要求每个地区都要有学生去，每个学生只去一个地区旅游，且学生甲不到香港，则不同的出行安排有( )
A．\(36\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(28\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(24\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(22\)种
6.\(5\)个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有\(1\)人，则不同的站法数有( )
A．\(18\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(26\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(36\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(48\)
7.从\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有( )
A.\(30\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(27\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(36\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(60\)个
8.四面体的顶点和各棱中点共有\(10\)个点，在其中取四个不共面的点，不同的取法共有\(\underline{\quad \quad}\) .
9.用数字\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)组成没有重复数字的五位数，则其中数字\(1\)，\(2\)相邻的偶数有\(\underline{\quad \quad}\)个(用数字作答)．
10.马路上有编号为\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(6\)，\(7\)，\(8\)，\(9\)的\(9\)盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有\(\underline{\quad \quad}\) 种.
11.将\(4\)名大学生分配到\(3\)个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有\(\underline{\quad \quad}\) 种(用数字作答)．
参考答案
-
答案 \(D\)
解析先排两位老师的方法，\(4A_2^2=8\)，再排\(5\)位学生的方法：\(A_5^5=120\)，共有\(4A_2^2 A_5^5=960\)种方法． -
答案 \(B\)
解析 根据题意，要求小明的父母都与他相邻，即小明坐在父母中间，将三人看成一个整体，有\(2\)种排法，将这个整体与爷爷和奶奶全排列，有\(A_3^3=6\)种排法，则有\(2×6=12\)种不同的排法，故选：\(B\)． -
答案 \(C\)
解析 甲乙从\(4\)门课程中各选修\(2\)门共有\(C_4^2 C_4^2=36\)种选法，用对立事件做，其中甲乙所选课程相同时共有\(C_4^2=6\)种选法，所以甲、乙所选的课程中至少有\(1\)门不相同的选法共有\(36-6=30\)种．故\(C\)正确． -
答案 \(B\)
解析 \(B\)在\(A\)的右边与\(B\)在\(A\)的左边排法数相同，
所以题设的排法只是\(5\)个元素全排列数的一半，即\(\dfrac{1}{2} A_5^5=60\)种. -
答案 \(C\)
解析 学生甲不到香港，则甲可以到在西藏、新疆，有\(A_2^1=2\)种方法，
另外三个同学可以在三个位置排列\(A_3^3\)，
也可以从三个中选两个为一组，在其余的\(2\)个地方排列\(C_3^2 A_2^2\)．
不同的分配方案有\(A_2^1 (A_3^3+C_3^2 A_2^2 )=24\)，
故选：\(C\)． -
答案 \(C\)
解析 先排列其余三人后甲乙两人插空，所以有 \(A_3^3 \times 3 A_2^2=36\)种. -
答案 \(A\)
解析 符合条件的三位数中，百位数字为偶数的有\(A_2^1 A_2^1 A_3^1=12\)个，百位数字为奇数的有\(A_2^1 A_3^1 A_3^1=18\)个，共有\(30\)个，故选\(A\). -
答案 \(141\)
解析 利用间接法，用总的情况减去共面的情况，总的情况数为\(C_{10}^4\)；共面的情况
①四点均在侧面上，\(4×C_6^4\)；②三点在一条棱上，第四点在该棱的对棱中点，共有\(6\)个中点，即\(6\)种情况；③四点均为中点，有\(3\)种情况；
综上， \(C_{10}^4-4 \times C_6^4-6-3=141\). -
答案 \(24\)
解析 可以分情况讨论：
① 若末位数字为\(0\)，则\(1\)，\(2\)，为一组，且可以交换位置，\(3\)，\(4\)，各为\(1\)个数字，共可以组成\(2A_3^3=12\)个五位数；
② 若末位数字为\(2\)，则\(1\)与它相邻，其余\(3\)个数字排列，且\(0\)不是首位数字，则有\(2A_2^2=4\)个五位数；
③ 若末位数字为\(4\)，则\(1\)，\(2\)，为一组，且可以交换位置，\(3\)，\(0\)，各为\(1\)个数字，且\(0\)不是首位数字，则有\(2\cdot (2\cdot A_2^2 )=8\)个五位数，所以全部合理的五位数共有\(24\)个. -
答案 \(10\)
解析 把此问题当作一个排对模型，在\(6\)盏亮灯的\(5\)个空隙中插入\(3\)盏不亮的灯\(C_5^3\)种方法，
所以满足条件的关灯方案有\(10\)种. -
答案 \(36\)
解析 分两步完成：第一步将\(4\)名大学生按，\(2\)，\(1\)，\(1\)分成三组，其分法有 \(\dfrac{C_4^2 C_2^1 C_1^1}{A_2^2}\);第二步将分好的三组分配到\(3\)个乡镇，其分法有\(A_3^3\)所以满足条件得分配的方案有\(\dfrac{C_4^2 C_2^1 C_1^1}{A_2^2} A_3^3=36\).
【B组---提高题】
1.已知\(a_1\)，\(a_2\) ，…，\(a_5\)为\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)的任意一个排列．则满足：对于任意\(n\in \{1，2，3，4，5\}\)，都有\(a_1+a_2+⋯+a_n≤na_1\)的排列\(a_1\)，\(a_2\) ，…，\(a_5\)有( )
A．\(49\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(50\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(31\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(72\)个
2.设集合\(A=\{(x_1，x_2，x_3，x_4，x_5)|x_i∈\{-1，0，1\}，i=1，2，3，4，5\}\)，则集合\(A\)中满足条件“\(1≤|x_1 |+|x_2 |+|x_3 |+|x_4 |+|x_5 |≤3\)”元素个数为\(\underline{\quad \quad}\)．
3.将\(6\)位志愿者分成\(4\)组，其中两个组各\(2\)人，另两个组各\(1\)人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有\(\underline{\quad \quad}\)种(用数字作答)．
参考答案
- 答案 \(A\)
解析 根据题意，\(a_1\)，\(a_2\) ，…，\(a_5\) 为\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)的任意一个排列，
则\(a_1+a_2+⋯+a_5=1+2+3+4+5=15\)，
若\(a_1+a_2+⋯+a_5≤5a_1\)，必有\(a_1≥3\)，
当\(a_1=5\)时，任意排列都符合题意，此时有\(A_4^4=24\)个排列，
当\(a_1=4\)时，只要\(a_2≠5\)即符合题意，此时有\(3A_3^3=18\)个排列，
当\(a_1=3\)时，\(a_2=1\)或\(2\)，此时有\(32145\)、\(31245\)、\(32154\)、\(31254\)、\(32415\)、\(31425\)、\(31524\)，共\(7\)个排列符合题意，
则有\(24+18+7=49\)个满足题意的排列，
故选：\(A\)． - 答案 \(130\)
解析 由\(x_i\in \{-1，0，1\}\)，\(i=\{1，2，3，4，5\}\)，集合\(A\)中满足条件" \(1≤|x_1 |+|x_2 |+ |x_3 |+|x_4 |+|x_5 |≤3\)”，
由于\(|x_i |\)只能取\(0\)或\(1\)，因此\(5\)个数值中有\(2\)个是\(0\)，\(3\)个是\(0\)和\(4\)个是\(0\)三种情况：
①\(x_i\)中有\(2\)个取值为\(0\)，另外\(3\)个从\(-1\)，\(1\)中取，共有方法数： \(C_5^2 \times 2^3\)；
②\(x_i\)中有\(3\)个取值为\(0\)，另外\(2\)个从\(-1\)，\(1\)中取，共有方法数： \(C_5^3 \times 2^2\)；
③\(x_i\)中有\(4\)个取值为\(0\)，另外\(1\)个从\(-1\)，\(1\)中取，共有方法数：\(C_5^4×2\)．
\(∴\)总共方法数是： \(C_5^2 \times 2^3+C_5^3 \times 2^2+C_5^4 \times 2=130\)．
故答案为：\(130\)． - 答案 \(1080\)
解析 先将\(6\)名志愿者分为\(4\)组，共有 \(\dfrac{C_6^2 C_4^2 C_2^1 C_1^1}{A_2^2 A_2^2}\)种分法，再将\(4\)组人员分到\(4\)个不同场馆去，共有\(A_4^4\)种分法，故所有分配方案有： \(\dfrac{C_6^2 C_4^2 C_2^1 C_1^1}{A_2^2 A_2^2} A_4^4=1080\)种．
【C组---拓展题】
1.一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植绿色灌木，周围的圆环分为\(n(n≥3，n∈N)\)等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花.
(1) 如图\(1\)，圆环分成的\(3\)等份为\(a_1\)，\(a_2\)，\(a_3\)，有多少不同的种植方法？
如图\(2\)，圆环分成的\(4\)等份为\(a_1\)，\(a_2\)，\(a_3\)，\(a_4\)，有多少不同的种植方法？
(2) 如图\(3\)，圆环分成的\(n\)等份为\(a_1\)，\(a_2\)，\(a_3\)，……，\(a_n\)，有多少不同的种植方法？
参考答案
- 答案 (1) \(6\)，\(18\)，(2) \(2^n-2 \cdot(-1)^{n-3}\) 种\((n≥3)\)
解析 (1) 如图\(1\)，先对\(a_1\)部分种植，有\(3\)种不同的种法，再对\(a_2\)，\(a_3\)种植，
因为\(a_2\)，\(a_3\)与\(a_1\)不同颜色，\(a_2\)，\(a_3\)也不同.所以\(S(3)=3×2=6\)(种).
如图\(2\)，\(S(4)=3×2×2×2-S(3)=18\)(种).
(2) 如图\(3\)，圆环分为n等份，对\(a_1\)有3种不同的种法，对\(a_2\)，\(a_3\)，……，\(a_n\)都有两种不同的种法，但这样的种法只能保证\(a_1\)与\(a_i (i=2、3、……、n-1)\)不同颜色，但不能保证\(a_1\)与\(a_n\)不同颜色.
于是一类是\(a_n\) 与\(a_1\)不同色的种法，这是符合要求的种法，记为\(S(n)(n≥3)\)种.
另一类是\(a_n\)与\(a_1\)同色的种法，这时可以把\(a_n\)与\(a_1\)看成一部分，
这样的种法相当于对\(n-1\)部分符合要求的种法，记为\(S(n-1)\).共有\(3 \times 2^{n-1}\)种种法，
因此可得到 \(S(n)+S(n-1)=3 \times 2^{n-1}\)，
即 \(S(n)-2^n=-\left[S(n-1)-2^{n-1}\right]\)，
则数列\(\{S(n)-2^n \}(n≥3)\)是首项为\(S(3)-2^3\)公比为\(-1\)的等比数列，
则 \(S(n)-2^n=\left[S(3)-2^3\right](-1)^{n-3}(n \geq 3)\)，
由(1) 知：\(S(3)=6\)， \(\therefore S(n)-2^n=(6-8)(-1)^{n-3}\).
\(\therefore S(n)=2^n-2 \cdot(-1)^{n-3}\).
答：符合要求的不同种法有\(2^n-2 \cdot(-1)^{n-3}\) 种\((n≥3)\).
