6.2 有条件限制的排列组合问题

基础知识

分类加法计数原理和分步乘法计数原理

(1) 分类加法计数原理
做一件事情，完成它可以有 $n$ 类办法，在第一类办法中有 $m_1$ 种不同的方法，在第二类办法中有 $m_2$ 种不同的方法，……，在第 $n$ 类办法中有 $m_n$ 种不同的方法 那么完成这件事共有 $N=m_1+m_2+⋯+m_n$ 种不同的方法.
(2) 分步乘法计数原理
做一件事情，完成它需要分成 $n$ 个步骤，做第一步有 $m_1$ 种不同的方法，做第二步有 $m_2$ 种不同的方法，……，做第 $n$ 步有 $m_n$ 种不同的方法，那么完成这件事有 $N=m_1× m_2×⋯× m_n$ 种不同的方法.
 

排列与组合

(1) 排列概念
从 $n$ 个不同元素中，任取 $m(m≤ n)$ 个元素 (这里的被取元素各不相同) 按照一定的顺序排成一列，叫做从 $n$ 不同元素中取出 $m$ 个元素的一个排列.
(2) 组合概念
一般地，从 $n$ 个不同元素中取出 $m(m≤ n)$ 个元素并成一组，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个组合.
 

基本方法

方法1 特殊元素和特殊位置优先策略

遇到有特殊要求的元素或位置，可以先优先考虑处理他们.
【典题 1】 由 $0$，$1$ ，$2$，$3$ ，$4$，$5$ 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解析 由于个位必须是奇数，首位 (十万位) 不能为 $0$，有特殊要求，应该优先安排.
(个位、首位属于特殊位置，$0$ 属于特殊元素)
方法 1 从位置的角度入手，作法如下：先排个位有 $C_3^1$，然后排首位有 $C_4^1$，最后排其它位置有 $A_4^3$，由分步计数原理得 $C_4^1 C_3^1 A_4^3=288$.

方法 2 从元素的角度入手，分 $2$ 类，作法如下：
(1) 若五位奇数含 $0$ 的，先排 $0$ 有 $C_3^1$，再选个奇数排个位有 $C_3^1$，最后从 $4$ 个数字中选 $3$ 个排列有 $A_4^3$，由分步计数原理得 $C_3^1 C_3^1 A_4^3=216$；
(2) 若五位奇数不含 $0$ 的，选个奇数排个位有 $C_3^1$，再全排列剩下 $4$ 个数有 $A_4^4$，由分步计数原理得 $C_3^1 A_4^4=72$；
故共 $216+72=288$.
 

【典题 2】 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？
解析 方法 1 (视学生甲为特殊元素，优先处理)
分两步，先安排甲就位，有 $A_5^1$ 种可能，再安排其他 $6$ 名学生，有 $A_6^6$ 种可能，由分步计数原理得排法有 $A_5^1 A_6^6=3600$ 种.
方法 2 (视首位与末位为特殊位置，优先处理)
分两步，先从其他 $6$ 名学生中抽出 $2$ 名学生在首位与末位就位 (此时甲不可能坐在首位或末位)，有 $A_6^2$ 种可能，再安排剩下的 $5$ 名学生就位，有 $A_5^5$ 种可能，由分步计数原理得排法有 $A_6^2 A_5^5=3600$ 种.
 

练习 $6$ 人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法.
答案 $504$
 

练习现要给 $4$ 个唱歌节目和 $2$ 个小品节目排列演出顺序，要求 $2$ 个小品节目之间恰好有 $3$ 个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是 $\underline{\quad \quad}$. (用数字作答)
答案 由题意可知演出顺序的排列种数是 $A_2^2 A_4^3 A_2^2=96$.
 

方法2 相邻元素捆绑策略

若某几个元素要求相邻，可以用捆绑法来解决问题.
即将需要相邻的元素合并一起视为一个复合元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意复合元素内部也必须排列.

【典题 1】 $7$ 人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？
解析 由于甲乙相邻、丙丁相邻，可先将甲乙捆绑看成一个复合元素，丙丁捆绑也看成一个复合元素，再与其它元素共 $5$ 个元素进行全排列 $A_5^5$，同时对相邻元素内部进行自排 $A_2^2 A_2^2$，
由分步计数原理可得共有 $A_5^5 A_2^2 A_2^2=480$ 种不同的排法.

 

练习 1 小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，$5$ 人坐一排．若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为 $\underline{\quad \quad}$ .
答案 $12$
 

练习 2 $3$ 位男生和 $3$ 位女生共 $6$ 位同学站成一排，若男生甲不站两端，$3$ 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 $\underline{\quad \quad}$ .
答案 $6$ 位同学站成一排，$3$ 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，$C_3^2 A_2^2 A_4^2 A_2^2=432$ 种，其中男生甲站两端的有 $A_2^1 C_3^2 A_2^2 A_3^2 A_2^2=144$，符合条件的排法故共有 $288$.
 

方法3 不相邻问题插空策略

若某些元素要求不能相邻，则采取插空法.
即先把没有要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端.

【典题 1】 一个晚会的节目有 $4$ 个舞蹈，$2$ 个相声，$3$ 个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？
解析 分两步进行，
第一步 排 $2$ 个相声和 $3$ 个独唱共有 $A_5^5$ 种，
第二步 将 $4$ 个舞蹈插入第一步排好的 $6$ 个空档 (包括元素之间空档和首尾两个空档) 排列，共有种 $A_6^4$ 不同的方法，
由分步计数原理，节目的不同顺序共有 $A_5^5 A_6^4$ 种.

 

练习七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 $\underline{\quad \quad}$ .
答案 $3600$
 

方法4 元素相同问题隔板策略

将 $n$ 个相同的元素分成 $m$ 份 ($n$ ，$m$ 为正整数)，每份至少一个元素，可以用 $m-1$ 块隔板，插入 $n$ 个元素排成一排的 $n-1$ 个空隙中，所有分法数为 $C_{n-1}^{m-1}$.

【典题 1】 有 $10$ 个运动员名额，分给 $7$ 个班，每班至少一个，有多少种分配方案？
解析 题中说 “$10$ 个运动员名额”，说明他们是没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成 $9$ 个空隙。在 $9$ 个空档中选 $6$ 个位置插个隔板，可把名额分成 $7$ 份，对应地分给 $7$ 个班级，每一种插板方法对应一种分法共有 $C_9^6$ 种分法.

 

练习 将 $12$ 个相同的小球分给甲、乙、丙三个人，其中甲至少 $1$ 个，乙至少 $2$ 个，丙至少 $3$ 个，则共有多少种不同的分法？
答案 $28$
 

方法5 定序问题倍缩或空位插入策略

对某些元素的顺序要求是固定的，可用倍缩法或者空位法.

【典题 1】 $7$ 人排队，其中甲乙丙 $3$ 人顺序一定共有多少不同的排法？
解析 方法 1 倍缩法
对 $7$ 人全排列有 $A_7^7$ 种排法，其中甲乙丙的顺序是随意的，
甲乙丙三人排列一共有 $A_3^3$ 种 (分别是甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲)，
假设 “$7$ 人排队，其中甲乙丙 $3$ 人按甲乙丙顺序” 有 $x$ 种排法，则后 $5$ 种情况同理也是有 $x$ 种排法，
所以 $A_3^3 \cdot x=A_7^7 \Rightarrow x=\dfrac{A_7^7}{A_3^3}$.

其实$n$个元素排列，其中$m$元素固定顺序，则共有不同排法种数是$\dfrac{A_n^n}{A_m^m}$.

方法 2 空位法
设想 $7$ 人坐在 $7$ 把椅子上照相，那先让除甲乙丙以外的 $4$ 人就坐，共有 $A_7^4$ 种方法；其余的三个位置再安排甲乙丙就坐，由于他们顺序一定，即只有 $1$ 种坐法，则共有 $A_7^4\cdot 1=A_7^4$ 种方法.
 

练习 停车场划出一排 $12$ 个停车位置，今有 $8$ 辆车需要停放。要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？
答案 $C_9^1 A_8^8$
 

方法6 排列组合混合问题先选后排策略

【典题 1】 有 $5$ 个不同的小球，装入 $4$ 个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少不同的装法.
解析第一步从 $5$ 个球中选出 $2$ 个组成复合元共有 $C_5^2$ 种方法。再把 $4$ 个元素 (包含一个复合元素) 装入 $4$ 个不同的盒内有 $A_4^4$ 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有 $C_5^2 A_4^4$.
解决排列组合混合问题，先选后排是最基本的指导思想。此法与相邻元素捆绑策略相似吗？
 

练习 一个班有 $6$ 名战士，其中正副班长各 $1$ 人现从中选 $4$ 人完成四种不同的任务，每人完成一种任务，且正副班长有且只有 $1$ 人参加，则不同的选法有 $\underline{\quad \quad}$ 种
答案 $192$
 

方法7 平均分组问题除法策略

【典题 1】 将 $6$ 位志愿者分成 $4$ 组，其中两个组各 $2$ 人，另两个组各 $1$ 人，分赴世博会的四个不同场馆服务，则有多少种不同的分配方案？
解析 ① 分组
分组的时候，分四步取书得 $C_6^2 C_4^2 C_2^2 C_1^1$ 种方法，但这里出现重复计数的现象，
不妨给 $6$ 位志愿者起名字 $a_1$，$a_2$ ，$a_3$ ，$a_4$，$a_5$，$a_6$，
我们先看两组都是 $2$ 人的情况，若第一步是 $a_1 a_2$，第二步是 $a_3 a_4$，记为 $(a_1 a_2 ，a_3 a_4)$，
它与 $(a_3 a_4 ，a_1 a_2)$ 的分法其实是一样的，则重复了 $A_2^2$ 次，
故分两组 $2$ 人其实只有 $\dfrac{C_6^2 C_4^2}{A_2^2}$；
那两组 $1$ 人的分法有 $\dfrac{C_2^2 C_1^1}{A_2^2}$ 种，故先将 $6$ 名志愿者分为 $4$ 组，共有 $\dfrac{C_6^2 C_4^2 C_2^1 C_1^1}{A_2^2 A_2^2}$ 种分法；
② 分配
再将 $4$ 组人员分到 $4$ 个不同场馆去，共有 $A_4^4$ 种分法，
故所有分配方案有： $\dfrac{C_6^2 C_4^2 C_2^1 C_1^1}{A_2^2 A_2^2} A_4^4=1080$ 种．
点拨
① 对于这些分组问题，一般思路是先分组再分配，由于 $4$ 个场馆是强调不一样的，故后面要有分配 $A_4^4$；
② 在遇到平均分组的时候，要注意 “重复计数的现象”，采取 “除法策略”，因为它是 “重复了倍数计数”，采取起名字的方法能让你更好理解其中缘由！
 

练习 1 将 $4$ 名大学生分配到 $3$ 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则有多少种不同的分配方案？
答案 $36$
 

练习 2 $6$ 本不同的书平均分成 $3$ 堆，每堆 $2$ 本共有多少分法？
答案 $15$
 

方法8 分类讨论策略

【典题 1】 $6$ 本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的分法？
解析 分三种情况讨论：
①三人每人 $2$ 本，有 $C_6^2 C_4^2 C_2^2=90$ 种不同的分法，
(由于分组数目一样，可先让甲从 6 本书里拿 $2$ 本 $C_6^2$，再让乙在剩下的 $4$ 本里拿 $2$ 本 $C_4^2$，最后丙拿剩下的 $2$ 本 $C_2^2$)
②三人中一人 $1$ 本，一人 $2$ 本，一人 $3$ 本，有 $C_6^1 C_5^2 C_3^3 A_3^3=360$ 种不同的分法，
(先给书 “分组 $C_6^1 C_5^2 C_3^3$”，由于题中说到甲乙丙 $3$ 人，说明他们谁拿几本书是有区别的，故还要 “后排列 $A_3^3$”)
③三人中一人 $4$ 本，其余 $2$ 人各 $1$ 本，有 $C_6^4 C_3^1 A_2^2=90$ 种不同的分法，
(先从 $6$ 本书中抽出 $4$ 本 $C_6^4$，再把它给甲乙丙其中 $1$ 人 $C_3^1$，最后把剩下 $2$ 本给剩下 $2$ 人 $A_2^2$)
则有 $90+360+90=540$ 种不同的分法.
点拨
该题 $6$ 本书是不一样的，不能用 “隔板法”，要分类讨论.
有点像处理定序问题的倍缩法.
若题目只改一个字 “$6$ 本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有 种不同的分法.” 则就用 “隔板法” 得到答案为 $C_5^2=10$ 种.
 

练习 某运动会组委会要派五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作，要求每项工作至少有一人参加，则不同的派给方案共有 $\underline{\quad \quad}$ .
答案 五名志愿者分别为 $A$，$B$，$C$，$D$，$E$，
当一组 $3$ 人另两组各 $1$ 人时，有 $C_5^3=10$ 种分法，
当一组 $1$ 人另两组各 $2$ 人时，有 $\dfrac{1}{2} C_5^1 \cdot C_4^2=15$ 种分法，
所以不同的派给方案为 $(10+15)\cdot A_3^3=150$ 种．故选 $A$.
 

方法9 正难则反总体淘汰策略

若题目从其正面入手比较麻烦，可能分类太多或不确定，或不清楚是否出现 “重复计数”，则可考虑从反面入手用 “淘汰法”.

【典题 1】 从 $0$，$1$ ，$2$ ，$3$ ，$4$ ，$5$ ，$6$ ，$7$ ，$8$ ，$9$ 这十个数字中取出三个数，使其和为不小于 $10$ 的偶数，不同的取法有多少种？
解析这问题中如果直接求不小于 $10$ 的偶数很困难，可用总体淘汰法.
三个数之和为偶数有两种可能，所取的三个数含有 $3$ 个偶数的取法有 $C_5^3$，
只含有 $1$ 个偶数的取法有 $C_5^1 C_5^2$，和为偶数的取法共有 $C_5^1 C_5^2+C_5^3$，
而其中和小于 $10$ 的偶数共 $9$ 种，
符合条件的取法共有 $C_5^1 C_5^2+C_5^3-9=51$.
 

练习 $6$ 人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法.
答案 $504$
 

分层练习

【A组---基础题】

1. 有 $5$ 位学生和 $2$ 位老师并坐一排合影，若教师不能坐在两端，且要坐在一起，则有 (　　) 种不同坐法
  A．$7!$ 种 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$240$ 种 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$480$ 种 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$960$ 种
 

2. 小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，$5$ 人坐一排．若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为 (　　)
  A．$6$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$12$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$24$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$48$
 

3. 甲、乙两人从 $4$ 门课程中各选修 $2$ 门，则甲、乙所选的课程中至少有 $1$ 门不相同的选法共有 (　　)
  A．$6$ 种 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$12$ 种 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$30$ 种 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$36$ 种
 

4.$A$，$B$，$C$，$D$，$E$ 五人并排站成一排，如果 $B$ 必须站在 $A$ 的右边 ($A$，$B$ 可以不相邻) 那么不同的排法种数是 (　　)
 A．$62$ 种 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$60$ 种 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$24$ 种 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$22$ 种
 

5. 某高中的 $4$ 名高三学生计划在高考结束后到西藏、新疆、香港等 $3$ 个地区去旅游，要求每个地区都要有学生去，每个学生只去一个地区旅游，且学生甲不到香港，则不同的出行安排有 (　　)
 A．$36$ 种 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$28$ 种 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$24$ 种 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$22$ 种
 

6.$5$ 个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有 $1$ 人，则不同的站法数有 (　　)
 A．$18$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$26$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$36$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$48$
 

7. 从 $0$，$1$，$2$，$3$，$4$ 中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有 (　　)
 A.$30$ 个 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B.$27$ 个 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C.$36$ 个 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D.$60$ 个
 

8. 四面体的顶点和各棱中点共有 $10$ 个点，在其中取四个不共面的点，不同的取法共有 $\underline{\quad \quad}$ .

 

9. 用数字 $0$，$1$，$2$，$3$，$4$ 组成没有重复数字的五位数，则其中数字 $1$，$2$ 相邻的偶数有 $\underline{\quad \quad}$ 个 (用数字作答)．
 

10. 马路上有编号为 $1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$，$7$，$8$，$9$ 的 $9$ 盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有 $\underline{\quad \quad}$ 种.
 

11. 将 $4$ 名大学生分配到 $3$ 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 $\underline{\quad \quad}$ 种 (用数字作答)．
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析先排两位老师的方法，$4A_2^2=8$，再排 $5$ 位学生的方法：$A_5^5=120$，共有 $4A_2^2 A_5^5=960$ 种方法．

2. 答案 $B$
   解析 根据题意，要求小明的父母都与他相邻，即小明坐在父母中间，将三人看成一个整体，有 $2$ 种排法，将这个整体与爷爷和奶奶全排列，有 $A_3^3=6$ 种排法，则有 $2×6=12$ 种不同的排法，故选：$B$．

3. 答案 $C$
   解析 甲乙从 $4$ 门课程中各选修 $2$ 门共有 $C_4^2 C_4^2=36$ 种选法，用对立事件做，其中甲乙所选课程相同时共有 $C_4^2=6$ 种选法，所以甲、乙所选的课程中至少有 $1$ 门不相同的选法共有 $36-6=30$ 种．故 $C$ 正确．

4. 答案 $B$
   解析 $B$ 在 $A$ 的右边与 $B$ 在 $A$ 的左边排法数相同，
   所以题设的排法只是 $5$ 个元素全排列数的一半，即 $\dfrac{1}{2} A_5^5=60$ 种.

5. 答案 $C$
   解析 学生甲不到香港，则甲可以到在西藏、新疆，有 $A_2^1=2$ 种方法，
   另外三个同学可以在三个位置排列 $A_3^3$，
   也可以从三个中选两个为一组，在其余的 $2$ 个地方排列 $C_3^2 A_2^2$．
   不同的分配方案有 $A_2^1 (A_3^3+C_3^2 A_2^2 )=24$，
   故选：$C$．

6. 答案 $C$
   解析 先排列其余三人后甲乙两人插空，所以有 $A_3^3 \times 3 A_2^2=36$ 种.

7. 答案 $A$
   解析 符合条件的三位数中，百位数字为偶数的有 $A_2^1 A_2^1 A_3^1=12$ 个，百位数字为奇数的有 $A_2^1 A_3^1 A_3^1=18$ 个，共有 $30$ 个，故选 $A$.

8. 答案 $141$
   解析 利用间接法，用总的情况减去共面的情况，总的情况数为 $C_{10}^4$；共面的情况
   ①四点均在侧面上，$4×C_6^4$；②三点在一条棱上，第四点在该棱的对棱中点，共有 $6$ 个中点，即 $6$ 种情况；③四点均为中点，有 $3$ 种情况；
   综上， $C_{10}^4-4 \times C_6^4-6-3=141$.

9. 答案 $24$
   解析 可以分情况讨论：
   ① 若末位数字为 $0$，则 $1$，$2$，为一组，且可以交换位置，$3$，$4$，各为 $1$ 个数字，共可以组成 $2A_3^3=12$ 个五位数；
   ② 若末位数字为 $2$，则 $1$ 与它相邻，其余 $3$ 个数字排列，且 $0$ 不是首位数字，则有 $2A_2^2=4$ 个五位数；
   ③ 若末位数字为 $4$，则 $1$，$2$，为一组，且可以交换位置，$3$，$0$，各为 $1$ 个数字，且 $0$ 不是首位数字，则有 $2\cdot (2\cdot A_2^2 )=8$ 个五位数，所以全部合理的五位数共有 $24$ 个.

10. 答案 $10$
    解析 把此问题当作一个排对模型，在 $6$ 盏亮灯的 $5$ 个空隙中插入 $3$ 盏不亮的灯 $C_5^3$ 种方法，
    所以满足条件的关灯方案有 $10$ 种.

11. 答案 $36$
    解析 分两步完成：第一步将 $4$ 名大学生按，$2$，$1$，$1$ 分成三组，其分法有 $\dfrac{C_4^2 C_2^1 C_1^1}{A_2^2}$; 第二步将分好的三组分配到 $3$ 个乡镇，其分法有 $A_3^3$ 所以满足条件得分配的方案有 $\dfrac{C_4^2 C_2^1 C_1^1}{A_2^2} A_3^3=36$.
     

【B组---提高题】

1. 已知 $a_1$，$a_2$ ，…，$a_5$ 为 $1$，$2$，$3$，$4$，$5$ 的任意一个排列．则满足：对于任意 $n\in \{1，2，3，4，5\}$，都有 $a_1+a_2+⋯+a_n≤na_1$ 的排列 $a_1$，$a_2$ ，…，$a_5$ 有 (　　)
 A．$49$ 个 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$50$ 个 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$31$ 个 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$72$ 个
 

2. 设集合 $A=\{(x_1，x_2，x_3，x_4，x_5)|x_i∈\{-1，0，1\}，i=1，2，3，4，5\}$，则集合 $A$ 中满足条件 “$1≤|x_1 |+|x_2 |+|x_3 |+|x_4 |+|x_5 |≤3$” 元素个数为 $\underline{\quad \quad}$．
 

3. 将 $6$ 位志愿者分成 $4$ 组，其中两个组各 $2$ 人，另两个组各 $1$ 人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 $\underline{\quad \quad}$ 种 (用数字作答)．
 

参考答案

1. 答案 $A$
   解析 根据题意，$a_1$，$a_2$ ，…，$a_5$ 为 $1$，$2$，$3$，$4$，$5$ 的任意一个排列，
   则 $a_1+a_2+⋯+a_5=1+2+3+4+5=15$，
   若 $a_1+a_2+⋯+a_5≤5a_1$，必有 $a_1≥3$，
   当 $a_1=5$ 时，任意排列都符合题意，此时有 $A_4^4=24$ 个排列，
   当 $a_1=4$ 时，只要 $a_2≠5$ 即符合题意，此时有 $3A_3^3=18$ 个排列，
   当 $a_1=3$ 时，$a_2=1$ 或 $2$，此时有 $32145$、$31245$、$32154$、$31254$、$32415$、$31425$、$31524$，共 $7$ 个排列符合题意，
   则有 $24+18+7=49$ 个满足题意的排列，
   故选：$A$．
2. 答案 $130$
   解析 由 $x_i\in \{-1，0，1\}$，$i=\{1，2，3，4，5\}$，集合 $A$ 中满足条件 " $1≤|x_1 |+|x_2 |+ |x_3 |+|x_4 |+|x_5 |≤3$”，
   由于 $|x_i |$ 只能取 $0$ 或 $1$，因此 $5$ 个数值中有 $2$ 个是 $0$，$3$ 个是 $0$ 和 $4$ 个是 $0$ 三种情况：
   ①$x_i$ 中有 $2$ 个取值为 $0$，另外 $3$ 个从 $-1$，$1$ 中取，共有方法数： $C_5^2 \times 2^3$；
   ②$x_i$ 中有 $3$ 个取值为 $0$，另外 $2$ 个从 $-1$，$1$ 中取，共有方法数： $C_5^3 \times 2^2$；
   ③$x_i$ 中有 $4$ 个取值为 $0$，另外 $1$ 个从 $-1$，$1$ 中取，共有方法数：$C_5^4×2$．
   $∴$ 总共方法数是： $C_5^2 \times 2^3+C_5^3 \times 2^2+C_5^4 \times 2=130$．
   故答案为：$130$．
3. 答案 $1080$
   解析 先将 $6$ 名志愿者分为 $4$ 组，共有 $\dfrac{C_6^2 C_4^2 C_2^1 C_1^1}{A_2^2 A_2^2}$ 种分法，再将 $4$ 组人员分到 $4$ 个不同场馆去，共有 $A_4^4$ 种分法，故所有分配方案有： $\dfrac{C_6^2 C_4^2 C_2^1 C_1^1}{A_2^2 A_2^2} A_4^4=1080$ 种．
    

【C组---拓展题】

1. 一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植绿色灌木，周围的圆环分为 $n(n≥3，n∈N)$ 等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花.
  (1) 如图 $1$，圆环分成的 $3$ 等份为 $a_1$，$a_2$，$a_3$，有多少不同的种植方法？
如图 $2$，圆环分成的 $4$ 等份为 $a_1$，$a_2$，$a_3$，$a_4$，有多少不同的种植方法？
  (2) 如图 $3$，圆环分成的 $n$ 等份为 $a_1$，$a_2$，$a_3$，……，$a_n$，有多少不同的种植方法？

 
 
 

参考答案

1. 答案 (1) $6$，$18$，(2) $2^n-2 \cdot(-1)^{n-3}$ 种 $(n≥3)$
   解析 (1) 如图 $1$，先对 $a_1$ 部分种植，有 $3$ 种不同的种法，再对 $a_2$，$a_3$ 种植，
   因为 $a_2$，$a_3$ 与 $a_1$ 不同颜色，$a_2$，$a_3$ 也不同。所以 $S(3)=3×2=6$(种).
   如图 $2$，$S(4)=3×2×2×2-S(3)=18$(种).
   (2) 如图 $3$，圆环分为 n 等份，对 $a_1$ 有 3 种不同的种法，对 $a_2$，$a_3$，……，$a_n$ 都有两种不同的种法，但这样的种法只能保证 $a_1$ 与 $a_i (i=2、3、……、n-1)$ 不同颜色，但不能保证 $a_1$ 与 $a_n$ 不同颜色.
   于是一类是 $a_n$ 与 $a_1$ 不同色的种法，这是符合要求的种法，记为 $S(n)(n≥3)$ 种.
   另一类是 $a_n$ 与 $a_1$ 同色的种法，这时可以把 $a_n$ 与 $a_1$ 看成一部分，
   这样的种法相当于对 $n-1$ 部分符合要求的种法，记为 $S(n-1)$. 共有 $3 \times 2^{n-1}$ 种种法，
   因此可得到 $S(n)+S(n-1)=3 \times 2^{n-1}$，
   即 $S(n)-2^n=-\left[S(n-1)-2^{n-1}\right]$，
   则数列 $\{S(n)-2^n \}(n≥3)$ 是首项为 $S(3)-2^3$ 公比为 $-1$ 的等比数列，
   则 $S(n)-2^n=\left[S(3)-2^3\right](-1)^{n-3}(n \geq 3)$，
   由 (1) 知：$S(3)=6$， $\therefore S(n)-2^n=(6-8)(-1)^{n-3}$.
   $\therefore S(n)=2^n-2 \cdot(-1)^{n-3}$.
   答：符合要求的不同种法有 $2^n-2 \cdot(-1)^{n-3}$ 种 $(n≥3)$.