6.2 有条件限制的排列组合问题
基础知识
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
(1) 分类加法计数原理
做一件事情,完成它可以有\(n\)类办法,在第一类办法中有\(m_1\)种不同的方法,在第二类办法中有\(m_2\)种不同的方法,……,在第\(n\)类办法中有\(m_n\)种不同的方法 那么完成这件事共有\(N=m_1+m_2+⋯+m_n\)种不同的方法.
(2) 分步乘法计数原理
做一件事情,完成它需要分成\(n\)个步骤,做第一步有\(m_1\)种不同的方法,做第二步有\(m_2\)种不同的方法,……,做第\(n\)步有\(m_n\)种不同的方法,那么完成这件事有\(N=m_1× m_2×⋯× m_n\)种不同的方法.
排列与组合
(1) 排列概念
从\(n\)个不同元素中,任取\(m(m≤ n)\)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从\(n\)不同元素中取出\(m\)个元素的一个排列.
(2) 组合概念
一般地,从\(n\)个不同元素中取出\(m(m≤ n)\)个元素并成一组,叫做从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的一个组合.
基本方法
方法1 特殊元素和特殊位置优先策略
遇到有特殊要求的元素或位置,可以先优先考虑处理他们.
【典题1】 由\(0\),\(1\) ,\(2\),\(3\) ,\(4\),\(5\)可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解析 由于个位必须是奇数,首位(十万位)不能为\(0\),有特殊要求,应该优先安排.
(个位、首位属于特殊位置,\(0\)属于特殊元素)
方法1 从位置的角度入手,作法如下:先排个位有\(C_3^1\),然后排首位有\(C_4^1\),最后排其它位置有\(A_4^3\),由分步计数原理得\(C_4^1 C_3^1 A_4^3=288\).
方法2 从元素的角度入手,分\(2\)类,作法如下:
(1)若五位奇数含\(0\)的,先排\(0\)有\(C_3^1\),再选个奇数排个位有\(C_3^1\),最后从\(4\)个数字中选\(3\)个排列有\(A_4^3\),由分步计数原理得\(C_3^1 C_3^1 A_4^3=216\);
(2)若五位奇数不含\(0\)的,选个奇数排个位有\(C_3^1\),再全排列剩下\(4\)个数有\(A_4^4\),由分步计数原理得\(C_3^1 A_4^4=72\);
故共\(216+72=288\).
【典题2】 有七名学生站成一排,某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种?
解析 方法1 (视学生甲为特殊元素,优先处理)
分两步,先安排甲就位,有\(A_5^1\)种可能,再安排其他\(6\)名学生,有\(A_6^6\)种可能,由分步计数原理得排法有\(A_5^1 A_6^6=3600\)种.
方法2 (视首位与末位为特殊位置,优先处理)
分两步,先从其他\(6\)名学生中抽出\(2\)名学生在首位与末位就位(此时甲不可能坐在首位或末位),有\(A_6^2\)种可能,再安排剩下的\(5\)名学生就位,有\(A_5^5\)种可能,由分步计数原理得排法有\(A_6^2 A_5^5=3600\)种.
练习 \(6\)人排成一行,甲不排在最左端,乙不排在最右端,共有多少种排法.
答案 \(504\)
练习现要给\(4\)个唱歌节目和\(2\)个小品节目排列演出顺序,要求\(2\)个小品节目之间恰好有\(3\)个唱歌节目,那么演出顺序的排列种数是\(\underline{\quad \quad}\). (用数字作答)
答案 由题意可知演出顺序的排列种数是\(A_2^2 A_4^3 A_2^2=96\).
方法2 相邻元素捆绑策略
若某几个元素要求相邻,可以用捆绑法来解决问题.
即将需要相邻的元素合并一起视为一个复合元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意复合元素内部也必须排列.
【典题1】 \(7\)人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法?
解析 由于甲乙相邻、丙丁相邻,可先将甲乙捆绑看成一个复合元素,丙丁捆绑也看成一个复合元素,再与其它元素共\(5\)个元素进行全排列\(A_5^5\),同时对相邻元素内部进行自排\(A_2^2 A_2^2\),
由分步计数原理可得共有\(A_5^5 A_2^2 A_2^2=480\)种不同的排法.
练习1 小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制,\(5\)人坐一排.若小明的父母都与他相邻,则不同坐法的种数为\(\underline{\quad \quad}\) .
答案 \(12\)
练习2 \(3\)位男生和\(3\)位女生共\(6\)位同学站成一排,若男生甲不站两端,\(3\)位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是\(\underline{\quad \quad}\) .
答案 \(6\)位同学站成一排,\(3\)位女生中有且只有两位女生相邻的排法有,\(C_3^2 A_2^2 A_4^2 A_2^2=432\)种,其中男生甲站两端的有\(A_2^1 C_3^2 A_2^2 A_3^2 A_2^2=144\),符合条件的排法故共有\(288\).
方法3 不相邻问题插空策略
若某些元素要求不能相邻,则采取插空法.
即先把没有要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端.
【典题1】 一个晚会的节目有\(4\)个舞蹈,\(2\)个相声,\(3\)个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种?
解析 分两步进行,
第一步 排\(2\)个相声和\(3\)个独唱共有\(A_5^5\)种,
第二步 将\(4\)个舞蹈插入第一步排好的\(6\)个空档(包括元素之间空档和首尾两个空档)排列,共有种\(A_6^4\)不同的方法,
由分步计数原理,节目的不同顺序共有\(A_5^5 A_6^4\)种.
![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/png/21447551/1682604402548-3c5da622-e91c-4547-93aa-f0ae88e86f35.png )
练习七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是\(\underline{\quad \quad}\) .
答案 \(3600\)
方法4 元素相同问题隔板策略
将\(n\)个相同的元素分成\(m\)份(\(n\) ,\(m\)为正整数),每份至少一个元素,可以用\(m-1\)块隔板,插入\(n\)个元素排成一排的\(n-1\)个空隙中,所有分法数为\(C_{n-1}^{m-1}\).
【典题1】 有\(10\)个运动员名额,分给\(7\)个班,每班至少一个,有多少种分配方案?
解析 题中说“\(10\)个运动员名额”,说明他们是没有差别,把它们排成一排,相邻名额之间形成\(9\)个空隙.在\(9\)个空档中选\(6\)个位置插个隔板,可把名额分成\(7\)份,对应地分给\(7\)个班级,每一种插板方法对应一种分法共有\(C_9^6\)种分法.
![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/png/21447551/1682604483988-e36c0f3d-15de-47b0-973d-62e2a1ea909f.png )
练习 将\(12\)个相同的小球分给甲、乙、丙三个人,其中甲至少\(1\)个,乙至少\(2\)个,丙至少\(3\)个,则共有多少种不同的分法?
答案 \(28\)
方法5 定序问题倍缩或空位插入策略
对某些元素的顺序要求是固定的,可用倍缩法或者空位法.
【典题1】 \(7\)人排队,其中甲乙丙\(3\)人顺序一定共有多少不同的排法?
解析 方法1 倍缩法
对\(7\)人全排列有\(A_7^7\)种排法,其中甲乙丙的顺序是随意的,
甲乙丙三人排列一共有\(A_3^3\)种(分别是甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲),
假设“\(7\)人排队,其中甲乙丙\(3\)人按甲乙丙顺序”有\(x\)种排法,则后\(5\)种情况同理也是有\(x\)种排法,
所以\(A_3^3 \cdot x=A_7^7 \Rightarrow x=\dfrac{A_7^7}{A_3^3}\).
![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/png/21447551/1682604568259-4469586c-e967-455c-a1a6-c9876cb0c5a5.png )
方法2 空位法
设想\(7\)人坐在\(7\)把椅子上照相,那先让除甲乙丙以外的\(4\)人就坐,共有\(A_7^4\)种方法;其余的三个位置再安排甲乙丙就坐,由于他们顺序一定,即只有\(1\)种坐法,则共有\(A_7^4\cdot 1=A_7^4\)种方法.
练习 停车场划出一排\(12\)个停车位置,今有\(8\)辆车需要停放.要求空车位置连在一起,不同的停车方法有多少种?
答案 \(C_9^1 A_8^8\)
方法6 排列组合混合问题先选后排策略
【典题1】 有\(5\)个不同的小球,装入\(4\)个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
解析第一步从\(5\)个球中选出\(2\)个组成复合元共有\(C_5^2\)种方法.再把\(4\)个元素(包含一个复合元素)装入\(4\)个不同的盒内有\(A_4^4\)种方法,根据分步计数原理装球的方法共有\(C_5^2 A_4^4\).
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?
练习 一个班有\(6\)名战士,其中正副班长各\(1\)人现从中选\(4\)人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有\(1\)人参加,则不同的选法有\(\underline{\quad \quad}\)种
答案 \(192\)
方法7 平均分组问题除法策略
【典题1】 将\(6\)位志愿者分成\(4\)组,其中两个组各\(2\)人,另两个组各\(1\)人,分赴世博会的四个不同场馆服务,则有多少种不同的分配方案?
解析 ① 分组
分组的时候,分四步取书得\(C_6^2 C_4^2 C_2^2 C_1^1\)种方法,但这里出现重复计数的现象,
不妨给\(6\)位志愿者起名字\(a_1\),\(a_2\) ,\(a_3\) ,\(a_4\),\(a_5\),\(a_6\),
我们先看两组都是\(2\)人的情况,若第一步是\(a_1 a_2\),第二步是\(a_3 a_4\),记为\((a_1 a_2 ,a_3 a_4)\),
它与\((a_3 a_4 ,a_1 a_2)\)的分法其实是一样的,则重复了\(A_2^2\)次,
故分两组\(2\)人其实只有\(\dfrac{C_6^2 C_4^2}{A_2^2}\);
那两组\(1\)人的分法有\(\dfrac{C_2^2 C_1^1}{A_2^2}\)种,故先将\(6\)名志愿者分为\(4\)组,共有\(\dfrac{C_6^2 C_4^2 C_2^1 C_1^1}{A_2^2 A_2^2}\)种分法;
② 分配
再将\(4\)组人员分到\(4\)个不同场馆去,共有\(A_4^4\)种分法,
故所有分配方案有: \(\dfrac{C_6^2 C_4^2 C_2^1 C_1^1}{A_2^2 A_2^2} A_4^4=1080\)种.
点拨
① 对于这些分组问题,一般思路是先分组再分配,由于\(4\)个场馆是强调不一样的,故后面要有分配\(A_4^4\);
② 在遇到平均分组的时候,要注意“重复计数的现象”,采取“除法策略”,因为它是“重复了倍数计数”,采取起名字的方法能让你更好理解其中缘由!
练习1 将\(4\)名大学生分配到\(3\)个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则有多少种不同的分配方案?
答案 \(36\)
练习2 \(6\)本不同的书平均分成\(3\)堆,每堆\(2\)本共有多少分法?
答案 \(15\)
方法8 分类讨论策略
【典题1】 \(6\)本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人至少一本,有多少种不同的分法?
解析 分三种情况讨论:
①三人每人\(2\)本,有\(C_6^2 C_4^2 C_2^2=90\)种不同的分法,
(由于分组数目一样,可先让甲从6本书里拿\(2\)本\(C_6^2\),再让乙在剩下的\(4\)本里拿\(2\)本\(C_4^2\),最后丙拿剩下的\(2\)本\(C_2^2\))
②三人中一人\(1\)本,一人\(2\)本,一人\(3\)本,有\(C_6^1 C_5^2 C_3^3 A_3^3=360\)种不同的分法,
(先给书“分组\(C_6^1 C_5^2 C_3^3\)”,由于题中说到甲乙丙\(3\)人,说明他们谁拿几本书是有区别的,故还要“后排列\(A_3^3\)”)
③三人中一人\(4\)本,其余\(2\)人各\(1\)本,有\(C_6^4 C_3^1 A_2^2=90\)种不同的分法,
(先从\(6\)本书中抽出\(4\)本\(C_6^4\),再把它给甲乙丙其中\(1\)人\(C_3^1\),最后把剩下\(2\)本给剩下\(2\)人\(A_2^2\))
则有\(90+360+90=540\)种不同的分法.
点拨
该题\(6\)本书是不一样的,不能用“隔板法”,要分类讨论.
有点像处理定序问题的倍缩法.
若题目只改一个字“\(6\)本相同的书分给甲、乙、丙三人,每人至少一本,有 种不同的分法.”则就用“隔板法”得到答案为\(C_5^2=10\)种.
练习 某运动会组委会要派五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作,要求每项工作至少有一人参加,则不同的派给方案共有\(\underline{\quad \quad}\) .
答案 五名志愿者分别为\(A\),\(B\),\(C\),\(D\),\(E\),
当一组\(3\)人另两组各\(1\)人时,有\(C_5^3=10\)种分法,
当一组\(1\)人另两组各\(2\)人时,有\(\dfrac{1}{2} C_5^1 \cdot C_4^2=15\)种分法,
所以不同的派给方案为\((10+15)\cdot A_3^3=150\)种.故选\(A\).
方法9 正难则反总体淘汰策略
若题目从其正面入手比较麻烦,可能分类太多或不确定,或不清楚是否出现“重复计数”,则可考虑从反面入手用“淘汰法”.
【典题1】 从\(0\),\(1\) ,\(2\) ,\(3\) ,\(4\) ,\(5\) ,\(6\) ,\(7\) ,\(8\) ,\(9\)这十个数字中取出三个数,使其和为不小于\(10\)的偶数,不同的取法有多少种?
解析这问题中如果直接求不小于\(10\)的偶数很困难,可用总体淘汰法.
三个数之和为偶数有两种可能,所取的三个数含有\(3\)个偶数的取法有\(C_5^3\),
只含有\(1\)个偶数的取法有\(C_5^1 C_5^2\),和为偶数的取法共有\(C_5^1 C_5^2+C_5^3\),
而其中和小于\(10\)的偶数共\(9\)种,
符合条件的取法共有\(C_5^1 C_5^2+C_5^3-9=51\).
练习 \(6\)人排成一行,甲不排在最左端,乙不排在最右端,共有多少种排法.
答案 \(504\)
分层练习
【A组---基础题】
1.有\(5\)位学生和\(2\)位老师并坐一排合影,若教师不能坐在两端,且要坐在一起,则有( )种不同坐法
A.\(7!\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(240\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(480\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(960\)种
2.小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制,\(5\)人坐一排.若小明的父母都与他相邻,则不同坐法的种数为( )
A.\(6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(12\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(24\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(48\)
3.甲、乙两人从\(4\)门课程中各选修\(2\)门,则甲、乙所选的课程中至少有\(1\)门不相同的选法共有( )
A.\(6\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(12\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(30\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(36\)种
4.\(A\),\(B\),\(C\),\(D\),\(E\)五人并排站成一排,如果\(B\)必须站在\(A\)的右边(\(A\),\(B\)可以不相邻)那么不同的排法种数是( )
A.\(62\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(60\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(24\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(22\)种
5.某高中的\(4\)名高三学生计划在高考结束后到西藏、新疆、香港等\(3\)个地区去旅游,要求每个地区都要有学生去,每个学生只去一个地区旅游,且学生甲不到香港,则不同的出行安排有( )
A.\(36\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(28\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(24\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(22\)种
6.\(5\)个人站成一排,若甲、乙两人之间恰有\(1\)人,则不同的站法数有( )
A.\(18\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(26\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(36\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(48\)
7.从\(0\),\(1\),\(2\),\(3\),\(4\)中选取三个不同的数字组成一个三位数,其中偶数有( )
A.\(30\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(27\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(36\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(60\)个
8.四面体的顶点和各棱中点共有\(10\)个点,在其中取四个不共面的点,不同的取法共有\(\underline{\quad \quad}\) .
9.用数字\(0\),\(1\),\(2\),\(3\),\(4\)组成没有重复数字的五位数,则其中数字\(1\),\(2\)相邻的偶数有\(\underline{\quad \quad}\)个(用数字作答).
10.马路上有编号为\(1\),\(2\),\(3\),\(4\),\(5\),\(6\),\(7\),\(8\),\(9\)的\(9\)盏路灯,为节约用电,可以把其中的三盏路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的路灯,满足条件的关灯办法有\(\underline{\quad \quad}\) 种.
11.将\(4\)名大学生分配到\(3\)个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有\(\underline{\quad \quad}\) 种(用数字作答).
参考答案
-
答案 \(D\)
解析先排两位老师的方法,\(4A_2^2=8\),再排\(5\)位学生的方法:\(A_5^5=120\),共有\(4A_2^2 A_5^5=960\)种方法. -
答案 \(B\)
解析 根据题意,要求小明的父母都与他相邻,即小明坐在父母中间,将三人看成一个整体,有\(2\)种排法,将这个整体与爷爷和奶奶全排列,有\(A_3^3=6\)种排法,则有\(2×6=12\)种不同的排法,故选:\(B\). -
答案 \(C\)
解析 甲乙从\(4\)门课程中各选修\(2\)门共有\(C_4^2 C_4^2=36\)种选法,用对立事件做,其中甲乙所选课程相同时共有\(C_4^2=6\)种选法,所以甲、乙所选的课程中至少有\(1\)门不相同的选法共有\(36-6=30\)种.故\(C\)正确. -
答案 \(B\)
解析 \(B\)在\(A\)的右边与\(B\)在\(A\)的左边排法数相同,
所以题设的排法只是\(5\)个元素全排列数的一半,即\(\dfrac{1}{2} A_5^5=60\)种. -
答案 \(C\)
解析 学生甲不到香港,则甲可以到在西藏、新疆,有\(A_2^1=2\)种方法,
另外三个同学可以在三个位置排列\(A_3^3\),
也可以从三个中选两个为一组,在其余的\(2\)个地方排列\(C_3^2 A_2^2\).
不同的分配方案有\(A_2^1 (A_3^3+C_3^2 A_2^2 )=24\),
故选:\(C\). -
答案 \(C\)
解析 先排列其余三人后甲乙两人插空,所以有 \(A_3^3 \times 3 A_2^2=36\)种. -
答案 \(A\)
解析 符合条件的三位数中,百位数字为偶数的有\(A_2^1 A_2^1 A_3^1=12\)个,百位数字为奇数的有\(A_2^1 A_3^1 A_3^1=18\)个,共有\(30\)个,故选\(A\). -
答案 \(141\)
解析 利用间接法,用总的情况减去共面的情况,总的情况数为\(C_{10}^4\);共面的情况
①四点均在侧面上,\(4×C_6^4\);②三点在一条棱上,第四点在该棱的对棱中点,共有\(6\)个中点,即\(6\)种情况;③四点均为中点,有\(3\)种情况;
综上, \(C_{10}^4-4 \times C_6^4-6-3=141\). -
答案 \(24\)
解析 可以分情况讨论:
① 若末位数字为\(0\),则\(1\),\(2\),为一组,且可以交换位置,\(3\),\(4\),各为\(1\)个数字,共可以组成\(2A_3^3=12\)个五位数;
② 若末位数字为\(2\),则\(1\)与它相邻,其余\(3\)个数字排列,且\(0\)不是首位数字,则有\(2A_2^2=4\)个五位数;
③ 若末位数字为\(4\),则\(1\),\(2\),为一组,且可以交换位置,\(3\),\(0\),各为\(1\)个数字,且\(0\)不是首位数字,则有\(2\cdot (2\cdot A_2^2 )=8\)个五位数,所以全部合理的五位数共有\(24\)个. -
答案 \(10\)
解析 把此问题当作一个排对模型,在\(6\)盏亮灯的\(5\)个空隙中插入\(3\)盏不亮的灯\(C_5^3\)种方法,
所以满足条件的关灯方案有\(10\)种. -
答案 \(36\)
解析 分两步完成:第一步将\(4\)名大学生按,\(2\),\(1\),\(1\)分成三组,其分法有 \(\dfrac{C_4^2 C_2^1 C_1^1}{A_2^2}\);第二步将分好的三组分配到\(3\)个乡镇,其分法有\(A_3^3\)所以满足条件得分配的方案有\(\dfrac{C_4^2 C_2^1 C_1^1}{A_2^2} A_3^3=36\).
【B组---提高题】
1.已知\(a_1\),\(a_2\) ,…,\(a_5\)为\(1\),\(2\),\(3\),\(4\),\(5\)的任意一个排列.则满足:对于任意\(n\in \{1,2,3,4,5\}\),都有\(a_1+a_2+⋯+a_n≤na_1\)的排列\(a_1\),\(a_2\) ,…,\(a_5\)有( )
A.\(49\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(50\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(31\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(72\)个
2.设集合\(A=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)|x_i∈\{-1,0,1\},i=1,2,3,4,5\}\),则集合\(A\)中满足条件“\(1≤|x_1 |+|x_2 |+|x_3 |+|x_4 |+|x_5 |≤3\)”元素个数为\(\underline{\quad \quad}\).
3.将\(6\)位志愿者分成\(4\)组,其中两个组各\(2\)人,另两个组各\(1\)人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有\(\underline{\quad \quad}\)种(用数字作答).
参考答案
- 答案 \(A\)
解析 根据题意,\(a_1\),\(a_2\) ,…,\(a_5\) 为\(1\),\(2\),\(3\),\(4\),\(5\)的任意一个排列,
则\(a_1+a_2+⋯+a_5=1+2+3+4+5=15\),
若\(a_1+a_2+⋯+a_5≤5a_1\),必有\(a_1≥3\),
当\(a_1=5\)时,任意排列都符合题意,此时有\(A_4^4=24\)个排列,
当\(a_1=4\)时,只要\(a_2≠5\)即符合题意,此时有\(3A_3^3=18\)个排列,
当\(a_1=3\)时,\(a_2=1\)或\(2\),此时有\(32145\)、\(31245\)、\(32154\)、\(31254\)、\(32415\)、\(31425\)、\(31524\),共\(7\)个排列符合题意,
则有\(24+18+7=49\)个满足题意的排列,
故选:\(A\). - 答案 \(130\)
解析 由\(x_i\in \{-1,0,1\}\),\(i=\{1,2,3,4,5\}\),集合\(A\)中满足条件" \(1≤|x_1 |+|x_2 |+ |x_3 |+|x_4 |+|x_5 |≤3\)”,
由于\(|x_i |\)只能取\(0\)或\(1\),因此\(5\)个数值中有\(2\)个是\(0\),\(3\)个是\(0\)和\(4\)个是\(0\)三种情况:
①\(x_i\)中有\(2\)个取值为\(0\),另外\(3\)个从\(-1\),\(1\)中取,共有方法数: \(C_5^2 \times 2^3\);
②\(x_i\)中有\(3\)个取值为\(0\),另外\(2\)个从\(-1\),\(1\)中取,共有方法数: \(C_5^3 \times 2^2\);
③\(x_i\)中有\(4\)个取值为\(0\),另外\(1\)个从\(-1\),\(1\)中取,共有方法数:\(C_5^4×2\).
\(∴\)总共方法数是: \(C_5^2 \times 2^3+C_5^3 \times 2^2+C_5^4 \times 2=130\).
故答案为:\(130\). - 答案 \(1080\)
解析 先将\(6\)名志愿者分为\(4\)组,共有 \(\dfrac{C_6^2 C_4^2 C_2^1 C_1^1}{A_2^2 A_2^2}\)种分法,再将\(4\)组人员分到\(4\)个不同场馆去,共有\(A_4^4\)种分法,故所有分配方案有: \(\dfrac{C_6^2 C_4^2 C_2^1 C_1^1}{A_2^2 A_2^2} A_4^4=1080\)种.
【C组---拓展题】
1.一个同心圆形花坛,分为两部分,中间小圆部分种植绿色灌木,周围的圆环分为\(n(n≥3,n∈N)\)等份,种植红、黄、蓝三色不同的花,要求相邻两部分种植不同颜色的花.
(1) 如图\(1\),圆环分成的\(3\)等份为\(a_1\),\(a_2\),\(a_3\),有多少不同的种植方法?
如图\(2\),圆环分成的\(4\)等份为\(a_1\),\(a_2\),\(a_3\),\(a_4\),有多少不同的种植方法?
(2) 如图\(3\),圆环分成的\(n\)等份为\(a_1\),\(a_2\),\(a_3\),……,\(a_n\),有多少不同的种植方法?
参考答案
- 答案 (1) \(6\),\(18\),(2) \(2^n-2 \cdot(-1)^{n-3}\) 种\((n≥3)\)
解析 (1) 如图\(1\),先对\(a_1\)部分种植,有\(3\)种不同的种法,再对\(a_2\),\(a_3\)种植,
因为\(a_2\),\(a_3\)与\(a_1\)不同颜色,\(a_2\),\(a_3\)也不同.所以\(S(3)=3×2=6\)(种).
如图\(2\),\(S(4)=3×2×2×2-S(3)=18\)(种).
(2) 如图\(3\),圆环分为n等份,对\(a_1\)有3种不同的种法,对\(a_2\),\(a_3\),……,\(a_n\)都有两种不同的种法,但这样的种法只能保证\(a_1\)与\(a_i (i=2、3、……、n-1)\)不同颜色,但不能保证\(a_1\)与\(a_n\)不同颜色.
于是一类是\(a_n\) 与\(a_1\)不同色的种法,这是符合要求的种法,记为\(S(n)(n≥3)\)种.
另一类是\(a_n\)与\(a_1\)同色的种法,这时可以把\(a_n\)与\(a_1\)看成一部分,
这样的种法相当于对\(n-1\)部分符合要求的种法,记为\(S(n-1)\).共有\(3 \times 2^{n-1}\)种种法,
因此可得到 \(S(n)+S(n-1)=3 \times 2^{n-1}\),
即 \(S(n)-2^n=-\left[S(n-1)-2^{n-1}\right]\),
则数列\(\{S(n)-2^n \}(n≥3)\)是首项为\(S(3)-2^3\)公比为\(-1\)的等比数列,
则 \(S(n)-2^n=\left[S(3)-2^3\right](-1)^{n-3}(n \geq 3)\),
由(1) 知:\(S(3)=6\), \(\therefore S(n)-2^n=(6-8)(-1)^{n-3}\).
\(\therefore S(n)=2^n-2 \cdot(-1)^{n-3}\).
答:符合要求的不同种法有\(2^n-2 \cdot(-1)^{n-3}\) 种\((n≥3)\).