6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
基础知识
分类加法计数原理
做一件事情，完成它可以有\(n\)类办法，在第一类办法中有\(m_1\)种不同的方法，在第二类办法中有\(m_2\)种不同的方法，……，在第\(n\)类办法中有\(m_n\)种不同的方法 那么完成这件事共有\(N=m_1+m_2+⋯+m_n\)种不同的方法.
【例1】 贵哥手上有\(3\)份高考真题试卷，\(5\)份高考模拟试卷，若给学生发一份试卷作为作业，有多少种可能？
答案 \(3+5=8\).
【例2】 贵哥的书柜上有很多书，第一层是数学教材，有\(10\)本；第二层是奥数练习册，有\(7\)本；第三层是数学趣味读物，有\(6\)本；不上课有空抽一本书看看，有多少种可能？
答案 \(10+7+6=23\).
分步乘法计数原理
做一件事情，完成它需要分成\(n\)个步骤，做第一步有\(m_1\)种不同的方法，做第二步有\(m_2\)种不同的方法，……，做第\(n\)步有\(m_n\)种不同的方法，那么完成这件事有\(N=m_1× m_2×⋯× m_n\)种不同的方法.
【例】 贵哥要从湛江去北京出差，途中要经过广州作个演讲“如何学好数学”，从湛江去广州有\(4\)种交通方式，从广州到北京有\(8\)种交通方式，那去北京共有多少种交通方式?
解析 \(4×8=32\).为什么是相乘呢？我们可以借助树状图进行分析！
分类计数原理、分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事.
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
【例】 小芳要去\(party\)，衣柜里有\(3\)件连衣裙、\(4\)件上衣和\(5\)件裙子，那她有多少种搭配的方式去\(party\)呢？显然是\(3+4×5=23\)种方式.
基本方法
【题型1】 分类加法计数原理
【典题1】 某校高三共有三个班，各班人数如下表．
| 男生人数 | 女生人数 | 总人数 | |
|---|---|---|---|
| 高三(1)班 | \(30\) | \(20\) | \(50\) |
| 高三(2)班 | \(30\) | \(30\) | \(60\) |
| 高三(3)班 | \(35\) | \(20\) | \(55\) |
(1)从三个班中选\(1\)名学生任学生会主席，有多少种不同的选法；
(2)从高三(1)班、(2)班男 生中或从高三(3)班女生中选\(1\)名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
解析 (1)从每个班选\(1\)名学生任学生会主席，共有\(3\)类不同的方案：
第\(1\)类，从高三(1)班中选出\(1\)名学生，有\(50\)种不同的选法；
第\(2\)类，从高三(2)班中选出\(1\)名学生，有\(60\)种不同的 选法；
第\(3\)类，从高三(3)班中选出\(1\)名学生，有\(55\)种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从三个班中选\(1\)名学生任学生会主席，共有\(50+60+55=165\)种不同的选法．
(2)从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选\(1\)名学生任学生会生活部部长，共有\(3\)类不同的方案：
第\(1\)类，从高三(1)班男生中选出\(1\)名学生，有\(30\)种不同的选法；
第\(2\)类，从高三(2)班男生中选出\(1\)名学生，有\(30\)种不同的选法；
第\(3\)类，从高三(3)班女生中选出\(1\)名学生，有\(20\)种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选\(1\)名学生任学生会生活部部长，共有\(30+30+20=80\)种不同的选法．
点拨 (1)从每个班选\(1\)名学生任学生会主席都能独立完成这件事，因此应采用分类加法计数原理；(2)完成这件事有三类方案，因此也应采用分类加法计数原理．
【巩固练习】
1.一个书包内有\(7\)本不同的小说，另一个书包内有\(5\)本不同的教科书，从两个书包中任取一本书的取法有( )
A. \(7\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C. \(12\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(35\)
2.从甲地到乙地一天有汽车\(8\)班，火车\(3\)班，轮船\(2\)班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为( )
A．\(13\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(16\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(24\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(48\)种
3.满足\(a\)，\(b\in \{-1，0，1，2\}\)，且关于\(x\)的方程\(ax^2+2x+b=0\)有实数解的有序数对\((a，b)\)的个数为( )
A．\(14\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(13\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(12\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(10\)
4.三边均为整数且最大边长为\(11\)的三角形有\(\underline{\quad \quad}\)个．
5.在所有的两位数中个位数字比十位数字大的两位数有多少个？
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 完成：“从两个书包中任取一本书”这件事，有两类办法.第一类是从\(7\)本小说中任取一本有\(7\)种不同的取法，第二类是从\(5\)本教科书中任取一本有\(5\)种不同的取法.根据分类计数原理知：从两个书包中任取一本书的取法是：\(7+5=12\)种，选\(C\). -
答案 \(A\)
解析 应用分类加法计数原理，不同走法数为\(8+3+2=13\)(种)．故选\(A\). -
答案 \(B\)
解析 \(a=0\)时，方程变为\(2x+b=0\)，则\(b\)为\(-1\)，\(0\)，\(1\)，\(2\)都有解；
\(a \neq 0\)时，若方程\(ax^2+2x+b=0\)有实数解，则\(Δ=2^2-4ab≥0\)，即\(ab≤1\)．
当\(a=-1\)时，\(b\)可取\(-1\)，\(0\)，\(1\)，\(2\)．
当\(a=1\)时，\(b\)可取\(-1\)，\(0\)，\(1\)．
当\(a=2\)时，\(b\)可取\(-1\)，\(0\)，
故满足条件的有序对\((a，b)\)的个数为\(4+4+3+2=13\)． -
答案 \(36\)
解析 两边长用\(x\)，\(y\)表示，且不妨设\(1≤x≤y≤11\).
要构成三角形，需\(x+y≥12\).
当\(y=11\)时，\(x\in \{1，2，…，11\}\)，有\(11\)个三角形；
当\(y=10\)时，\(x\in \{2，3，…，10\}\)，有\(9\)个三角形
……
当\(y=6\)时，\(x=6\)，有\(1\)个三角形．
所以满足条件的三角形有\(11+9+7+5+3+1=36\)(个)． -
答案 \(36\)
解析 要完成这件事情：可以先确定个位数，再确定十位数.
对个位数字分类：
(1)当个位数字是\(9\)时，十位数字可以是：\(1\)，\(2\)，\(3\)，…\(8\)，共有\(8\)个满足条件的数.
(2)当个位数字是\(8\)时，十位数字可以是：\(1\)，\(2\)，\(3\)，…\(7\)，共有\(7\)个满足条件的数.
同理个位数字是\(7\)，\(6\)，\(5\)，\(4\)，\(3\)，\(2\)时，满足条件的数有\(6\)，\(5\)，\(4\)，\(3\)，\(2\)，\(1\)个，
故满足条件的数有\(1+2+3+4+5+6+7+8=36\)个.
【题型2】分步乘法计数原理
【典题1】 用\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)排成可以重复的\(5\)位数，若中间的三位数字各不相同，首末两位数字相同，这样的\(5\)位数共有( )个
A. \(480\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(240\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C. \(96\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(48\)
解析 第一步先排首末两位相同的数字，第二步排十位数字，第三步排百位数字，第四步排千位数字.
第一步：排首末两位相同的数字，不能选\(0\)，共有\(4\)种选法
第二步：排十位数字有\(5\)种排法(因数字可以重复)
第三步：排百位数字，除去十位选过后有\(4\)种选法.(数字可重复)
第四步：排千位数字，除去十位、百位选过的数字还有\(3\)种选法(数字可重复)，
根据分步计数原理知：共有\(4×5×4×3=240\)，选\(B\).
【巩固练习】
1.某人去有四个门的商场购物，若进出商场不同门，则不同的进出方案有( )
A．\(256\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(81\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(16\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(12\)种
2.由\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，…，\(9\)十个数码和一个虚数单位\(i\)可以组成虚数的个数为\(\underline{\quad \quad}\).
3.如图，从甲地到乙地有\(3\)条路，从乙地到丁地有\(2\)条路；从甲地到丙地有\(3\)条路，从丙地到丁地有\(4\)条路．从甲地到丁地的不同路线共有\(\underline{\quad \quad}\)条.
4.某体育彩票规定:从\(01\)至\(36\)个号中抽出\(7\)个号为一注，每注\(2\)元，某人想从\(01\)至\(10\)中选\(3\)个连续的号，从\(11\)至\(20\)中选\(2\)个连续的号，从\(21\)至\(30\)中选\(1\)个号，从\(31\)至\(36\)中选\(1\)个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，至少要花多少钱?
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 进门时有\(4\)中方法，出门时只有\(3\)种方法，结合分步计数原理可知不同的进出方案有\(4×3=12\)种. -
答案 \(90\)
解析 复数\(a+bi，(a，b\in R)\)为虚数，则\(a\)有\(10\)种可能，\(b\)有\(9\)种可能，共计\(90\)种可能. -
答案 \(18\)
解析 分两类，第一类，从甲到乙再到丁，共有\(3×2=6\)种，
第二类，从甲到丙再到丁，共有\(3×4=12\)种，
根据分类计数原理可得，共有\(6+12=18\)种，
故从甲地到丁地共有\(18\)条不同的路线． -
答案 \(8640\)
解析 第一步:从\(01\)至\(10\)中选\(3\)个连续的号码有\(01\)，\(02\)，\(03\)； \(02\)，\(03\)，\(04\)；…；\(08\)，\(09\)，\(10\)共\(8\)种不同的选法；二步:同理从\(11\)至\(20\)中选\(2\)个连续的自然数有\(9\)种不同的选法；第三步:从\(21\)至\(30\)中选一个号码有\(10\)种不同的选法；第四步:从\(31\)至\(36\)中选一个号码有\(6\)种不同的选法.共可组成\(8×9×10×6=4320\)注.所以需要花费\(2×4320=8640\)元钱.
【题型3】综合
【典题1】 七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有( ).
A.\(7^5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(5^7\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(7×6×5×4××3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(35\)
解析 因同一学生可以同时夺得\(n\)项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作\(7\)家“店”，五项冠军看作\(5\)名“客”，每个“客”有\(7\)种住宿法，由乘法原理得\(7^5\)种，故选\(A\).
点拨 重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数.
【典题2】 将红、黄、绿、黑四种颜色涂入图中的五个区域，要求相邻的区域不同色，问有多少种不同的涂色方法？
解析 你想象下自己是画家，要完成这件事，就是一个个区域去涂色.
一般先图“最多边疆”的区域，即\(C\)区域，有\(4\)种方法；区域\(A\)有\(3\)种，区域\(D\)有\(2\)种，区域\(E\)有\(2\)种，轮到区域\(B\)时，若\(A\)，\(E\)同色有\(2\)种，若\(A\)，\(E\)不同色有\(1\)种.
故需要对\(A\)，\(E\)是否同色进行讨论.
(1)当\(A\)，\(E\)同色时，区域\(B\)有\(2\)种涂色方法，此时有\(4×3×2×1×2=48\)种
(2)当\(A\)，\(E\)不同色时，区域\(B\)有\(1\)种涂色方法，此时有\(4×3×2×1×1=24\)种，
故共有\(48+24=72\)种.
(也可以按\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)，\(E\)的顺序涂色)
点拨 像这类区域涂色问题应该给区域依次标上符号，以便分析问题，在给各区域涂色时，要注意不同的涂色顺序其解题就有繁简之分，一般先涂“最多边疆”的区域.
本题若按\(A\)，\(B\)，\(E\)，\(D\)，\(C\)顺序涂色时，在最后给\(C\)区域涂色时，要考虑\(A\)，\(E\)是否同色，\(B\)，\(D\)是否同色两种情况.这体现了分类讨论的数学思想方法 的应用.因此在分析解决问题时，应按不同的涂色顺序多尝试一下，看哪种简单.
【巩固练习】
1.教学大楼共有\(4\)层，每层都有东西两个楼梯，从一层到\(4\)层共有( )种走法？
A．\(8\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(23\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(42\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(24\)
2.一位同学希望在暑假期间给他的\(4\)位好友每人发一条短信问候，为省下时间学习，他准备从手机草稿箱中直接选取已有短信内容发出．已知他手机草稿箱中只有\(3\)条适合的短信，则该同学共有不同的发短信的方法 ( )
A．\(3×4=12\)种 \(\qquad \qquad\) B．\(4×3×2=24\)种 \(\qquad \qquad\) C．\(4^3=64\)种 \(\qquad \qquad\) D．\(3^4=81\)种
3.现有\(4\)种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 ( )
A．\(24\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(30\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(36\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(48\)种
4.如图，一个地区分为\(5\)个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有\(4\)种颜色可供选择，求不同着色方法共有\(\underline{\quad \quad}\)种？(以数字作答)．
参考答案
-
答案 \(A\)
解析 根据分步计数原理共有\(3\)个楼梯，上每一层都有两种方法，所以共有\(2×2×2=8\)种方法． -
答案 \(D\)
解析 给每一位好友都有\(3\)种选择，因此共有发短信的方法\(3^4=81\)种，选\(D\)． -
答案 \(D\)
解析 共有\(4×3×2×2=48\)种着色方法．答案：\(D\) -
答案 \(72\)
解析 根据题意可分类求解：第一类用三种颜色着色，由乘法原理\(4×3×2=24\)种方法；
第二类，用四种颜色着色，由乘法原理有\(2×4×3×2×1=48\)种方法．
从而再由加法原理得\(24+48=72\)种方法．
即共有\(72\)种不同的着色方法．
分层练习
【A组---基础题】
1.某学校高一年级共\(8\)个班，高二年级\(6\)个班从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，共有( )种安排方法
A．\(8\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(14\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(48\)
2.一个袋子里放有\(6\)个球，另一个袋子里放有\(8\)个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为 ( )
A．\(182\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(14\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(48\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(91\)
3.正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )
A.\(20\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(15\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(12\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(10\)
4.现有\(4\)种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )
A．\(24\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(30\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(36\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(48\)种
5.如果\(x\)，\(y\in N\)，且\(1≤x≤3\)，\(x+y<7\)，则满足条件的不同的有序自然数对的个数是( )
A．\(15\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(12\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(4\)
6.一个科技小组有\(3\)名男同学，\(5\)名女同学，从中任选一名同学参加学科竞赛， 不同的选派方法共有\(\underline{\quad \quad}\)种．
7.只用\(1\)，\(2\)，\(3\)三个数字组成一个四位数，规定这三个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有\(\underline{\quad \quad}\)个．
8.\(5\)名运动员争夺\(3\)项比赛冠军(每项比赛无并列冠军)，获得冠军的可能种数为\(\underline{\quad \quad}\).
9.在\(1\)到\(20\)这\(20\)个整数中，任取两个数相减，差大于\(10\)，共有几种取法？
10.用\(n\)种不同颜色为下侧两块广告牌着色(如图甲、乙所示)，要求在①、②、③、④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色．
(1)若\(n=6\)，为甲着色时共有多少种不同方法？
(2)若为乙着色时共有\(120\)种不同方法，求\(n\)．
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 根据分类计数的原理：共\(8+6=14\)种方法． -
答案 \(C\)
解析 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为\(6×8=48\)，故选\(C\). -
答案 \(D\)
解析 由题意正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有\(2\)条．正五棱柱对角线的条数共有\(2×5=10\)条．故选\(D\) -
答案 \(D\)
解析 由题意知本题是一个分步计数问题，
需要先给最上面一块着色，有\(4\)种结果，
再给中间左边一块着色，有\(3\)种结果，
再给中间右边一块着色有\(2\)种结果，
最后给下面一块着色，有\(2\)种结果，
根据分步计数原理知共有\(4×3×2×2=48\)种结果，
故选：\(D\)． -
答案 \(A\)
解析 利用分类加法计数原理．
当\(x=1\)时，\(y=0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，有\(6\)种情况．
当\(x=2\)时，\(y=0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，有\(5\)种情况．
当\(x=3\)时，\(y=0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，有\(4\)种情况．
据分类加法计数原理可得，共有\(6+5+4=15\)种情况． -
答案 \(8\)
解析 任选一名同学参加学科竞赛，有两类办法：
第一类，从男同学中选取一名参加学科竞赛，有\(3\)种不同的选法；
第二 类，从女同学中选取一名参加学科竞赛，有\(5\)种不同的选法．
由分类加法计数原理，不同的选派方法共有\(3+5=8\)种．故填\(8\)． -
答案 \(18\)
解析 由题意知，\(1\)，\(2\)，\(3\)中必有某一个数字重复使用\(2\)次，第一步：确定谁被使用\(2\)次，有\(3\)种方法；第二步：把这\(2\)个相等的数字放在四位数不相邻的两个位置上，也有\(3\)种方法；第三步：将余下的\(2\)个数放在四位数余下的\(2\)个位置上，有\(2\)种方法．故共可组成\(3×3×2=18\)个不同的四位数． -
答案 \(125\)
解析 因为每项冠军只有一名，并且同一运动员得到的冠军不限制，因此每个项目获冠军的可能性有\(5\)种．\(∴n=5×5×5=5^3=125\)种. -
答案 \(45\)
解析 由题意知，被减数可以是\(12\)，\(13\)，\(14\)，\(15\)，\(16\)，\(17\)，\(18\)，\(19\)，\(20\)共\(9\)种情况，当被减数依次取\(12\)，\(13\)，…，\(20\)时，减数分别有\(1\)，\(2\)，\(3\)，…，\(9\)种情况，由分类加法计数原理可知，共有\(1+2+3+⋯+9=45\)(种)不同的取法． -
答案 (1)\(480\)；(2) \(5\)
解析 (1)完成着色这件事，共分四个步骤，即依次考虑为①、②、③、④着色时各自的方法数，
为①着色有\(6\)种方法，为②着色有\(5\)种方法，
为③着色有\(4\)种方法，为④着色也只有\(4\)种方法．
\(∴\)共有着色方法\(6×5×4×4=480\)种．
(2)与(1)的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块，
同理，不同的着色方法数是\(n(n-1)(n-2)(n-3)\)．
由\(n(n-1)(n-2)(n-3)=120\)，
\(∴(n^2-3n)(n^2-3n+2)-120=0\)，
即\((n^2-3n)^2+2(n^2-3n)-12×10=0\)，
\(∴n^2-3n-10=0\)，\(∴n=5\)．
【B组---提高题】
1.设全集\(I=\{1，2，3，4，5，6\}\)，集合\(A\)，\(B\)都是\(I\)的子集，若\(A∩B=\{1，3，5\}\)，则称\(A\)，\(B\)为“理想配集”，记作\((A，B)\)，问这样的“理想配集”\((A，B)\)共有( )
A．\(7\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(8\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(27\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(28\)个
2.如图，用\(4\)种不同的颜色给三棱柱\(ABC-A_1 B_1 C_1\)的\(6\)个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的作色方法共有\(\underline{\quad \quad}\)种．
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 由于交集是\(\{1，3，5\}\)，所以\(A\)，\(B\)集合中都必有\(1\)，\(3\)，\(5\)；
分情况讨论：
1)当\(A\)有\(3\)个元素，那么\(B\)有\(2^3=8\)种选择；
2)当\(A\)有\(4\)个元素，那么\(A\)要从\(1\)，\(3\)，\(5\)外再挑一个，有\(3\)种，
这时\(B\)有\(2^2=4\)种选择，总共有\(3×4=12\)种；
3)当\(A\)有\(5\)个元素，那么\(A\)从\(1\)，\(3\)，\(5\)之外再挑两个，有\(3\)种，
这时\(B\)有\(2\)种选择，总共有\(3×2=6\)种；
4)当\(A\)有\(6\)个元素，\(B\)只有唯一一种可能；
由分类计数原理得共有：\(8+12+6+1=27\)种；故选\(C\)． -
答案 \(264\)
解析 \(∵\)图中每条线段的两个端点涂不同颜色，
\(∴\)可以根据所涂得颜色的种类来分类，
\(B\)，\(C_1\)，\(A\)，\(A_1\)用四种颜色，则有\(4×3×2×1×1×1=24\)种涂色方法；
\(B\)，\(C_1\)，\(A\)，\(A_1\)用三种颜色，则有\(4×3×2×2×2+4×3×2×2×1×2=192\)种涂色方法；
\(B\)，\(C_1\)，\(A\)，\(A_1\)用两种颜色，则有\(4×3×2×2=48\)种涂色方法；
根据分类计数原理知共有\(24+192+48=264\)种不同的涂色方法．
故选故答案为：\(264\)．
【C组---拓展题】
1.如图，用四种不同的颜色给图中的\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)，\(E\)，\(F\)，\(G\)七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有( )
A．\(192\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(336\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(600\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．以上答案均不对
参考答案
- 答案 \(C\)
解析 \(E\)，\(F\)，\(G\)分别有\(4\)，\(3\)，\(2\)种方法，
①当\(A\)与\(F\)相同时，\(A\)有\(1\)种方法，此时\(B\)有\(2\)种，
(1)\(C\)若与\(F\)相同有\(C\)有\(1\)种方法，同时\(D\)有\(3\)种方法，
(2)若\(C\)与\(F\)不同，则此时\(D\)有\(2\)种方法，
故此时共有：\(4×3×2×1×2×(1×3+1×2)=240\)种方法；
②当\(A\)与\(G\)相同时，\(A\)有\(1\)种方法，此时\(B\)有\(3\)种方法，
(1)若\(C\)与\(F\)相同，\(C\)有\(1\)种方法，同时\(D\)有\(2\)种方法，
(2)若\(C\)与\(F\)不同，则\(D\)有\(1\)种方法，
故此时共有：\(4×3×2×1×3×(1×2+1×1)=216\)种方法；
③当\(A\)既不同于\(F\)又不同于\(G\)时，\(A\)有\(1\)种方法，
(1)若\(B\)与\(F\)相同，则\(C\)必须\(A\)相同，同时\(D\)有\(2\)种方法；
(2)若\(B\)不同于\(F\)，则\(B\)有\(1\)种方法，
(Ⅰ)若\(C\)与\(F\)相同则\(C\)有\(1\)种方法同时\(D\)有\(2\)种方法；
(Ⅱ)若\(C\)与\(F\)不同则必与\(A\)相同，\(C\)有\(1\)种方法，同时\(D\)有\(2\)种方法；
故此时共有：\(4×3×2×1×1×1×2+1×(1×2+1×2)=144\)种方法；
综上共有\(240+216+144=600\)种方法．
故选：\(C\)．
