10.1.4 概率的基本性质
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[ 【基础过关系列】高一数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019)]
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必修第二册同步巩固,难度2颗星!
基础知识
性质1 对任意事件\(A\),都有\(P(A)\geq 0\);
性质2 必然事件的概率为\(1\),不可能事件的概率为\(0\);
性质3 若事件\(A\)与事件\(B\)互斥时,则\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\);
推广 如果事件\(A_1\),\(A_2\),⋯,\(A_m\)两两互斥,那么事件\(A_1\cup A_2\cup ⋯\cup A_m\)发生的概率等于这\(m\)个 事件分别发生的概率之和,即\(P(A_1\cup A_2\cup ⋯\cup A_m )=P(A_1 )+P(A_2 )+⋯+P(A_m )\)
性质4 若事件\(A\)与事件\(B\)互为对立事件,则\(P(B)=1-P(A)\),\(P(A)=1-P(B)\);
证明 若事件\(A\)与事件\(B\)互为对立事件,则事件\(A\cup B\)是必然事件,即\(P(A\cup B)=1\),
则\(P(B)+P(A)=1\).
性质5 如果\(A\subseteq B\),那么\(P(A)\leq P(B)\);
证明 在古典概型中,对于事件\(A\)与事件\(B\),如果\(A\subseteq B\),那么\(n(A)\leq n(B)\),
所以 \(\dfrac{n(A)}{n(\Omega)} \leqslant \dfrac{n(B)}{n(\Omega)}\),即\(P(A)\leq P(B)\).
性质6 设\(A\) ,\(B\)是一个随机试验中的两个事件,有\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).
性质\(3\)是性质\(6\)的特殊情况.
基本方法
【题型1】 互斥事件的概率
【典题1】 已知事件\(A\)与事件\(B\)是互斥事件,则( )
A.\(P(\bar{A} \cap \bar{B} )=0\) \(\qquad\) B.\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) \(\qquad\) C.\(P(A)=1-P(B)\) \(\qquad\) D.\(P(\bar{A} \cup \bar{B} )=1\)
解析 事件\(A\)与事件\(B\)是互斥事件,
对于\(A\),\(P(A\cap B)=0\),故\(A\)错误;
对于\(B\),\(P(A\cap B)=0\),故\(B\)错误;
对于\(C\),\(P(A)\leq 1-P(B)\),故\(C\)错误;
对于\(D\),\(P(\bar{A} \cup \bar{B} )=P(Ω)=1\),故\(D\)正确.
故选:\(D\).
【典题2】 袋中有\(12\)个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率是\(\dfrac{1}{3}\),得到黑球或黄球的概率是\(\dfrac{5}{12}\),得到黄球或绿球的概率也是\(\dfrac{5}{12}\),试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少?
解析 从袋中任取一球,记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为\(A\),\(B\),\(C\),\(D\),
则\(P(A)=\dfrac{1}{3}\),\(P(B\cup C)=P(B)+P(C)=\dfrac{5}{12}\),
\(P(C\cup D)=P(C)+P(D)=\dfrac{5}{12}\),
\(P(B\cup C\cup D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\),
解 \(\left\{\begin{array}{c}
P(B)+P(C)=\dfrac{5}{12} \\
P(C)+P(D)=\dfrac{5}{12} \\
P(B)+P(C)+P(D)=\dfrac{2}{3}
\end{array}\right.\),
得\(P(B)=\dfrac{1}{4}\), \(P(C)=\dfrac{1}{6}\), \(P(D)=\dfrac{1}{4}\),
即得到黑球,得到黄球,得到绿球的概率分别为\(\dfrac{1}{4}\),\(\dfrac{1}{6}\), \(\dfrac{1}{4}\).
【巩固练习】
1.若\(A\)、\(B\)是互斥事件,\(P(A)=0.2\),\(P(A\cup B)=0.5\),则\(P(B)=\)( )
A.\(0.3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(0.7\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(0.1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(1\)
2.已知\(P(A)=0.5\),\(P(B)=0.3\),如果\(P(AB)=0\),那么\(P(A\cup B)\)等于( )
A.\(0.8\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B.\(0.5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(0.3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(0.2\)
3.在投掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率都是\(\dfrac{1}{6}\).事件\(A\)表示“小于\(5\)的偶数点出现”,事件\(B\)表示“小于\(5\)的点数出现”,则一次试验中,事件\(A\cup \bar{B}\)发生的概率是( )
A.\(\dfrac{1}{3}\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(\dfrac{1}{2}\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(\dfrac{2}{3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D .\(\dfrac{5}{6}\)
4.某工厂生产了一批节能灯泡,这批产品按质量标准分为一等品、二等品、不合格品.从这批产品中随机抽取一个进行检测,设抽到一等品或二等品的概率为\(0.95\),抽到二等品或不合格品的概率为\(0.25\),则抽到二等品的概率为( )
A.\(0.05\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B.\(0.1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(0.15\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(0.2\)
5.已知事件\(A\),\(B\),\(C\)两两互斥,若\(P(A)=\dfrac{1}{5}\),\(P(C)=\dfrac{1}{3}\),\(P(A\cup B)=\dfrac{8}{15}\),则\(P(B\cup C)=\) \(\underline{\quad \quad}\) .
6.一个咖啡馆供应主菜、主食和甜点三类食物,可能的选择见表,客人在每个种类中选择一种.
种类 | 选择 |
---|---|
主菜 | 鸡肉或烤牛肉 |
主食 | 面、米饭或土豆 |
甜点 | 冰淇淋、果冻、苹果酱或桃子 |
(Ⅰ)样本空间里一共有多少种结果?
(Ⅱ)令\(A\)表示“选择冰淇淋”,\(B\)表示“选了米饭”.
(ⅰ)列举事件\(AB\)中的样本点; \(\qquad \qquad\)(ⅱ)求\(P(A+B)\).
参考答案
-
答案 \(A\)
解析 \(\because\)随机事件\(A\)、\(B\)是互斥事件,
\(\therefore P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0.5\),
\(\because P(A)=0.2\),
\(\therefore P(B)=0.5-0.2=0.3\),
故选:\(A\). -
答案 \(A\)
解析 因为\(P(A)=0.5\),\(P(B)=0.3\),如果\(P(AB)=0\),
所以\(P(A\cup B)=0.5+0.3=0.8\).
故选:\(A\). -
答案 \(C\)
解析 由题意可知\(\bar{B}\)表示“大于或等于\(5\)的点数出现”,事件\(A\)与事件\(\bar{B}\)互斥.
由概率的加法公式可得\(P(A+\bar{B} )=P(A)+P(\bar{B} )=\dfrac{2}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{2}{3}\).
故选:\(C\). -
答案 \(D\)
解析 设事件\(A=\)“抽到一等品“,事件\(B=\)“抽到二等品”,事件\(C=\)“抽到不合格品”,
则\(A\),\(B\),\(C\)两两互斥,
由题意知,\(P(A\cup B\cup C)=1\),\(P(A\cup B)=0.95\),\(P(B\cup C)=0.25\),
所以 \(\left\{\begin{array}{l} P(A)+P(B)+P(C)=1 \\ P(A)+P(B)=0.95 \\ P(B)+P(C)=0.25 \end{array}\right.\),解得\(P(B)=0.2\).
故选:\(D\). -
答案 \(\dfrac{2}{3}\)
解析 因为事件\(A\),\(B\),\(C\)两两互斥,
所以\(P(B)=P(A\cup B)-P(A)=\dfrac{8}{15}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{3}\),
所以\(P(B\cup C)=P(B)+P(C)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\). -
答案 (Ⅰ) \(24\); (Ⅱ) (ⅰ) \(\{\)鸡肉,\(A\),\(B\}\),\(\{\)烤牛肉,\(A\),\(B\}\) (ⅱ) \(\dfrac{1}{2}\)
解析 (Ⅰ)根据表格中的数据,可得主菜有\(2\)种,主食有\(3\)种,甜点有\(4\)种,
客人在每个种类中选择一种,根据分步计数原理,共有\(2×3×4=24\)种不同的结果
(Ⅱ)(i)事件\(AB\)中的样本点为 \(\{\)鸡肉,\(A\),\(B\}\),\(\{\)烤牛肉,\(A\),\(B\}\);
(ⅱ)\(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{2}\).
【题型2】 对立事件的概率
【典题1】 (多选) 甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是\(\dfrac{1}{2}\),甲获胜的概率是\(\dfrac{1}{5}\),下面结论正确的是( )
A.甲不输的概率\(\dfrac{7}{10}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.乙不输的概率\(\dfrac{4}{5}\)
C.乙获胜的概率\(\dfrac{3}{10}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.乙输的概率\(\dfrac{1}{5}\)
解析 甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是\(\dfrac{1}{2}\),甲获胜的概率是\(\dfrac{1}{5}\),
对于\(A\),甲不输的概率为:\(P=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{7}{10}\),故\(A\)正确;
对于\(B\),乙不输的概率为:\(P=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}\),故\(B\)正确;
对于\(C\),乙获胜的概率为:\(P=1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{10}\),故\(C\)正确;
对于\(D\),乙输的概率就是甲胜的概率,\(\therefore\)乙输的概率为:\(P=\dfrac{1}{5}\),故\(D\)正确.
故选:\(ABCD\).
【巩固练习】
1.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出\(1\)个球,摸出红球的概率是\(0.42\),摸出白球的概率是\(0.28\),那么摸出黑球的概率是( )
A.\(0.42\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(0.28\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(0.3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(0.7\)
2.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件\(A=\{\)抽到一等品\(\}\),事件\(B=\{\)抽到二等品\(\}\),事件\(C=\{\)抽到三等品\(\}\),且已知\(P(A)=0.7\),\(P(B)=0.15\),\(P(C)=0.1\),则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A.\(0.35\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(0.65\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(0.7\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(0.3\)
3.已知事件\(A\)与事件\(B\)是互斥事件,则( )
A.\(P(\bar{A} +\bar{B} )=0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(P(A+B)=P(A)P(B)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
C.\(P(A)=1-P(B)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(P(\bar{A} +\bar{B} )=1\)
4.事件\(A\),\(B\)互斥,它们都不发生的概率为\(\dfrac{2}{5}\),且\(P(A)=2P(B)\),则\(P(\bar{A} )=\) \(\underline{\quad \quad}\),\(P(\bar{B} )=\) \(\underline{\quad \quad}\) .
5.事件\(A\),\(B\)互斥,它们都不发生的概率为\(\dfrac{2}{5}\),且\(P(A)=2P(B)\),则 \(P(\bar{A})=\)\(\underline{\quad \quad}\).
6.有一个公用电话亭,里面有一部电话,在观察使用这部电话的人的流量时,设在某一时刻,有\(n\)个人正在使用电话或等待使用的概率为\(P(n)\),且\(P(n)\)与时刻\(t\)无关,统计得到 \(P(n)=\left\{\begin{array}{l}
\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \cdot P(0), \quad 1 \leq n \leq 6 \\
0, n \geq 7
\end{array}\right.\),那么在某一时刻,这个公用电话亭里一个人也没有的概率\(P(0)\)的值是\(\underline{\quad \quad}\) .
7.已知事件\(A\)发生的概率为\(0.5\),\(B\)发生的概率为\(\dfrac{1}{3}\),\(C\)发生的概率为\(\dfrac{1}{5}\),\(P(AB)=\dfrac{1}{10}\),\(P(AC)=\dfrac{1}{15}\),\(P(BC)=\dfrac{1}{20}\),\(P(ABC)=\dfrac{1}{30}\).试求:
(1)\(A\)与\(B\)至少有一个发生的概率;
(2)\(A\)与\(B\)均不发生的概率;
(3)\(A\)、\(B\)、\(C\)至少有一个发生的概率;
(4)\(A\)、\(B\)、\(C\)均不发生的概率;
(5)\(C\)发生而\(A\)、\(B\)均不发生的概率;\(C\)发生或者\(A\)、\(B\)均不发生的概率.
参考答案
- 答案 \(C\)
解析 摸出红球、白球、黑球是互斥事件,所以摸出黑球的概率是\(1-0.42-0.28=0.3\). - 答案 \(D\)
解析 从一箱产品中随机地抽取一件,设事件\(A=\{\)抽到一等品\(\}\),事件\(B=\{\)抽到二等品\(\}\),事件\(C=\{\)抽到三等品\(\}\),
\(P(A)=0.7\),\(P(B)=0.15\),\(P(C)=0.1\),
则事件“抽到的不是一等品”的概率为: \(P(\overline{A})=1-P(A)=1-0.7=0.3\).
故选:\(D\). - 答案 \(D\)
解析 对于\(AD\),\(\because\)事件\(A\)与事件\(B\)是互斥事件,
\(\therefore \bar{A} +\bar{B}\)是必然事件,\(\therefore P(\bar{A} +\bar{B} )=1\),故\(A\)错误,\(D\)正确;
对于\(B\),\(\because\) 互斥的两个事件不一定是独立事件,
如抛掷一枚骰子,令事件\(A\)为\(1\)朝上,事件\(B\)为\(2\)朝上,
则\(P(A)=P(B)=\dfrac{1}{6}\),则\(P(A+B)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\),\(P(A)P(B)=\dfrac{1}{36}\),
\(\therefore P(A+B)=P(A)P(B)\)不一定成立,故\(B\)错误;
对于\(C\),\(\because\)互斥两个事件不一定是对立事件,
如抛掷一枚骰子,令事件\(A\)为\(1\)朝上,事件\(B\)为\(2\)朝上,
则\(P(A)=P(B)=\dfrac{1}{6}\),\(P(A)≠1-P(B)\),
\(\therefore P(A)=1-P(B)\),故\(C\)错误.
故选:\(D\). - 答案 \(\dfrac{3}{5}\),\(\dfrac{4}{5}\)
解析 由题意得,事件\(A\),\(B\)互斥,它们都不发生的概率为\(\dfrac{2}{5}\),
则\(P(A)+P(B)=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}\),
\(\because P(A)=2P(B)\),
\(\therefore P(A)=\dfrac{2}{5}\),\(P(B)=\dfrac{1}{5}\)
\(\therefore P(\bar{A} )=1-P(A)=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}\),\(P(\bar{B} )=1-P(B)=\dfrac{4}{5}\).
故答案为:\(\dfrac{3}{5}\),\(\dfrac{4}{5}\). - 答案 \(\dfrac{3}{5}\)
解析 \(\because\)事件\(A\),\(B\)互斥,\(∴P(AB)=0\)
\(\because\)它们都不发生的概率为\(\dfrac{2}{5}\),
\(\therefore [1-P(A)][1-P(B)]=\dfrac{2}{5}\),
\(\therefore 1-P(A)-P(B)+P(AB)=1-2P(B)-P(B)=\dfrac{2}{5}\),解得 \(P(B)=\dfrac{1}{5}\),
\(\therefore P(A)=2P(B)=\dfrac{2}{5}\),
\(\therefore P(\bar{A})=1-A=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}\).
故答案为:\(\dfrac{3}{5}\). - 答案 \(\dfrac{64}{127}\)
解析 由题意知:本公用电话亭每次不超过\(7\)人正在使用电话或等待使用,
\(\therefore\)“有\(0\)、\(1\)、\(2\)、\(3\)、\(4\)、\(5\)、\(6\)个人正在使用电话或等待使用”是必然事件,
\(\therefore\)随机变量\(n\)的值可取\(0\)、\(1\)、\(2\)、\(3\)、\(4\)、\(5\)、\(6\),
即\(p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)=1\),
\(\therefore p(0)+\dfrac{1}{2} p(0)+\dfrac{1}{4} p(0)+\dfrac{1}{8} p(0)+\dfrac{1}{16} p(0)+\dfrac{1}{32} p(0)+\dfrac{1}{64} p(0)=1\),
\(\therefore p(0)=\dfrac{64}{127}\),
故答案为:\(\dfrac{64}{127}\). - 答案 (1) \(\dfrac{11}{15}\) ;(2) \(\dfrac{4}{15}\);(3) \(\dfrac{17}{20}\);(4) \(\dfrac{3}{20}\) ;(5)\(\dfrac{7}{20}\).
解析 (1)\(A\)与\(B\)至少有一个发生的概率为\(P(A)+P(B)-P(AB)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{10}=\dfrac{11}{15}\),
(2)\(A\)与\(B\)均不发生的概率为\(1-\dfrac{11}{15}=\dfrac{4}{15}\),
(3)\(A\)、\(B\)、\(C\)至少有一个发生的概率为
\(P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)\)
\(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{15}-\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{30}=\dfrac{51}{60}=\dfrac{17}{20}\),
(4)\(A\)、\(B\)、\(C\)均不发生的概率为\(1-\dfrac{17}{20}=\dfrac{3}{20}\),
(5)\(C\)发生而\(A\)、\(B\)均不发生的概率为\(P(C\bar{A} \bar{B} )=P(\bar{A} \bar{B} )=P(\bar{C} \bar{A} \bar{B} )=\dfrac{4}{15}-\dfrac{3}{20}=\dfrac{7}{60}\),
\(C\)发生或者\(A\)、\(B\)均不发生的概率为\(P(\bar{A} \bar{B} \cup C)=P(\bar{A} \bar{B} )+P(C)-P(C\bar{A} \bar{B} ) =\dfrac{4}{15}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{7}{60}=\dfrac{7}{20}\).
分层练习
【A组---基础题】
1.甲、乙两人下中国象棋,两人下成和棋的概率为\(\dfrac{1}{2}\),乙获胜的概率为\(\dfrac{1}{4}\),则甲不输的概率为( )
A.\(\dfrac{3}{4}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(\dfrac{1}{4}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C. \(\dfrac{1}{8}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(\dfrac{1}{2}\)
2.已知一次试验,事件\(A\)与事件\(B\)不能同时发生且\(A\),\(B\)至少有一个发生,又事件\(A\)与事件\(C\)不能同时发生.若\(P(B)=0.6\),\(P(C)=0.2\),则\(P(A\cup C)=\)( )
A.\(0.6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(0.5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(0.4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(0.3\)
3.某射手在一次射击中,射中\(10\)环,\(9\)环,\(8\)环的概率分别是\(0.20\),\(0.30\),\(0.10\),则该射手在一次射击中不够\(8\)环的概率为( )
A.\(0.90\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(0.30\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(0.60\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(0.40\)
4.如果事件\(A\)与\(B\)是互斥事件,且事件\(A+B\)的概率是\(0.8\),事件\(A\)的概率是事件\(B\)的概率的\(3\)倍,则事件\(A\)的概率为( )
A.\(0.2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(0.4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(0.6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D .\(0.7\)
5.已知一次试验,事件\(A\)与事件\(B\)不能同时发生且\(A\),\(B\)至少有一个发生,又事件\(A\)与事件\(C\)不能同时发生.若\(P(B)=0.6\),\(P(C)=0.2\),则\(P(A\cup C)=\)( )
A.\(0.6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(0.5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(0.4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(0.3\)
6.下列说法是正确的有( )个.
(1)若事件\(A\),\(B\)满足\(P(A)+P(B)=1\);则\(A\)与\(B\)是对立事件;
(2)\(A\)、\(B\)是两个概率大于\(0\)的随机事件\(P(A)+P(B)\leq 1\);
(3)事件\(A\)与事件\(B\)中至少有一个发生的概率一定比\(A\)与\(B\)中恰有一个发生的概率大;
(4)事件\(A\)与事件\(B\)同时发生的概率一定比\(A\)与\(B\)中恰有一个发生的概率小;
(5)若事件\(A\),\(B\),\(C\)彼此互斥,则\(P(A)+P(B)+P(C)=1\).
A. \(0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(3\)
7.若随机事件\(A\),\(B\)互斥,\(A\),\(B\)发生的概率均不等于\(0\),且\(P(A)=2-a\),\(P(B)=4a-5\),则实数\(a\)的取值范围是 \(\underline{\quad \quad}\).
8.如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ 构成,射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为\(0.25\)、\(0.20\)、\(0.35\),则不命中靶的概率是\(\underline{\quad \quad}\).
9.已知三个事件\(A\),\(B\),\(C\)两两互斥且\(P(A)=0.3\),\(P(\bar{B} )=0.6\),\(P(C)=0.2\),则\(P(A\cup B\cup C)=\) \(\underline{\quad \quad}\).
10.掷一枚质地均匀的骰子,观察出现的点数,设“出现\(3\)点”、“出现\(6\)点”分别为事件\(A\)、\(B\),已知\(P(A)=P(B)=\dfrac{1}{6}\),则出现点数为\(3\)的倍数的概率为\(\underline{\quad \quad}\).
11.设事件\(A\)的对立事件为\(B\),已知事件\(B\)的概率是事件\(A\)的概率的\(2\)倍,则事件\(A\)的概率是\(\underline{\quad \quad}\).
12.向三个相邻的军火库投一枚炸弹,炸中第一军火库的概率为\(0.025\),炸中第二、三军火库的概率均为\(0.1\),只要炸中一个,另两个也会发生爆炸,求军火库爆炸的概率.
13.根据某省的高考改革方案,考生应在\(3\)门理科学科(物理、化学、生物)和\(3\)门文科学科(历史、政治、地理)的\(6\)门学科中选择\(3\)门学科参加考试,根据以往统计资料,\(1\)位同学选择生物的概率为\(0.5\),选择物理但不选择生物的概率为\(0.2\),考生选择各门学科是相互独立的.
(1)求1位考生至少选择生物,物理两门学科中的\(1\)门的概率;
(2)某校高二\(400\)名学生中,选择生物但不选择物理的人数为\(140\),求\(1\)位考生同时选择生物、物理两门学科的概率.
参考答案
-
答案 \(A\)
解析 甲、乙两人下中国象棋,两人下成和棋的概率为\(\dfrac{1}{2}\),乙获胜的概率为\(\dfrac{1}{4}\),
则甲不输的概率为\(P=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\).
故选:\(A\). -
答案 \(A\)
解析 一次试验,事件\(A\)与事件\(B\)不能同时发生且\(A\),\(B\)至少有一个发生,
事件\(A\)与事件\(C\)不能同时发生.\(P(B)=0.6\),\(P(C)=0.2\),
\(\therefore P(A)=1-P(B)=0.4\),
则\(P(A\cup C)=P(A)+P(C)=0.4+0.2=0.6\).
故选:\(A\). -
答案 \(D\)
解析 由题意知射手在一次射击中不够\(8\)环的对立事件是射手在一次射击中不小于\(8\)环,
\(\because\)射手在一次射击中不小于\(8\)环包括击中\(8\)环,\(9\)环,\(10\)环,这三个事件是互斥的,
\(\therefore\)射手在一次射击中不小于\(8\)环的概率是\(0.20+0.30+0.10=0.60\),
\(\therefore\)射手在一次射击中不够\(8\)环的概率是\(1-0.60=0.40\),
故选:\(D\). -
答案 \(C\)
解析 事件\(A\)与\(B\)是互斥事件,且事件\(A+B\)的概率是\(0.8\),事件\(A\)的概率是事件\(B\)的概率的\(3\)倍,
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} P(A)+P(B)=0.8 \\ P(A)=3 P(B) \end{array}\right.\),解得\(P(A)=0.6\).
故选:\(C\). -
答案 \(A\)
解析 一次试验,事件\(A\)与事件\(B\)不能同时发生且\(A\),\(B\)至少有一个发生,
事件\(A\)与事件\(C\)不能同时发生.\(P(B)=0.6\),\(P(C)=0.2\),
\(\therefore P(A)=1-P(B)=0.4\),
则\(P(A\cup C)=P(A)+P(C)=0.4+0.2=0.6\).
故选:\(A\). -
答案 \(A\)
解析 以抛掷一个骰子为例,
(1)若事件\(A=\{\)出现点数不超过\(4\}\),\(B=\{\)出现点数不超过\(2\}\),
则\(P(A)+P(B)=1\),但\(A\)与\(B\)不是对立事件;
故说法不正确;
(2)若事件\(A=\{\)出现点数不超过\(4\}\)\(B=\{\)出现点数不小于\(3\}\),
则\(P(A)=\dfrac{2}{3}\),\(P(B)=\dfrac{2}{3}\),
则\(P(A)+P(B)>1\);
故说法不正确;
(3)若事件\(A=\{\)出现点数不超过\(2\}\),\(B=\{\)出现点数不小于\(5\}\),
则事件\(A\)与事件\(B\)中至少有一个发生的概率\(P=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\);
\(A\)与\(B\)中恰有一个发生的概率\(P=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\);
故说法不正确;
(4)若事件\(A=\{\)出现点数不超过\(4\}\),\(B=\{\)出现点数不超过\(3\}\),
则事件\(A\)与事件\(B\)同时发生的概率\(=P(B)=\dfrac{1}{2}\),
\(A\)与\(B\)中恰有一个发生的概率\(P=\dfrac{1}{6}\),
故说法不正确;
(5)若事件\(A=\{\)出现\(1\)点\(\}\),\(B=\{\)出现\(2\)点\(\}\),\(C=\{\)出现\(3\)点\(\}\),
则事件\(A\),\(B\),\(C\)彼此互斥,
但\(P(A)+P(B)+P(C)=\dfrac{1}{2}\);
故说法不正确;
故选:\(A\). -
答案 \(\left(\dfrac{5}{4}, \dfrac{4}{3}\right]\)
解析 \(\because\)随机事件\(A\)、\(B\)互斥,\(A\)、\(B\)发生的概率均不等于于\(0\),且\(P(A)=2-a\),\(P(B)=4a-5\),
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} 0<P(A)<1 \\ 0<P(B)<1 \\ P(A)+P(B) \leqslant 1 \end{array}\right.\),
即 \(\left\{\begin{array}{l} 0<2-a<1 \\ 0<4 a-5<1 \\ 3 a-3 \leqslant 1 \end{array}\right.\),解得:\(\dfrac{5}{4}<a \leqslant \dfrac{4}{3}\),
故答案为: \(\left(\dfrac{5}{4}, \dfrac{4}{3}\right]\). -
答案 \(0.2\)
解析 由题意知,射手命中的概率为\(0.25+0.20+0.35=0.8\),
又由射手命中靶与不命中靶为对立事件,故不命中靶的概率是\(1-0.8=0.2\),
故答案为\(0.2\). -
答案 \(0.9\)
解析 三个事件\(A\),\(B\),\(C\)两两互斥,
\(P(\bar{B} )=0.6\),可得\(P(B)=1-0.6=0.4\),
则\(P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.3+0.4+0.2=0.9\).
故答案为:\(0.9\). -
答案 \(\dfrac{1}{3}\)
解析 由于若设“出现\(3\)点”、“出现\(6\)点”分别为事件\(A\)、\(B\),
则事件\(A\),\(B\)为互斥事件,又由\(P(A)=P(B)=\dfrac{1}{6}\),
则出现点数为\(3\)的倍数的概率为\(P(A+B)=P(A)+P(B)=\dfrac{1}{3}\),
故答案为\(\dfrac{1}{3}\). -
答案 \(\dfrac{1}{3}\)
解析 由条件可知\(P(B)=2P(A)\),又\(P(A)+P(B)=1\),
所以\(P(A)+2P(A)=1\),则\(P(A)=\dfrac{1}{3}\). -
答案 \(0.225\).
解析 设\(A\)、\(B\)、\(C\)分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件,\(D\)表示军火库爆炸,
则\(P(A)=0.025\),\(P(B)=0.1\),\(P(C)=0.1\),其中\(A\)、\(B\)、\(C\)互斥,
故\(P(D)=P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225\). -
答案 (1) \(0.7\);(2) \(0.15\)
解析 (1)设事件\(A\)表示“考生选择生物学科”,事件\(B\)表示“考生选择物理但不选择生物学科”,
事件\(C\)表示“考生至少选择生物、物理两门学科中的\(1\)门学科”,
则\(P(A)=0.5\),\(P(B)=0.2\),\(C=A\cup B\),\(A\cap B=∅\),
\(\therefore 1\)位考生至少选择生物,物理两门学科中的\(1\)门的概率:
\(P(C)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7\).
(2)设事件\(D\)表示“选择生物但不选择物理”,事件\(E\)表示“同时选择生物、物理两门学科”,
\(\because\)某校高二\(400\)名学生中,选择生物但不选择物理的人数为\(140\),
\(\therefore P(D)=\dfrac{140}{400}=0.35\),
\(\because D\cup E=A\),
\(\therefore 1\)位考生同时选择生物、物理两门学科的概率:
\(P(E)=P(A)-P(D)=0.5-0.35=0.15\).
【B组---提高题】
1.袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共\(7\)个,其中白球\(3\)个,现有甲、乙两人从袋中轮流摸球,甲先取,乙后取,然后甲再取, ...,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.
(1) 求取球\(2\)次即终止的概率,
(2) 求甲取到白球的概率.
参考答案
- 答案 (1) \(\dfrac{2}{7}\) ;(2)\(\dfrac{2 2}{35}\)
解析 (1)设事件\(A\)为取球\(2\)次即终止即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球,
借助树状图求出相应事件的样本点数:
因此 \(P(A)=\dfrac{4 \times 3}{7 \times 6}=\dfrac{2}{7}\),
(2)设事件\(B\)为甲取到白球,第次取到白球为事件\(i=1,2,3,4,5\),
因为甲先取,所以甲只可能在第\(1\)次,第\(3\)次和第\(5\)次取到白球借助树状图求出相应事件的样本点数,
所以\(P(B)=P(A_1\cup A_3\cup A_s )=P(A_1 )+P(A_3 )+P(A_5 )\)
\(=\dfrac{3}{7}+\dfrac{4 \times 3 \times 3}{7 \times 6 \times 5}+\dfrac{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 3}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3}=\dfrac{3}{7}+\dfrac{6}{35}+\dfrac{1}{35}=\dfrac{22}{35}\).