10.1.4 概率的基本性质

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[【基础过关系列】高一数学同步精品讲义与分层练习 (人教 A 版 2019）]
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必修第二册同步巩固，难度 2 颗星！

基础知识

性质 1 对任意事件 $A$，都有 $P(A)\geq 0$；
性质 2 必然事件的概率为 $1$，不可能事件的概率为 $0$；
性质 3 若事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥时，则 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$；
推广 如果事件 $A_1$，$A_2$，⋯，$A_m$ 两两互斥，那么事件 $A_1\cup A_2\cup ⋯\cup A_m$ 发生的概率等于这 $m$ 个 事件分别发生的概率之和，即 $P(A_1\cup A_2\cup ⋯\cup A_m )=P(A_1 )+P(A_2 )+⋯+P(A_m )$
性质 4 若事件 $A$ 与事件 $B$ 互为对立事件，则 $P(B)=1-P(A)$，$P(A)=1-P(B)$；
证明 若事件 $A$ 与事件 $B$ 互为对立事件，则事件 $A\cup B$ 是必然事件，即 $P(A\cup B)=1$，
则 $P(B)+P(A)=1$.
性质 5 如果 $A\subseteq B$，那么 $P(A)\leq P(B)$；
证明 在古典概型中，对于事件 $A$ 与事件 $B$，如果 $A\subseteq B$，那么 $n(A)\leq n(B)$，
所以 $\dfrac{n(A)}{n(\Omega)} \leqslant \dfrac{n(B)}{n(\Omega)}$，即 $P(A)\leq P(B)$.
性质 6 设 $A$ ，$B$ 是一个随机试验中的两个事件，有 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
性质 $3$ 是性质 $6$ 的特殊情况.
 

基本方法

【题型1】 互斥事件的概率

【典题 1】 已知事件 $A$ 与事件 $B$ 是互斥事件，则 (　　)
  A．$P(\bar{A} \cap \bar{B} )=0$ $\qquad$ B．$P(A\cap B)=P(A)P(B)$ $\qquad$ C．$P(A)=1-P(B)$ $\qquad$ D．$P(\bar{A} \cup \bar{B} )=1$
解析 事件 $A$ 与事件 $B$ 是互斥事件，
对于 $A$，$P(A\cap B)=0$，故 $A$ 错误；
对于 $B$，$P(A\cap B)=0$，故 $B$ 错误；
对于 $C$，$P(A)\leq 1-P(B)$，故 $C$ 错误；
对于 $D$，$P(\bar{A} \cup \bar{B} )=P(Ω)=1$，故 $D$ 正确．
故选：$D$．
 

【典题 2】 袋中有 $12$ 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是 $\dfrac{1}{3}$，得到黑球或黄球的概率是 $\dfrac{5}{12}$，得到黄球或绿球的概率也是 $\dfrac{5}{12}$，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
解析 从袋中任取一球，记事件 “得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球” 分别为 $A$，$B$，$C$，$D$，
则 $P(A)=\dfrac{1}{3}$，$P(B\cup C)=P(B)+P(C)=\dfrac{5}{12}$，
$P(C\cup D)=P(C)+P(D)=\dfrac{5}{12}$，
$P(B\cup C\cup D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$，
解 $\left\{\begin{array}{c} P(B)+P(C)=\dfrac{5}{12} \\ P(C)+P(D)=\dfrac{5}{12} \\ P(B)+P(C)+P(D)=\dfrac{2}{3} \end{array}\right.$，
得 $P(B)=\dfrac{1}{4}$， $P(C)=\dfrac{1}{6}$， $P(D)=\dfrac{1}{4}$，
即得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为 $\dfrac{1}{4}$，$\dfrac{1}{6}$， $\dfrac{1}{4}$.
 

【巩固练习】

1. 若 $A$、$B$ 是互斥事件，$P(A)=0.2$，$P(A\cup B)=0.5$，则 $P(B)=$(　　)
  A．$0.3$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$0.7$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$0.1$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$1$
 

2. 已知 $P(A)=0.5$，$P(B)=0.3$，如果 $P(AB)=0$，那么 $P(A\cup B)$ 等于 (　　)
  A．$0.8$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$B．$0.5$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$0.3$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$0.2$
 

3. 在投掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是 $\dfrac{1}{6}$．事件 $A$ 表示 “小于 $5$ 的偶数点出现”，事件 $B$ 表示 “小于 $5$ 的点数出现”，则一次试验中，事件 $A\cup \bar{B}$ 发生的概率是 (　　)
  A．$\dfrac{1}{3}$$\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{1}{2}$$\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{2}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D ．$\dfrac{5}{6}$
 

4. 某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品按质量标准分为一等品、二等品、不合格品．从这批产品中随机抽取一个进行检测，设抽到一等品或二等品的概率为 $0.95$，抽到二等品或不合格品的概率为 $0.25$，则抽到二等品的概率为 (　　)
  A．$0.05$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$B．$0.1$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$0.15$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$0.2$
 

5. 已知事件 $A$，$B$，$C$ 两两互斥，若 $P(A)=\dfrac{1}{5}$，$P(C)=\dfrac{1}{3}$，$P(A\cup B)=\dfrac{8}{15}$，则 $P(B\cup C)=$ $\underline{\quad \quad}$ .
 

6. 一个咖啡馆供应主菜、主食和甜点三类食物，可能的选择见表，客人在每个种类中选择一种．

种类	选择
主菜	鸡肉或烤牛肉
主食	面、米饭或土豆
甜点	冰淇淋、果冻、苹果酱或桃子

  (Ⅰ) 样本空间里一共有多少种结果？
  (Ⅱ) 令 $A$ 表示 “选择冰淇淋”，$B$ 表示 “选了米饭”．
  (ⅰ) 列举事件 $AB$ 中的样本点； $\qquad \qquad$(ⅱ) 求 $P(A+B)$．
 
 
 

参考答案

1. 答案 $A$
   解析 $\because$ 随机事件 $A$、$B$ 是互斥事件，
   $\therefore P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0.5$，
   $\because P(A)=0.2$，
   $\therefore P(B)=0.5-0.2=0.3$，
   故选：$A$．

2. 答案 $A$
   解析 因为 $P(A)=0.5$，$P(B)=0.3$，如果 $P(AB)=0$，
   所以 $P(A\cup B)=0.5+0.3=0.8$．
   故选：$A$．

3. 答案 $C$
   解析 由题意可知 $\bar{B}$ 表示 “大于或等于 $5$ 的点数出现”，事件 $A$ 与事件 $\bar{B}$ 互斥．
   由概率的加法公式可得 $P(A+\bar{B} )=P(A)+P(\bar{B} )=\dfrac{2}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{2}{3}$．
   故选：$C$．

4. 答案 $D$
   解析 设事件 $A=$“抽到一等品 “，事件 $B=$“抽到二等品”，事件 $C=$“抽到不合格品”，
   则 $A$，$B$，$C$ 两两互斥，
   由题意知，$P(A\cup B\cup C)=1$，$P(A\cup B)=0.95$，$P(B\cup C)=0.25$，
   所以 $\left\{\begin{array}{l} P(A)+P(B)+P(C)=1 \\ P(A)+P(B)=0.95 \\ P(B)+P(C)=0.25 \end{array}\right.$，解得 $P(B)=0.2$．
   故选：$D$．

5. 答案 $\dfrac{2}{3}$
   解析 因为事件 $A$，$B$，$C$ 两两互斥，
   所以 $P(B)=P(A\cup B)-P(A)=\dfrac{8}{15}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{3}$，
   所以 $P(B\cup C)=P(B)+P(C)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$.

6. 答案 (Ⅰ) $24$； (Ⅱ) (ⅰ) $\{$ 鸡肉，$A$，$B\}$，$\{$ 烤牛肉，$A$，$B\}$ (ⅱ) $\dfrac{1}{2}$
   解析 (Ⅰ) 根据表格中的数据，可得主菜有 $2$ 种，主食有 $3$ 种，甜点有 $4$ 种，
   客人在每个种类中选择一种，根据分步计数原理，共有 $2×3×4=24$ 种不同的结果
   (Ⅱ)(i) 事件 $AB$ 中的样本点为 $\{$ 鸡肉，$A$，$B\}$，$\{$ 烤牛肉，$A$，$B\}$；
   (ⅱ)$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{2}$．
    

【题型2】 对立事件的概率

【典题 1】 (多选) 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 $\dfrac{1}{2}$，甲获胜的概率是 $\dfrac{1}{5}$，下面结论正确的是 (　　)
  A．甲不输的概率 $\dfrac{7}{10}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．乙不输的概率 $\dfrac{4}{5}$
  C．乙获胜的概率 $\dfrac{3}{10}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．乙输的概率 $\dfrac{1}{5}$
解析 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 $\dfrac{1}{2}$，甲获胜的概率是 $\dfrac{1}{5}$，
对于 $A$，甲不输的概率为：$P=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{7}{10}$，故 $A$ 正确；
对于 $B$，乙不输的概率为：$P=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}$，故 $B$ 正确；
对于 $C$，乙获胜的概率为：$P=1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{10}$，故 $C$ 正确；
对于 $D$，乙输的概率就是甲胜的概率，$\therefore$ 乙输的概率为：$P=\dfrac{1}{5}$，故 $D$ 正确．
故选：$ABCD$．
 

【巩固练习】

1. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出 $1$ 个球，摸出红球的概率是 $0.42$，摸出白球的概率是 $0.28$，那么摸出黑球的概率是 (　　)
  A．$0.42$　 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$0.28$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$0.3$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$0.7$
 

2. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 $A=\{$ 抽到一等品 $\}$，事件 $B=\{$ 抽到二等品 $\}$，事件 $C=\{$ 抽到三等品 $\}$，且已知 $P(A)=0.7$，$P(B)=0.15$，$P(C)=0.1$，则事件 “抽到的不是一等品” 的概率为 (　　)
  A．$0.35$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$0.65$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$0.7$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$0.3$
 

3. 已知事件 $A$ 与事件 $B$ 是互斥事件，则 (　　)
 A．$P(\bar{A} +\bar{B} )=0$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$P(A+B)=P(A)P(B)$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$
 C．$P(A)=1-P(B)$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$P(\bar{A} +\bar{B} )=1$
 

4. 事件 $A$，$B$ 互斥，它们都不发生的概率为 $\dfrac{2}{5}$，且 $P(A)=2P(B)$，则 $P(\bar{A} )=$ $\underline{\quad \quad}$，$P(\bar{B} )=$ $\underline{\quad \quad}$ .
 

5. 事件 $A$，$B$ 互斥，它们都不发生的概率为 $\dfrac{2}{5}$，且 $P(A)=2P(B)$，则 $P(\bar{A})=$$\underline{\quad \quad}$．
 

6. 有一个公用电话亭，里面有一部电话，在观察使用这部电话的人的流量时，设在某一时刻，有 $n$ 个人正在使用电话或等待使用的概率为 $P(n)$，且 $P(n)$ 与时刻 $t$ 无关，统计得到 $P(n)=\left\{\begin{array}{l} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \cdot P(0)， \quad 1 \leq n \leq 6 \\ 0， n \geq 7 \end{array}\right.$，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率 $P(0)$ 的值是 $\underline{\quad \quad}$ ．
 

7. 已知事件 $A$ 发生的概率为 $0.5$，$B$ 发生的概率为 $\dfrac{1}{3}$，$C$ 发生的概率为 $\dfrac{1}{5}$，$P(AB)=\dfrac{1}{10}$，$P(AC)=\dfrac{1}{15}$，$P(BC)=\dfrac{1}{20}$，$P(ABC)=\dfrac{1}{30}$．试求：
  (1)$A$ 与 $B$ 至少有一个发生的概率；
  (2)$A$ 与 $B$ 均不发生的概率；
  (3)$A$、$B$、$C$ 至少有一个发生的概率；
  (4)$A$、$B$、$C$ 均不发生的概率；
  (5)$C$ 发生而 $A$、$B$ 均不发生的概率；$C$ 发生或者 $A$、$B$ 均不发生的概率．
 
 
 

参考答案

1. 答案 $C$
   解析 摸出红球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率是 $1-0.42-0.28=0.3$.
2. 答案 $D$
   解析 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 $A=\{$ 抽到一等品 $\}$，事件 $B=\{$ 抽到二等品 $\}$，事件 $C=\{$ 抽到三等品 $\}$，
   $P(A)=0.7$，$P(B)=0.15$，$P(C)=0.1$，
   则事件 “抽到的不是一等品” 的概率为： $P(\overline{A})=1-P(A)=1-0.7=0.3$．
   故选：$D$．
3. 答案 $D$
   解析 对于 $AD$，$\because$ 事件 $A$ 与事件 $B$ 是互斥事件，
   $\therefore \bar{A} +\bar{B}$ 是必然事件，$\therefore P(\bar{A} +\bar{B} )=1$，故 $A$ 错误，$D$ 正确；
   对于 $B$，$\because$ 互斥的两个事件不一定是独立事件，
   如抛掷一枚骰子，令事件 $A$ 为 $1$ 朝上，事件 $B$ 为 $2$ 朝上，
   则 $P(A)=P(B)=\dfrac{1}{6}$，则 $P(A+B)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$，$P(A)P(B)=\dfrac{1}{36}$，
   $\therefore P(A+B)=P(A)P(B)$ 不一定成立，故 $B$ 错误；
   对于 $C$，$\because$ 互斥两个事件不一定是对立事件，
   如抛掷一枚骰子，令事件 $A$ 为 $1$ 朝上，事件 $B$ 为 $2$ 朝上，
   则 $P(A)=P(B)=\dfrac{1}{6}$，$P(A)≠1-P(B)$，
   $\therefore P(A)=1-P(B)$，故 $C$ 错误．
   故选：$D$．
4. 答案 $\dfrac{3}{5}$，$\dfrac{4}{5}$
   解析 由题意得，事件 $A$，$B$ 互斥，它们都不发生的概率为 $\dfrac{2}{5}$，
   则 $P(A)+P(B)=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}$，
   $\because P(A)=2P(B)$，
   $\therefore P(A)=\dfrac{2}{5}$，$P(B)=\dfrac{1}{5}$
   $\therefore P(\bar{A} )=1-P(A)=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}$，$P(\bar{B} )=1-P(B)=\dfrac{4}{5}$.
   故答案为：$\dfrac{3}{5}$，$\dfrac{4}{5}$.
5. 答案 $\dfrac{3}{5}$
   解析 $\because$ 事件 $A$，$B$ 互斥，$∴P(AB)=0$
   $\because$ 它们都不发生的概率为 $\dfrac{2}{5}$，
   $\therefore [1-P(A)][1-P(B)]=\dfrac{2}{5}$，
   $\therefore 1-P(A)-P(B)+P(AB)=1-2P(B)-P(B)=\dfrac{2}{5}$，解得 $P(B)=\dfrac{1}{5}$，
   $\therefore P(A)=2P(B)=\dfrac{2}{5}$，
   $\therefore P(\bar{A})=1-A=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}$．
   故答案为：$\dfrac{3}{5}$．
6. 答案 $\dfrac{64}{127}$
   解析 由题意知：本公用电话亭每次不超过 $7$ 人正在使用电话或等待使用，
   $\therefore$“有 $0$、$1$、$2$、$3$、$4$、$5$、$6$ 个人正在使用电话或等待使用” 是必然事件，
   $\therefore$ 随机变量 $n$ 的值可取 $0$、$1$、$2$、$3$、$4$、$5$、$6$，
   即 $p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)=1$，
   $\therefore p(0)+\dfrac{1}{2} p(0)+\dfrac{1}{4} p(0)+\dfrac{1}{8} p(0)+\dfrac{1}{16} p(0)+\dfrac{1}{32} p(0)+\dfrac{1}{64} p(0)=1$，
   $\therefore p(0)=\dfrac{64}{127}$，
   故答案为：$\dfrac{64}{127}$．
7. 答案 (1) $\dfrac{11}{15}$ ；(2) $\dfrac{4}{15}$；(3) $\dfrac{17}{20}$；(4) $\dfrac{3}{20}$ ；(5)$\dfrac{7}{20}$.
   解析 (1)$A$ 与 $B$ 至少有一个发生的概率为 $P(A)+P(B)-P(AB)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{10}=\dfrac{11}{15}$，
   (2)$A$ 与 $B$ 均不发生的概率为 $1-\dfrac{11}{15}=\dfrac{4}{15}$，
   (3)$A$、$B$、$C$ 至少有一个发生的概率为
   $P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$
   $=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{15}-\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{30}=\dfrac{51}{60}=\dfrac{17}{20}$，
   (4)$A$、$B$、$C$ 均不发生的概率为 $1-\dfrac{17}{20}=\dfrac{3}{20}$，
   (5)$C$ 发生而 $A$、$B$ 均不发生的概率为 $P(C\bar{A} \bar{B} )=P(\bar{A} \bar{B} )=P(\bar{C} \bar{A} \bar{B} )=\dfrac{4}{15}-\dfrac{3}{20}=\dfrac{7}{60}$，
   $C$ 发生或者 $A$、$B$ 均不发生的概率为 $P(\bar{A} \bar{B} \cup C)=P(\bar{A} \bar{B} )+P(C)-P(C\bar{A} \bar{B} ) =\dfrac{4}{15}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{7}{60}=\dfrac{7}{20}$.
    

分层练习

【A组---基础题】

1. 甲、乙两人下中国象棋，两人下成和棋的概率为 $\dfrac{1}{2}$，乙获胜的概率为 $\dfrac{1}{4}$，则甲不输的概率为 (　　)
  A．$\dfrac{3}{4}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{1}{4}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C． $\dfrac{1}{8}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{1}{2}$
 

2. 已知一次试验，事件 $A$ 与事件 $B$ 不能同时发生且 $A$，$B$ 至少有一个发生，又事件 $A$ 与事件 $C$ 不能同时发生．若 $P(B)=0.6$，$P(C)=0.2$，则 $P(A\cup C)=$(　　)
  A．$0.6$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$0.5$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$0.4$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$0.3$
 

3. 某射手在一次射击中，射中 $10$ 环，$9$ 环，$8$ 环的概率分别是 $0.20$，$0.30$，$0.10$，则该射手在一次射击中不够 $8$ 环的概率为 (　　)
  A．$0.90$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$0.30$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$0.60$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$0.40$
 

4. 如果事件 $A$ 与 $B$ 是互斥事件，且事件 $A+B$ 的概率是 $0.8$，事件 $A$ 的概率是事件 $B$ 的概率的 $3$ 倍，则事件 $A$ 的概率为 (　　)
  A．$0.2$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$0.4$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$0.6$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D ．$0.7$
 

5. 已知一次试验，事件 $A$ 与事件 $B$ 不能同时发生且 $A$，$B$ 至少有一个发生，又事件 $A$ 与事件 $C$ 不能同时发生．若 $P(B)=0.6$，$P(C)=0.2$，则 $P(A\cup C)=$(　　)　
  A．$0.6$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$0.5$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$0.4$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$0.3$
 

6. 下列说法是正确的有 (　　) 个．
(1) 若事件 $A$，$B$ 满足 $P(A)+P(B)=1$；则 $A$ 与 $B$ 是对立事件；
(2)$A$、$B$ 是两个概率大于 $0$ 的随机事件 $P(A)+P(B)\leq 1$；
(3) 事件 $A$ 与事件 $B$ 中至少有一个发生的概率一定比 $A$ 与 $B$ 中恰有一个发生的概率大；
(4) 事件 $A$ 与事件 $B$ 同时发生的概率一定比 $A$ 与 $B$ 中恰有一个发生的概率小；
(5) 若事件 $A$，$B$，$C$ 彼此互斥，则 $P(A)+P(B)+P(C)=1$．
  A. $0$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B.$1$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C.$2$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D.$3$
 

7. 若随机事件 $A$，$B$ 互斥，$A$，$B$ 发生的概率均不等于 $0$，且 $P(A)=2-a$，$P(B)=4a-5$，则实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$．
 

8. 如图所示，靶子由一个中心圆面 Ⅰ 和两个同心圆环 Ⅱ、Ⅲ 构成，射手命中 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 的概率分别为 $0.25$、$0.20$、$0.35$，则不命中靶的概率是 $\underline{\quad \quad}$．

 

9. 已知三个事件 $A$，$B$，$C$ 两两互斥且 $P(A)=0.3$，$P(\bar{B} )=0.6$，$P(C)=0.2$，则 $P(A\cup B\cup C)=$ $\underline{\quad \quad}$．
 

10. 掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数，设 “出现 $3$ 点”、“出现 $6$ 点” 分别为事件 $A$、$B$，已知 $P(A)=P(B)=\dfrac{1}{6}$，则出现点数为 $3$ 的倍数的概率为 $\underline{\quad \quad}$．
 

11. 设事件 $A$ 的对立事件为 $B$，已知事件 $B$ 的概率是事件 $A$ 的概率的 $2$ 倍，则事件 $A$ 的概率是 $\underline{\quad \quad}$．
 

12. 向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一军火库的概率为 $0.025$，炸中第二、三军火库的概率均为 $0.1$，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，求军火库爆炸的概率．
 
 

13. 根据某省的高考改革方案，考生应在 $3$ 门理科学科 (物理、化学、生物) 和 $3$ 门文科学科 (历史、政治、地理) 的 $6$ 门学科中选择 $3$ 门学科参加考试，根据以往统计资料，$1$ 位同学选择生物的概率为 $0.5$，选择物理但不选择生物的概率为 $0.2$，考生选择各门学科是相互独立的．
  (1) 求 1 位考生至少选择生物，物理两门学科中的 $1$ 门的概率；
  (2) 某校高二 $400$ 名学生中，选择生物但不选择物理的人数为 $140$，求 $1$ 位考生同时选择生物、物理两门学科的概率．
 
 
 

参考答案

1. 答案 $A$
   解析 甲、乙两人下中国象棋，两人下成和棋的概率为 $\dfrac{1}{2}$，乙获胜的概率为 $\dfrac{1}{4}$，
   则甲不输的概率为 $P=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$．
   故选：$A$．

2. 答案 $A$
   解析 一次试验，事件 $A$ 与事件 $B$ 不能同时发生且 $A$，$B$ 至少有一个发生，
   事件 $A$ 与事件 $C$ 不能同时发生．$P(B)=0.6$，$P(C)=0.2$，
   $\therefore P(A)=1-P(B)=0.4$，
   则 $P(A\cup C)=P(A)+P(C)=0.4+0.2=0.6$．
   故选：$A$．

3. 答案 $D$
   解析 由题意知射手在一次射击中不够 $8$ 环的对立事件是射手在一次射击中不小于 $8$ 环，
   $\because$ 射手在一次射击中不小于 $8$ 环包括击中 $8$ 环，$9$ 环，$10$ 环，这三个事件是互斥的，
   $\therefore$ 射手在一次射击中不小于 $8$ 环的概率是 $0.20+0.30+0.10=0.60$，
   $\therefore$ 射手在一次射击中不够 $8$ 环的概率是 $1-0.60=0.40$，
   故选：$D$．

4. 答案 $C$
   解析 事件 $A$ 与 $B$ 是互斥事件，且事件 $A+B$ 的概率是 $0.8$，事件 $A$ 的概率是事件 $B$ 的概率的 $3$ 倍，
   $\therefore\left\{\begin{array}{l} P(A)+P(B)=0.8 \\ P(A)=3 P(B) \end{array}\right.$，解得 $P(A)=0.6$．
   故选：$C$．

5. 答案 $A$
   解析 一次试验，事件 $A$ 与事件 $B$ 不能同时发生且 $A$，$B$ 至少有一个发生，
   事件 $A$ 与事件 $C$ 不能同时发生．$P(B)=0.6$，$P(C)=0.2$，
   $\therefore P(A)=1-P(B)=0.4$，
   则 $P(A\cup C)=P(A)+P(C)=0.4+0.2=0.6$．
   故选：$A$．

6. 答案 $A$
   解析 以抛掷一个骰子为例，
   (1) 若事件 $A=\{$ 出现点数不超过 $4\}$，$B=\{$ 出现点数不超过 $2\}$，
   则 $P(A)+P(B)=1$，但 $A$ 与 $B$ 不是对立事件；
   故说法不正确；
   (2) 若事件 $A=\{$ 出现点数不超过 $4\}$$B=\{$ 出现点数不小于 $3\}$，
   则 $P(A)=\dfrac{2}{3}$，$P(B)=\dfrac{2}{3}$，
   则 $P(A)+P(B)>1$；
   故说法不正确；
   (3) 若事件 $A=\{$ 出现点数不超过 $2\}$，$B=\{$ 出现点数不小于 $5\}$，
   则事件 $A$ 与事件 $B$ 中至少有一个发生的概率 $P=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$；
   $A$ 与 $B$ 中恰有一个发生的概率 $P=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$；
   故说法不正确；
   (4) 若事件 $A=\{$ 出现点数不超过 $4\}$，$B=\{$ 出现点数不超过 $3\}$，
   则事件 $A$ 与事件 $B$ 同时发生的概率 $=P(B)=\dfrac{1}{2}$，
   $A$ 与 $B$ 中恰有一个发生的概率 $P=\dfrac{1}{6}$，
   故说法不正确；
   (5) 若事件 $A=\{$ 出现 $1$ 点 $\}$，$B=\{$ 出现 $2$ 点 $\}$，$C=\{$ 出现 $3$ 点 $\}$，
   则事件 $A$，$B$，$C$ 彼此互斥，
   但 $P(A)+P(B)+P(C)=\dfrac{1}{2}$；
   故说法不正确；
   故选：$A$．

7. 答案 $\left(\dfrac{5}{4}， \dfrac{4}{3}\right]$
   解析 $\because$ 随机事件 $A$、$B$ 互斥，$A$、$B$ 发生的概率均不等于于 $0$，且 $P(A)=2-a$，$P(B)=4a-5$，
   $\therefore\left\{\begin{array}{l} 0<P(A)<1 \\ 0<P(B)<1 \\ P(A)+P(B) \leqslant 1 \end{array}\right.$，
   即 $\left\{\begin{array}{l} 0<2-a<1 \\ 0<4 a-5<1 \\ 3 a-3 \leqslant 1 \end{array}\right.$，解得：$\dfrac{5}{4}<a \leqslant \dfrac{4}{3}$，
   故答案为： $\left(\dfrac{5}{4}， \dfrac{4}{3}\right]$．

8. 答案 $0.2$
   解析 由题意知，射手命中的概率为 $0.25+0.20+0.35=0.8$，
   又由射手命中靶与不命中靶为对立事件，故不命中靶的概率是 $1-0.8=0.2$，
   故答案为 $0.2$.

9. 答案 $0.9$
   解析 三个事件 $A$，$B$，$C$ 两两互斥，
   $P(\bar{B} )=0.6$，可得 $P(B)=1-0.6=0.4$，
   则 $P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.3+0.4+0.2=0.9$．
   故答案为：$0.9$．

10. 答案 $\dfrac{1}{3}$
    解析 由于若设 “出现 $3$ 点”、“出现 $6$ 点” 分别为事件 $A$、$B$，
    则事件 $A$，$B$ 为互斥事件，又由 $P(A)=P(B)=\dfrac{1}{6}$，
    则出现点数为 $3$ 的倍数的概率为 $P(A+B)=P(A)+P(B)=\dfrac{1}{3}$，
    故答案为 $\dfrac{1}{3}$.

11. 答案 $\dfrac{1}{3}$
    解析 由条件可知 $P(B)=2P(A)$，又 $P(A)+P(B)=1$，
    所以 $P(A)+2P(A)=1$，则 $P(A)=\dfrac{1}{3}$.

12. 答案 $0.225$.
    解析 设 $A$、$B$、$C$ 分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，$D$ 表示军火库爆炸，
    则 $P(A)=0.025$，$P(B)=0.1$，$P(C)=0.1$，其中 $A$、$B$、$C$ 互斥，
    故 $P(D)=P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225$.

13. 答案 (1) $0.7$；(2) $0.15$
    解析 (1) 设事件 $A$ 表示 “考生选择生物学科”，事件 $B$ 表示 “考生选择物理但不选择生物学科”，
    事件 $C$ 表示 “考生至少选择生物、物理两门学科中的 $1$ 门学科”，
    则 $P(A)=0.5$，$P(B)=0.2$，$C=A\cup B$，$A\cap B=∅$，
    $\therefore 1$ 位考生至少选择生物，物理两门学科中的 $1$ 门的概率：
    $P(C)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7$．
    (2) 设事件 $D$ 表示 “选择生物但不选择物理”，事件 $E$ 表示 “同时选择生物、物理两门学科”，
    $\because$ 某校高二 $400$ 名学生中，选择生物但不选择物理的人数为 $140$，
    $\therefore P(D)=\dfrac{140}{400}=0.35$，
    $\because D\cup E=A$，
    $\therefore 1$ 位考生同时选择生物、物理两门学科的概率：
    $P(E)=P(A)-P(D)=0.5-0.35=0.15$．
     

【B组---提高题】

1. 袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共 $7$ 个，其中白球 $3$ 个，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取， ...，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止。每个球在每一次被取出的机会是等可能的.
  (1) 求取球 $2$ 次即终止的概率，
  (2) 求甲取到白球的概率.
 
 
 

参考答案

1. 答案 (1) $\dfrac{2}{7}$ ；(2)$\dfrac{2 2}{35}$
   解析 (1) 设事件 $A$ 为取球 $2$ 次即终止即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球，
   借助树状图求出相应事件的样本点数：
   因此 $P(A)=\dfrac{4 \times 3}{7 \times 6}=\dfrac{2}{7}$，
   (2) 设事件 $B$ 为甲取到白球，第次取到白球为事件 $i=1，2，3，4，5$，
   因为甲先取，所以甲只可能在第 $1$ 次，第 $3$ 次和第 $5$ 次取到白球借助树状图求出相应事件的样本点数，
   所以 $P(B)=P(A_1\cup A_3\cup A_s )=P(A_1 )+P(A_3 )+P(A_5 )$
   $=\dfrac{3}{7}+\dfrac{4 \times 3 \times 3}{7 \times 6 \times 5}+\dfrac{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 3}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3}=\dfrac{3}{7}+\dfrac{6}{35}+\dfrac{1}{35}=\dfrac{22}{35}$.