10.1.3 古典概型
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[ 【基础过关系列】高一数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019)]
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必修第二册同步巩固,难度2颗星!
基础知识
概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件\(A\)的概率用\(P(A)\)表示.
【例】 掷一个硬币,事件\(A\)为硬币出现的是正面,则\(P(A)=\dfrac{1}{2}\).
古典概型的特点
(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
满足以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率概型,简称古典概型.
【例1】 “在\(1\),\(2\),\(3\),\(4\),\(5\)中取\(2\)个数,其差为\(1\)概率”属于古典概型,因为试验的结果有限,每种结果发生的可能性相等;
【例2】 “在区间\([1,5]\)中取\(2\)个数,其差为\(1\)概率”不属于古典概型,因为试验的结果有无限种可能;
【例3】 “贵哥投篮中与否”不属于古典概型,因为中与不中的可能性不相等.
古典概型事件A的概率
(1) 古典概型概率
一般地,设试验\(E\)是古典概型,样本空间\(Ω\)包含\(n\)个样本点,事件\(A\)包含其中的\(k\)个样本点,则定义事件\(A\)的概率
其中\(n(A)\)和\(n(Ω)\)分别表示事件\(A\)和样本空间\(Ω\)包含的样本点个数.
【例】 掷一个骰子,事件\(A=\)“点数为奇数”,则\(n(Ω)=6\),\(n(A)=3\),
\(P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\).
(2) 求解古典概型问题的一般思路
① 明确试验的条件及要观察的结果,用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果);
② 根据实际问题情境判断样本点的等可能性;
③ 计算样本点总个数及事件\(A\)包含的样本点个数,求出事件\(A\)的概率.
基本方法
【题型1】 古典概型的概念
【典题1】 下列概率模型中,古典概型的个数为( )
①从区间\([1,10]\)内任取一个数,求取到\(1\)的概率;
②从\(1\),\(2\),…,\(9\),\(10\)中任取一个整数,求取到\(1\)的概率;
③向正方形\(ABCD\)内任意投一点\(P\),求点\(P\)刚好与点\(A\)重合的概率;
④抛掷一枚质地不均匀的骰子,求向上点数为\(3\)的概率.
A.\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(2\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(4\)
解析 古典概型满足两个条件:①随机实验所有可能的结果是有限的;②每个基本结果发生的概率是相同的.
对于①,从区间\([1,10]\)内任取一个数,有无数种取法,
不满足古典概型事件的有限性,故①不是古典概型;
对于②,从\(1\),\(2\),…,\(9\),\(10\)中任取一个整数,求取到\(1\)的概率,
满足古典概型的两个条件,故②是古典概型;
对于③,向正方形\(ABCD\)内任意投一点\(P\),有无数种投法,
不满足古典概型事件的有限性,故③不是古典概型;
对于④,抛掷一枚质地不均匀的骰子,求向上点数为\(3\)的概率,
不满足等可能性,故④不是古典概型.
故选:\(A\).
点拨 古典概型要满足有限性和等可能性.
【巩固练习】
1.下列是古典概型的个数有( )
①已知\(1≤x≤9\)且\(x\in Z\),从\(x\)中任取一个数,则满足\(2<x≤5\)的概率;
②同时掷两颗骰子,点数和为\(11\)的概率;
③近一周中有一天降雨的概率;
④\(10\)个人站成一排,其中甲在乙右边的概率.
A.\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(4\)
2.下列试验中,为古典概型的是( )
A.种下一粒种子,他是否发芽
B.从规格质量为\(59\)千克的产品中任意抽取一袋,其是否合格
C.抛掷一枚硬币,观察其出现正面还是反面
D.某人射击中靶或不中靶
参考答案
- 答案 \(C\)
解析 古典概型有两个特点:一是结果有有限个;二是每个结果发生的可能性相等,
(1)符合上述两个特点,是古典概型;
(2)符合上述两个特点,是古典概型;
(3)符合上述第一个特点,但每个结果可能性不相等,不是古典概型;
(4)符合上述两个特点,是古典概型.
故选:\(C\). - 答案 \(C\)
解析 \(A\)、\(D\)选项中基本事件发生的可能性不相等,\(A\)、\(D\)错误;
对于\(B\),基本事件的个数有无限个,\(B\)错误;
\(C\)符合古典概型的定义,\(C\)正确.
故选:\(C\).
【题型2】 求古典概型概率
【典题1】 如图是一个古典概型的样本空间\(Ω\)和事件\(A\)和\(B\),其中\(n(Ω)=24\),\(n(A)=12\),\(n(B)=8\),\(n(A\cup B)=16\),下列运算结果,正确的有( )
A.\(n(AB)=4\) \(\qquad \qquad\) B.\(P(AB)=\dfrac{1}{6}\) \(\qquad \qquad\) C.\(P(A\cup B)=\dfrac{2}{3}\) \(\qquad \qquad\) D. \(P(\bar{A} \bar{B})=\dfrac{1}{2}\)
解析 对于\(A\),\(\because n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(AB)\),
\(\therefore n(AB)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)=4\).故\(A\)正确;
对于\(B\),\(P(A B)=\dfrac{n(A B)}{n(\Omega)}=\dfrac{4}{24}=\dfrac{1}{6}\),故\(B\)正确;
对于\(C\), \(P(A \cup B)=\dfrac{n(A \cup B)}{n(\Omega)}=\dfrac{16}{24}=\dfrac{2}{3}\),故\(C\)正确;
对于\(D\), \(\because n(\bar{A} \bar{B})=n(\Omega)-n(A \cup B)=24-16=8\),
\(\therefore P(\bar{A} \bar{B})=\dfrac{n(\bar{A} \bar{B})}{n(\Omega)}=\dfrac{8}{24}=\dfrac{1}{3}\),故\(D\)错误.
故选:\(ABC\).
【典题2】 若连掷两次骰子,分别得到的点数是\(m\)、\(n\),将\(m\)、\(n\)作为点\(P\)的坐标,则点\(P\)落在区域\(|x-2|+|y-2|⩽2\)内的概率是\(\underline{\quad \quad}\) .
解析 掷两次骰子,会有\(6×6=36\)种可能.
点\(P(m,n)\)落在区域\(|x-2|+|y-2|⩽2\)内,即\(|m-2|+|n-2|⩽2\),则共有以下可能性.
①\((1,1),(1,2),(1,3)\);
②\((2,1),(2,2),(2,3),(2,4)\);
③\((3,1),(3,2),(3,3)\);
④\((4,2)\);
这\(11\)个点都满足\(|m-2|+|n-2|⩽2\),即所求概率为 \(P=\dfrac{11}{36}\).
点拨 求解古典概型问题的一般思路
① 明确试验的条件及要观察的结果,用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果);
② 根据实际问题情境判断样本点的等可能性;
③ 计算样本点总个数及事件\(A\)包含的样本点个数,求出事件\(A\)的概率.
【典题3】 将一颗骰子先后抛掷\(2\)次,观察向上的点数,事件\(A\):“两数之和为\(8\)”,事件\(B\):“两数之和是\(3\)的倍数”,事件\(C\):“两个数均为偶数”.
(1)写出该试验的基本事件空间\(Ω\),并求事件\(A\)发生的概率;
(2)求事件\(B\)发生的概率;
(3)事件\(A\)与事件\(C\)至少有一个发生的概率.
解析 (1)将一颗骰子先后抛掷\(2\)次,观察向上的点数,
\(Ω=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)\),
\((2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)\),
\((3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)\),
\((4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)\),
\((5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)\),
\((6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}\),共有\(36\)个基本事件,
事件\(A\):“两数之和为\(8\)”,事件\(A\)包含的基本事件有:
\((2,6)\),\((3,5)\),\((4,4)\),\((5,3)\),\((6,2)\),共\(5\)个基本事件,
\(\therefore\)事件\(A\)发生的概率为\(P(A)=\dfrac{5}{36}\).
(2)事件\(B\):“两数之和是\(3\)的倍数”,
事件\(B\)包含的基本事件有\(12\)个,分别为:
\((1,2)\),\((1,5)\),\((2,1)\),\((2,4)\),\((3,3)\),\((3,6)\),\((4,2)\),\((4,5)\),\((5,1)\),\((5,4)\),\((6,3)\),\((6,6)\),
\(\therefore\)事件\(B\)发生的概率\(P(B)=\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}\).
(3)事件\(A\)与事件\(C\)至少有一个发生包含的基本事件有\(11\)个,分别为:
\((2,2)\),\((2,4)\),\((2,6)\),\((3,5)\),\((4,2)\),\((4,4)\),
\((4,6)\),\((5,3)\),\((6,2)\),\((6,4)\),\((6,6)\),
\(\therefore\)事件\(A\)与事件\(C\)至少有一个发生的概率为 \(P(A \cup C)=\dfrac{11}{36}\).
【巩固练习】
1.从\(4\)名选手甲、乙、丙、丁中选取\(2\)人组队参加数学竞赛,其中甲被选中的概率是( )
A.\(\dfrac{1}{3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(\dfrac{1}{2}\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(\dfrac{2}{3}\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(\dfrac{3}{5}\)
2.先后抛掷两枚骰子,设出现的点数之和是\(8\),\(7\),\(6\)的概率依次为\(P_1\),\(P_2\),\(P_3\),则( )
A.\(P_1=P_2<P_3\) \(\qquad \qquad\) B.\(P_3<P_2<P_1\) \(\qquad \qquad\) C.\(P_3=P_1<P_2\) \(\qquad \qquad\) D.\(P_3=P_1>P_2\)
3.从集合\(A=\{-1, \dfrac{1}{2},2\}\)中随机选取一个数记为\(k\),从集合\(B=\{\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2},2\}\)中随机选取一个数记为\(a\),则\(a^k>1\)的概率为( )
A.\(\dfrac{1}{3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(\dfrac{2}{3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(\dfrac{7}{9}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(\dfrac{5}{9}\)
4.抛掷两颗质地均匀的正方体骰子,记下骰子朝上面的点数.设\(A=\)“两个点数之和等于\(8\)”,\(B=\)“至少有一颗骰子的点数为\(5\)”,则事件\(A\cup B\)的概率是( )
A. \(\dfrac{1}{18}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(\dfrac{2}{9}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C. \(\dfrac{7}{18}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(\dfrac{4}{9}\)
5.数学与文学有许多奇妙的联系,如诗中有回文诗:“儿忆父兮妻忆夫”,既可以顺读也可以逆读,数学中有回文数,如\(343\)、\(12521\)等,两位数的回文数有\(11\)、\(22\)、\(33\)、…、\(99\)共\(9\)个,则三位数的回文数中为偶数的概率是( )
A. \(\dfrac{1}{9}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(\dfrac{2}{9}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C. \(\dfrac{1}{3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(\dfrac{4}{9}\)
6.一个口袋内装有大小相同的\(6\)个小球,其中\(2\)个红球记为\(A_1\),\(A_2\),\(4\)个黑球记为\(B_1\),\(B_2\),\(B_3\),\(B_4\),从中一次摸出\(2\)个球.
(1)写出这个试验的样本空间及样本点总数;
(2)求摸出的\(2\)个球颜色不同的概率.
7.调查某校高三年级\(500\)名学生的肥胖情况,得到下表:
偏瘦 | 正常 | 偏胖 | |
---|---|---|---|
女生(人) | \(x\) | \(120\) | \(y\) |
男生(人) | \(50\) | \(180\) | \(z\) |
已知从这批学生中随机抽取\(1\)名学生,抽到偏瘦女生的概率为\(0.1\).
(1)求\(x\)的值;
(2)若用分层抽样的方法,从这批学生中随机抽取\(50\)名,问应在偏胖学生中抽多少名?
(3)已知\(y≥46\),\(z≥46\),求偏胖学生中男生人数大于女生人数的概率.
8.从\(0\),\(1\),\(2\),\(3\)这四个数字中,不放回地取两次,每次取一个,构成数对\((x,y)\),\(x\)为第一次取到的数字,\(y\)为第二次取到的数字.设事件\(A=\)“第一次取出的数字是\(1\)”,\(B=\)“第二次取出的数字是\(2\)”.
(1)写出此试验的样本空间及\(P(A)\),\(P(B\))的值;
(2)判断\(A\)与\(B\)是否为互斥事件,并求\(P(A\cup B)\);
(3)写出一个事件\(C\),使\(A\subseteq C\)成立.
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 根据题意,从\(4\)名选手甲、乙、丙、丁中选取\(2\)人,
有(甲、乙)(甲、丙)(甲、丁)(乙、丙)(乙、丁)(丙、丁),
共\(6\)种不同的取法;甲被选中的有(甲、乙)(甲、丙)(甲、丁)的三种;
则甲被选中的概率是 \(\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\),故选\(B\). -
答案 \(C\)
解析 先后抛掷两枚骰子,出现的点数共有:
\((1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),\)
\((2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\)
\((3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),\)
\((4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),\)
\((5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),\)
\((6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\),共\(36\)种
其中点数之和是\(8\)的有\(5\)种,故\(P_1=\dfrac{5}{36}\);点数之和是\(7\)的有\(6\)种,故\(P_2=\dfrac{6}{36}\);
点数之和是\(6\)的有\(5\)种,故\(P_3=\dfrac{5}{36}\);故\(P_1=P_3<P_2\);
故选\(C\). -
答案 \(D\)
解析 分别从集合\(A\),\(B\)各取一个数,共有\(3×3=9\)组实数对,
若\(a=\dfrac{1}{2}\),则由\(a^k>1\)得\(k<0\),此时\(k=-1\),有\(1\)个,
若\(a=\dfrac{3}{2}\),则由\(a^k>1\)得\(k>0\),此时\(k=\dfrac{1}{2}\),\(2\),有\(2\)个,
若\(a=2\),则由\(a^k>1\)得\(k>0\),此时\(k=\dfrac{1}{2}\),\(2\),有\(2\)个,
共有\(5\)个,
则对应的概率\(P=\dfrac{5}{9}\),
故选:\(D\). -
答案 \(C\)
解析 根据题意,事件\(A\cup B\)表示“两个点数之和等于\(8\)或至少有一颗骰子的点数为\(5\)”,
又抛掷两颗质地均匀的正方体骰子,记下骰子朝上面的点数,则基本事件总数为\(36\)种,
事件\(A\cup B\)包含的基本事件为:\((2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),\)\((5,1),(5,2),(5,4),(5,6),(1,5),(2,5),(4,5)\),\((6,5),(5,5)\)共\(14\)种,
则事件\(A\cup B\)的概率为\(\dfrac{14}{36}=\dfrac{7}{18}\),
故选:\(C\). -
答案 \(D\)
解析 三位数的回文数为\(ABA\),
\(A\)共有\(1\)到\(9\)共\(9\)种可能,即\(1B1、2B2、3B3\)、…
\(B\)共有\(0\)到\(9\)共\(10\)种可能,即\(A0A、A1A、A2A、A3A\)、…
共有\(9×10=90\)个,
其中偶数为\(A\)是偶数,共\(4\)种可能,即\(2B2\),\(4B4\),\(6B6\),\(8B8\),
\(B\)共有\(0\)到\(9\)共\(10\)种可能,即\(A0A、A1A、A2A、A3A\)、…
其有\(4×10=40\)个,
\(\therefore\)三位数的回文数中,偶数的概率 \(P=\dfrac{40}{90}=\dfrac{4}{9}\);
故选:\(D\). -
答案 (1) 略;(2)\(\dfrac{8}{15}\)
解析 (1)这个试验的样本空间:
\(Ω=\{(A_1,A_2 ),(A_1,B_1 ),(A_1,B_2 ),(A_1,B_3 ),(A_1,B_4 ),(A_2,B_1 ),\)\((A_2,B_2 ),(A_2,B_3 ), (A_2,B_4 ),(B_1,B_2 ),(B_1,B_3 ),(B_1,B_4 ),\)\((B_2,B_3 ),(B_2,B_4 ),(B_3,B_4 )\}\),
共\(15\)个样本点.
(2)因为(1)中的\(15\)个样本点出现的可能性是相等的,
事件“\(2\)个球颜色不同”包含的样本点有\((A_1,B_1 ),(A_1,B_2 ),(A_1,B_3 ),(A_1,B_4 )\),
\((A_2,B_1 ),(A_2,B_2 ),(A_2,B_3 ),(A_2,B_4 )\),共\(8\)个,
故所求事件的概率\(P=\dfrac{8}{15}\). -
答案 (1) \(50\);(2) \(10\);(3)\(\dfrac{4}{9}\)
解析 (1)由题意可得 \(\dfrac{x}{500}=0.1\),解得\(x=50\);
(2)可得偏胖的学生共\(y+z=500-(50+120+50+180)=100\),
\(\therefore\)由分层抽样可知偏胖的学生应抽取 \(100 \times \dfrac{50}{500}=10\)人;
(3)\(\because y+z=100\),\(y≥46\),\(z≥46\),
\(\therefore\)偏胖学生中男、女生人数为\((46,54),(47,53),(48,52)\),
\((49,51),(50,50),(51,49),(52,48),(53,47),(54,46)\)共\(9\)种情形,
其中满足男生人数大于女生人数的为\((51,49),(52,48),(53,47),(54,46)\)共\(4\)种,
\(\therefore\)所求概率\(P=\dfrac{4}{9}\). -
答案 (1)样本空间略,\(P(A)=\dfrac{1}{4}\),\(P(B)=\dfrac{1}{4}\);
(2) \(A\)与\(B\)不是互斥事件, \(P(A \cup B)=\dfrac{5}{12}\);
(3) \(C={(1,0),(1,2),(1,3),(2,3)}\)
解析 (1)从\(0\),\(1\),\(2\),\(3\)这四个数字中,不放回地取两次,
样本空间\(Ω=\{(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,2),(1,3),\)\((2,0),(2,1),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2)\}\),
所以\(n(Ω)=12\).
因为事件\(A=\)“第一次取出的数字是\(1\)”,
所以\(A=\{(1,0),(1,2),(1,3)\}\),
所以\(n(A)=3\).
所以 \(P(A)=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}\).
因为\(B=\)“第二次取出的数字是\(2\)”,
所以\(B=\{(0,2),(1,2),(3,2)\}\),
所以\(n(B)=3\).
所以 \(P(B)=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}\).
(2)因为\(A∩B=\{(1,2)\}\),所以\(A\)与\(B\)不是互斥事件.
因为\(A\cup B=\)“第一次取出的数字是\(1\)”或“第二次取出的数字是\(2\)”,
所以\(A\cup B=\{(1,0),(1,2),(1,3),(0,2),(3,2)\}\),
所以\(n(A\cup B)=5\),
所以 \(P(A \cup B)=\dfrac{5}{12}\).
(3)\(C=\{(1,0),(1,2),(1,3),(2,3)\}\).
分层练习
【A组---基础题】
1.下列古典概型的说法中正确的个数是( )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
②每个事件出现的可能性相等;
③基本事件的总数为\(n\),随机事件\(A\)包含\(k\)个基本事件,则\(P(A)=\dfrac{k}{n}\);
④每个基本事件出现的可能性相等.
A.\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(4\)
2.下列试验是古典概型的是( )
A.口袋中有\(2\)个白球和\(3\)个黑球,从中任取一球,样本点为{取中白球}和{取中黑球}
B.在区间\([-1,5]\)上任取一个实数\(x\),使\(x^2-3x+2>0\)
C.抛一枚质地均匀的硬币,观察其出现正面或反面
D.某人射击中靶或不中靶
3.掷一枚均匀的硬币两次,事件\(M=\{\)一次正面向上,一次反面向上\(\}\);事件\(N=\{\)至少一次正面向上 \(\}\).下列结果正确的是( )
A.\(P(M)=\dfrac{1}{3}\),\(P(N)=\dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(P(M)=\dfrac{1}{2}\),\(P(N)=\dfrac{3}{4}\)
C.\(P(M)=\dfrac{1}{3}\),\(P(N)=\dfrac{3}{4}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D.\(P(M)=\dfrac{1}{2}\),\(P(N)=\dfrac{1}{2}\)
4.任取三个整数,至少有一个数为偶数的概率为( )
A.\(0.125\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(0.25\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(0.5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(0.875\)
5.(多选)已知甲罐中有\(2\)个大小、质地完全一样的小球,标号为\(1\),\(2\),乙罐中有\(4\)个大小、质地完全一样的小球,标号为\(1\),\(2\),\(3\),\(4\),现从甲罐、乙罐中分别随机抽取\(1\)个小球,记样本空间为\(Ω\),事件\(A\)为“抽取的两个小球标号之和大于\(4\)”,事件\(B\)为“抽取的两个小球标号之积小于\(5\)”,则下列结论正确的是( )
A.\(A\)与\(B\)是互斥事件 \(\qquad\) B.\(A\)与\(B\)不是对立事件 \(\qquad\) C.\(Ω=A\cup B\) \(\qquad\) D. \(P(A)+P(B)=\dfrac{9}{8}\)
6.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,若第一次朝上一面的点数为\(a\),第二次朝上一面的点数为\(b\),则函数\(y=ax^2-2bx+1\)在\((-\infty, 2]\)上为减函数的概率是\(\underline{\quad \quad}\).
7.经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能向左转或向右转,如果这三种可能性大小相同,那么三辆汽车经过这个十字路口,至少有两辆车向左转的概率为\(\underline{\quad \quad}\).
8.有\(3\)个相同的球,分别标有数字\(1\),\(2\),\(3\),从中有放回的随机取两次,每次取\(1\)个球.用\((x,y)\)表示试验的样本点,其中\(x\)表示第一次取出的基本结果,\(y\)表示第二次取出的基本结果.
(1)写出这个试验的样本空间\(Ω\);
(2)用\(A\)表示事件“第一次取出的球的数字是\(1\)”;用\(B\)表示事件“两次取出的球的数字之和是\(4\)”,求证:\(P(AB)=P(A)P(B)\).
9.将一枚骰子先后抛掷\(2\)次,观察向上的点数,求:
(1)两数之和为\(6\)的概率;
(2)两数之和是\(3\)的倍数的概率;
(3)两数之积是\(6\)的倍数的概率;
(4)以第一次向上的点数为横坐标\(x\)、第二次向上的点数为纵坐标\(y\)的点\((x,y)\)在圆\(x^2+y^2=25\)的内部的概率.
10.将一颗骰子先后抛掷\(2\)次,观察向上的点数,事件\(A\):“两数之和为\(8\)”,事件\(B\):“两数之和是\(3\)的倍数”,事件\(C\):“两个数均为偶数”.
(1)写出该试验的基本事件空间\(Ω\),并求事件\(A\)发生的概率;
(2)求事件\(B\)发生的概率;
(3)事件\(A\)与事件\(C\)至少有一个发生的概率.
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 对于①,古典概型要求基本事件有有限个,\(\therefore\)①正确;
对于②,每个事件出现的可能性相等;不满足古典概型的定义,\(\therefore\) ②不正确;
对于③,基本事件的总数为\(n\),随机事件\(A\)包含\(k\)个基本事件,则\(P(A)=\dfrac{k}{n}\);满足古典概型的概率计算法则,\(\therefore\)③正确;
对于④,每个基本事件出现的可能性相等.满足古典概型的性质,\(\therefore\)④正确;
正确命题有:①③④.
故选:\(C\). -
答案 \(C\)
解析 对于\(A\),口袋中有\(2\)个白球和\(3\)个黑球,从中任取一球,样本点为{取中白球}和{取中黑球},这两个事件不是等可能的,故\(A\)错误;
对于\(B\),在区间\([-1,5]\)上任取一个实数\(x\),使\(x^2-3x+2>0\),该事件个数是无限的,故\(B\)错误;
对于\(C\),抛一枚质地均匀的硬币,观察其出现正面或反面,情况为\(2\)种,有限,并且出现正面或反面的概率均为\(\dfrac{1}{2}\),等可能,故\(C\)正确;
对于\(D\),某人射击中靶或不中靶,不是等可能的,故\(D\)错误.
故选:\(C\). -
答案 \(B\)
解析 掷一枚均匀的硬币两次,样本空间\(Ω=\{\)(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)\(\}\),
事件\(M=\{\)(正,反),(反,正)\(\}\),\(\therefore P(M)=\dfrac{1}{2}\);
事件\(N=\{\)(正,正),(正,反),(反,正)\(\}\),\(P(N)=\dfrac{3}{4}\).
故选:\(B\). -
答案 \(D\)
解析 任取三个整数,共有八种情况:
其中至少有一个数为偶数的情况有\(7\)种,所以所求概率为 \(\dfrac{7}{8}=0.875\),
故选\(D\). -
答案 \(BCD\)
解析 现从甲罐、乙罐中分别随机抽取\(1\)个小球,记样本空间为\(Ω\),
则\(Ω=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)\}\),
事件\(A\)为“抽取的两个小球标号之和大于\(4\)”,
则事件\(A\)包含的基本事件有:\(\{(1,4),(2,3),(2,4)\}\),
事件\(B\)为“抽取的两个小球标号之积小于\(5\)”,
则事件\(B\)包含的基本事件有:
\(\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2)\}\),
\(\therefore\)事件\(A\),\(B\)能同时发生,故事件\(A\),\(B\)不是互斥事件,不是对立事件,
故\(A\)错误,\(B\)正确;
\(Ω=A\cup B\),故\(C\)正确;
\(P(A)+P(B)=\dfrac{3}{8}+\dfrac{6}{8}=\dfrac{9}{8}\),故\(D\)正确.
故选:\(BCD\). -
答案
解析 由题意,函数\(y=ax^2-2bx+1\)在\((-\infty, 2]\)上为减函数满足条件 \(\left\{\begin{array}{l} a>0 \\ \dfrac{b}{a} \geqslant 2 \end{array}\right.\).
\(\because\)第一次朝上一面的点数为\(a\),第二次朝上一面的点数为\(b\),
\(\therefore a\)取\(1\)时,\(b\)可取\(2\),\(3\),\(4\),\(5\),\(6\);\(a\)取\(2\)时,\(b\)可取\(4\),\(5\),\(6\);
\(a\)取\(3\)时,\(b\)可取\(6\),共\(9\)种
\(\because (a,b)\)的取值共\(36\)种情况
\(\therefore\)所求概率为 \(\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}\).
故答案为:\(\dfrac{1}{4}\). -
答案 \(\dfrac{7}{27}\)
解析 三辆车经过十字路口的情况有\(27\)种,
至少有两辆车向左转的情况数为\(7\)种,所以概率为:\(\dfrac{7}{27}\).故答案为:\(\dfrac{7}{27}\). -
答案 (1)略 ;(2) 略
解析 (1)从\(3\)个球中有放回的随机取两次,该试验的样本空间\(Ω=\{(1,1),(1,2),(1,3),\)\((2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\}\);
(2)证明:事件\(A\)包含的样本点为\((1,1),(1,2),(1,3)\), \(P(A)=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\);
事件\(B\)包含的样本点为\((1,3)\),\((2,2)\),\((3,1)\), \(P(B)=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\);
而事件\(AB\)表示“第一次取出的球的数字是\(1\)且两次取出的球的数字之和是\(4\)”,
它包含的样本点为\((1,3)\), \(P(A B)=\dfrac{1}{9}\);
故\(P(AB)=P(A)P(B)\). -
答案 (1)\(\dfrac{5}{36}\);(2)\(\dfrac{1}{3}\);(3) \(\dfrac{5}{12}\);(4) \(\dfrac{13}{36}\)
解析 (1)由题意知本题是一个等可能事件的概率,
试验发生包含的事件数是\(6×6=36\)种结果,
满足条件是事件是两个数字的和是\(6\),共有\((1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\)五种情况,
\(\therefore\)两数之和为\(6\)的概率是\(\dfrac{5}{36}\).
(2)记“两数之和是\(3\)的倍数”为事件\(B\),则事件\(B\)中含有
\((1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),\)\((4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6)\)共\(12\)个基本事件,
故两数之和是\(3\)的倍数的概率为: \(P(B)=\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}\)
(3)记“向上的两数之积是\(6\)的倍数”为事件\(B\),则由列表可知,事件\(B\)中含有其中的\(15\)个等可能基本事件,
所以 \(P(B)=\dfrac{15}{36}=\dfrac{5}{12}\);
(4)由题意知本题是一个等可能事件的概率,
试验发生包含的事件数是\(6×6=36\)种结果,
第一次向上点数为横坐标\(x\)、第二次向上的点数为纵坐标\(y\)的点\((x,y)\)
当\(x=1\)时,\(y\)有\(1\),\(2\),\(3\),\(4\),\(4\)种结果,
当\(x=2\)时,\(y\)有\(1\),\(2\),\(3\),\(4\),\(4\)种结果,
当\(x=3\)时,\(y\)有\(1\),\(2\),\(3\),\(3\)种结果,
当\(x=4\)时,\(y\)有\(1\),\(2\),\(2\)种结果,
\(\therefore\)共有\(4+4+3+2=13\)种结果.
\(\therefore\)要求的概率是 \(\dfrac{13}{36}\). -
答案 (1) 略;(2)\(\dfrac{1}{3}\);(3) \(\dfrac{11}{36}\)
解析 (1)将一颗骰子先后抛掷\(2\)次,观察向上的点数,
\(Ω=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),\)
\((2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\)
\((3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),\)
\((4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),\)
\((5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),\)
\((6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}\),共有\(36\)个基本事件,
事件\(A\):“两数之和为\(8\)”,事件\(A\)包含的基本事件有:
\((2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\),共\(5\)个基本事件,
\(\therefore\)事件\(A\)发生的概率为\(P(A)=\dfrac{5}{36}\).
(2)事件\(B\):“两数之和是的倍数”,
事件\(B\)包含的基本事件有\(12\)个,分别为:
\((1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),\)\((4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6),\)
\(\therefore\)事件\(B\)发生的概率\(P(B)=\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}\).
(3)事件\(A\)与事件\(C\)至少有一个发生包含的基本事件有\(11\)个,分别为:
\((2,2),(2,4),(2,6),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),\)\((5,3),(6,2),(6,4),(6,6)\),
\(\therefore\)事件\(A\)与事件\(C\)至少有一个发生的概率为 \(P(A \cup C)=\dfrac{11}{36}\).
【B组---提高题】
1.一个正方体,它的表面涂满了红色.在它的每个面上切两刀可得\(27\)个小立方块,从中任取两个,其中恰有\(1\)个一面涂有红色,\(1\)个两面涂有红色的概率为( )
A. \(\dfrac{16}{117}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(\dfrac{32}{117}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C. \(\dfrac{8}{39}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(\dfrac{16}{39}\)
参考答案
- 答案 \(C\)
解析 根据题意,分析可得:
在分割下来的\(27\)个完全相等的小正方体中,有\(6\)个只有一面有红色,有\(12\)个两面有红色,\(8\)块有\(3\)面红色,而还有一个没有红色;
则从中任取\(2\)个,其中\(1\)个恰有一面涂有红色,另\(1\)个恰有两面涂有红色的情况有\(12×6\)种;而从\(27\)块中任取两块,有\(27×26\)种情况;
则从中任取\(2\)个,其中\(1\)个恰有一面涂有红色,另\(1\)个恰有两面涂有红色的概率为 \(\dfrac{12 \times 6}{27 \times 26}=\dfrac{8}{39}\),故选:\(C\).