10.1.3 古典概型
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[ 【基础过关系列】高一数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019）]
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必修第二册同步巩固，难度2颗星！
基础知识
概率
对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件\(A\)的概率用\(P(A)\)表示.
【例】 掷一个硬币，事件\(A\)为硬币出现的是正面，则\(P(A)=\dfrac{1}{2}\).
古典概型的特点
（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
满足以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率概型，简称古典概型.
【例1】 “在\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)中取\(2\)个数，其差为\(1\)概率”属于古典概型，因为试验的结果有限，每种结果发生的可能性相等；
【例2】 “在区间\([1，5]\)中取\(2\)个数，其差为\(1\)概率”不属于古典概型，因为试验的结果有无限种可能；
【例3】 “贵哥投篮中与否”不属于古典概型，因为中与不中的可能性不相等.
古典概型事件A的概率
(1) 古典概型概率
一般地，设试验\(E\)是古典概型，样本空间\(Ω\)包含\(n\)个样本点，事件\(A\)包含其中的\(k\)个样本点，则定义事件\(A\)的概率
其中\(n(A)\)和\(n(Ω)\)分别表示事件\(A\)和样本空间\(Ω\)包含的样本点个数.
【例】 掷一个骰子，事件\(A=\)“点数为奇数”，则\(n(Ω)=6\)，\(n(A)=3\)，
\(P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\).
(2) 求解古典概型问题的一般思路
① 明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）；
② 根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
③ 计算样本点总个数及事件\(A\)包含的样本点个数，求出事件\(A\)的概率.
基本方法
【题型1】 古典概型的概念
【典题1】 下列概率模型中，古典概型的个数为( )
①从区间\([1，10]\)内任取一个数，求取到\(1\)的概率；
②从\(1\)，\(2\)，…，\(9\)，\(10\)中任取一个整数，求取到\(1\)的概率；
③向正方形\(ABCD\)内任意投一点\(P\)，求点\(P\)刚好与点\(A\)重合的概率；
④抛掷一枚质地不均匀的骰子，求向上点数为\(3\)的概率．
A．\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(4\)
解析 古典概型满足两个条件：①随机实验所有可能的结果是有限的；②每个基本结果发生的概率是相同的．
对于①，从区间\([1，10]\)内任取一个数，有无数种取法，
不满足古典概型事件的有限性，故①不是古典概型；
对于②，从\(1\)，\(2\)，…，\(9\)，\(10\)中任取一个整数，求取到\(1\)的概率，
满足古典概型的两个条件，故②是古典概型；
对于③，向正方形\(ABCD\)内任意投一点\(P\)，有无数种投法，
不满足古典概型事件的有限性，故③不是古典概型；
对于④，抛掷一枚质地不均匀的骰子，求向上点数为\(3\)的概率，
不满足等可能性，故④不是古典概型．
故选：\(A\)．
点拨 古典概型要满足有限性和等可能性.
【巩固练习】
1.下列是古典概型的个数有( )
①已知\(1≤x≤9\)且\(x\in Z\)，从\(x\)中任取一个数，则满足\(2<x≤5\)的概率；
②同时掷两颗骰子，点数和为\(11\)的概率；
③近一周中有一天降雨的概率；
④\(10\)个人站成一排，其中甲在乙右边的概率．
A．\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(4\)
2.下列试验中，为古典概型的是( )
A．种下一粒种子，他是否发芽
B．从规格质量为\(59\)千克的产品中任意抽取一袋，其是否合格
C．抛掷一枚硬币，观察其出现正面还是反面
D．某人射击中靶或不中靶
参考答案
- 答案 \(C\)
解析 古典概型有两个特点：一是结果有有限个；二是每个结果发生的可能性相等，
(1)符合上述两个特点，是古典概型；
(2)符合上述两个特点，是古典概型；
(3)符合上述第一个特点，但每个结果可能性不相等，不是古典概型；
(4)符合上述两个特点，是古典概型．
故选：\(C\)． - 答案 \(C\)
解析 \(A\)、\(D\)选项中基本事件发生的可能性不相等，\(A\)、\(D\)错误；
对于\(B\)，基本事件的个数有无限个，\(B\)错误；
\(C\)符合古典概型的定义，\(C\)正确．
故选：\(C\)．
【题型2】 求古典概型概率
【典题1】 如图是一个古典概型的样本空间\(Ω\)和事件\(A\)和\(B\)，其中\(n(Ω)=24\)，\(n(A)=12\)，\(n(B)=8\)，\(n(A\cup B)=16\)，下列运算结果，正确的有( )
A．\(n(AB)=4\) \(\qquad \qquad\) B．\(P(AB)=\dfrac{1}{6}\) \(\qquad \qquad\) C．\(P(A\cup B)=\dfrac{2}{3}\) \(\qquad \qquad\) D． \(P(\bar{A} \bar{B})=\dfrac{1}{2}\)
解析 对于\(A\)，\(\because n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(AB)\)，
\(\therefore n(AB)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)=4\)．故\(A\)正确；
对于\(B\)，\(P(A B)=\dfrac{n(A B)}{n(\Omega)}=\dfrac{4}{24}=\dfrac{1}{6}\)，故\(B\)正确；
对于\(C\)， \(P(A \cup B)=\dfrac{n(A \cup B)}{n(\Omega)}=\dfrac{16}{24}=\dfrac{2}{3}\)，故\(C\)正确；
对于\(D\)， \(\because n(\bar{A} \bar{B})=n(\Omega)-n(A \cup B)=24-16=8\)，
\(\therefore P(\bar{A} \bar{B})=\dfrac{n(\bar{A} \bar{B})}{n(\Omega)}=\dfrac{8}{24}=\dfrac{1}{3}\)，故\(D\)错误．
故选：\(ABC\)．
【典题2】 若连掷两次骰子，分别得到的点数是\(m\)、\(n\)，将\(m\)、\(n\)作为点\(P\)的坐标，则点\(P\)落在区域\(|x-2|+|y-2|⩽2\)内的概率是\(\underline{\quad \quad}\) .
解析 掷两次骰子，会有\(6×6=36\)种可能．
点\(P(m，n)\)落在区域\(|x-2|+|y-2|⩽2\)内，即\(|m-2|+|n-2|⩽2\)，则共有以下可能性．
①\((1，1)，(1，2)，(1，3)\)；
②\((2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)\)；
③\((3，1)，(3，2)，(3，3)\)；
④\((4，2)\)；
这\(11\)个点都满足\(|m-2|+|n-2|⩽2\)，即所求概率为 \(P=\dfrac{11}{36}\)．
点拨 求解古典概型问题的一般思路
① 明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）；
② 根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
③ 计算样本点总个数及事件\(A\)包含的样本点个数，求出事件\(A\)的概率.
【典题3】 将一颗骰子先后抛掷\(2\)次，观察向上的点数，事件\(A\)：“两数之和为\(8\)”，事件\(B\)：“两数之和是\(3\)的倍数”，事件\(C\)：“两个数均为偶数”．
(1)写出该试验的基本事件空间\(Ω\)，并求事件\(A\)发生的概率；
(2)求事件\(B\)发生的概率；
(3)事件\(A\)与事件\(C\)至少有一个发生的概率．
解析 (1)将一颗骰子先后抛掷\(2\)次，观察向上的点数，
\(Ω=\{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)\)，
\((2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)\)，
\((3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)\)，
\((4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)\)，
\((5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)\)，
\((6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)\}\)，共有\(36\)个基本事件，
事件\(A\)：“两数之和为\(8\)”，事件\(A\)包含的基本事件有：
\((2，6)\)，\((3，5)\)，\((4，4)\)，\((5，3)\)，\((6，2)\)，共\(5\)个基本事件，
\(\therefore\)事件\(A\)发生的概率为\(P(A)=\dfrac{5}{36}\)．
(2)事件\(B\)：“两数之和是\(3\)的倍数”，
事件\(B\)包含的基本事件有\(12\)个，分别为：
\((1，2)\)，\((1，5)\)，\((2，1)\)，\((2，4)\)，\((3，3)\)，\((3，6)\)，\((4，2)\)，\((4，5)\)，\((5，1)\)，\((5，4)\)，\((6，3)\)，\((6，6)\)，
\(\therefore\)事件\(B\)发生的概率\(P(B)=\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}\)．
(3)事件\(A\)与事件\(C\)至少有一个发生包含的基本事件有\(11\)个，分别为：
\((2，2)\)，\((2，4)\)，\((2，6)\)，\((3，5)\)，\((4，2)\)，\((4，4)\)，
\((4，6)\)，\((5，3)\)，\((6，2)\)，\((6，4)\)，\((6，6)\)，
\(\therefore\)事件\(A\)与事件\(C\)至少有一个发生的概率为 \(P(A \cup C)=\dfrac{11}{36}\)．
【巩固练习】
1.从\(4\)名选手甲、乙、丙、丁中选取\(2\)人组队参加数学竞赛，其中甲被选中的概率是( )
A．\(\dfrac{1}{3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\dfrac{1}{2}\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(\dfrac{2}{3}\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(\dfrac{3}{5}\)
2.先后抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是\(8\)，\(7\)，\(6\)的概率依次为\(P_1\)，\(P_2\)，\(P_3\)，则( )
A．\(P_1=P_2<P_3\) \(\qquad \qquad\) B．\(P_3<P_2<P_1\) \(\qquad \qquad\) C．\(P_3=P_1<P_2\) \(\qquad \qquad\) D．\(P_3=P_1>P_2\)
3.从集合\(A=\{-1， \dfrac{1}{2}，2\}\)中随机选取一个数记为\(k\)，从集合\(B=\{\dfrac{1}{2}， \dfrac{3}{2}，2\}\)中随机选取一个数记为\(a\)，则\(a^k>1\)的概率为( )
A．\(\dfrac{1}{3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\dfrac{2}{3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(\dfrac{7}{9}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(\dfrac{5}{9}\)
4.抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数．设\(A=\)“两个点数之和等于\(8\)”，\(B=\)“至少有一颗骰子的点数为\(5\)”，则事件\(A\cup B\)的概率是( )
A． \(\dfrac{1}{18}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\dfrac{2}{9}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C． \(\dfrac{7}{18}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(\dfrac{4}{9}\)
5.数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如\(343\)、\(12521\)等，两位数的回文数有\(11\)、\(22\)、\(33\)、…、\(99\)共\(9\)个，则三位数的回文数中为偶数的概率是( )
A． \(\dfrac{1}{9}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\dfrac{2}{9}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C． \(\dfrac{1}{3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(\dfrac{4}{9}\)
6.一个口袋内装有大小相同的\(6\)个小球，其中\(2\)个红球记为\(A_1\)，\(A_2\)，\(4\)个黑球记为\(B_1\)，\(B_2\)，\(B_3\)，\(B_4\)，从中一次摸出\(2\)个球．
(1)写出这个试验的样本空间及样本点总数；
(2)求摸出的\(2\)个球颜色不同的概率．
7.调查某校高三年级\(500\)名学生的肥胖情况，得到下表：
| 偏瘦 | 正常 | 偏胖 | |
|---|---|---|---|
| 女生(人) | \(x\) | \(120\) | \(y\) |
| 男生(人) | \(50\) | \(180\) | \(z\) |
已知从这批学生中随机抽取\(1\)名学生，抽到偏瘦女生的概率为\(0.1\)．
(1)求\(x\)的值；
(2)若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取\(50\)名，问应在偏胖学生中抽多少名？
(3)已知\(y≥46\)，\(z≥46\)，求偏胖学生中男生人数大于女生人数的概率．
8.从\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)这四个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成数对\((x，y)\)，\(x\)为第一次取到的数字，\(y\)为第二次取到的数字．设事件\(A=\)“第一次取出的数字是\(1\)”，\(B=\)“第二次取出的数字是\(2\)”．
(1)写出此试验的样本空间及\(P(A)\)，\(P(B\))的值；
(2)判断\(A\)与\(B\)是否为互斥事件，并求\(P(A\cup B)\)；
(3)写出一个事件\(C\)，使\(A\subseteq C\)成立．
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 根据题意，从\(4\)名选手甲、乙、丙、丁中选取\(2\)人，
有(甲、乙)(甲、丙)(甲、丁)(乙、丙)(乙、丁)(丙、丁)，
共\(6\)种不同的取法；甲被选中的有(甲、乙)(甲、丙)(甲、丁)的三种；
则甲被选中的概率是 \(\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\)，故选\(B\)． -
答案 \(C\)
解析 先后抛掷两枚骰子，出现的点数共有：
\((1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，\)
\((2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，\)
\((3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，\)
\((4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，\)
\((5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，\)
\((6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)\)，共\(36\)种
其中点数之和是\(8\)的有\(5\)种，故\(P_1=\dfrac{5}{36}\)；点数之和是\(7\)的有\(6\)种，故\(P_2=\dfrac{6}{36}\)；
点数之和是\(6\)的有\(5\)种，故\(P_3=\dfrac{5}{36}\)；故\(P_1=P_3<P_2\)；
故选\(C\). -
答案 \(D\)
解析 分别从集合\(A\)，\(B\)各取一个数，共有\(3×3=9\)组实数对，
若\(a=\dfrac{1}{2}\)，则由\(a^k>1\)得\(k<0\)，此时\(k=-1\)，有\(1\)个，
若\(a=\dfrac{3}{2}\)，则由\(a^k>1\)得\(k>0\)，此时\(k=\dfrac{1}{2}\)，\(2\)，有\(2\)个，
若\(a=2\)，则由\(a^k>1\)得\(k>0\)，此时\(k=\dfrac{1}{2}\)，\(2\)，有\(2\)个，
共有\(5\)个，
则对应的概率\(P=\dfrac{5}{9}\)，
故选：\(D\)． -
答案 \(C\)
解析 根据题意，事件\(A\cup B\)表示“两个点数之和等于\(8\)或至少有一颗骰子的点数为\(5\)”，
又抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数，则基本事件总数为\(36\)种，
事件\(A\cup B\)包含的基本事件为：\((2，6)，(6，2)，(3，5)，(5，3)，(4，4)，\)\((5，1)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，(1，5)，(2，5)，(4，5)\)，\((6，5)，(5，5)\)共\(14\)种，
则事件\(A\cup B\)的概率为\(\dfrac{14}{36}=\dfrac{7}{18}\)，
故选：\(C\)． -
答案 \(D\)
解析 三位数的回文数为\(ABA\)，
\(A\)共有\(1\)到\(9\)共\(9\)种可能，即\(1B1、2B2、3B3\)、…
\(B\)共有\(0\)到\(9\)共\(10\)种可能，即\(A0A、A1A、A2A、A3A\)、…
共有\(9×10=90\)个，
其中偶数为\(A\)是偶数，共\(4\)种可能，即\(2B2\)，\(4B4\)，\(6B6\)，\(8B8\)，
\(B\)共有\(0\)到\(9\)共\(10\)种可能，即\(A0A、A1A、A2A、A3A\)、…
其有\(4×10=40\)个，
\(\therefore\)三位数的回文数中，偶数的概率 \(P=\dfrac{40}{90}=\dfrac{4}{9}\)；
故选：\(D\)． -
答案 (1) 略；(2)\(\dfrac{8}{15}\)
解析 (1)这个试验的样本空间：
\(Ω=\{(A_1，A_2 )，(A_1，B_1 )，(A_1，B_2 )，(A_1，B_3 )，(A_1，B_4 )，(A_2，B_1 )，\)\((A_2，B_2 )，(A_2，B_3 )， (A_2，B_4 )，(B_1，B_2 )，(B_1，B_3 )，(B_1，B_4 )，\)\((B_2，B_3 )，(B_2，B_4 )，(B_3，B_4 )\}\)，
共\(15\)个样本点．
(2)因为(1)中的\(15\)个样本点出现的可能性是相等的，
事件“\(2\)个球颜色不同”包含的样本点有\((A_1，B_1 )，(A_1，B_2 )，(A_1，B_3 )，(A_1，B_4 )\)，
\((A_2，B_1 )，(A_2，B_2 )，(A_2，B_3 )，(A_2，B_4 )\)，共\(8\)个，
故所求事件的概率\(P=\dfrac{8}{15}\)． -
答案 (1) \(50\)；(2) \(10\)；(3)\(\dfrac{4}{9}\)
解析 (1)由题意可得 \(\dfrac{x}{500}=0.1\)，解得\(x=50\)；
(2)可得偏胖的学生共\(y+z=500-(50+120+50+180)=100\)，
\(\therefore\)由分层抽样可知偏胖的学生应抽取 \(100 \times \dfrac{50}{500}=10\)人；
(3)\(\because y+z=100\)，\(y≥46\)，\(z≥46\)，
\(\therefore\)偏胖学生中男、女生人数为\((46，54)，(47，53)，(48，52)\)，
\((49，51)，(50，50)，(51，49)，(52，48)，(53，47)，(54，46)\)共\(9\)种情形，
其中满足男生人数大于女生人数的为\((51，49)，(52，48)，(53，47)，(54，46)\)共\(4\)种，
\(\therefore\)所求概率\(P=\dfrac{4}{9}\). -
答案 (1)样本空间略，\(P(A)=\dfrac{1}{4}\)，\(P(B)=\dfrac{1}{4}\)；
(2) \(A\)与\(B\)不是互斥事件， \(P(A \cup B)=\dfrac{5}{12}\)；
(3) \(C={(1，0)，(1，2)，(1，3)，(2，3)}\)
解析 (1)从\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)这四个数字中，不放回地取两次，
样本空间\(Ω=\{(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，2)，(1，3)，\)\((2，0)，(2，1)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)\}\)，
所以\(n(Ω)=12\)．
因为事件\(A=\)“第一次取出的数字是\(1\)”，
所以\(A=\{(1，0)，(1，2)，(1，3)\}\)，
所以\(n(A)=3\)．
所以 \(P(A)=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}\)．
因为\(B=\)“第二次取出的数字是\(2\)”，
所以\(B=\{(0，2)，(1，2)，(3，2)\}\)，
所以\(n(B)=3\)．
所以 \(P(B)=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}\)．
(2)因为\(A∩B=\{(1，2)\}\)，所以\(A\)与\(B\)不是互斥事件．
因为\(A\cup B=\)“第一次取出的数字是\(1\)”或“第二次取出的数字是\(2\)”，
所以\(A\cup B=\{(1，0)，(1，2)，(1，3)，(0，2)，(3，2)\}\)，
所以\(n(A\cup B)=5\)，
所以 \(P(A \cup B)=\dfrac{5}{12}\)．
(3)\(C=\{(1，0)，(1，2)，(1，3)，(2，3)\}\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.下列古典概型的说法中正确的个数是( )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③基本事件的总数为\(n\)，随机事件\(A\)包含\(k\)个基本事件，则\(P(A)=\dfrac{k}{n}\)；
④每个基本事件出现的可能性相等．
A．\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(4\)
2.下列试验是古典概型的是( )
A．口袋中有\(2\)个白球和\(3\)个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球}
B．在区间\([-1，5]\)上任取一个实数\(x\)，使\(x^2-3x+2>0\)
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
3.掷一枚均匀的硬币两次，事件\(M=\{\)一次正面向上，一次反面向上\(\}\)；事件\(N=\{\)至少一次正面向上 \(\}\)．下列结果正确的是( )
A．\(P(M)=\dfrac{1}{3}\)，\(P(N)=\dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(P(M)=\dfrac{1}{2}\)，\(P(N)=\dfrac{3}{4}\)
C．\(P(M)=\dfrac{1}{3}\)，\(P(N)=\dfrac{3}{4}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．\(P(M)=\dfrac{1}{2}\)，\(P(N)=\dfrac{1}{2}\)
4.任取三个整数，至少有一个数为偶数的概率为( )
A.\(0.125\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(0.25\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(0.5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(0.875\)
5.(多选)已知甲罐中有\(2\)个大小、质地完全一样的小球，标号为\(1\)，\(2\)，乙罐中有\(4\)个大小、质地完全一样的小球，标号为\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取\(1\)个小球，记样本空间为\(Ω\)，事件\(A\)为“抽取的两个小球标号之和大于\(4\)”，事件\(B\)为“抽取的两个小球标号之积小于\(5\)”，则下列结论正确的是( )
A．\(A\)与\(B\)是互斥事件 \(\qquad\) B．\(A\)与\(B\)不是对立事件 \(\qquad\) C．\(Ω=A\cup B\) \(\qquad\) D． \(P(A)+P(B)=\dfrac{9}{8}\)
6.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为\(a\)，第二次朝上一面的点数为\(b\)，则函数\(y=ax^2-2bx+1\)在\((-\infty， 2]\)上为减函数的概率是\(\underline{\quad \quad}\)．
7.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么三辆汽车经过这个十字路口，至少有两辆车向左转的概率为\(\underline{\quad \quad}\)．
8.有\(3\)个相同的球，分别标有数字\(1\)，\(2\)，\(3\)，从中有放回的随机取两次，每次取\(1\)个球．用\((x，y)\)表示试验的样本点，其中\(x\)表示第一次取出的基本结果，\(y\)表示第二次取出的基本结果．
(1)写出这个试验的样本空间\(Ω\)；
(2)用\(A\)表示事件“第一次取出的球的数字是\(1\)”；用\(B\)表示事件“两次取出的球的数字之和是\(4\)”，求证：\(P(AB)=P(A)P(B)\)．
9.将一枚骰子先后抛掷\(2\)次，观察向上的点数，求：
(1)两数之和为\(6\)的概率；
(2)两数之和是\(3\)的倍数的概率；
(3)两数之积是\(6\)的倍数的概率；
(4)以第一次向上的点数为横坐标\(x\)、第二次向上的点数为纵坐标\(y\)的点\((x，y)\)在圆\(x^2+y^2=25\)的内部的概率．
10.将一颗骰子先后抛掷\(2\)次，观察向上的点数，事件\(A\)：“两数之和为\(8\)”，事件\(B\)：“两数之和是\(3\)的倍数”，事件\(C\)：“两个数均为偶数”．
(1)写出该试验的基本事件空间\(Ω\)，并求事件\(A\)发生的概率；
(2)求事件\(B\)发生的概率；
(3)事件\(A\)与事件\(C\)至少有一个发生的概率．
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 对于①，古典概型要求基本事件有有限个，\(\therefore\)①正确；
对于②，每个事件出现的可能性相等；不满足古典概型的定义，\(\therefore\) ②不正确；
对于③，基本事件的总数为\(n\)，随机事件\(A\)包含\(k\)个基本事件，则\(P(A)=\dfrac{k}{n}\)；满足古典概型的概率计算法则，\(\therefore\)③正确；
对于④，每个基本事件出现的可能性相等．满足古典概型的性质，\(\therefore\)④正确；
正确命题有：①③④．
故选：\(C\)． -
答案 \(C\)
解析 对于\(A\)，口袋中有\(2\)个白球和\(3\)个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球}，这两个事件不是等可能的，故\(A\)错误；
对于\(B\)，在区间\([-1，5]\)上任取一个实数\(x\)，使\(x^2-3x+2>0\)，该事件个数是无限的，故\(B\)错误；
对于\(C\)，抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面，情况为\(2\)种，有限，并且出现正面或反面的概率均为\(\dfrac{1}{2}\)，等可能，故\(C\)正确；
对于\(D\)，某人射击中靶或不中靶，不是等可能的，故\(D\)错误．
故选：\(C\)． -
答案 \(B\)
解析 掷一枚均匀的硬币两次，样本空间\(Ω=\{\)(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)\(\}\)，
事件\(M=\{\)(正，反)，(反，正)\(\}\)，\(\therefore P(M)=\dfrac{1}{2}\)；
事件\(N=\{\)(正，正)，(正，反)，(反，正)\(\}\)，\(P(N)=\dfrac{3}{4}\)．
故选：\(B\)． -
答案 \(D\)
解析 任取三个整数，共有八种情况：
其中至少有一个数为偶数的情况有\(7\)种，所以所求概率为 \(\dfrac{7}{8}=0.875\)，
故选\(D\). -
答案 \(BCD\)
解析 现从甲罐、乙罐中分别随机抽取\(1\)个小球，记样本空间为\(Ω\)，
则\(Ω=\{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)\}\)，
事件\(A\)为“抽取的两个小球标号之和大于\(4\)”，
则事件\(A\)包含的基本事件有：\(\{(1，4)，(2，3)，(2，4)\}\)，
事件\(B\)为“抽取的两个小球标号之积小于\(5\)”，
则事件\(B\)包含的基本事件有：
\(\{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)\}\)，
\(\therefore\)事件\(A\)，\(B\)能同时发生，故事件\(A\)，\(B\)不是互斥事件，不是对立事件，
故\(A\)错误，\(B\)正确；
\(Ω=A\cup B\)，故\(C\)正确；
\(P(A)+P(B)=\dfrac{3}{8}+\dfrac{6}{8}=\dfrac{9}{8}\)，故\(D\)正确．
故选：\(BCD\)． -
答案
解析 由题意，函数\(y=ax^2-2bx+1\)在\((-\infty， 2]\)上为减函数满足条件 \(\left\{\begin{array}{l} a>0 \\ \dfrac{b}{a} \geqslant 2 \end{array}\right.\)．
\(\because\)第一次朝上一面的点数为\(a\)，第二次朝上一面的点数为\(b\)，
\(\therefore a\)取\(1\)时，\(b\)可取\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(6\)；\(a\)取\(2\)时，\(b\)可取\(4\)，\(5\)，\(6\)；
\(a\)取\(3\)时，\(b\)可取\(6\)，共\(9\)种
\(\because (a，b)\)的取值共\(36\)种情况
\(\therefore\)所求概率为 \(\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}\)．
故答案为：\(\dfrac{1}{4}\)． -
答案 \(\dfrac{7}{27}\)
解析 三辆车经过十字路口的情况有\(27\)种，
至少有两辆车向左转的情况数为\(7\)种，所以概率为：\(\dfrac{7}{27}\)．故答案为：\(\dfrac{7}{27}\)． -
答案 (1)略 ；(2) 略
解析 (1)从\(3\)个球中有放回的随机取两次，该试验的样本空间\(Ω=\{(1，1)，(1，2)，(1，3)，\)\((2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)\}\)；
(2)证明：事件\(A\)包含的样本点为\((1，1)，(1，2)，(1，3)\)， \(P(A)=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\)；
事件\(B\)包含的样本点为\((1，3)\)，\((2，2)\)，\((3，1)\)， \(P(B)=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\)；
而事件\(AB\)表示“第一次取出的球的数字是\(1\)且两次取出的球的数字之和是\(4\)”，
它包含的样本点为\((1，3)\)， \(P(A B)=\dfrac{1}{9}\)；
故\(P(AB)=P(A)P(B)\)． -
答案 (1)\(\dfrac{5}{36}\)；(2)\(\dfrac{1}{3}\)；(3) \(\dfrac{5}{12}\)；(4) \(\dfrac{13}{36}\)
解析 (1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件数是\(6×6=36\)种结果，
满足条件是事件是两个数字的和是\(6\)，共有\((1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)\)五种情况，
\(\therefore\)两数之和为\(6\)的概率是\(\dfrac{5}{36}\)．
(2)记“两数之和是\(3\)的倍数”为事件\(B\)，则事件\(B\)中含有
\((1，2)，(1，5)，(2，1)，(2，4)，(3，3)，(3，6)，(4，2)，\)\((4，5)，(5，1)，(5，4)，(6，3)，(6，6)\)共\(12\)个基本事件，
故两数之和是\(3\)的倍数的概率为： \(P(B)=\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}\)
(3)记“向上的两数之积是\(6\)的倍数”为事件\(B\)，则由列表可知，事件\(B\)中含有其中的\(15\)个等可能基本事件，
所以 \(P(B)=\dfrac{15}{36}=\dfrac{5}{12}\)；
(4)由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件数是\(6×6=36\)种结果，
第一次向上点数为横坐标\(x\)、第二次向上的点数为纵坐标\(y\)的点\((x，y)\)
当\(x=1\)时，\(y\)有\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(4\)种结果，
当\(x=2\)时，\(y\)有\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(4\)种结果，
当\(x=3\)时，\(y\)有\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(3\)种结果，
当\(x=4\)时，\(y\)有\(1\)，\(2\)，\(2\)种结果，
\(\therefore\)共有\(4+4+3+2=13\)种结果．
\(\therefore\)要求的概率是 \(\dfrac{13}{36}\). -
答案 (1) 略；(2)\(\dfrac{1}{3}\)；(3) \(\dfrac{11}{36}\)
解析 (1)将一颗骰子先后抛掷\(2\)次，观察向上的点数，
\(Ω=\{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，\)
\((2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，\)
\((3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，\)
\((4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，\)
\((5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，\)
\((6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)\}\)，共有\(36\)个基本事件，
事件\(A\)：“两数之和为\(8\)”，事件\(A\)包含的基本事件有：
\((2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)\)，共\(5\)个基本事件，
\(\therefore\)事件\(A\)发生的概率为\(P(A)=\dfrac{5}{36}\)．
(2)事件\(B\)：“两数之和是的倍数”，
事件\(B\)包含的基本事件有\(12\)个，分别为：
\((1，2)，(1，5)，(2，1)，(2，4)，(3，3)，(3，6)，(4，2)，\)\((4，5)，(5，1)，(5，4)，(6，3)，(6，6)，\)
\(\therefore\)事件\(B\)发生的概率\(P(B)=\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}\)．
(3)事件\(A\)与事件\(C\)至少有一个发生包含的基本事件有\(11\)个，分别为：
\((2，2)，(2，4)，(2，6)，(3，5)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，\)\((5，3)，(6，2)，(6，4)，(6，6)\)，
\(\therefore\)事件\(A\)与事件\(C\)至少有一个发生的概率为 \(P(A \cup C)=\dfrac{11}{36}\)．
【B组---提高题】
1.一个正方体，它的表面涂满了红色．在它的每个面上切两刀可得\(27\)个小立方块，从中任取两个，其中恰有\(1\)个一面涂有红色，\(1\)个两面涂有红色的概率为( )
A． \(\dfrac{16}{117}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \(\dfrac{32}{117}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C． \(\dfrac{8}{39}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(\dfrac{16}{39}\)
参考答案
- 答案 \(C\)
解析 根据题意，分析可得：
在分割下来的\(27\)个完全相等的小正方体中，有\(6\)个只有一面有红色，有\(12\)个两面有红色，\(8\)块有\(3\)面红色，而还有一个没有红色；
则从中任取\(2\)个，其中\(1\)个恰有一面涂有红色，另\(1\)个恰有两面涂有红色的情况有\(12×6\)种；而从\(27\)块中任取两块，有\(27×26\)种情况；
则从中任取\(2\)个，其中\(1\)个恰有一面涂有红色，另\(1\)个恰有两面涂有红色的概率为 \(\dfrac{12 \times 6}{27 \times 26}=\dfrac{8}{39}\)，故选：\(C\).
