10.1.3 古典概型

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[【基础过关系列】高一数学同步精品讲义与分层练习 (人教 A 版 2019）]
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必修第二册同步巩固，难度 2 颗星！

基础知识

概率

对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件 $A$ 的概率用 $P(A)$ 表示.
【例】 掷一个硬币，事件 $A$ 为硬币出现的是正面，则 $P(A)=\dfrac{1}{2}$.
 

古典概型的特点

（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
满足以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率概型，简称古典概型.

【例 1】 “在 $1$，$2$，$3$，$4$，$5$ 中取 $2$ 个数，其差为 $1$ 概率” 属于古典概型，因为试验的结果有限，每种结果发生的可能性相等；
【例 2】 “在区间 $[1，5]$ 中取 $2$ 个数，其差为 $1$ 概率” 不属于古典概型，因为试验的结果有无限种可能；
【例 3】 “贵哥投篮中与否” 不属于古典概型，因为中与不中的可能性不相等.
 

古典概型事件A的概率

(1) 古典概型概率
一般地，设试验 $E$ 是古典概型，样本空间 $Ω$ 包含 $n$ 个样本点，事件 $A$ 包含其中的 $k$ 个样本点，则定义事件 $A$ 的概率

$$P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$$

其中 $n(A)$ 和 $n(Ω)$ 分别表示事件 $A$ 和样本空间 $Ω$ 包含的样本点个数.
【例】 掷一个骰子，事件 $A=$“点数为奇数”，则 $n(Ω)=6$，$n(A)=3$，
$P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
 

(2) 求解古典概型问题的一般思路
① 明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）；
② 根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
③ 计算样本点总个数及事件 $A$ 包含的样本点个数，求出事件 $A$ 的概率.
 

基本方法

【题型1】 古典概型的概念

【典题 1】 下列概率模型中，古典概型的个数为 (　　)
①从区间 $[1，10]$ 内任取一个数，求取到 $1$ 的概率；
②从 $1$，$2$，…，$9$，$10$ 中任取一个整数，求取到 $1$ 的概率；
③向正方形 $ABCD$ 内任意投一点 $P$，求点 $P$ 刚好与点 $A$ 重合的概率；
④抛掷一枚质地不均匀的骰子，求向上点数为 $3$ 的概率．
  A．$1$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$2$$\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$3$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$4$
解析 古典概型满足两个条件：①随机实验所有可能的结果是有限的；②每个基本结果发生的概率是相同的．
对于①，从区间 $[1，10]$ 内任取一个数，有无数种取法，
不满足古典概型事件的有限性，故①不是古典概型；
对于②，从 $1$，$2$，…，$9$，$10$ 中任取一个整数，求取到 $1$ 的概率，
满足古典概型的两个条件，故②是古典概型；
对于③，向正方形 $ABCD$ 内任意投一点 $P$，有无数种投法，
不满足古典概型事件的有限性，故③不是古典概型；
对于④，抛掷一枚质地不均匀的骰子，求向上点数为 $3$ 的概率，
不满足等可能性，故④不是古典概型．
故选：$A$．
点拨 古典概型要满足有限性和等可能性.
 

【巩固练习】

1. 下列是古典概型的个数有 (　　)
①已知 $1≤x≤9$ 且 $x\in Z$，从 $x$ 中任取一个数，则满足 $2<x≤5$ 的概率；
②同时掷两颗骰子，点数和为 $11$ 的概率；
③近一周中有一天降雨的概率；
④$10$ 个人站成一排，其中甲在乙右边的概率．
  A．$1$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$2$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$3$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$4$
 

2. 下列试验中，为古典概型的是 (　　)
  A．种下一粒种子，他是否发芽
  B．从规格质量为 $59$ 千克的产品中任意抽取一袋，其是否合格
  C．抛掷一枚硬币，观察其出现正面还是反面
  D．某人射击中靶或不中靶
 

参考答案

1. 答案 $C$
   解析 古典概型有两个特点：一是结果有有限个；二是每个结果发生的可能性相等，
   (1) 符合上述两个特点，是古典概型；
   (2) 符合上述两个特点，是古典概型；
   (3) 符合上述第一个特点，但每个结果可能性不相等，不是古典概型；
   (4) 符合上述两个特点，是古典概型．
   故选：$C$．
2. 答案 $C$
   解析 $A$、$D$ 选项中基本事件发生的可能性不相等，$A$、$D$ 错误；
   对于 $B$，基本事件的个数有无限个，$B$ 错误；
   $C$ 符合古典概型的定义，$C$ 正确．
   故选：$C$．
    

【题型2】 求古典概型概率

【典题 1】 如图是一个古典概型的样本空间 $Ω$ 和事件 $A$ 和 $B$，其中 $n(Ω)=24$，$n(A)=12$，$n(B)=8$，$n(A\cup B)=16$，下列运算结果，正确的有 (　　)

  A．$n(AB)=4$ $\qquad \qquad$ B．$P(AB)=\dfrac{1}{6}$ $\qquad \qquad$ C．$P(A\cup B)=\dfrac{2}{3}$ $\qquad \qquad$ D． $P(\bar{A} \bar{B})=\dfrac{1}{2}$
解析 对于 $A$，$\because n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(AB)$，
$\therefore n(AB)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)=4$．故 $A$ 正确；
对于 $B$，$P(A B)=\dfrac{n(A B)}{n(\Omega)}=\dfrac{4}{24}=\dfrac{1}{6}$，故 $B$ 正确；
对于 $C$， $P(A \cup B)=\dfrac{n(A \cup B)}{n(\Omega)}=\dfrac{16}{24}=\dfrac{2}{3}$，故 $C$ 正确；
对于 $D$， $\because n(\bar{A} \bar{B})=n(\Omega)-n(A \cup B)=24-16=8$，
$\therefore P(\bar{A} \bar{B})=\dfrac{n(\bar{A} \bar{B})}{n(\Omega)}=\dfrac{8}{24}=\dfrac{1}{3}$，故 $D$ 错误．
故选：$ABC$．
 

【典题 2】 若连掷两次骰子，分别得到的点数是 $m$、$n$，将 $m$、$n$ 作为点 $P$ 的坐标，则点 $P$ 落在区域 $|x-2|+|y-2|⩽2$ 内的概率是 $\underline{\quad \quad}$ .
解析 掷两次骰子，会有 $6×6=36$ 种可能．
点 $P(m，n)$ 落在区域 $|x-2|+|y-2|⩽2$ 内，即 $|m-2|+|n-2|⩽2$，则共有以下可能性．
①$(1，1)，(1，2)，(1，3)$；
②$(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)$；
③$(3，1)，(3，2)，(3，3)$；
④$(4，2)$；
这 $11$ 个点都满足 $|m-2|+|n-2|⩽2$，即所求概率为 $P=\dfrac{11}{36}$．
点拨 求解古典概型问题的一般思路
① 明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）；
② 根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
③ 计算样本点总个数及事件 $A$ 包含的样本点个数，求出事件 $A$ 的概率.
 

【典题 3】 将一颗骰子先后抛掷 $2$ 次，观察向上的点数，事件 $A$：“两数之和为 $8$”，事件 $B$：“两数之和是 $3$ 的倍数”，事件 $C$：“两个数均为偶数”．
(1) 写出该试验的基本事件空间 $Ω$，并求事件 $A$ 发生的概率；
(2) 求事件 $B$ 发生的概率；
(3) 事件 $A$ 与事件 $C$ 至少有一个发生的概率．
解析 (1) 将一颗骰子先后抛掷 $2$ 次，观察向上的点数，
$Ω=\{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)$，
$(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)$，
$(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)$，
$(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)$，
$(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)$，
$(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)\}$，共有 $36$ 个基本事件，
事件 $A$：“两数之和为 $8$”，事件 $A$ 包含的基本事件有：
$(2，6)$，$(3，5)$，$(4，4)$，$(5，3)$，$(6，2)$，共 $5$ 个基本事件，
$\therefore$ 事件 $A$ 发生的概率为 $P(A)=\dfrac{5}{36}$．
(2) 事件 $B$：“两数之和是 $3$ 的倍数”，
事件 $B$ 包含的基本事件有 $12$ 个，分别为：
$(1，2)$，$(1，5)$，$(2，1)$，$(2，4)$，$(3，3)$，$(3，6)$，$(4，2)$，$(4，5)$，$(5，1)$，$(5，4)$，$(6，3)$，$(6，6)$，
$\therefore$ 事件 $B$ 发生的概率 $P(B)=\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}$．
(3) 事件 $A$ 与事件 $C$ 至少有一个发生包含的基本事件有 $11$ 个，分别为：
$(2，2)$，$(2，4)$，$(2，6)$，$(3，5)$，$(4，2)$，$(4，4)$，
$(4，6)$，$(5，3)$，$(6，2)$，$(6，4)$，$(6，6)$，
$\therefore$ 事件 $A$ 与事件 $C$ 至少有一个发生的概率为 $P(A \cup C)=\dfrac{11}{36}$．
 

【巩固练习】

1. 从 $4$ 名选手甲、乙、丙、丁中选取 $2$ 人组队参加数学竞赛，其中甲被选中的概率是 (　　)
  A．$\dfrac{1}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{1}{2}$$\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{2}{3}$$\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{3}{5}$
 

2. 先后抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是 $8$，$7$，$6$ 的概率依次为 $P_1$，$P_2$，$P_3$，则 (　　)
 A．$P_1=P_2<P_3$ $\qquad \qquad$ B．$P_3<P_2<P_1$ $\qquad \qquad$ C．$P_3=P_1<P_2$ $\qquad \qquad$ D．$P_3=P_1>P_2$
 

3. 从集合 $A=\{-1， \dfrac{1}{2}，2\}$ 中随机选取一个数记为 $k$，从集合 $B=\{\dfrac{1}{2}， \dfrac{3}{2}，2\}$ 中随机选取一个数记为 $a$，则 $a^k>1$ 的概率为 (　　)
  A．$\dfrac{1}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{2}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{7}{9}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{5}{9}$
 

4. 抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数．设 $A=$“两个点数之和等于 $8$”，$B=$“至少有一颗骰子的点数为 $5$”，则事件 $A\cup B$ 的概率是 (　　)
  A． $\dfrac{1}{18}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{2}{9}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C． $\dfrac{7}{18}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{4}{9}$
 

5. 数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如 $343$、$12521$ 等，两位数的回文数有 $11$、$22$、$33$、…、$99$ 共 $9$ 个，则三位数的回文数中为偶数的概率是 (　　)
  A． $\dfrac{1}{9}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{2}{9}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C． $\dfrac{1}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{4}{9}$
 

6. 一个口袋内装有大小相同的 $6$ 个小球，其中 $2$ 个红球记为 $A_1$，$A_2$，$4$ 个黑球记为 $B_1$，$B_2$，$B_3$，$B_4$，从中一次摸出 $2$ 个球．
  (1) 写出这个试验的样本空间及样本点总数；
  (2) 求摸出的 $2$ 个球颜色不同的概率．
 
 
 

7. 调查某校高三年级 $500$ 名学生的肥胖情况，得到下表：

	偏瘦	正常	偏胖
女生(人)	$x$	$120$	$y$
男生(人)	$50$	$180$	$z$

已知从这批学生中随机抽取 $1$ 名学生，抽到偏瘦女生的概率为 $0.1$．
  (1) 求 $x$ 的值；
  (2) 若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取 $50$ 名，问应在偏胖学生中抽多少名？
  (3) 已知 $y≥46$，$z≥46$，求偏胖学生中男生人数大于女生人数的概率．
 
 
 

8. 从 $0$，$1$，$2$，$3$ 这四个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成数对 $(x，y)$，$x$ 为第一次取到的数字，$y$ 为第二次取到的数字．设事件 $A=$“第一次取出的数字是 $1$”，$B=$“第二次取出的数字是 $2$”．
  (1) 写出此试验的样本空间及 $P(A)$，$P(B$) 的值；
  (2) 判断 $A$ 与 $B$ 是否为互斥事件，并求 $P(A\cup B)$；
  (3) 写出一个事件 $C$，使 $A\subseteq C$ 成立．
 
 
 

参考答案

1. 答案 $B$
   解析 根据题意，从 $4$ 名选手甲、乙、丙、丁中选取 $2$ 人，
   有 (甲、乙)(甲、丙)(甲、丁)(乙、丙)(乙、丁)(丙、丁)，
   共 $6$ 种不同的取法；甲被选中的有 (甲、乙)(甲、丙)(甲、丁) 的三种；
   则甲被选中的概率是 $\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$，故选 $B$．

2. 答案 $C$
   解析 先后抛掷两枚骰子，出现的点数共有：
   $(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，$
   $(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，$
   $(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，$
   $(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，$
   $(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，$
   $(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)$，共 $36$ 种
   其中点数之和是 $8$ 的有 $5$ 种，故 $P_1=\dfrac{5}{36}$；点数之和是 $7$ 的有 $6$ 种，故 $P_2=\dfrac{6}{36}$；
   点数之和是 $6$ 的有 $5$ 种，故 $P_3=\dfrac{5}{36}$；故 $P_1=P_3<P_2$；
   故选 $C$.

3. 答案 $D$
   解析 分别从集合 $A$，$B$ 各取一个数，共有 $3×3=9$ 组实数对，
   若 $a=\dfrac{1}{2}$，则由 $a^k>1$ 得 $k<0$，此时 $k=-1$，有 $1$ 个，
   若 $a=\dfrac{3}{2}$，则由 $a^k>1$ 得 $k>0$，此时 $k=\dfrac{1}{2}$，$2$，有 $2$ 个，
   若 $a=2$，则由 $a^k>1$ 得 $k>0$，此时 $k=\dfrac{1}{2}$，$2$，有 $2$ 个，
   共有 $5$ 个，
   则对应的概率 $P=\dfrac{5}{9}$，
   故选：$D$．

4. 答案 $C$
   解析 根据题意，事件 $A\cup B$ 表示 “两个点数之和等于 $8$ 或至少有一颗骰子的点数为 $5$”，
   又抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数，则基本事件总数为 $36$ 种，
   事件 $A\cup B$ 包含的基本事件为：$(2，6)，(6，2)，(3，5)，(5，3)，(4，4)，$$(5，1)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，(1，5)，(2，5)，(4，5)$，$(6，5)，(5，5)$ 共 $14$ 种，
   则事件 $A\cup B$ 的概率为 $\dfrac{14}{36}=\dfrac{7}{18}$，
   故选：$C$．

5. 答案 $D$
   解析 三位数的回文数为 $ABA$，
   $A$ 共有 $1$ 到 $9$ 共 $9$ 种可能，即 $1B1、2B2、3B3$、…
   $B$ 共有 $0$ 到 $9$ 共 $10$ 种可能，即 $A0A、A1A、A2A、A3A$、…
   共有 $9×10=90$ 个，
   其中偶数为 $A$ 是偶数，共 $4$ 种可能，即 $2B2$，$4B4$，$6B6$，$8B8$，
   $B$ 共有 $0$ 到 $9$ 共 $10$ 种可能，即 $A0A、A1A、A2A、A3A$、…
   其有 $4×10=40$ 个，
   $\therefore$ 三位数的回文数中，偶数的概率 $P=\dfrac{40}{90}=\dfrac{4}{9}$；
   故选：$D$．

6. 答案 (1) 略；(2)$\dfrac{8}{15}$
   解析 (1) 这个试验的样本空间：
   $Ω=\{(A_1，A_2 )，(A_1，B_1 )，(A_1，B_2 )，(A_1，B_3 )，(A_1，B_4 )，(A_2，B_1 )，$$(A_2，B_2 )，(A_2，B_3 )， (A_2，B_4 )，(B_1，B_2 )，(B_1，B_3 )，(B_1，B_4 )，$$(B_2，B_3 )，(B_2，B_4 )，(B_3，B_4 )\}$，
   共 $15$ 个样本点．
   (2) 因为 (1) 中的 $15$ 个样本点出现的可能性是相等的，
   事件 “$2$ 个球颜色不同” 包含的样本点有 $(A_1，B_1 )，(A_1，B_2 )，(A_1，B_3 )，(A_1，B_4 )$，
   $(A_2，B_1 )，(A_2，B_2 )，(A_2，B_3 )，(A_2，B_4 )$，共 $8$ 个，
   故所求事件的概率 $P=\dfrac{8}{15}$．

7. 答案 (1) $50$；(2) $10$；(3)$\dfrac{4}{9}$
   解析 (1) 由题意可得 $\dfrac{x}{500}=0.1$，解得 $x=50$；
   (2) 可得偏胖的学生共 $y+z=500-(50+120+50+180)=100$，
   $\therefore$ 由分层抽样可知偏胖的学生应抽取 $100 \times \dfrac{50}{500}=10$ 人；
   (3)$\because y+z=100$，$y≥46$，$z≥46$，
   $\therefore$ 偏胖学生中男、女生人数为 $(46，54)，(47，53)，(48，52)$，
   $(49，51)，(50，50)，(51，49)，(52，48)，(53，47)，(54，46)$ 共 $9$ 种情形，
   其中满足男生人数大于女生人数的为 $(51，49)，(52，48)，(53，47)，(54，46)$ 共 $4$ 种，
   $\therefore$ 所求概率 $P=\dfrac{4}{9}$.

8. 答案 (1) 样本空间略，$P(A)=\dfrac{1}{4}$，$P(B)=\dfrac{1}{4}$；
   (2) $A$ 与 $B$ 不是互斥事件， $P(A \cup B)=\dfrac{5}{12}$；
   (3) $C={(1，0)，(1，2)，(1，3)，(2，3)}$
   解析 (1) 从 $0$，$1$，$2$，$3$ 这四个数字中，不放回地取两次，
   样本空间 $Ω=\{(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，2)，(1，3)，$$(2，0)，(2，1)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)\}$，
   所以 $n(Ω)=12$．
   因为事件 $A=$“第一次取出的数字是 $1$”，
   所以 $A=\{(1，0)，(1，2)，(1，3)\}$，
   所以 $n(A)=3$．
   所以 $P(A)=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$．
   因为 $B=$“第二次取出的数字是 $2$”，
   所以 $B=\{(0，2)，(1，2)，(3，2)\}$，
   所以 $n(B)=3$．
   所以 $P(B)=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$．
   (2) 因为 $A∩B=\{(1，2)\}$，所以 $A$ 与 $B$ 不是互斥事件．
   因为 $A\cup B=$“第一次取出的数字是 $1$” 或 “第二次取出的数字是 $2$”，
   所以 $A\cup B=\{(1，0)，(1，2)，(1，3)，(0，2)，(3，2)\}$，
   所以 $n(A\cup B)=5$，
   所以 $P(A \cup B)=\dfrac{5}{12}$．
   (3)$C=\{(1，0)，(1，2)，(1，3)，(2，3)\}$．
    

分层练习

【A组---基础题】

1. 下列古典概型的说法中正确的个数是 (　　)
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③基本事件的总数为 $n$，随机事件 $A$ 包含 $k$ 个基本事件，则 $P(A)=\dfrac{k}{n}$；
④每个基本事件出现的可能性相等．
  A．$1$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$2$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$3$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$4$
 

2. 下列试验是古典概型的是 (　　)
  A．口袋中有 $2$ 个白球和 $3$ 个黑球，从中任取一球，样本点为 {取中白球} 和 {取中黑球}
  B．在区间 $[-1，5]$ 上任取一个实数 $x$，使 $x^2-3x+2>0$
  C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
  D．某人射击中靶或不中靶
 

3. 掷一枚均匀的硬币两次，事件 $M=\{$ 一次正面向上，一次反面向上 $\}$；事件 $N=\{$ 至少一次正面向上 $\}$．下列结果正确的是 (　　)
  A．$P(M)=\dfrac{1}{3}$，$P(N)=\dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$P(M)=\dfrac{1}{2}$，$P(N)=\dfrac{3}{4}$
  C．$P(M)=\dfrac{1}{3}$，$P(N)=\dfrac{3}{4}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$D．$P(M)=\dfrac{1}{2}$，$P(N)=\dfrac{1}{2}$
 

4. 任取三个整数，至少有一个数为偶数的概率为 (　　)
 A.$0.125$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B.$0.25$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C.$0.5$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D.$0.875$
 

5.(多选) 已知甲罐中有 $2$ 个大小、质地完全一样的小球，标号为 $1$，$2$，乙罐中有 $4$ 个大小、质地完全一样的小球，标号为 $1$，$2$，$3$，$4$，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取 $1$ 个小球，记样本空间为 $Ω$，事件 $A$ 为 “抽取的两个小球标号之和大于 $4$”，事件 $B$ 为 “抽取的两个小球标号之积小于 $5$”，则下列结论正确的是 (　　)
  A．$A$ 与 $B$ 是互斥事件 $\qquad$ B．$A$ 与 $B$ 不是对立事件 $\qquad$ C．$Ω=A\cup B$ $\qquad$ D． $P(A)+P(B)=\dfrac{9}{8}$
 

6. 将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为 $a$，第二次朝上一面的点数为 $b$，则函数 $y=ax^2-2bx+1$ 在 $(-\infty， 2]$ 上为减函数的概率是 $\underline{\quad \quad}$．
 

7. 经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么三辆汽车经过这个十字路口，至少有两辆车向左转的概率为 $\underline{\quad \quad}$．
 

8. 有 $3$ 个相同的球，分别标有数字 $1$，$2$，$3$，从中有放回的随机取两次，每次取 $1$ 个球．用 $(x，y)$ 表示试验的样本点，其中 $x$ 表示第一次取出的基本结果，$y$ 表示第二次取出的基本结果．
  (1) 写出这个试验的样本空间 $Ω$；
  (2) 用 $A$ 表示事件 “第一次取出的球的数字是 $1$”；用 $B$ 表示事件 “两次取出的球的数字之和是 $4$”，求证：$P(AB)=P(A)P(B)$．
 
 
 

9. 将一枚骰子先后抛掷 $2$ 次，观察向上的点数，求：
  (1) 两数之和为 $6$ 的概率；
  (2) 两数之和是 $3$ 的倍数的概率；
  (3) 两数之积是 $6$ 的倍数的概率；
  (4) 以第一次向上的点数为横坐标 $x$、第二次向上的点数为纵坐标 $y$ 的点 $(x，y)$ 在圆 $x^2+y^2=25$ 的内部的概率．
 
 
 

10. 将一颗骰子先后抛掷 $2$ 次，观察向上的点数，事件 $A$：“两数之和为 $8$”，事件 $B$：“两数之和是 $3$ 的倍数”，事件 $C$：“两个数均为偶数”．
  (1) 写出该试验的基本事件空间 $Ω$，并求事件 $A$ 发生的概率；
  (2) 求事件 $B$ 发生的概率；
  (3) 事件 $A$ 与事件 $C$ 至少有一个发生的概率．
 
 
 

参考答案

1. 答案 $C$
   解析 对于①，古典概型要求基本事件有有限个，$\therefore$①正确；
   对于②，每个事件出现的可能性相等；不满足古典概型的定义，$\therefore$ ②不正确；
   对于③，基本事件的总数为 $n$，随机事件 $A$ 包含 $k$ 个基本事件，则 $P(A)=\dfrac{k}{n}$；满足古典概型的概率计算法则，$\therefore$③正确；
   对于④，每个基本事件出现的可能性相等．满足古典概型的性质，$\therefore$④正确；
   正确命题有：①③④．
   故选：$C$．

2. 答案 $C$
   解析 对于 $A$，口袋中有 $2$ 个白球和 $3$ 个黑球，从中任取一球，样本点为 {取中白球} 和 {取中黑球}，这两个事件不是等可能的，故 $A$ 错误；
   对于 $B$，在区间 $[-1，5]$ 上任取一个实数 $x$，使 $x^2-3x+2>0$，该事件个数是无限的，故 $B$ 错误；
   对于 $C$，抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面，情况为 $2$ 种，有限，并且出现正面或反面的概率均为 $\dfrac{1}{2}$，等可能，故 $C$ 正确；
   对于 $D$，某人射击中靶或不中靶，不是等可能的，故 $D$ 错误．
   故选：$C$．

3. 答案 $B$
   解析 掷一枚均匀的硬币两次，样本空间 $Ω=\{$(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)$\}$，
   事件 $M=\{$(正，反)，(反，正)$\}$，$\therefore P(M)=\dfrac{1}{2}$；
   事件 $N=\{$(正，正)，(正，反)，(反，正)$\}$，$P(N)=\dfrac{3}{4}$．
   故选：$B$．

4. 答案 $D$
   解析 任取三个整数，共有八种情况：
   
   其中至少有一个数为偶数的情况有 $7$ 种，所以所求概率为 $\dfrac{7}{8}=0.875$，
   故选 $D$.

5. 答案 $BCD$
   解析 现从甲罐、乙罐中分别随机抽取 $1$ 个小球，记样本空间为 $Ω$，
   则 $Ω=\{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)\}$，
   事件 $A$ 为 “抽取的两个小球标号之和大于 $4$”，
   则事件 $A$ 包含的基本事件有：$\{(1，4)，(2，3)，(2，4)\}$，
   事件 $B$ 为 “抽取的两个小球标号之积小于 $5$”，
   则事件 $B$ 包含的基本事件有：
   $\{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)\}$，
   $\therefore$ 事件 $A$，$B$ 能同时发生，故事件 $A$，$B$ 不是互斥事件，不是对立事件，
   故 $A$ 错误，$B$ 正确；
   $Ω=A\cup B$，故 $C$ 正确；
   $P(A)+P(B)=\dfrac{3}{8}+\dfrac{6}{8}=\dfrac{9}{8}$，故 $D$ 正确．
   故选：$BCD$．

6. 答案
   解析 由题意，函数 $y=ax^2-2bx+1$ 在 $(-\infty， 2]$ 上为减函数满足条件 $\left\{\begin{array}{l} a>0 \\ \dfrac{b}{a} \geqslant 2 \end{array}\right.$．
   $\because$ 第一次朝上一面的点数为 $a$，第二次朝上一面的点数为 $b$，
   $\therefore a$ 取 $1$ 时，$b$ 可取 $2$，$3$，$4$，$5$，$6$；$a$ 取 $2$ 时，$b$ 可取 $4$，$5$，$6$；
   $a$ 取 $3$ 时，$b$ 可取 $6$，共 $9$ 种
   $\because (a，b)$ 的取值共 $36$ 种情况
   $\therefore$ 所求概率为 $\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}$．
   故答案为：$\dfrac{1}{4}$．

7. 答案 $\dfrac{7}{27}$
   解析 三辆车经过十字路口的情况有 $27$ 种，
   至少有两辆车向左转的情况数为 $7$ 种，所以概率为：$\dfrac{7}{27}$．故答案为：$\dfrac{7}{27}$．

8. 答案 (1) 略 ；(2) 略
   解析 (1) 从 $3$ 个球中有放回的随机取两次，该试验的样本空间 $Ω=\{(1，1)，(1，2)，(1，3)，$$(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)\}$；
   (2) 证明：事件 $A$ 包含的样本点为 $(1，1)，(1，2)，(1，3)$， $P(A)=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$；
   事件 $B$ 包含的样本点为 $(1，3)$，$(2，2)$，$(3，1)$， $P(B)=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$；
   而事件 $AB$ 表示 “第一次取出的球的数字是 $1$ 且两次取出的球的数字之和是 $4$”，
   它包含的样本点为 $(1，3)$， $P(A B)=\dfrac{1}{9}$；
   故 $P(AB)=P(A)P(B)$．

9. 答案 (1)$\dfrac{5}{36}$；(2)$\dfrac{1}{3}$；(3) $\dfrac{5}{12}$；(4) $\dfrac{13}{36}$
   解析 (1) 由题意知本题是一个等可能事件的概率，
   试验发生包含的事件数是 $6×6=36$ 种结果，
   满足条件是事件是两个数字的和是 $6$，共有 $(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)$ 五种情况，
   $\therefore$ 两数之和为 $6$ 的概率是 $\dfrac{5}{36}$．
   (2) 记 “两数之和是 $3$ 的倍数” 为事件 $B$，则事件 $B$ 中含有
   $(1，2)，(1，5)，(2，1)，(2，4)，(3，3)，(3，6)，(4，2)，$$(4，5)，(5，1)，(5，4)，(6，3)，(6，6)$ 共 $12$ 个基本事件，
   故两数之和是 $3$ 的倍数的概率为： $P(B)=\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}$
   (3) 记 “向上的两数之积是 $6$ 的倍数” 为事件 $B$，则由列表可知，事件 $B$ 中含有其中的 $15$ 个等可能基本事件，
   所以 $P(B)=\dfrac{15}{36}=\dfrac{5}{12}$；
   (4) 由题意知本题是一个等可能事件的概率，
   试验发生包含的事件数是 $6×6=36$ 种结果，
   第一次向上点数为横坐标 $x$、第二次向上的点数为纵坐标 $y$ 的点 $(x，y)$
   当 $x=1$ 时，$y$ 有 $1$，$2$，$3$，$4$，$4$ 种结果，
   当 $x=2$ 时，$y$ 有 $1$，$2$，$3$，$4$，$4$ 种结果，
   当 $x=3$ 时，$y$ 有 $1$，$2$，$3$，$3$ 种结果，
   当 $x=4$ 时，$y$ 有 $1$，$2$，$2$ 种结果，
   $\therefore$ 共有 $4+4+3+2=13$ 种结果．
   $\therefore$ 要求的概率是 $\dfrac{13}{36}$.

10. 答案 (1) 略；(2)$\dfrac{1}{3}$；(3) $\dfrac{11}{36}$
    解析 (1) 将一颗骰子先后抛掷 $2$ 次，观察向上的点数，
    $Ω=\{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，$
    $(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，$
    $(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，$
    $(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，$
    $(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，$
    $(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)\}$，共有 $36$ 个基本事件，
    事件 $A$：“两数之和为 $8$”，事件 $A$ 包含的基本事件有：
    $(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)$，共 $5$ 个基本事件，
    $\therefore$ 事件 $A$ 发生的概率为 $P(A)=\dfrac{5}{36}$．
    (2) 事件 $B$：“两数之和是的倍数”，
    事件 $B$ 包含的基本事件有 $12$ 个，分别为：
    $(1，2)，(1，5)，(2，1)，(2，4)，(3，3)，(3，6)，(4，2)，$$(4，5)，(5，1)，(5，4)，(6，3)，(6，6)，$
    $\therefore$ 事件 $B$ 发生的概率 $P(B)=\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}$．
    (3) 事件 $A$ 与事件 $C$ 至少有一个发生包含的基本事件有 $11$ 个，分别为：
    $(2，2)，(2，4)，(2，6)，(3，5)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，$$(5，3)，(6，2)，(6，4)，(6，6)$，
    $\therefore$ 事件 $A$ 与事件 $C$ 至少有一个发生的概率为 $P(A \cup C)=\dfrac{11}{36}$．
     

【B组---提高题】

1. 一个正方体，它的表面涂满了红色．在它的每个面上切两刀可得 $27$ 个小立方块，从中任取两个，其中恰有 $1$ 个一面涂有红色，$1$ 个两面涂有红色的概率为 (　　)
 A． $\dfrac{16}{117}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B． $\dfrac{32}{117}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C． $\dfrac{8}{39}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D． $\dfrac{16}{39}$
 

参考答案

1. 答案 $C$
   解析 根据题意，分析可得：
   在分割下来的 $27$ 个完全相等的小正方体中，有 $6$ 个只有一面有红色，有 $12$ 个两面有红色，$8$ 块有 $3$ 面红色，而还有一个没有红色；
   则从中任取 $2$ 个，其中 $1$ 个恰有一面涂有红色，另 $1$ 个恰有两面涂有红色的情况有 $12×6$ 种；而从 $27$ 块中任取两块，有 $27×26$ 种情况；
   则从中任取 $2$ 个，其中 $1$ 个恰有一面涂有红色，另 $1$ 个恰有两面涂有红色的概率为 $\dfrac{12 \times 6}{27 \times 26}=\dfrac{8}{39}$，故选：$C$.