10.1.2 事件的关系和运算
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[ 【基础过关系列】高一数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019）]
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必修第二册同步巩固，难度2颗星！
基础知识
事件的关系和运算
1 包含
一般地，若事件\(A\)发生，则事件\(B\)一定发生，我们就称事件\(A\)包含于事件\(B\)，记作\(A\subseteq B\)；
【例】 掷一个骰子，事件\(A=\)“点数为\(2\)”，事件\(B=\)“点数为偶数”，显然\(A\subseteq B\).
2 并事件(或和事件)
一般地，事件\(A\)与事件\(B\)至少有一个发生，我们称这个事件为事件\(A\)与事件\(B\)的并事件(或和事件)，记作\(A\cup B\)(或\(A+B\)).
【例】 掷一个骰子，事件\(A=\)“点数为\(2\)或\(3\)”，事件\(B=\)“点数为\(3\)或\(4\)”，则事件\(A\cup B=\)“点数为\(2\)或\(3\)或\(4\)”.
3 交事件(或积事件)
一般地，事件\(A\)与事件\(B\)同时发生，我们称这样一个事件为事件\(A\)与事件\(B\)的交事件(或积事件)，记作\(A\cap B\)(或\(AB\)).
【例】 掷一个骰子，事件\(A=\)“点数为\(2\)或\(3\)”，事件\(B=\)“点数为\(3\)或\(4\)”，则事件\(A\cap B=\)“点数为\(3\)”.
4 互斥
一般地，如果事件\(A\)与事件\(B\)不能同时发生，也就是\(A\cap B\)是一个不可能事件，即\(A\cap B=\varnothing\)，则称事件\(A\)与事件\(B\)互斥(或互不相容).
【例】 掷一个骰子，事件\(A=\)“点数为\(2\)”，事件\(B=\)“点数为\(3\)”，则事件\(A\)与事件\(B\)互斥.
5 对立
一般地，如果事件\(A\)与事件\(B\)在任何一次试验中有且仅有一个发生，即\(A\cup B=Ω\)且\(A\cap B=\varnothing\)，则称事件\(A\)与事件\(B\)互为对立，事件\(A\)的对立事件记为\(\overline{A}\).
【例】 掷一个骰子，事件\(A=\)“点数为奇数”，事件\(B=\)“点数为偶数”，则事件\(A\)与事件\(B\)对立.
显然事件\(A\)和事件\(B\)相互对立，他们一定相互独立；独立事件不一定是对立事件.
综上所述，事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示如下
| 事件的关系或运算 | 含义 | 符号表示 |
|---|---|---|
| 包含 | \(A\)发生导致\(B\)发生 | \(A\subseteq B\) |
| 并事件（和事件） | \(A\)与\(B\)至少一个发生 | \(A\cup B\)或 \(A+B\) |
| 交事件（积事件） | \(A\)与\(B\)同时发生 | \(A\cap B\)或\(AB\) |
| 互斥 | \(A\)与\(B\)不能同时发生 | \(A\cap B=\varnothing\) |
| 对立 | \(A\)与\(B\)有且仅有一个发生 | \(A\cup B=Ω\)且\(A\cap B=\varnothing\) |
类似地，我们可以定义多个事件的和事件及其积事件.例如，对于三个事件\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(A\cup B\cup C\)（或\(A+B+C\)）发生当且仅当\(A\)，\(B\)，\(C\)中至少一个发生，\(A\cap B\cap C\)（或\(ABC\)）发生当且仅当\(A\)，\(B\)，\(C\)同时发生，等等.
在理解事件的关系或运算时，利用集合的\(venn\)图较为容易.
基本方法
【题型1】 事件的关系
【典题1】 (多选)已知盒中有\(5\)个红球，\(3\)个白球，从盒中任取\(2\)个球，下列说法中正确的是( )
A．全是白球与全是红球是对立事件
B．没有白球与至少有一个白球是对立事件
C．只有一个白球与只有一个红球是互斥关系
D．全是红球与至少有一个红球是包含关系
解析 从盒中任取\(2\)球，出现球的颜色情况是: 全是红球，一红球一白球，全是白球；
对于\(A\)，除了全是白球与全是红球还有一红一白的情况，故全是白球与全是红球不是对立事件；
对于\(B\)，至少有一个的对立面是没有一个，所以\(B\)正确；
对于\(C\)，只有一个白球与只有一个红球都属于“一红球一白球”的基本事件，不互斥；
对于\(D\)，至少有一个红球包括“一红一白”、“全是红球”两种基本事件，故全是红球与至少有一个红球是包含关系，所以\(D\)正确；
故选\(BD\).
点拨 对于判断事件的关系，要了解样本空间的所有基本事件，利用\(venn\)图也有助于判断.
【典题2】(多选)不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各\(2\)张，一次任意取出\(2\)张卡片，则与事件“\(2\)张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有 ( )
A．\(2\)张卡片不全为红色 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2\)张卡片恰有一张红色
C．\(2\)张卡片至少有一张红色 \(\qquad \qquad\qquad \qquad\) D．\(2\)张卡片都为绿色
解析 根据题意，依次分析选项：
对于\(A\)，事件“\(2\)张卡片都为红色”与“\(2\)张卡片不全为红色”是对立事件，不符合题意；
对于\(B\)，事件“\(2\)张卡片都为红色”与“\(2\)张卡片恰有一张红色”是互斥而不对立，符合题意；
对于\(C\)，事件“\(2\)张卡片都为红色”与“\(2\)张卡片至少有一张红色”不是互斥事件，不符合题意，
对于\(D\)，事件“\(2\)张卡片都为红色”与“\(2\)张卡片都为绿色”是互斥而不对立，符合题意；
故选：\(BD\)．
点拨本题理解对立事件和互斥事件的概念是关键，对立事件是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件.
【巩固练习】
1.已知事件\(A\)、\(B\)、\(C\)满足\(A\subseteq B\)，\(B\subseteq C\)，则下列说法不正确的是( )
A．事件\(A\)发生一定导致事件\(C\)发生\(\qquad \qquad\) B．事件\(B\)发生一定导致事件\(C\)发生
C．事件\(\overline{A}\)发生不一定导致事件\(\overline{C}\)发生 \(\qquad \qquad\) D．事件\(\overline{C}\)发生不一定导致事件\(\overline{B}\)发生
2.下列每对事件是互斥事件的个数是( )
(1)将一枚均匀的硬币抛\(2\)次，记事件\(A\)：两次出现正面；事件\(B\)：只有一次出现正面
(2)某人射击一次，记事件\(A\)：中靶，事件\(B\)：射中\(9\)环
(3)某人射击一次，记事件\(A\)：射中环数大于\(5\)；事件\(B\)：射中环数小于\(5\)．
A．\(0\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(1\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(2\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(3\)个
3.在试验“甲射击三次，观察中靶的情况”中，事件\(A\)表示随机事件“至少中靶\(1\)次”，事件\(B\)表示随机事件“正好中靶\(2\)次”，事件\(C\)表示随机事件“至多中靶\(2\)次”，事件\(D\)表示随机事件“全部脱靶”，则( )
A．\(A\)与\(C\)是互斥事件\(\qquad \qquad\qquad \qquad\) B．\(B\)与\(C\)是互斥事件
C．\(A\)与\(D\)是对立事件 \(\qquad \qquad\qquad \qquad\) D．\(B\)与\(D\)是对立事件
4.已知盒中有\(5\)个红球，\(3\)个白球，从盒中任取\(2\)个球，下列说法中正确的是( )
A．全是白球与全是红球是对立事件
B．没有白球与至少有一个白球是对立事件
C．只有一个白球与只有一个红球是互斥关系
D．全是红球与有一个红球是包含关系
5.从装有十个红球和十个白球的罐子里任取\(2\)球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个红球；至少有一个白球 \(\qquad\qquad \qquad\) B．恰有一个红球；都是白球
C．至少有一个红球；都是白球 \(\qquad \qquad\qquad \qquad\) D．至多有一个红球；都是红球
参考答案
- 答案 \(D\)
解析 由已知可得\(A\subseteq C\)，又因为\(A\subseteq B\)，\(B\subseteq C\)，如图事件\(A\)，\(B\)，\(C\)用集合表示：
则选项\(A\)，\(B\)正确，
事件\(\overline{A}\)表示集合\(A\)以外的，包含部分集合\(B\)与集合\(C\)，则\(C\)正确，
事件\(\overline{C}\)表示集合\(C\)以外的部分，不包含集合\(A\)，\(B\)，故\(D\)错误，
故选：\(D\)． - 答案 \(C\)
解析 (1)将一枚均匀的硬币抛\(2\)次，记事件\(A\)：两次出现正面；事件\(B\)：只有一次出现正面，事件\(A\)，\(B\)不可能同时发生，故是互斥事件；
(2)某人射击一次，记事件\(A\)：中靶，事件\(B\)：射中9环，事件\(A\)，\(B\)可能同时发生，故不是互斥事件
(3)某人射击一次，记事件\(A\)：射中环数大于\(5\)；事件\(B\)：射中环数小于\(5\)，事件\(A\)，\(B\)不可能同时发生，故是互斥事件．
故选\(C\)． - 答案 \(C\)
解析 事件\(A\)和事件\(C\)都有中靶\(2\)次的可能，不是互斥事件，选项\(A\)错误，
事件\(B\)和事件\(C\)都有中靶\(2\)次的可能，不是互斥事件，选项\(B\)错误，
事件\(B\)和事件\(D\)可能都不发生，不是对立事件，选项\(D\)错误，
事件\(A\)和事件\(D\)不能同时发生，但一次试验其中之一一定发生，是对立事件，
故选：\(C\)． - 答案
解析从盒中任取\(2\)球，出现球的颜色情况是，全是红球，有一个红球且有一个白球，全是白球，至少有一个的对立面是没有一个，所以选\(B\). - 答案 \(B\)
解析 对于\(A\)，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于\(B\)，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取\(2\)个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于\(C\)，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于\(D\)，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件．
【题型2】 事件的运算
【典题1】 一个袋子中有大小和质地相同的\(4\)个球，其中有\(2\)个红色球(标号为1和\(2\))，\(2\)个绿色球(标号为\(3\)和\(4\))，从袋中不放回地依次随机摸出\(2\)个球，每次摸出一个球，设事件\(S=\)“第一次摸到红球”，\(R=\)“两次都摸到红球”，\(G=\)“两次都摸到绿球”，\(M=\)“两球颜色相同”，\(N=\)“两球颜色不同”，则( )
A．\(S\subseteq R\) \(\qquad \qquad\) B．\(R\cap G=M\) \(\qquad \qquad\) C．\(R\cup G=M\) \(\qquad \qquad\) D．\(M=\overline{N}\)
解析对于\(A\)，因\(S=\)“第一次摸到红球”，\(R=\)“两次都摸到红球”，则\(R\subseteq S\)，\(A\)不正确；
对于\(B\)，\(R=\)“两次都摸到红球”，\(G=\)“两次都摸到绿球”，两个事件没有公共的基本事件，\(R\cap G=\varnothing\) ，\(B\)不正确；
对于\(C\)，\(R=\)“两次都摸到红球”，\(G=\)“两次都摸到绿球”，\(M=\)“两球颜色相同”，\(R\)或\(G\)表示摸的两个球的颜色相同，即\(R\cup G=M\)，\(C\)正确；
对于\(D\)，\(M=\)“两球颜色相同”，\(N=\)“两球颜色不同”，由对立事件的定义知\(M=\overline{N}\)，\(D\)正确．
故选：\(CD\)．
点拨 利用\(venn\)图也能够更好的了解更事件间的关系与运算.
【典题2】如图是某班级\(50\)名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中\(A\)表示订阅数学学习资料的学生，\(B\)表示订阅语文学习资料的学生，\(C\)表示订阅英语学习资料的学生
(1)从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述\(1\)，\(4\)，\(5\)，\(8\)各区域所代表的事件；
(2)用\(A\)，\(B\)，\(C\)表示下列事件：①恰好订阅一种学习资料；②没有订阅任何学习资料．
解析 (1)由题图可知：区域\(1\)表示该生数学、语文、英语三种学习资料都订阅；区域\(4\)表示该生只订阅数学、语文两种学习资料；区域\(5\)表示该生只订阅语文学习资料；区域\(8\)表示该生三种学习资料都未订阅；
(2)①\(\because\)“恰好订阅一种学习资料“包括：只订阅数学：\(A \bar{B} \bar{C}\)；只订阅语文： \(\bar{A} B \bar{C}\)；只订阅英语：\(\bar{A} \bar{B} C\)，并且这三种相互互斥，
\(\therefore\)“恰好订阅一种学习资料“用\(A\)，\(B\)，\(C\)表示为： \(A \bar{B} \bar{C}+\bar{A} B \bar{C}+\bar{A} \bar{B} C\)；
②“没有订阅任何学习资料“用A，\(B\)，\(C\)表示为： \(\bar{A} \bar{B} \bar{C}\)．
【巩固练习】
1.甲、乙两个元件构成一并联电路，设\(E=\)“甲元件故障”，\(F=\)“乙元件故障”，则表示电路是断路的事件为( )
A．\(E\cap F\) \(\qquad \qquad\) B．\(E\cup F\) \(\qquad \qquad\) C． \(E \cap \bar{F}\) \(\qquad \qquad\) D． \(\overline{E \cup F}\)
2.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设\(A=\{\)两次都击中飞机\(\}\)，\(B=\{\)两次都没击中飞机\(\}\)，\(C=\{\)恰有一弹击中飞机\(\}\)，\(D=\{\)至少有一弹击中飞机\(\}\)，下列说法不正确的是( )
A．\(A\subseteq D\) \(\qquad \qquad\) B．\(B\cap D=\varnothing\)\(\qquad \qquad\) C．\(A\cup C=D\) \(\qquad \qquad\) D．\(A\cup C=B\cup D\)
3.(多选)从\(5\)个女生和\(4\)个男生中任选两个人参加某项活动，有如下随机事件：\(A=\)“至少有一个是女生”，\(B=\)“至少有一个男生”，\(C=\)“恰有一个男生”，\(D=\)“两个都是女生”，\(E=\)“恰有一个女生”．下列结论正确的有( )
A．\(C=E\) \(\qquad \qquad\) B．\(A=B\) \(\qquad \qquad\) C．\(D\cap E\neq \varnothing\) \(\qquad \qquad\) D．\(B\cap D=\varnothing\)，\(B\cup D=Ω\)
4.(多选)甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件\(A\)为“甲中奖”，事件\(B\)为“乙中奖”，事件\(C\)为“甲、乙中至少有一人中奖”，则 ( )
A．\(A\)与\(B\)为互斥事件 \(\qquad \qquad \qquad\) B．\(\overline{B}\)与\(C\)为对立事件
C．\(A\cap B\)与\(\overline{C}\)为互斥事件 \(\qquad \qquad \qquad\) D．\(\bar{A} \cap \bar{B}\) 与\(C\)为对立事件
5.连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数．记事件\(A=\{\)两次出现的点数相同\(\}\)，事件\(B=\{\)两次出现的点数之和为\(4\}\)，事件\(C=\{\)两次出现的点数之差的绝对值为\(4\}\)，事件\(D=\{\)两次出现的点数之和为\(6\}\)．
(1)用样本点表示事件\(C\cap D\)，\(A\cup B\)；
(2)若事件\(E=\{(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，6)，(3，1)，(5，1)，(6，2)\}\)，则事件\(E\)与已知事件是什么运算关系？
参考答案
- 答案 \(A\)
解析 \(\because\)是并联电路，
\(\therefore\)若电路是断路，则甲和乙都要有故障即甲有故障且乙有故障，
\(\therefore\)表示电路是断路的事件为\(E\cap F\)，
故选：\(A\)． - 答案 \(D\)
解析 由于至少有一弹击中飞机包括两种情况：两弹都击中飞机、只有一弹击中飞机，故有\(A\subsetneq D\)，故\(A\)正确．
由于事件\(B\)、\(D\)是互斥事件，故\(B\cap D=\varnothing\) ，故\(B\)正确．
再由\(A\cup C=D\)成立可得\(C\)正确．
\(A\cup C=D=\{\)至少有一弹击中飞机\(\}\)，不是必然事件，而\(B\cup D\)为必然事件，故\(D\)不正确，
故选：\(D\)． - 答案 \(AD\)
解析 对于\(A\)，事件\(C\)，\(E\)均为：“选出的两个人是\(1\)个男生和\(1\)个女生”，则\(C=E\)，\(A\)正确；
对于\(B\)，事件\(A\)：“选出的两个人是\(1\)个男生和\(1\)个女生或者\(2\)个女生”，事件\(B\)：“选出的两个人是\(1\)个男生和\(1\)个女生或者\(2\)个男生”，则\(A\neq B\)，\(B\)错误；
对于\(C\)，事件\(D\)，\(E\)包含的样本点都不相同，则\(D\cap E=\varnothing\)，\(C\)错误；
对于\(D\)，事件\(B\)，\(D\)包含的样本点都不相同，则\(B\cap D=\varnothing\)；
事件\(B\)：“选出的两个人是\(1\)个男生和\(1\)个女生或者\(2\)个男生”；事件\(D\)：“选出的两个人是\(2\)个女生”，则\(B\cup D\)包含了样本空间中所有的样本点，\(\therefore B\cup D=Ω\)，\(D\)正确．
故选：\(AD\)． - 答案 \(CD\)
解析 因为事件\(A\)为“甲中奖”，事件\(B\)为“乙中奖”，事件\(C\)为“甲、乙中至少有一人中奖”，
则事件\(A\)，\(B\)为相互独立事件，故\(A\)错误，
事件\(C\)的对立事件为甲乙都不中奖，故\(B\)错误，\(D\)正确，
\(A\cap B\)表示的是甲乙都中奖，故\(C\)正确，
故选：\(CD\)． - 答案 (1)略；(2) \(E=B\cup C\)
解析 (1)由题意得，事件\(A=\{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)\}\)，
事件\(B=\{(1，3)，(2，2)，(3，1)\}\)，
事件\(C=\{(1，5)，(2，6)，(5，1)，(6，2)\}\)，
事件\(D=\{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)\}\)．
则\(C\cap D=\{(1，5)，(5，1)\}\)，\(A\cup B=\{(1，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，\)\((3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)\}\)；
(2)由(1)可得：\(E=B\cup C\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.从一批产品(其中正品、次品都多于\(2\)件)中任取\(2\)件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是( )
①恰好有\(1\)件次品和恰好有两件次品； ②至少有\(1\)件次品和全是次品；
③至少有\(1\)件正品和至少有\(1\)件次品； ④至少\(1\)件次品和全是正品．
A．①② \(\qquad \qquad \qquad\) B．①③ \(\qquad \qquad \qquad\) C．③④ \(\qquad \qquad \qquad\) D．①④
2.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：
\(C_1=\)“点数不大于\(3\)”，\(C_2=\)“点数大于\(3\)”，\(C_3=\)“点数大于\(5\)”；\(D=\)“点数为奇数”；
\(E_i=\)“点数为\(i\)”，其中\(i=1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(6\)．
下列结论正确的是( )
A．\(C_1\subseteq D\) \(\qquad \qquad\) B．\(D=E_1\cup E_3\cup E_5\) \(\qquad \qquad\)C．\(C_2\)与\(C_3\)互斥 \(\qquad \qquad\) D．\(E_1\) 与\(E_2\)互为对立
3.抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是\(1\)或\(2\)”为事件\(A\)，“向上的面的点数是\(2\)或\(3\)”为事件\(B\)，则( )
A．\(A\subseteq B\)
B．\(A=B\)
C．\(A\cup B\)表示向上的面的点数是\(1\)或\(2\)或\(3\)
D．\(AB\)表示向上的面的点数是\(1\)或\(2\)或\(3\)
4.如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，设\(M=\)“甲元件故障”，\(N=\)“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为( )
A．\(M\cup N\) \(\qquad \qquad \qquad\) B．\(M\cap N\) \(\qquad \qquad \qquad\) C．\(\bar{M} \cap \bar{N}\) \(\qquad \qquad \qquad\) D． \(\bar{M} \cup \bar{N}\)
5.如果事件\(A\)，\(B\)互斥，记\(\overline{A}\)，\(\bar{B}\)分别为事件\(A\)，\(B\)的对立事件，那么( )
A．\(A\cup B\)是必然事件 \(\qquad \qquad\qquad \qquad\) B. \(\bar{A} \cup \bar{B}\) 是必然事件
C. \(\overline{A}\)与\(\overline{B}\)一定互斥 \(\qquad \qquad\qquad\qquad\) D. \(\overline{A}\)与\(\overline{B}\) 一定不互斥
6.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件\(A=\{\)两弹都击中飞机\(\}\)，事件\(B=\{\)两弹都没击中飞机\(\}\)，事件\(C=\{\)恰有一弹击中飞机\(\}\)，事件\(D=\{\)至少有一弹击中飞机\(\}\)，下列关系不正确的是( )
A．\(A\subseteq D\) \(\qquad \qquad\) B．\(B\cap D=\varnothing\) \(\qquad \qquad\) C．\(A\cup B=B\cup D\) \(\qquad \qquad\) D．\(A\cup C=D\)
7.(多选)抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：\(A=\)“至少一枚点数为\(1\)”，\(B=\)“两枚骰子点数一奇一偶”， \(C=\)“两枚骰子点数之和为\(8\)”， \(D=\) “两枚骰子点数之和为偶数”．判断下列结论，正确的有 ( )
A．\(A\subseteq B\) \(\qquad \qquad\) B．\(B\)，\(D\)为对立事件 \(\qquad \qquad\) C．\(A\)，\(C\)为互斥事件 \(\qquad \qquad\) D．\(A\)，\(D\)相互独立
8.(多选)从分别写有\(1\)、\(2\)、\(3\)、\(4\)、\(5\)以及\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)的\(9\)张纸条中任意抽取两张，有如下随机事件：\(A=\)“恰有一张写有数字”，\(B=\)“恰有一张写有字母”，\(C=\)“至少有一张写有数字”，\(D=\)“两张都写有数字”，\(E=\)“至多有一张写有字母”．下列结论正确的有( )
A．\(B\subseteq C\) \(\qquad \qquad\) B．\(A=B\) \(\qquad \qquad\) C．\(D\cap E=\varnothing\) \(\qquad \qquad\) D．\(D\subseteq C\)
9.在随机抛掷一颗骰子的试验中，事件\(A=\)“出现不大于\(4\)的偶数点”，事件\(B=\)“出现小于\(6\)的点数”，则事件\(A \cup \bar{B}\) 的含义为\(\underline{\quad \quad}\)，事件\(A\cap B\)的含义为\(\underline{\quad \quad}\)．
10.盒子里有\(6\)个红球，\(4\)个白球，现从中任取\(3\)个球．设事件\(A=\)“\(1\)个红球和\(2\)个白球”，事件\(B=\)“\(2\)个红球和\(1\)个白球”，事件\(C=\)“至少有\(1\)个红球”，事件\(D=\)“既有红球又有白球”．则：
(1)事件\(D\)与事件\(A\)，\(B\)是什么关系？
(2)事件\(C\)与事件\(A\)的交事件与事件\(A\)是什么关系？
参考答案
-
答案\(D\)
解析 \(\because\)从一批产品中任取\(2\)件，观察正品件数和次品件数，其中正品、次品都多于\(2\)件，
\(\therefore\)恰有一件次品和恰有两件次品是互斥的，至少有一件次品和全是正品是互斥的，
\(\therefore\)①④是互斥事件，
故选：\(D\)． -
答案 \(B\)
解析 点数为\(2\in C_1\)，但点数为\(2\notin D\)，故选项\(A\)错误；
\(D=E_1\cup E_3\cup E_5\)，故选项\(B\)正确；
点数为\(6\in C_2\cap C_3\)，故选项\(C\)错误；
\(E_1\)与\(E_2\)互斥但不对立，故选项\(D\)错误；
故选：\(B\)． -
答案 \(C\)
解析 “向上的面的点数是\(1\)或\(2\)”为事件\(A\)，“向上的面的点数是\(2\)或\(3\)”为事件\(B\)，
则\(A=\{1，2\}\)，\(B=\{2，3\}\)，故\(AB\)错误，
\(A\cup B=\{1，2，3\}\)，即表示向上的面的点数是\(1\)或\(2\)或\(3\)，故\(C\)正确，
\(A\cap B=\{1\}\)，表示向上的面的点数是\(1\)，故\(D\)错误．
故选：\(C\)． -
答案 \(C\)
解析 由图可知，该段电路没有故障则甲没有故障，乙也没有故障，
即表示该段电路没有故障的事件为\(\bar{M} \cap \bar{N}\)．
故选：\(C\)． -
答案 \(B\)
解析 用\(Venn\)图解决此类问题较为直观．如右图所示，\(\bar{A} \cup \bar{B}\) 是必然事件，故选\(B\).
-
答案 \(C\)
解析 事件\(C=\{\)恰有一弹击中飞机\(\}=\{\)第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中\(\}\)，
事件\(D=\{\)至少有一弹击中飞机\(\}=\{\)恰有一弹击中或两弹都击中\(\}\)，
\(\therefore A\subseteq D\)正确，\(B\cap D=\varnothing\)正确，\(A\cup C=D\)正确，\(A\cup B=B\cup D\)错误，
故选：\(C\)． -
答案 \(BC\)
解析 抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：
\(A=\) “至少一枚点数为\(1\)”， \(B=\) “两枚骰子点数一奇一偶”，
\(C=\)“两枚骰子点数之和为\(8\)”， \(D=\)“两枚骰子点数之和为偶数”．
对于\(A\)，当\(A=\{1\}\)，\(B=\{2，3\}\)时，\(A\subseteq B\)不成立，故\(A\)错误；
对于\(B\)，\(B\)和 \(D\)不能同时发生，也不能同时不发生，故\(B\)，\(D\)为对立事件，故\(B\)正确；
对于\(C\)，\(A\)，\(C\)不能同时发生，是互斥事件，故\(C\)正确；
对于\(D\)，\(A\)发生与否，对\(D\)的发生有影响，\(\therefore A\)，\(D\)不是相互独立事件，故\(D\)错误．
故选：\(BC\)． -
答案 \(ABD\)
解析 根据题意，\(A=\)“恰有一张写有数字”，\(B=\)“恰有一张写有字母”，\(C=\)“至少有一张写有数字”，\(D=\)“两张都写有数字”，\(E=\)“至多有一张写有字母”．
则事件\(A\)包含的基本事件类型为：一张写有数字一张写有字母，
事件\(B\)包含的基本事件类型为：一张写有数字一张写有字母，
事件\(C\)包含的基本事件类型为：一张写有数字一张写有字母、两张都写有数字，
事件\(D\)包含的基本事件类型为：两张都写有数字，
事件E包含的基本事件类型为：一张写有数字一张写有字母、两张都写有数字，
所以\(B\subseteq C\)，\(A=B\)，\(D\cap E=D\)，\(D\subseteq C\)，
故选：\(ABD\)． -
答案 出现\(2\)，\(4\)，\(6\)点；出现\(2\)，\(4\)点．
解析 由已知可得 \(\bar{B}=\)“出现\(6\)点”，\(A=\)“出现\(2\)，\(4\)点”，
\(B=\)“出现1，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)点”，
故 \(A \cup \bar{B}=\)“出现\(2\)，\(4\)，\(6\)点”，\(A\cap B=\)“出现\(2\)，\(4\)点”，
故答案为：出现\(2\)，\(4\)，\(6\)点；出现\(2\)，\(4\)点． -
答案 (1) \(D=A\cup B\) (2) 事件\(C\)与事件\(A\)的交事件与事件\(A\)相等
解析 (1)对于事件\(D\)，可能的结果为“一个红球和\(2\)个白球”或“\(2\)个红球和\(1\)个白球”，
故\(D=A\cup B\)；
(2)对于事件\(C\)，可能的结果为“一个红球和\(2\)个白球”，“\(2\)个红球和一个白球”或“\(3\)个红球”，故\(C\cap A=A\)，所以事件\(C\)与事件\(A\)的交事件与事件\(A\)相等．
