10.1.1 随机事件与概率
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[ 【基础过关系列】高一数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019）]
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必修第二册同步巩固，难度2颗星！
基础知识
有限样本空间与随机事件
(1) 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母\(E\)表示，
我们把随机试验\(E\)的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为\(E\)试验的样本空间.用\(\Omega\) 表示样本空间，用\(\omega\)表示样本点.如果一个随机试验有\(n\)个可能结果结果\(ω_1\) ，\(ω_2\)，… ，\(ω_n\)，则称样本空间\(Ω=\{ω_1 ，ω_2 ，… ，ω_n\}\)为有限样本空间.
(2) 样本空间\(Ω\)的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件成为基本事件.随机事件一般用大写字母\(A\)，\(B\)，\(C\) ，…表示.
【例】 掷一个骰子，出现的数字为\(x\)；写出试验的样本空间；当\(x\)为奇数的事件为\(A\)，用集合表示事件\(A\).
解 \(Ω=\{1，2，3，4，5，6\}\)，\(A=\{1，3，5\}\).
各种事件
必然事件，不可能事件，随机事件.
【例1】 对于高富帅，贵哥长得帅是必然事件，贵哥长得高是不可能事件，贵哥现在不富，以后富不富是随机事件，万一中了六合彩呢，是吧！
【例2】 对于实数\(x\)，\(x^2≥0\)是必然事件；若对于非零向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}=2\vec{b}\)，\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)不共线是不可能事件；方程\(x^2+x+c=0\)有实数根是随机事件.
基本方法
【题型1】 样本空间
【典题1】 先后抛掷\(2\)枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是( )
A．“至少一枚硬币正面向上”
B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上”
D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
解析 先后抛掷\(2\)枚均匀的一分、二分的硬币的基本事件有{正，正}、{正，反}、{反，正}、{反，反}，故“至少一枚硬币正面向上”的目标事件有{正，正}、{正，反}、{反，正}，
故选：\(A\)．
【典题2】 已知关于\(x\)的一元二次函数\(f(x)=ax^2-4bx+1\)．设集合\(P=\{1，2，3\}\)和\(Q=\{-1，1，2，3，4\}\)，分别从集合\(P\)和\(Q\)中随机取一个数作为\(a\)和\(b\)．
(1)写出以\((a，b)\)为元素的样本空间，共包含多少个样本点？
(2)指出事件“函数\(y=f(x)\)在区间\([1，+\infty)\)上是增函数”的所有样本点．
解析 (1)以\((a，b)\)为元素的样本空间\(Ω=\{(1，-1)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，\)
\((2，-1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，-1)，\)\((3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)\}\)共\(15\)个样本点，
(2)因为\(f(x)=ax^2-4bx+1\)的对称轴\(x=\dfrac{2 b}{a}\)，
要使得函数\(y=f(x)\)在区间\([1，+\infty)\)上是增函数，则\(\left\{\begin{array}{l}
a>0 \\
\dfrac{2 b}{a} \leqslant 1
\end{array}\right.\)，即\(a≥2b\)，
若\(a=1\)，则\(b=-1\)；若\(a=2\)，则\(b=-1\)，\(1\)；若\(a=3\)，则\(b=-1\)，\(1\)，
故“函数\(y=f(x)\)在区间\([1，+\infty)\)上是增函数”的所有样本点\((1，-1)\)，\((2，-1)\)，\((2，1)\)，\((3，-1)\)，\((3，1)\)共\(5\)个样本点．
点拨 要不重不漏地列出所有的样本点，注意有规律的列举(比如数值从小到大)，借助图表也会有所帮助.
【巩固练习】
1.一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有( )
A．(男，女)，(男，男)，(女，女) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．(男，女)，(女，男)
C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女) \(\qquad \qquad\) D．(男，男)，(女，女)
2.现有\(7\)名数理化成绩优秀者，分别用\(A_1\)，\(A_2\)，\(A_3\)，\(B_1\)，\(B_2\)，\(C_1\)，\(C_2\)表示，其中\(A_1\)，\(A_2\)，\(A_3\)的数学成绩优秀，\(B_1\)，\(B_2\)的物理成绩优秀，\(C_1\)，\(C_2\)的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各\(1\)名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则\(A_1\)或\(B_1\)仅一人被选中的基本事件有( )个
A．\(4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(10\)
3.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为\(a\)，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为\(b\)，其中\(a\)，\(b∈\{1，2，3，4，5，6，7\}\)，若\(|a-b|≤1\)，就称甲乙“心有灵屏”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的基本事件有( )
A．\(8\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(12\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(19\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(24\)
4.做掷红、蓝两个骰子的试验，用\((x，y)\)表示样本点，其中\(x\)表示红色骰子出现的点数，\(y\)表示蓝色骰子出现的点数．写出：
(1)这个试验的样本空间；
(2)这个试验包含的基本事件个数；
(3)用集合表示事件\(A\)：出现的点数之和大于\(8\)，事件\(B\)：出现的点数相同．
5.一个盒子放有\(5\)个完全相同的小球，其上分别标有号码\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)．从中任取一个，记下号码数后放回．再取出\(1\)个，记下号码数后放回，按顺序记录为\((x，y)\)．
(1)写出对应的样本空间；
(2)用集合表示事件\(A\)：所得两球的号码数之和为\(5\)，事件\(B\)：所得两球的号码数之和不超过\(5\)；
(3)说出事件\(C=\{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)\}\)的含义；
(4)从直观上判断\(P(A)\)和\(P(B)\)的大小(指出\(P(A)≥P(B)\)或\(P(A)≤P(B)\)即可)．
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，
则所有的情况是：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．
故选：\(C\)． -
答案 \(C\)
解析 现有\(7\)名数理化成绩优秀者，分别用\(A_1\)，\(A_2\)，\(A_3\)，\(B_1\)，\(B_2\)，\(C_1\)，\(C_2\)表示，其中其中\(A_1\)，\(A_2\)，\(A_3\)的数学成绩优秀，\(B_1\)，\(B_2\)的物理成绩优秀，\(C_1\)，\(C_2\)的化学成绩优秀．
从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各\(1\)名，组成一个小组代表学校参加竞赛，
则\(A_1\)或\(B_1\)仅一人被选中的基本事件有：\((A_1，B_2，C_1 )\)，\((A_1，B_2，C_2 )\)，\((A_2，B_1，C_1 )\)，\((A_2，B_1，C_2 )\)，\((A_3，B_1，C_1 )\)，\((A_3，B_1，C_2 )\)，共\(6\)个．
故选：\(C\)． -
答案 \(C\)
解析 甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为\(a\)，
再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为\(b\)，
其中中\(a\)，\(b∈\{1，2，3，4，5，6，7\}\)，若\(|a-b|≤1\)，就称甲乙“心有灵屏”．
\(|a-b|≤1\)包含的基本事件\((a，b)\)有：\((1，1)\)，\((1，2)\)，\((2，1)\)，\((2，2)\)，\((2，3)\)，\((3，2)\)，\((3，3)\)，\((3，4)\)，\((4，3)\)，\((4，4)\)，\((4，5)\)，\((5，4)\)，\((5，5)\)，\((5，6)\)， \((6，5)\)，\((6，6)\)，\((6，7)\)，\((7，6)\)，\((7，7)\)共\(19\)个．
\(\therefore\)他们“心有灵犀”的基本事件有\(19\)个．
故选：\(C\)． -
答案 (1) 略；(2) \(36\)；(3) 略
解析 (1)这个试验的样本空间：
\(Ω=\{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，\)\((2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，\)\((3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，\)\((5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)\}\)．
(2)这个试验包含\(36\)个基本事件．
(3)\(A=\{(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，\)\((6，4)，(6，5)，(6，6)\}\)．
\(B=\{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)\}\)． -
答案 (1) 略 ；(2) 略；(3) 所得两球的号码数之和不超过4；(4)\(P(A)≤P(B)\)
解析 (1)这个试验对应的样本空间：
\(Ω=\{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，\)\((2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，\)\((4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)\}\)．
(2)\(A=\{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)\}\)，
\(B=\{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，\)\((2，3)，(3，2)，(4，1)\}\)．
(3)事件\(C\)表示“所得两球的号码数之和不超过\(4\)”．
(4)因为事件\(A\)发生时，事件\(B\)一定发生，
也就是说事件\(B\)发生的可能性不会比事件\(A\)发生的可能性小，
因此\(P(A)≤P(B)\)．
【题型2】各种事件
【典题1】在\(12\)件瓷器中，有\(10\)件一级品，2件二级品，从中任取\(3\)件.
(1) “\(3\)件都是二级品”是什么事件？
(2) “\(3\)件都是一级品”是什么事件？
(3) “至少有一件是一级品”是什么事件？
解析 (1)因为\(12\)件瓷器中，只有\(2\)件二级品，取出\(3\)件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件.
(2)“\(3\)件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件.
(3)“至少有一件是一级品”是必然事件，因为\(12\)件瓷器中只有\(2\)件二级品，取三件必有一级品.
【巩固练习】
1.下列事件中，随机事件的个数为( )
①明天是阴天；
②方程\(x^2+2x+5=0\)有两个不相等的实根；
③抛一枚硬币，出现正面；
④一个三角形的大边对大角，小边对小角．
A．\(1\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(4\)
2.从\(5\)位男生和\(2\)位女生共\(7\)位同学中任意选派\(3\)人，属必然事件的是( )
A．\(3\)位都是女生 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．至少有\(1\)位是女生
C．\(3\)位都不是女生 \(\qquad \qquad\qquad \qquad\) D．至少有\(1\)位是男生
3.在\(1\)，\(2\)，\(3\)，…，\(10\)这\(10\)个数字中，任取\(3\)个数字，那么“这三个数字的和大于\(6\)”这一事件是( )
A．必然事件 \(\qquad \qquad\) B．不可能事件 \(\qquad \qquad\) C．随机事件 \(\qquad \qquad\) D．以上选项均不正确
4.在\(10\)个学生中，男生有\(x\)个，现从\(10\)个学生中任选\(6\)人去参加某项活动：①至少有一个女生；②\(5\)个男生，\(1\)个女生；③\(3\)个男生，\(3\)个女生．若要使①为必然事件、②为不可能事件、③为随机事件，则\(x\)为( )
A．\(5\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(3\)或\(4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(5\)或\(6\)
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 根据题意，依次\(4\)个事件，
①可能发生，也可能不发生，是随机事件，
②方程\(x^2+2x+5=0\)，无解，是不可能事件，
③可能发生，也可能不发生，是随机事件，
④一个三角形的大边对大角，小边对小角，是必然事件，
有\(2\)个是随机事件，
故选：\(B\)． -
答案 \(D\)
解析 由于从\(5\)位男生和\(2\)位女生共\(7\)位同学中任意选派\(3\)人，
有\(3\)位男生，\(2\)位男生\(1\)位女生，\(1\)位男生\(2\)位女生，共三种情况
故\(A\)为不可能事件，\(B\)，\(C\)为随机事件，\(D\)为必然事件．
故答案为\(D\)． -
答案 \(C\)
解析 从\(10\)个数字中取\(3\)个数字，这三个数字的和可能等于\(6\)，也可能大于\(6\)，
\(\therefore\)是否大于\(6\)，需要取出数字才知道，
\(\therefore\)这三个数字的和大于\(6\)”这一事件是随机事件，
故选\(C\)． -
答案 \(C\)
解析 有题意知，\(10\)名同学中，男生人数少于\(5\)人，但不少于\(3\)人，
\(\therefore x=3\)或\(x=4\)．故选：\(C\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的\(2\)个，则基本事件共有( )
A．\(1\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．\(3\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(4\)个
2.先后抛掷两枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，此试验的样本空间为( )
A．正面，反面
B．{正面，反面}
C．{(正面，正面)，(反面，正面)，(反面，反面)}
D．{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}
3.下列事件中，是随机事件的是( )
①从\(10\)个玻璃杯(其中\(8\)个正品，\(2\)个次品)中任取\(3\)个，\(3\)个都是正品；
②某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意在键盘上按了一个数字，恰巧是朋友的电话号码；
③异性电荷，相互吸引；
④某人购买体育彩票中一等奖．
A．②④ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．①②④ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．①②③④ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．②③④
4.下列事件中，是必然事件的是( )
A．长度为\(3\)，\(4\)，\(5\)的三条线段可以构成一个三角形
B．长度为\(2\)，\(3\)，\(4\)的三条线段可以构成一个直角三角形
C．方程\(x^2+2x+3=0\)有两个不相等的实根
D．函数\(y=\log _a x(a>0\)且 \(a≠1)\)在定义域上为增函数
5.从含有\(6\)件次品的\(50\)件产品中任取\(4\)件，观察其中次品数，这个试验的样本空间\(Ω=\) \(\underline{\quad \quad}\)．
6.从\(3\)双鞋子中，任取\(4\)只，其中至少有两只鞋是一双，这个事件是\(\underline{\quad \quad}\)．(填“必然”，“不可能”或“随机”)事件．
7.给出下列四个命题：
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；
②“当\(x\)为某一实数时可使\(x^2<0\)”是不可能事件；
③“明天兰州要下雨”是必然事件；
④“从\(100\)个灯泡中取出\(5\)个，\(5\)个都是次品”是随机事件．
其中正确命题的序号是\(\underline{\quad \quad}\)．
8.从含有两件正品\(a_1\)，\(a_2\)和一件次品b的三件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次．
(1)写出这个试验的所有结果；
(2)设\(A\)为“取出两件产品中恰有一件次品”，写出事件\(A\)；
(3)把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余不变，请你回答上述两个问题．
9.做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用\((x，y)\)表示结果，其中\(x\)表示红色骰子出现的点数，\(y\)表示蓝色骰子出现的点数．写出：
(1)这个试验的样本空间；
(2)这个试验的结果的个数；
(3)指出事件\(A=\{(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)\}\)的含义．
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 由题意可得，基本事件有(数学与计算机)、(数学与航空模型)、(计算机与航空模型)，共三个，故选：\(C\)． -
答案 \(D\)
解析 先后抛掷两枚质地均匀的硬币，有先后顺序，
则此试验的样本空间为{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}．
故选：\(D\)． -
答案 \(B\)
解析 由随机事件的意义知，本题所给的\(4\)个事件中，只有③是一个必然事件，
其他的事件都是随机事件，故选：\(B\)． -
答案 \(A\)
解析 由必然事件、不可能事件、随机事件的定义，知：
对于\(A\)，长度为\(3\)，\(4\)，\(5\)的三条线段可以构成一个直角三角形，\(A\)是必然事件，故\(A\)正确；
对于\(B\)，长度为\(2\)，\(3\)，\(4\)的三条线段可以构成一个钝角三角形为，\(B\)是不可能事件，故\(B\)错误；
对于\(C\)，方程\(x^2+2x+3=0\)有中，\(Δ=4-12=-8<0\)，没有实根，\(C\)是不可能事件，故\(C\)错误；
对于\(D\)，函数\(y=\log _a x(a>0\)且 \(a≠1)\)中，
\(a>1\)时，在定义域上为增函数；\(0<a<1\)时，在定义域上为减函数．\(D\)为随机事件．故\(D\)错误．
故选：\(A\)． -
答案 \(\{0，1，2，3，4\}\)
解析 取出的\(4\)件产品中，最多有\(4\)件次品，最少是没有次品．
所以样本空间\(Ω=\{0，1，2，3，4\}\)．
故答案为：\(\{0，1，2，3，4\}\)． -
答案 必然
解析 根据题意，\(3\)双鞋子共\(6\)只，从中任取\(4\)只，必然有两只鞋是一双，
则至少有两只鞋是一双是必然事件，
故答案是必然． -
答案 ①②④
解析 在①中，“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”一定发生，是必然事件，故①正确；
在②中，“当\(x\)为某一实数时可使\(x^2<0\)”不可能发生，没有那个实数的平方小于\(0\)，是不可能事件，故②正确；
在③中，③“明天兰州要下雨”是随要事件，故③错误；
在④中，“从\(100\)个灯泡中取出\(5\)个，\(5\)个都是次品”有可能发生，也可能不发生，是随机事件，故④正确．
故答案为：①②④． -
答案 (1)略 ；(2) \(A=\{(a_1，b)，(a_2，b)，(b，a_1 )，(b，a_2 )\}\)；(3)略
解析 (1)这个试验的所有可能结果为：
\(Ω=\{(a_1，a_2 )，(a_1，b)，(a_2，b)，(a_2，a_1 )，(b，a_1 )，(b，a_2 )\}\)．
(2) \(A=\{(a_1，b)，(a_2，b)，(b，a_1 )，(b，a_2 )\}\)．
(3)①这个试验的所有可能结果为：
\(Ω=\{(a_1，a_1 )，(a_1，a_2 )，(a_1，b)，(a_2，a_1 )，(a_2，a_2 )，(a_2，b)，\)\((b，a_1 )，(b，a_2 )，(b，b)\}\)．
②\(A=\{(a_1，b)，(a_2，b)，(b，a_1 )，(b，a_2 )\}\)． -
答案 (1)略；(2) \(36\) ；(3) 略
解析 (1)样本空间\(Ω=\{ ( 1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，\)\((2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，\)\((3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，\)\((5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)\}\)；
(2)由(1)知，这个试验的结果的个数共有\(36\)个；
(3)由\(1+6=2+5=3+4=4+3=5+2=6+1=7\)，可知事件\(A\)表示抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为\(7\)．
【B组---提高题】
1.已知集合\(A\)是集合\(B\)的真子集，则下列关于非空集合\(A\)，\(B\)的四个命题：
①若任取\(x\in A\)，则\(x\in B\)是必然事件；②若任取\(x\notin A\)，则\(x\in B\)是不可能事件；
③若任取\(x\in B\)，则\(x\in A\)是随机事件；④若任取\(x\notin B\)，则\(x\notin A\)是必然事件．
其中正确的命题有( )
A．\(1\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(3\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(4\)个
参考答案
- 答案 \(B\)
解析 因为集合\(A\)是集合\(B\)的真子集，所以集合\(A\)中的元素都在集合\(B\)中，集合\(B\)中存在元素不是集合\(A\)中的元素，作出其韦恩图如图：
对于①：集合\(A\)中的任何一个元素都是集合\(B\)中的元素，任取\(x\in A\)，则\(x\in B\)是必然事件，故①正确；
对于②：任取\(x\notin A\)，则\(x\in B\)是随机事件，故②不正确；
对于③：因为集合\(A\)是集合\(B\)的真子集，
集合\(B\)中存在元素不是集合\(A\)中的元素，
集合\(B\)中也存在集合\(A\)中的元素，
所以任取\(x\in B\)，则\(x\in A\)是随机事件，故③正确；
对于④：因为集合\(A\)中的任何一个元素都是集合\(B\)中的元素，
任取\(x\notin B\)，则\(x\notin A\)是必然事件，故④正确；
所以①③④正确，正确的命题有\(3\)个．
故选：\(C\)．
