9.1.2 分层随机抽样
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[ 【基础过关系列】高一数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019）]
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必修第二册同步巩固，难度2颗星！
基础知识
分层抽样的概念
一般地，按一个或多个变量把总体划分为若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样.
每一个子总体称为层，在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么成这种样本量的分配方式为比例分配.
解释
(1) 抽样最核心的问题是样本的代表性，在简单随机抽样中容易出现“极端”的样本，比如抽样调查你班里学生的平均身高，若用简单随机抽样，万一抽到“姚明”级别的一个学生或者抽到的男生明显多于女生，就会影响到数据的估计.
如何改善抽样方法？显然高中男生比女生高，故可借助“性别”这辅助信息，按照班上男女生比例进行抽样.
(2)在个体之间差异较大的情况下，只要选取的分层变量合适，使得各层间差异明显，层内差异不大，分层随机抽样的效果会比简单随机抽样好；而在分层抽样中，不同的层内除了简单随机抽样，有时层内也可以继续分层.
(3)对于按照什么标准进行分层，当然要根据调查目的而定.
若高一年级学生中男女比例是\(1:2\)；学霸学渣比例是\(1:4\)，调查学生身高，故采取按男女比例分层抽样；调查教学效果，则按照学霸学渣比例分层抽样；调查学生饮食习惯，可按照肥胖程度.
分层随机抽样的一般步骤
(1)根据已掌握的信息，将总体分层互不相交的\(L\)层，\(N_1\)，\(N_2，\)⋯，\(N_L\)；
(2)根据总体中的个体数\(N\)，各层中的个体数\(N_1\)，\(N_2，\)⋯，\(N_L\)和样本容量\(n\)，计算第\(i\)层抽取的个体数\(n_i=\dfrac{N_i}{N} \times n\)，\(i=1\)，\(2\)，⋯，\(L\)，使得各\(n_i\)之和为\(n\)；
(3)在各层中，用简单随机抽样方法抽取步骤(2)确定的个体数，合在一起得到容量为\(n\)的样本.
获取数据的途径
① 通过调查获取数据
② 通过试验获取数据
③ 通过观察获取数据
④ 通过查阅获取数据
基本方法
【题型1】 抽样方法的选择
【典题1】(多选) 对下面三个事件最适宜采用的抽样方法判断正确的是( )
①从某厂生产的\(3000\)件产品中抽取\(600\)件进行质量检验；
②一次数学竞赛中，某班有\(10\)人的成绩在\(110\)分以上，\(40\)人的成绩在\(90∼110\)分，\(10\)人的成绩低于\(90\)分，现在从中抽取\(12\)人的成绩了解有关情况；
③运动会服务人员为参加\(400 m\)决赛的\(6\)名同学安排跑道．
A．①②适宜采用分层随机抽样 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．②③适宜采用分层随机抽样
C．②适宜采用分层随机抽样 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．③适宜采用简单随机抽样
解析 从某厂生产的\(3000\)件产品中抽取\(600\)件进行质量检验，不宜采用分层抽样，
总体由差异明显且互不重叠的几部分组成，若从中抽取\(12\)人的成绩了解有关情况，宜采用分层抽样，
运动会服务人员为参加\(400 m\)决赛的\(6\)名同学安排跑道，具有随机性，适宜采用简单随机抽样．
故选：\(CD\)．
点拨 简单随机抽样适合于个体间的差异不大，总体容量不大的事件；分层随机抽样适合于个体间存在较大差异.
【巩固练习】
1.分层抽样又称为类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每层各抽若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能入样，必须进行( )
A．每层内等可能抽样 \(\qquad\) B．每层内不等可能抽样 \(\qquad\) C．所有层用同一抽样比 \(\qquad\) D．所有层抽同样多样本容量
2.为了解某地区居民使用手机扫码支付的情况．拟从该地区的居民中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异，而男、女使用手机扫码支付的情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的是( )
A．抽签法 \(\qquad\) B．按性别分层随机抽样 \(\qquad\) C．按年龄段分层随机抽样 \(\qquad\) D．随机数法
3.下列问题中，最适合用分层抽样方法抽样的是( )
A．某电影院有\(32\)排座位，每排有\(40\)个座位，座位号是\(1～40\)，有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下\(32\)名听众进行座谈
B．从\(10\)台冰箱中抽出\(3\)台进行质量检查
C．某乡农田有山地\(8000\)亩，丘陵\(12000\)亩，平地\(24000\)亩，洼地\(4000\)亩，现抽取农田\(480\)亩估计全乡农田平均产量
D．从\(50\)个零件中抽取\(5\)个做质量检验
4.要调查全市普通高中高一年级学生中患色盲的比例， 小明根据性别对总体进行分层， 用分层随机抽样的方法进行调查. 请你查阅有关资料， 说说这样的分层是否合理. 你觉得在选择分层变量时应注意什么?
参考答案
- 答案 \(C\)
解析 由分层抽样又称为类型抽样，
为了保证每个个体入样的可能性相等必须每层等可能性抽样，故\(C\)正确．
故选：\(C\)． - 答案 \(C\)
解析 因为总体中使用手机扫码支付的情况按年龄段具有明显差异，所以选择按年龄段分层随机抽样．故选：\(C\)． - 答案\(C\)
解析 \(A\)．总体容量较多，差异不明显，可以使用系统抽样，
\(B\)．总体容量比较少，使用简单抽样即可，
\(C\)．总体容量较多，样本差异比较明显，使用分层抽样，
\(D\)．总体容量比较少，使用简单抽样即可，
故选：\(C\)． - 解析 不合理.色盲是伴\(X\)染色体隐性遗传病. 男性发病率高于女性. 选择分层随机抽样时应注意，使得各层间差异明显，层内差异不大.
【题型2】分层随机抽样的应用
【典题1】 一个地区共有\(5\)个乡镇，共\(3\)万人，其中各个乡镇的人口比例为\(3:2:5:2:3\)，从\(3\)万人中抽取\(300\)人，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的抽样方法？并写出具体过程．
解析 因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，
因此应采用分层抽样的方法，具体过程如下:
(1)将\(3\)万人分成\(5\)层，一个乡镇为一层．
(2)按照各乡镇的人口比例确定从每层抽取个体的个数．
因为\(300 \times\dfrac{3}{15}=60\)，\(300 \times\dfrac{2}{15}=40\)，\(300 \times\dfrac{5}{15}=100\)，
\(300 \times\dfrac{2}{15}=40\)， \(300 \times\dfrac{3}{15}=60\)，
所以从各乡镇抽取的人数分别为\(60\)，\(40\)，\(100\)，\(40\)，\(60\)．
(3)在各层分别用简单随机抽样法抽取样本．
(4)将抽取的这\(300\)人合到一起，就构成所要抽取的一个样本．
点拨
(1)分层随机抽样的一般步骤
① 根据已掌握的信息，将总体分层互不相交的\(L\)层，\(N_1\)，\(N_2，\)⋯，\(N_L\)；
② 根据总体中的个体数\(N\)，各层中的个体数\(N_1\)，\(N_2，\)⋯，\(N_L\)和样本容量\(n\)，计算第\(i\)层抽取的个体数\(n_i=\dfrac{N_i}{N} \times n\)，\(i=1\)，\(2\)，⋯，\(L\)，使得各\(n_i\)之和为\(n\)；
③ 在各层中，用简单随机抽样方法抽取步骤②确定的个体数，合在一起得到容量为\(n\)的样本.
(2) 计算各层的容量，需要按照分配比例确定.
【典题2】 某单位共有老年人\(120\)人，中年人\(360\)人，青年人\(n\)人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为\(m\)的样本，用分层抽样的方法进行抽样调查，样本中的中年人为\(6\)人，则\(n\)和\(m\)的值不可以是下列四个选项中的哪组( )
A．\(n=360\)，\(m=14\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(n=420\)，\(m=15\)
C．\(n=540\)，\(m=18\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(n=660\)，\(m=19\)
解析 \(\because\) 某单位共有老年人\(120\)人，中年人\(360\)人，青年人\(n\)人，样本中的中年人为\(6\)人，
则样本中，老年人为\(120 \times\dfrac{6}{360}=2\)，青年人为\(\dfrac{6}{360} n=\dfrac{n}{60}\)，
再根据\(2+6+\dfrac{n}{60}=m\)，可得\(8+\dfrac{n}{60}=m\)，
代入选项计算，\(C\)不符合，
故选:\(C\)．
点拨理解分层抽样的比例分配是关键，注意不混乱各数据之间的对应关系便可.
【巩固练习】
1.某大学工程学院共有本科生\(1200\)人、硕士生\(400\)人、博士生\(200\)人，要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为\(180\)的样本，则应抽取博士生的人数为( )
A．\(20\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(25\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(40\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(50\)
2.某大学有\(A\)、\(B\)、\(C\)三个不同的校区，其中\(A\)校区有\(4000\)人，\(B\)校区有\(3000\)人，\(C\)校区有\(2000\)人，采用按校区分层抽样的方法，从中抽取\(900\)人参加一项活动，则\(A\)、\(B\)、\(C\)校区分别抽取( )
A．\(400\)人、\(300\)人、\(200\)人 \(\qquad \qquad \qquad\) B．\(350\)人、\(300\)人、\(250\)人
C．\(250\)人、\(300\)人、\(350\)人 \(\qquad \qquad \qquad\) D．\(200\)人、\(300\)人、\(400\)人
3.某校高二年级统计了参加课外兴趣小组的学生人数，每人只参加一类，数据如下表：
| 学科类别 | 文学 | 新闻 | 经济 | 政治 |
|---|---|---|---|---|
| 人数 | \(400\) | \(300\) | \(100\) | \(200\) |
若从参加课外兴趣小组的学生中采用分层抽样的方法抽取\(50\)名参加学习需求的问卷调查，则从文学、新闻、经济、政治四类兴趣小组中抽取的学生人数分别为( )
A．\(15\)，\(20\)，\(10\)，\(5\) \(\qquad\) B．\(15\)，\(20\)，\(5\)，\(10\) \(\qquad\) C．\(20\)，\(15\)，\(10\)，\(5\) \(\qquad\) D．\(20\)，\(15\)，\(5\)，\(10\)
4.某集团校为调查学生对学校“延时服务”的满意率，想从全市\(3\)个分校区按学生数用分层随机抽样的方法抽取一个容量为\(n\)的样本．已知\(3\)个校区学生数之比为\(2:3:5\)，如果最多的一个校区抽出的个体数是\(60\)，那么这个样本的容量为( )
A．\(96\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(120\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(180\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(240\)
5.某工厂生产\(A\)、\(B\)、\(C\)三种不同型号的产品，某月生产产品数量之比依次为\(m:3:2\)，现用分层抽样方法抽取一个容量为\(120\)的样本，已知\(A\)种型号产品抽取了\(45\)件，则\(C\)种型号产品抽取的件数为( )
A．\(20\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(30\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(40\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(45\)
6.(多选)某运动队由足球运动员\(12\)人，篮球运动员\(18\)人，乒乓球运动员\(6\)人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取一个容量为\(n\)的样本，若采用分层随机抽样的方法，且不用删除个体，则样本量\(n\)的取值不可能是( )
A．\(24\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(20\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(5\)
7.(多选)某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了\(200\)名学生，他们的身高都处在\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)，\(E\)五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中( )
A．女生人数多于男生人数 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(D\)层次男生人数多于女生人数
C．\(B\)层次男生人数为\(24\)人 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(A\)层次人数最少
8.为了考察某校的教学水平，将抽查这个学校高三年级的部分学生本年度的考试成绩．为了全面反映实际情况，采取以下两种方式进行抽查(已知该校高三年级共有\(20\)个班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号):
①从高三年级\(20\)个班中任意抽取\(1\)个班，再从该班中任意抽取\(20\)名学生，考察他们的成绩；
②把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，按比例从中共抽取\(100\)名学生进行考察(已知该校高三学生共\(1000\)名，优秀生共\(150\)名，良好生共\(600\)名，普通生共\(250\)名)．
根据上面的叙述，试回答下列问题:
(1)上面两种抽取方式的总体、个体、样本分别是什么？每一种抽取方式抽取的样本中，样本量是多少？
(2)上面两种抽取方式各自采用的是何种抽取样本的方法？
(3)试写出第二种抽取方式的步骤．
参考答案
- 答案 \(A\)
解析 \(\because\)要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为\(180\)的样本，
\(\therefore\)抽取博士生的人数\(180 \times\dfrac{200}{200+400+200}=20\)，
故选：\(A\)． - 答案 \(A\)
解析 \(A\)校区有\(40004000\)人，\(B\)校区有\(3000\)人，\(C\)校区有\(2000\)人，
则\(4000:3000:2000=4:3:2\)，
由分层抽样的定义得\(A\)校区中抽出的学生\(900 \times\dfrac{4}{9}=400\)，
\(B\)校区中抽出的学生\(900 \times\dfrac{3}{9}=300\)，\(C\)校区中抽出的学生 \(900 \times\dfrac{2}{9}=200\)，
故选:\(A\)． - 答案 \(D\)
解析 根据分层抽样的等比性质性质知：
文学小组抽取人数为\(50 \times\dfrac{400}{1000}=20\)人，新闻小组抽取人数为 \(50 \times\dfrac{300}{1000}=15\)人，
经济小组抽取人数为\(50 \times\dfrac{100}{1000}=5\)人，政治小组抽取人数为 \(50 \times\dfrac{200}{1000}=10\)人．
故选：\(D\)． - 答案 \(B\)
解析 根据分层随机抽样法知，抽取容量为n的样本，抽样比为\(2:3:5\)，
如果最多的抽出的个体数是\(60\)，那么这个样本的容量为 \(n=\dfrac{60}{\frac{5}{2+3+5}}=120\)．
故选:\(B\)． - 答案 \(B\)
解析 \(\because\)分层抽样方法抽取一个容量为\(120\)的样本，\(A\)种型号产品抽取了\(45\)件，
\(\therefore B\)、\(C\)两种型号的产品共抽取:\(120-45=75\)，
\(\because\)某工厂生产\(A\)、\(B\)、\(C\)三种不同型号的产品，某月生产产品数量之比依次为\(m:3:2\)，
\(\therefore C\)种型号产品抽取的件数为:\(75 \times\dfrac{2}{3+2}=30\)．
故选:\(B\)． - 答案 \(BD\)
解析 总体容量\(6+12+18=36\)，
则采用分层抽样的比例是\(\dfrac{n}{36}\)，
分层抽样乒乓球运动员人数为\(\dfrac{n}{36} \times 6=\dfrac{n}{6}\)，篮球运动员人数为 \(\dfrac{n}{36} \times 18=\dfrac{n}{2}\)，足球运动员人数为 \(\dfrac{n}{36} \times 12=\dfrac{n}{3}\)，
可知\(n\)应为\(6\)的倍数，\(36\)的约数，
结合选项可知，样本量\(n\)的取值不可能是\(20\)，\(5\)．
故选:\(BD\)． - 答案 \(AC\)
解析 由条形图知，抽取女生学生有\(18+48+30+18+6=120\)(人)，
所以抽取男生有\(200-120=80\)(人)，女生人数多于男生人数，选项\(A\)正确；
\(D\)层次的男生有\(80×15\%=12\)(人)，女生有\(18\)人，男生人数少于女生，选项\(B\)错误；
\(B\)层次的男生有\(80×(1-10\%-15\%-20\%-25\%)=24\)(人)，选项\(C\)正确；
\(A\)层次有\(80×10\%+18=26\)(人)，\(E\)层次有\(80×15\%+6=18\)(人)，\(E\)层次的人数最少，选项\(D\)错误．
故选:\(AC\)． - 答案 (1) 这两张抽取方式的总体都是该校高三全体成绩，个体都是高三年级每个学生，
其中第一种抽取方式样本量为\(20\)；第二种抽取方式的样本样本量为\(100\)；
(2) 第一种采用的是简单随机抽样，第二种采用的是分层随机抽样；
(3)略
解析 (1)这两张抽取方式的总体都是该校高三全体成绩，个体都是高三年级每个学生，
其中第一种抽取方式的样本为所抽取的\(20\)名学生，样本量为\(20\)；
第二种抽取方式的样本为所抽取的\(100\)名学生，样本量为\(100\)；
(2)两种抽取方式中，第一种采用的是简单随机抽样，第二种采用的是分层随机抽样；
(3)第二种抽取方式的步骤如下:
第一步，分层，因为优秀学生共\(150\)名，良好生共\(600\)名，普通生共\(250\)名，
所以在抽取样本时，应该把高三全体学生分成三个层次；
第二步，确定各个层次抽取的人数，因为样本量与总体中的个体数之比为\(100:1000=1:10\)，
所以在优秀生、良好生、普通生中抽取的人数依次为\(\dfrac{150}{10}\)， \(\dfrac{600}{10}\)， \(\dfrac{250}{10}\)，即\(15\)，\(60\)，\(25\)；
第三步，按层次分别抽取，在优秀生中用简单随机抽样抽取\(15\)名学生，
在良好生中用简单随机抽样抽取\(60\)名学生，
在普通生中用简单随机抽样抽取\(25\)名学生，考察他们的成绩．
分层练习
【A组---基础题】
1.某学校要了解高一、高二和高三这三个年级学生的身体素质是否有显著差异，计划从这三个年级中抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
A．按学号随机抽样 \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) B．运动场上随机抽样
C．按性别分层抽样 \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) D．按年级分层抽样
2.某校为了了解高二学生的身高情况，打算在高二年级\(12\)个班中抽取\(3\)个班，再按每个班男女生比例抽取样本，正确的抽样方法是( )
A．简单随机抽样 \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) B．先用分层抽样，再用随机数表法
C．分层抽样 \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) D．先用抽签法，再用分层抽样
3.某中学高三年级有学生\(1200\)人，高二年级有学生\(900\)人，高一年级有学生\(1500\)人，现以年级为标准，用分层抽样的方法从这三个年级中抽取一个容量为\(108\)的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取的学生人数为( )
A．\(18\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(36\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(72\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(144\)
4.某工厂生产\(A\)、\(B\)、\(C\)三种不同型号的产品，新产品数量之比依次为\(k:5:3\)，现用分层抽样的方法抽出一个容量为\(120\)的样本，已知\(A\)种产品共抽取了\(24\)件，则\(C\)种型号产品抽取的件数为( )
A．\(24\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(30\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(36\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(40\)
5.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为\(120\)件、\(80\)件、\(60\)件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样法抽取了一个样本量为\(n\)的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了\(3\)件，则下列结论不正确的是( )
A．\(n=13\) \(\qquad\) B．\(n=12\)\(\qquad\) C．从甲车间的产品中抽取了\(6\)件 \(\qquad\) D．从乙车间的产品中抽取了\(4\)件
6.(多选)关于简单随机抽样和分层抽样之间的关系，下列说法中正确的有( )
A．都是从总体中逐个抽取
B．抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同
C．都是将整体分成几层，然后分层进行抽取
D．分层抽样是将总体分成几层，然后按各层个体数占总体数之比，在各层中可以用简单随机抽样抽取
7.(多选)某公司为检测某型号汽车的质量问题，需对三个批次生产的该型号汽车进行检测，三个批次产量分别为\(100000\)辆、\(150000\)辆和\(250000\)辆，公司质监部门计划从中抽取\(500\)辆进行检测，则下列说法正确的是( )
A．样本容量为\(500\)
B．采用简单随机抽样比分层随机抽样合适
C．应采用分层随机抽样，三个批次的汽车被抽到的概率不相等
D．应采用分层随机抽样，三个批次分别抽取\(100\)辆、\(150\)辆、\(250\)辆
8.从一个容量为\(m(m≥3，m∈N)\)的总体中抽取一个容量为\(3\)的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是\(\dfrac{1}{3}\)，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是\(\underline{\quad \quad}\).
9.某高中共有学生\(1000\)名，其中高一年级共有学生\(380\)人，高二年级男生有\(180\)人．如果在全校学生中抽取\(1\)名学生，抽到高二年级女生的概率为\(0.19\)，现采用分层抽样(按年级分层)在全校抽取\(100\)人，则应在高三年级中抽取的人数等于\(\underline{\quad \quad}\)．
10.某区域大型城市、中型城市、小型城市的数量之比为\(2: m: 1\)，为了解该区域城市的空气质量情况，现用比例分配的分层抽样方法抽取一个容量为\(n\)的样本．在样本中，中型城市比大型城市多\(4\)个，比小型城市多\(8\)个，则\(n=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
11.在调查某个城市的家庭年平均收入时，能否只在该市的娱乐场所(如电影院、歌剧院、游乐场、健身馆等)进行随机抽样？原因是什么？能否只在该市的公共汽车站进行随机抽样？原因是什么？
12.数据\(x_1\)，\(x_2\)，⋯，\(x_m\)的平均数为\(\bar{x}，\)， 数据\(y_1\)，\(y_2\)，⋯，\(y_n\)的平均数为\(\bar{y}\)，
证明: \(\dfrac{\sum_{i=1}^m x_i+\sum_{i=1}^n y_i}{m+n}=\dfrac{m}{m+n} \bar{x}+\dfrac{n}{m+n} \bar{y}\)．
13.\(A\)中学高一年级的\(500\)名同学中有\(218\)名女生，在调查全年级同学的平均身高时，预备抽样调查\(50\)个同学、请你做以下工作，并回答以下问题．
(1)设计一个合理的分层抽样方案．
(2)你的设计中，第\(1\)和第\(2\)层分别是什么？
(3)分层抽样是否在得到全年级同学平均身高的估计时，还分别得到了男生和女生的平均身高的估计？
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 某学校要了解高一、高二和高三这三个年级学生的身体素质是否有显著差异，计划从这三个年级中抽取部分学生进行调查，
\(\because\) 高一、高二和高三这三个年级学生的身体素质差异明显，
\(\therefore\)最合理的抽样方法是按年级分层抽样．
故选：\(D\)． -
答案 \(D\)
解析 先在高二年级\(12\)个班中抽取\(3\)个班，宜用抽签法，再按每个班男女生比例抽取样本，适合使用分层抽样，以先用抽签法，再用分层抽样．故选：\(D\)． -
答案 \(B\)
解析 高三年级学生所占的比例为\(\dfrac{1200}{1200+900+1500}=\dfrac{1}{3}\)，
\(\therefore\)应从高三年级学生中抽取的人数为\(108 \times\dfrac{1}{3}=36\)，
故选：\(B\)． -
答案 \(C\)
解析 \(\because\)新产品数量之比依次为\(k:5:3\)，
\(\therefore\)由 \(\dfrac{k}{k+3+5}=\dfrac{24}{120}\)，解得\(k=2\)，
则\(C\)种型号产品抽取的件数为\(120 \times\dfrac{3}{10}=36\)，故选:\(C\) -
答案 \(B\)
解析 \(\because\)甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是\(120\)，\(80\)，\(60\)，
\(\therefore\)甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为\(6:4:3\)，
丙车间生产产品所占的比例\(\dfrac{3}{13}\)，
因为样本中丙车间生产产品有\(3\)件，占总产品的\(\dfrac{3}{13}\)，
所以样本容量\(n=3 \div\dfrac{3}{13}=13\)，故\(A\)正确，\(B\)错误，
从甲车间抽取了\(6\)件，从乙车间抽取了\(4\)件，故\(C\)，\(D\)正确，
故选:\(B\)． -
答案 \(BD\)
解析 根据简单随机抽样和分层抽样的定义可得\(B\)，\(D\)选项正确；
简单随机抽样不需要分层，分层抽样将整体分成几层，然后分层进行抽取，
\(\therefore A\)，\(C\)选项错误．
故选：\(BD\)． -
答案 \(AD\)
解析 因为抽取\(500\)辆进行检测，所以样本容量为\(500\)，故选项\(A\)正确；
因为汽车分为三个型号，故应该采用分层抽样比较合适，故选项\(B\)错误；
由分层抽样的定义可知，三个批次的汽车被抽到的概率都是相同的，故选项\(C\)错误；
设三种型号的车依次抽取\(x\)，\(y\)，\(z\)辆，
则有\(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{x}{100000}=\dfrac{y}{150000}=\dfrac{z}{250000} \\ x+y+z=500 \end{array}\right.\)，
解得\(x=100\)，\(y=150\)，\(z=250\)，
所以三个批次分别抽取\(100\)辆、\(150\)辆、\(250\)辆，故选项\(D\)正确．
故选：\(AD\)． -
答案 \(\dfrac{1}{3}\)
解析 \(\because\)随机抽样每个个体被抽到的概率相等，
\(\therefore\)选取分层抽样抽取样本时总体中每个个体被抽中的概率仍为\(\dfrac{1}{3}\). -
答案 \(25\)
解析 \(\because\)高中共有学生\(1000\)名，在全校学生中抽取\(1\)名学生，抽到高二年级女生的概率为\(0.19\)，
\(\therefore\)高二女生共有\(1000×0.19=190\)人，则高二共有学生\(180+190=370\)人，
则高三人数为\(1000-370-380=250\)人，
则采用分层抽样(按年级分层)在全校抽取\(100\)人，
则应在高三年级中抽取的人数等于\(\dfrac{250}{1000} \times 100=25\)人，
故答案为:\(25\)． -
答案 \(24\)
解析 设抽取的大中小型城市的数量分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，
\(\because\)在样本中，中型城市比大型城市多\(4\)个，比小型城市多\(8\)个，
则\(b=a+4=c+8\)，
又\(\because\)大型城市、中型城市、小型城市的数量之比为\(2: m: 1\)，
则\(a=2c\)，解得\(a=8\)，\(b=12\)，\(c=4\)，
\(\therefore n=a+b+c=24\)． -
解析 在调查某个城市的家庭年平均收入时，不能只在该市的娱乐场所(如电影院、歌剧院、游乐场、健身馆等)进行随机抽样，
因为他们不能代表全市的居民的真实情况．
也不能只在该市的公共汽车站进行随机抽样，因为在该市的公共汽车站的人不能代表全部该市全部人员．
由于要研究的对象是由具有明显不同特征的若干部分构成，
故应采用分层抽样的方法． -
证明 \(\dfrac{\sum_{i=1}^m x_i+\sum_{i=1}^n y_i}{m+n}=\dfrac{\sum_{i=1}^m x_i}{m+n}+\dfrac{\sum_{i=1}^n y_i}{m+n}\)\(=\dfrac{m \bar{x}}{m+n}+\dfrac{n \bar{y}}{m+n}=\dfrac{m}{m+n} \bar{x}+\dfrac{n}{m+n} \bar{y}\)．
-
答案 (1) 略；(2) 第一层是样本中:女生\(22\)人的身高数据，第二层为男生\(28\)人的身高数据；(3)是
解析 (1)因为男生、女生身高有差异性，故按男女生在总人数中所占比例采取分层抽样．
故女生抽取人数为\(50 \times\dfrac{218}{500} \approx 22\)人；男生抽取人数为\(50 \times\dfrac{282}{500} \approx 28\)人，然后测量这\(50\)人的身高数据．从而得到\(50\)人的身高数据样本．
(2)第一层是样本中:女生\(22\)人的身高数据，第二层为男生\(28\)人的身高数据．
(3)是的，可以用男、女生身高数据之和除以各自样本中的人数，得到男、女生平均身高的估计值．
【B组---提高题】
1.某单位有老年人\(27\)人，中年人\(55\)人，青年人\(81\)人．为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为\(36\)的样本，最适合抽取样本的方法是( )
A．简单随机抽样
B．系统抽样
C．先从中年人中剔除一人，然后分层抽样
D．先从老年人中剔除一人，然后分层抽样
2.某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组．在参加活动的职工中，青年人占\(42.5\%\)，中年人占\(47.5\%\)，老年人占\(10\%\)．登山组的职工占参加活动总人数的\(\dfrac{1}{4}\)，且该组中青年人占\(50\%\)，中年人占\(40 \%\)，老年人占\(10\%\)．为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为\(200\)的样本．
(1)试求游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)试求游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数；
(3)如果游泳组中抽取的样本经调查得知青年人的平均满意度为\(75\%\)，中年人的平均满意度为\(80\%\)，老年人的平均满意度为\(90\%\)，试估计游泳组中的职工的平均满意度．
参考答案
- 答案 \(C\)
解析 由于调查目的是单位人员的身体状况，明显比例以人员年纪进行分层抽样．
若直接计算抽取老年人\(36 \times\dfrac{27}{27+55+81} \approx 5.96\)，结果不是整数，
故这样直接分层抽样不可取，
通过观察数值，可先从中年人中剔除一人，然后再分层，
此时总体人数是\(27+54+81=162\)，每个个体被抽到的概率等于 \(\dfrac{36}{162}=\dfrac{2}{9}\)，
所以老年人抽取\(27 \times\dfrac{2}{9}=6\)人，中年人\(54 \times\dfrac{2}{9}=12\)人，青年人 \(81 \times\dfrac{2}{9}=18\)；
故选：\(C\)． - 答案 (1) 青年人、中年人、老年人各占比例分别为\(40\%\)、\(50\%\)、\(10\%\)；
(2) 青年人、中年人、老年人分别抽取的人数为:\(60\)，\(75\)，\(15\)人 ；
(3) \(79\%\)
解析 (1)设登山组人数为\(x\)人，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，
则有\(\dfrac{x \cdot 40 \%+3 x b}{4 x}=47.5 \%\)， \(\dfrac{x \cdot 10 \%+3 x c}{4 x}=10 \%\)，
解得\(b=50\%\)，\(c=10\%\)．
故\(a=100\%-50\%-10\%=40\%\)，
即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为\(40\%\)、\(50\%\)、\(10\%\)．
(2)游泳组中，抽取的青年人数为\(200 \times\dfrac{3}{4} \times 40 \%=60\)(人)；
抽取的中年人数为\(200 \times\dfrac{3}{4} \times 50 \%=75\)(人)；
抽取的老年人数为\(200 \times\dfrac{3}{4} \times 10 \%=15\)(人)．
(3)\(\because\)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别抽取的人数为:\(60\)，\(75\)，\(15\)人；
\(\therefore\)职工的平均满意度的估计值为: \(\dfrac{60 \times 75 \%+75 \times 80 \%+15 \times 90 \%}{60+75+15} \times 100 \%=79 \%\)，
\(\therefore\)估计游泳组中的职工的平均满意度为\(79\%\)．
