8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积


[【基础过关系列】高一数学同步精品讲义与分层练习 (人教 A 版 2019)]
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必修第二册同步巩固,难度 2 颗星!

基本知识

棱柱

棱柱的表面积就是围成各个面的面积的和;
体积:V=Sh (其中 h 是棱柱的高)
 

棱锥

棱锥的表面积就是围成各个面的面积的和;
棱锥体积:V=13Sh(其中 h 为棱柱的高)
 

棱台

棱台的表面积就是围成各个面的面积的和;
棱台体积 V=13(S+SS+S)h
其中 SS 分别为上,下底面面积,h 为棱台的高.
解释
棱台的体积可以视为两个棱锥体积的差,简证如下
如下图,设 SS 分别为上底四边形 ABCD 面积,下底面四边形 ABCD 面积,h=OO 为高.
由相似易得, POPO=SSh=OO=POPO
PO=h(ss+s)ssPO=h(ss+s)ss
所以 V棱台=13POS13POS=13h(SS+S)SSS13h(SS+S)SSS
=13(S+SS+S)h.

S=0 时,棱台变成棱锥,体积公式就变成棱锥的体积公式.
 

基本方法

【题型1】 棱柱、棱锥、棱台的表面积

【典题 1】 刍 (chú) 甍 (méng) 是中国古代算数中的一种几何体,其结构特征是:底面为长方形,顶棱和底面平行,且长度不等于底面平行的棱长的五面体,是一个对称的楔形体.已知一个刍甍底边长为 4,底边宽为 3,上棱长为 2,高为 2,则它的表面积是 (  )
image.png
 A.27+35 B.42+35 C.27+33 D.42+63
解析 根据题意,如图:刍甍的底面为长方形 ABCDAB=4BC=3
则其面积 S1=4×3=12
侧面为两个三角形 ADE BFC,两个梯形 ABFE CDEF
BFC 中,斜高 FN=1+4=5,则其面积 S2=352
同理:ADE 的面积 S3=352
梯形 ABFE 中,EF=2AB=4,斜高 EM=52
则其面积 S4=12(2+4)×52=152
同理:梯形 CDEF 的面积 S5=152
则它的表面积 S=12+352+352+152+152=27+35
故选:A
image.png
 

【巩固练习】

1. 已知正方体 ABCDABCD 的棱长为 2,棱 ABADAA 的中点分别为 EFG,首先截去三棱锥 AEFG,类似的,再截去另外 7 个三棱锥,则余下的几何体的表面积为 _
 

2. 如图所示,正方体的棱长为 4,以其所有面的中心为顶点的多面体的表面面积为 _
image.png
 

3.“李白斗酒诗百篇,长安市上酒家眠”,本诗句中的 “斗” 的本义是指盛酒的器具,后又作为计量蜋食的工具,某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟 “斗”,用它研究 “斗” 的相关几何性质,已知该四棱台的上、下底的边长分别是 24,高为 1,则该四棱台的表面积为 _
image.png
 
 
 

参考答案

  1. 答案 12+43
    解析如图, S正方形 GEMH=2×2=2SEFG=12×2×2×sin60=32
    而余下的几何体的表面积等于 6 个正方形 GEMN 的面积加上 8 个三角形 EFG 的面积之和,
    故所求几何体的表面积为 2×6+32×8=12+43
    故答案为:12+43
    image.png

  2. 答案 163
    解析 由题意知所得几何体是八面体,且八面体是两个底面边长为 22,高为 2 的四棱锥组成;
    则该八面体是这两个四棱锥的侧面积之和,
    由四棱锥的侧棱长为 l=22+22=22
    所以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为:
    S=8×S=8×12×22×22×sin60=163

  3. 答案 20+122
    解析 如下图所示:AB=DE=1AD=12×2=1BC=4×12=2
    所以 CD=12+(21)2=2
    所以该四棱台的表面积为:22+42+4×12×(2+4)×2=20+122.
    image.png
     
     
     

【题型2】 棱柱、棱锥、棱台的体积

【典题 1】 过三棱台 ABCABC 上底面的一边 AC 与侧棱 BB 平行的一个截面,把棱台分为两部分,截面与 ABCB 的交点 DE 分别为 ABCB 的中点.求棱台被分成两部分的体积的比.
image.png
解析 设棱台上底面 ABC 的面积为 S,棱台的高为 h
由题意可知 ABC≌△DBE
∵△DBE∽△ABCDE 分别是 ABBC 的中点,
SDBESABC=14SABC=4S
VABCABC=13h(S+S4S+4S)=13h7S=73hS
VDBEABC=Sh
棱台被分成的两部分体积比为 43 34
 

【巩固练习】

1. 如图,长方体 ABCDA1B1C1D1 的体积是 36,点 E 在棱 CC1 上,且 CE=2EC1,则三棱锥 EBCD 的体积是 (  )
image.png
 A.2 B.3 C.4 D.6
 

2. 若正三棱柱的所有棱长均为 a,且其体积为 163,则侧面积为 _
 

3. 如图 1,在高为 h 的直三棱柱容器 ABCA1B1C1 中,AB=AC=2ABAC.现往该容器内灌进一些水,水深为 2,然后固定容器底面的一边 AB 于地面上,再将容器倾斜,当倾斜到某一位置时,水面恰好为 A1B1C(如图 2),则容器的高 h _
image.png
 

4. 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,平面 ABC 是下底面.M BB1 上的点,AB=3BC=4AC=5CC1=7,过三点 AMC1 作截面,当截面周长最小时,截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为 _
 

参考答案

  1. 答案 C
    解析 根据题意可得 VEBCD=23VC1BCD=23×12VC1ABCD
    =23×12×13 V长方体 ABCDA1 B1C1D1=19×36=4
    故选:C

  2. 答案 48
    解析 由题意可得,正棱柱的底面是边长等于 a 的等边三角形,面积为 12aasin60
    正棱柱的高为 a
    (12aasin60)a=163a=4
    侧面积为 3×4×4=48.

  3. 答案 3
    解析 在图 1V=12×2×2×2=4
    在图 2 中, V=VAECA1 B1C1VCA1 B1C1
    =12×2×2×h13×12×2×2×h=43 h
    43 h=4h=3

  4. 答案 1110
    解析 AB=3BC=4AC=5,得 AB2+BC2=AC2
    ABBC
    将平面 ABB1A1 与平面 BCC1B1 放在一个平面内,
    连接 AC1,与 BB1 的交点即为 M,此时 BM=3
    设四棱锥 ABCC1M 的体积为 V1
    V1=13×12×(3+7)×4×3=20
    三棱柱 ABCA1B1C1 的体积 V=12×4×3×7=42
    当截面周长最小时,截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为 VV1V1=1110
    image.png
     

分层练习

【A组---基础题】

1. 棱长均为 1 的正四面体的表面积是 (  )
 A.3 B.23 C.33 D.43
 

2.“斗” 不仅是我国古代容量单位,还是量粮食的器具,如图所示,其可近似看作正四棱台,上底面是边长为 6dm 的正方形,下底面是边长为 2dm 的正方形,高为 4dm.“斗” 的面的厚度忽略不计,则该 “斗” 的所有侧面的面积之和与下底面的面积之比为 (  )
image.png
 A.85 B.16 C.25 D.4
 

3. 正四棱锥底面正方形的边长为 4,高与斜高的夹角为 30,则该四棱锥的侧面积为 (  )
 A.32 B.48 C.64 D. 323
 

4. 分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴,将三角形旋转一周所得旋转体的体积依次为 V1V2V3,则 (  )
 A.V1=V2+V3 B. V12=V22+V32 C. 1V12=1V22+1V32 D. 1V1=1V2+1V3
 

5. 如图所示,三棱柱容器的棱 CC1 长为 8,且 CC1 到侧面 AA1BB1 的距离为 82,若将该容积装入容积一半的水,再以侧面 AA1BB1 水平放置,则水面高度为 (  )
 A.4 B.42 C.828 D.842
image.png
 

6. 某广场设置了一些石凳供大家休息,这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的 (如图).则该几何体共有 _ 个面;如果被截正方体的棱长是 50cm,那么石凳的表面积是 _ cm2
image.png
 

7. 如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,AB=1BC=2BB1=3ABC=90,点 D 为侧棱 BB1 上的动点,当 AD+DC1 最小时,三棱锥 DABC1 的体积为 _
image.png
 

8. 已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 AB=2AA1=3O 为上底面中心.设正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 与正四棱锥 OA1B1C1D1 的侧面积分别为 S1S2,则 S2S1= _
 

9. 一块边长为 6cm 的正方形铁皮按如图 (1) 所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器,将该容器按如图 (2) 放置,若其正视图为等腰直角三角形 (如图 (3)),则该容器的体积为 _
image.png
 

10. 如图所示的是一个正四棱锥 EABCD(底面是正方形,从顶点向底面作垂线,垂足是底面中心的四棱锥),其中 EA=5AB=6F 为线段 BC 的中点,EO 是正四棱锥的高.
  (1) 求正四棱锥 EABCD 的表面积;
  (2) 求正四棱锥 EABCD 的体积.
image.png
 
 
 

参考答案

  1. 答案 A
    解析 正四面体的棱长均为 1
    正四面体每一个面均为边长等于 1 的等边三角形,
    其面积 S1=12×1×1×sin60=34
    因此正四面体的表面积是 S=4S1=3
    故选:A

  2. 答案 A
    解析 由题意可知,四棱台的侧面均为等腰梯形,则其斜高为 42+[12(62)]2=25dm
    所以 “斗” 的所有侧面的面积之和为 S1=4×12(6+2)×25=325
    下底面的面积为 S2=4
    所以 S1S2=85
    故选:A

  3. 答案 A
    解析 如图,正四棱锥的高 PO,斜高 PE,底面边心距 OE 组成直角 POE
    OE=2cmOPE=30
    斜高 PE=OEsin30=4
    S正四棱雉=12Ch=12×4×4×4=32
    故选:A
    image.png

  4. 答案 C
    解析 设直角三角形的三边分别为 abca2+b2=c2,即 c 为斜边,
    则以边 c 所在直线为轴,将三角形旋转一周所得旋转体的体积为 V1
    V1=13π(abc)2c=13πa2b21c
    以边 a 所在直线为轴,将三角形旋转一周所得旋转体的体积为 V2,则 V2=13πb2a
    以边 b 所在直线为轴,将三角形旋转一周所得旋转体的体积为 V3,则 V3=13πa2b
    1V12=1V22+1V32, 
    故选 C

  5. 答案 C
    解析 设三棱柱中底面 ABC 上的高为 h
    则当以平面 ABC 为底时,水的体积 V=12hSABC
    当以侧面 AA1B1B 水平放置时,水呈现为四棱柱,此时底面作图如下:
    image.png
    其中 CGAB,由题意可知 ABDE,则 CFDE
    设其底面四边形的面积为 S(阴影面积),水的体积可表示为 V=hS,可得 S=12SABC
    SCDE=12SABC,则 CFCG=22,即 FG=CG22CG=828
    则水面高度为 828
    故选:C

  6. 答案 1425003+7500
    解析 由题意知截去的八个四面体是全等的正三棱锥,8 个底面三角形,再加上 6 个小正方形,
    所以该几何体共有 14 个面;
    如果被截正方体的棱长是 50cm,那么石凳的表面积是
    S表面积=8×12×252×252×sin60+6×252×252=25003+7500( cm2)
    故答案为:1425003+7500

  7. 答案 13
    解析 将直三棱柱 ABCA1B1C1 展开成矩形 ACC1A1,如图,
    连结 AC1,交 BB1 D,此时 AD+DC1 最小,
    AB=1BC=2BB1=3ABC=90°,点 D 为侧棱 BB1 上的动点,
    AD+DC1 最小时,BD=1
    此时三棱锥 DABC1 的体积
    VDABC1=VC1ABD=13×SABD×B1C1=13×12×AB×BD×B1C1=13×12×1×1×2=13
    故答案为 13

  8. 答案 106
    解析 如图,
    image.png
    正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,AB=2AA1=3
    则正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的侧面积分别为 S1=4×2×3=24
    正四棱锥 OA1B1C1D1 的斜高为 12+32=10
    正四棱锥 OA1B1C1D1 的侧面积 S2=4×12×2×10=410
    S2S1=41024=106
    故答案为: 106

  9. 答案 92
    解析 如图 (2),PMN 是该四棱锥的正视图,
    由图 (1) 知 PM+PN=6,且 PM=PN
    PMN 为等腰直角三角形,知 MN=32PM=3
    MN 中点为 O,则 PO 平面 ABCDPO=12MN=322
    该容器的体积为 VPABCD=13×(32)2×322=13×18×322=92
    image.png

  10. 答案 (1) 84 (2) 127
    解析 (1) 因为 EB=BCF 为线段 BC 的中点,所以 EFBC
    因为 BF=12BC=3EB=5
    所以 VE=5232=4
    SEABCD=(12×6×4)×4+6×6=48+36=84
    (2) 因为 EO 是正四棱锥 EABCD 的高,所以 EOOF
    因为 OF=12AB=3,由 (1) 知,EF=4
    所以 EO=EF2OF2=4232=7
    VEAECD=13×6×6×7=127
     

【B组---提高题】

1. 以 A 为顶点的三棱锥 ABCD,其侧棱两两互相垂直,且该三棱锥外接球的表面积为 8π,则以 A 为顶点,以面 BCD 为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为 (  )
 A.2 B.4 C.6 D.7
 

2. 半径为 2 的球 O 内有一个内接正三棱柱,则正三棱柱的侧面积的最大值为 (  )
 A.93 B.123 C.163 D.183
 

参考答案

  1. 答案 B
    解析 把三棱锥 ABCD 补成长方体,如图所示:
    image.png
    则三棱锥 ABCD 外接球即是长方体的外接球,设长方体的棱长分别为 abc
    三棱锥 ABCD 外接球的表面积为 8π
    三棱锥 ABCD 外接球的半径为 2
    a2+b2+c2=8
    2aba2+b22aca2+c22bcb2+c2
    2(ab+ac+bc)2(a2+b2+c2)
    ab+ac+bc8
    三棱锥的侧面积之和 S=12(ab+ac+bc)4
    故选:B

  2. 答案 B
    解析 如图所示,
    设正三棱柱上下底面的中心分别为 O1O2,底面边长与高分别为 xh
    O2A=33x,在 RtOAO2 中, h24+x23=4
    化为 h2=1643x2
    S=3xh
    S2=9x2h2=12x2(12x2)12(x2+12x22)2=432
    当且仅当 x2=12x2,即 x=6 时取等号,
    此时 S=123
    故选:B
    image.png
     

【C组---拓展题】

1. 如图,在 ABC 中,AB=BC=2ABC=120°.若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D,满足 PD=DAPB=BA,则四面体 PBCD 的体积的最大值是 _
image.png
 
 

参考答案

  1. 答案 12
    解析 如图,M AC 的中点.
    ①当 AD=t<AM=3 时,
    如图,此时高为 P BD 的距离,也就是 A BD 的距离,即图中 AE
    image.png
    DM=3t,由 ADE∽△BDM
    可得 h1=t(3t)2+1h=t(3t)2+1
    V=1312(23t)1t(3t)2+1=163(3t)2(3t)2+1t(03)
    ②当 AD=t>AM=3 时,
    如图,此时高为 P BD 的距离,也就是 A BD 的距离,即图中 AH
    image.png
    DM=t3,由等面积,可得 12ADBM=12BDAH
    12t1=12(t3)2+1
    h=t(3t)2+1
    V=1312(23t)1t(3t)2+1=163(3t)2(3t)2+1t(323)
    综上所述, V=163(3t)2(3t)2+1t(023)
    m=(3t)2+1[12)m=1 时, Vmax=12
    故答案为 12
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