8.2 立体图形的直观图
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[ 【基础过关系列】高一数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019)]
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基础知识
空间几何体的直观图
用来表示空间几何体的平面图形叫做空间几何体的直观图,常用斜二测画法画它们的直观图.
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图
一般步骤如下:
① 建立平面直角坐标系: 在已知平面图形中取互相垂直的\(x\)轴和\(y\)轴,两轴相交于点\(O\).
② 画出斜坐标系: 在画直观图的纸上(平面上)画出对应的\(x'\)轴和\(y'\)轴, 两轴相交于点\(O'\),且使\(∠x'O'y' =45\)度(或\(135\)度), 它们确定的平面表示水平平面.
③ 画对应图形: 在已知图形平行于\(x\)轴的线段, 在直观图中画成平行于\(x'\)轴, 长度保持不变.在已知图形平行于\(y\)轴的线段, 在直观图中画成平行于\(y'\)轴, 且长度为原来一半.
④ 对于一般线段,要在原来的图形中从线段的各个端点引垂线,再按上述要求画出这些线段,确定端点,从而画出线段.
⑤ 擦去辅助线: 图画好后,要擦去x'轴,y'轴及为画图添加的辅助线.
斜二测画法口诀
平行依旧垂改斜,横等纵半竖不变,眼见为实遮为虚.
直观图面积与原图面积的关系
原来的高变成了\(45°\)的线段,且长度是原高的一半,因此新图形的高是这个一半线段的\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)倍,故新高是原来高的\(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\),而横向长度不变,所以面积变为原面积的\(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\).
基本方法
【题型1】 斜二测画法
【典题1】用斜二测画法画出图中五边形\(ABCDE\)的直观图.
解析 在原图形中作\(BF⊥x\)轴,\(EG⊥x\)轴,垂足分别为\(F\)、\(G\),
1、作坐标系\(x'O'y'\),使\(∠x'O'y'= 45^{\circ}\),
2、在\(x'\)轴上取点\(C'\),\(D'\),\(F'\),\(G'\)使\(O'C'=OC\),\(O'D'=OD\),\(O'F'=OF\),\(O'G'=OG\);
3、在\(y'\)轴上取点\(A'\),使\(O' A'=\dfrac{1}{2} OA\),作\(F'B'∥y'\),使\(F' B'=\dfrac{1}{2} FB\),作\(G'E'∥y'\),使\(G' E'=\dfrac{1}{2} GE\);
4、连接\(A'B'\),\(B'C'\),\(D'E'\),\(E'A'\),得五边形\(ABCDE\)的直观图.
(正五边形的直观图的形状如下图所示)
【巩固练习】
1.利用斜二测画法得到的( )
①三角形的直观图是三角形 \(\qquad \qquad\) ②平行四边形的直观图是平行四边形
③正方形的直观图是正方形 \(\qquad \qquad\) ④菱形的直观图是菱形
A.③④ \(\qquad \qquad \qquad\) B.① \(\qquad \qquad \qquad\) C.①② \(\qquad \qquad \qquad\) D.①②③④
2.用斜二测画法西出下列平面图形水平放置的直观图.
参考答案
- 答案 \(C\)
解析 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变,有的边的长度会发生变化,
因此三角形的直观图是三角形,平行四边形的直观图是平行四边形.
故选:\(C\). - 解析 (1)如图(1)所示,
画出坐标系\(x'O'y'\),使\(∠x'O'y'= 45^{\circ}\),
在\(x'\)轴上作线段\(A'B'=AB=1\),
过点\(A'\)作\(A'C'∥y'\)轴,且\(A' C'=\dfrac{1}{2} AC=1\),连接\(B'C'\),
则\(△A'B'C'\)即为\(△ABC\)的直观图;
(2)如图(2)所示,
画出坐标系\(x'O'y'\),使\(∠x'O'y'= 45^{\circ}\),
在\(x'\)轴上作线段\(O'B'=OB=2\),在\(y'\)轴上作线段\(O' A'=\dfrac{1}{2} OA=\dfrac{1}{2}\),
再作出点\(C'\)、\(D'\),连接\(B'C'\)、\(C'D'\)和\(D'A'\),即可得出该平面图形的直观图.
【题型2】 运用
【典题1】如图,\(△A'B'C'\)是\(△ABC\)的直观图,其中\(A'B'=A'C'\),\(A'B'∥x'\)轴,\(A'C'∥y'\)轴,那么\(△ABC\)是( )
A.等腰三角形 \(\qquad \qquad \qquad\) B.钝角三角形 \(\qquad \qquad \qquad\) C.等腰直角三角形\(\qquad \qquad \qquad\) D.直角三角形
解析 根据斜二测画法中平行与坐标轴的直线,平行关系不变,
且平行于\(x\)轴的线段,长度不变,平行于\(y\)轴的线段,长度变为原来的一半,
\(∴\)直观图\(△A'B'C'\)的原来图形\(△ABC\)是直角三角形,且\(AC=2AB\),不是等腰直角三角形.
故选:\(D\).
点拨 斜二测法:平行于\(x\)轴的线段,长度不变,平行于\(y\)轴的线段,长度变为原来的一半.
【典题2】梯形\(A_1 B_1 C_1 D_1\)(如图)是一水平放置的平面图形\(ABCD\)的直观图(斜二测),若\(A_1 D_1∥y'\)轴,\(A_1 B_1∥x'\)轴, \(A_1 B_1=\dfrac{2}{3} C_1 D_1=2\),\(A_1 D_1=1\),则平面图形\(ABCD\)的面积是( )
A.\(5\) \(\qquad \qquad \qquad\) B.\(10\) \(\qquad \qquad \qquad\) C.\(5\sqrt{2}\) \(\qquad \qquad \qquad\) D.\(10\sqrt{2}\)
解析 方法一 如图,根据直观图画法的规则,
直观图中\(A_1 D_1∥O'y'\),\(A_1 D_1=1\),\(⇒\)原图中\(AD∥Oy\),
从而得出\(AD⊥DC\),且\(AD=2A_1 D_1=2\),
直观图中\(A_1 B_1∥C_1 D_1\),\(A_1 B_1=\dfrac{2}{3} C_1 D_1=2\),\(⇒\)原图中\(AB∥CD\),\(AB=\dfrac{2}{3} CD=2\),
即四边形\(ABCD\)上底和下底边长分别为\(2\),\(3\),高为\(2\),如图.
故其面积\(S=\dfrac{1}{2}(2+3)×2=5\);
故选:\(A\).
方法二 \(∵∠A_1 D_1 O_1=45°\),\(∴\)梯形的高\(h=A_1 D_1 \cos 45^∘=\sqrt{2}/2\)
\(\therefore S_{\text {梯形 } A_1 B_1 C_1 D_1}=\dfrac{5 \sqrt{2}}{4}\),
\(∴\)平面图形\(ABCD\)的面积是 \(\dfrac{5 \sqrt{2}}{4} \times 2 \sqrt{2}=5\).
点拨 斜二侧画法的面积是原来图形面积的\(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)倍,原来图形的面积是斜二侧画法的面积的\(2\sqrt{2}\)倍.
【巩固练习】
1.如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图,它是底角为\(45^{\circ}\),腰和上底长均为\(1\)的等腰梯形,则原平面图形为( )
A.下底长为\(1+\sqrt{2}\)的等腰梯形 \(\qquad \qquad \qquad\) B.下底长为\(1+2\sqrt{2}\)的等腰梯形
C.下底长为\(1+\sqrt{2}\)的直角梯形 \(\qquad \qquad \qquad\) D.下底长为\(1+2\sqrt{2}\)的直角梯形
2.如图所示的是水平放置的三角形直观图,\(D'\)是\(△A' B' C'\)中\(B' C'\)边上的一点,且\(D'\)离\(B'\)比\(D'\)离\(C'\)近,又\(A'D'∥y'\)轴,那么原\(△ABC\)的\(AB\)、\(AD\)、\(AC\)三条线段中( )
A.最长的是\(AB\),最短的是\(AC\) \(\qquad \qquad \qquad\) B.最长的是\(AC\),最短的是\(AD\)
C.最长的是\(AD\),最短的是\(AC\) \(\qquad \qquad \qquad\) D.最长的是\(AB\),最短的是\(AD\)
3.如图所示,矩形\(O'A'B'C'\)是一个水平放置的平面图形的直观图,其中\(O'A'=3\),\(O'C'=1\),则原图形是( )
A.面积为\(6\sqrt{2}\)的菱形 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.面积为\(6\sqrt{2}\)的矩形
C.面积为\(\dfrac{3 \sqrt{2}}{4}\)的菱形 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.面积为\(\dfrac{3 \sqrt{2}}{4}\)的矩形
4.如图所示,某三角形的直观图是斜边长等于\(2\)的等腰直角三角形\(O'A'B'\),则原三角形\(OAB\)的面积等于( )
A.\(1\)\(\qquad \qquad\qquad \qquad\) B.\(2\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(2\sqrt{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(4\)
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 \(∵\)平面图形的直观图是一个底角为\(45^{\circ}\),腰和上底长均为\(1\)的等腰梯形,
\(∴\)平面图形为直角梯形,且直角腰长为\(2\),上底边长为\(1\),
\(∴\)梯形的下底边长为\(1+\sqrt{2}\),
故选:\(C\). -
答案 \(B\)
解析 由题意得到原\(△ABC\)的平面图为:
其中,\(AD⊥BC\),\(BD<DC\),所以\(AC>AB>AD\),
所以\(△ABC\)的\(AB\)、\(AD\)、\(AC\)三条线段中最长的是\(AC\),最短的是\(AD\).
故选:\(B\).
-
答案 \(A\)
解析 \(∵\)矩形\(O'A'B'C'\)是一个水平放置的平面图形的直观图,其中\(O'A'=3\),\(O'C'=1\),
又 \(\angle D^{\prime} O^{\prime} C^{\prime}=45^{\circ}\),\(∴O' D'=\sqrt{2}\),直观图面积为\(1×3=3\),
在原图中\(OA∥BC\),\(OC∥AB\),高为\(OD=2\sqrt{2}\),\(CD=1\),
\(\therefore O C=\sqrt{(2 \sqrt{2})^2+1^2}=3\).
\(∴\)原图形是菱形,且面积为:\(3×2\sqrt{2}=6\sqrt{2}\).
故选:\(A\). -
答案 \(C\)
解析 根据题意,三角形的直观图是斜边长等于\(2\)的等腰直角三角形O'A'B',则直角边为\(\sqrt{2}\),
所以,直观图的面积为\(\dfrac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1\),
根据直观图的面积\(=\sqrt{2}/4\)原图的面积,所以原图的面积为\(1×2\sqrt{2}=2\sqrt{2}\).
故选:\(C\).
分层练习
【A组---基础题】
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,下列结论中正确的是( )
A.相等的角在直观图中仍然相等 \(\qquad \qquad\) B.相等的线段在直观图中仍然相等
C.正方形在直观图中仍然是正方形 \(\qquad \qquad\) D.平行的线段在直观图中仍然平行
2.如图,\(△O'A'B'\)是水平放置的\(△OAB\)的直观图,\(A'O'=6\),\(B'O'=2\),则线段\(AB\)的长度为( )
A. \(2 \sqrt{10}\) \(\qquad \qquad\qquad \qquad\) B.\(4\sqrt{10}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(2 \sqrt{13}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(4 \sqrt{13}\)
3.如图,\(△A'B'C'\)是\(△ABC\)的直观图,其中\(B'O'=C'O'=1\), \(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{O}^{\prime}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\),那么\(△ABC\)是一个( )
A.等边三角形 \(\qquad \qquad\) B.直角三角形 \(\qquad \qquad\) C.等腰三角形\(\qquad \qquad\) D.无法确定
4.已知等边\(△ABC\)的直观图\(△A'B'C'\)的面积为 \(\sqrt{6}\),则\(△ABC\)的面积为( )
A. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)\(\qquad \qquad\qquad \qquad\) C. \(2 \sqrt{6}\) \(\qquad \qquad\qquad \qquad\) D. \(4\sqrt{3}\)
5.如图,在等边\(△ABC\)中,\(BC=4\),若\(△ABC\)的直观图为\(△A'B'C'\),则\(△A'B'C'\)的面积为( )
A.\(\sqrt{6}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(2\sqrt{6}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(4\sqrt{6}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(8\sqrt{6}\)
6.有下列结论:
①相等的角在直观图中仍然相等;
②相等的线段在直观图中仍然相等;
③若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行.其中结论正确的是\(\underline{\quad \quad}\).(填序号)
7.如图,梯形\(ABCD\)是水平放置的一个平面图形的直观图,其中 \(\angle A B C=45^{\circ}\),\(AB=AD=1\),\(DC⊥BC\),则原图形的面积为\(\underline{\quad \quad}\).
8.用斜二测画法画出如图所示的五边形的直观图.(不写作法,保留作图痕迹)
9.如图,菱形\(ABCD\)的一边长为\(2\),\(∠A=45^{\circ}\),且它是一个水平放置的四边形利用斜二测画法得到的直观图,请画出这个四边形的原图形,并求出原图形的面积.
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 选项\(A\):通过举反例,等腰三角形的直观图不是等腰三角形,\(A\)错误;
选项\(B\):由于斜二测画法的法则是平行于\(x\)轴的线平行性与长度都不变;平行于\(y\)轴的线平行性不变,但长度变为原长度的一般,故\(B\)错误;
选项\(C\):正方形的两邻边相等,但在直观图中不相等,\(C\)错误;
选项\(D\):由斜二测画法可知,平行的线段在直观图中仍然平行,\(D\)正确.
故选:\(D\). -
答案\(C\)
解析 由直观图可知,\(△OAB\)是直角三角形,且\(OA=6\),\(OB=4\),
所以线段\(AB\)的长度为:\(\sqrt{6^2+4^2}=2 \sqrt{13}\),
故选:\(C\). -
答案 \(A\)
解析 由已知中△ABC的直观图中\(B'O'=C'O'=1\), \(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{O}^{\prime}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\),
\(∴△ABC\)中,\(BO=CO=1\), \(A O=\sqrt{3}\),
由勾股定理得:\(AB=AC=2\),
又由\(BC=2\),
故\(△ABC\)为等边三角形,
故选:\(A\). -
答案 \(D\)
解析 由于原图和直观图面积之间的关系\(\dfrac{S_{\text {原图 }}}{S_{\text {直观图 }}}=2 \sqrt{2}\),
可得\(S_{\text {原图 }}=2 \sqrt{2} \cdot S_{\text {直观图 }}=2 \sqrt{2} \times \sqrt{6}=4 \sqrt{3}\),
那么\(△ABC\)的面积为\(4 \sqrt{3}\).
故选:\(D\). -
答案\(A\)
解析 根据题意,在等边\(△ABC\)中,\(BC=4\),则\(AO=2\sqrt{3}\),则有 \(S_{\triangle A B C}=\dfrac{1}{2} \times 4 \times 2 \sqrt{3}=4 \sqrt{3}\),
则其直观图的面积\(S_{\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4} S_{\triangle A B C}=\sqrt{6}\),
故选:\(A\). -
答案 ③
解析 对于①,例如一个等腰直角三角形,画出直观图后不是等腰直角三角形,故①错
对于②,相等的线段在直观图中仍然相等,例如正方形在直观图中是平行四边形,邻边不相等,②错误;
对于③,由于斜二测画法的法则是平行于x的轴的线平行性与长度都不变;但平行于y轴的线平行性不变,但长度变为原长度的一半,故③正确;
故答案为:③. -
答案 \(2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
解析 因为\(\angle A B C=45^{\circ}\),\(AB=AD=1\),\(DC⊥BC\),
所以 \(\mathrm{BC}=1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(A^{\prime} D^{\prime}=1\),\(A^{\prime} B^{\prime}=2\),\(B^{\prime} C^{\prime}=1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\),
所以 \(S=\dfrac{1}{2}\left(A^{\prime} D^{\prime}+B^{\prime} C^{\prime}\right) \cdot A^{\prime} B^{\prime}=\dfrac{1}{2} \times\left(2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \times 2=2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
故答案为:\(2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
-
解析 ①如图(1),将\(A\)点和原点\(O\)重合,\(AB\)和\(x\)轴重合,\(AE\)与\(y\)轴重合.通过\(C\)分别作\(x\)轴、\(y\)轴的垂线,垂足分别为\(H\),\(I\),通过\(D\)分别作\(x\)轴、\(y\)轴的垂线,垂足分别为\(F\)、\(G\);
②如图(2),作坐标系\(x'Oy'\),\(x'\)轴和\(y'\)轴的夹角为\(45^{\circ}\),在\(x'\)轴上取点,使得:\(A'\)与\(O'\)重合,\(A'F'=AF\),\(A'B'=AB\),\(A'H'=AH\);
③如图(2),在\(y'\)轴上取点,使得:\(A' I'=\dfrac{1}{2} AI\),\(A' E'=\dfrac{1}{2} AE\),\(A' G'=\dfrac{1}{2} AG\);
④如图(2),过\(H'\)作\(y'\)轴平行线,过\(I'\)作\(x'\)轴平行线,两平行线交于\(C'\),过\(F'\)作\(y'\)轴平行线,过\(G'\)作\(x'\)轴平行线,两平行线交于\(D'\);
⑤如图(2),依次连接\(B'\)、\(C'\),\(D'\)、\(E'\)即可完成作图.
-
答案
,原图形的面积是\(8\)
解析 ①画轴:在菱形\(ABCD\)中,分别以\(AB\)、\(AD\)所在的直线为\(x'\)轴、\(y'\)轴建立坐标系\(x'O'y'\)如图\(1\),
另建立平面直角坐标系\(xOy\),如图\(2\);
②取点:在坐标系\(xOy\)中,分别在\(x\)轴、\(y\)轴上去点\(B'\)\(、D'\),使\(A'B'=AB\)(\(A'\)与\(O\)重合,\(A\)与\(O'\)重合),
\(A'D'=2AD\),过点\(D'\)作\(D'C'∥x\)轴,且\(D'C'=DC\);
③连接:连接\(B'C'\),得到的矩形\(A'B'C'D'\)即为这个四边形的原图形;且原图形的面积为\(S=2×4=8\).
【B组---提高题】
1.某几何体底面的四边形\(OABC\)直观图为如图矩形\(O_1 A_1 B_1 C_1\),其中\(O_1 A_1=6\),\(O_1 C_1=2\),则该几何体底面对角线\(AC\)的实际长度为( )
A.\(6\)\(\qquad \qquad \qquad\) B.\(4\sqrt{6}\) \(\qquad \qquad \qquad\) C.\(4\sqrt{2}\) \(\qquad \qquad \qquad\) D. \(2 \sqrt{10}\)
参考答案
- 答案 \(B\)
解析 由题意知,把四边形\(OABC\)的直观图还原为平面图形,如图所示:
则\(OA=O_1 A_1=6\), \(O D=2 \sqrt{2^2+2^2}=4 \sqrt{2}\),\(CD=O_1 C_1=2\),
所以 \(O C^2=\sqrt{(4 \sqrt{2})^2+2^2}=36\),则\(OC=6\),
又因为 \(\angle A O C=\cos \left(90^{\circ}+\angle C O D\right)=-\sin \angle C O D=-\dfrac{2}{6}=-\dfrac{1}{3},\),
由余弦定理得, \(A C^2=6^2+6^2-2 \times 6 \times 6 \times\left(-\dfrac{1}{3}\right)=96\),
解得\(AC=4\sqrt{6}\),
即该几何体底面对角线\(AC\)的实际长度为\(4\sqrt{6}\).
故选:\(B\).