8.2 立体图形的直观图
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[ 【基础过关系列】高一数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019）]
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基础知识
空间几何体的直观图
用来表示空间几何体的平面图形叫做空间几何体的直观图，常用斜二测画法画它们的直观图.
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图
一般步骤如下：
① 建立平面直角坐标系: 在已知平面图形中取互相垂直的\(x\)轴和\(y\)轴,两轴相交于点\(O\).
② 画出斜坐标系: 在画直观图的纸上(平面上)画出对应的\(x'\)轴和\(y'\)轴, 两轴相交于点\(O'\),且使\(∠x'O'y' =45\)度(或\(135\)度), 它们确定的平面表示水平平面.
③ 画对应图形: 在已知图形平行于\(x\)轴的线段, 在直观图中画成平行于\(x'\)轴, 长度保持不变.在已知图形平行于\(y\)轴的线段, 在直观图中画成平行于\(y'\)轴, 且长度为原来一半.
④ 对于一般线段，要在原来的图形中从线段的各个端点引垂线，再按上述要求画出这些线段，确定端点，从而画出线段.
⑤ 擦去辅助线: 图画好后,要擦去x'轴,y'轴及为画图添加的辅助线.
斜二测画法口诀
平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，眼见为实遮为虚.
直观图面积与原图面积的关系
原来的高变成了\(45°\)的线段，且长度是原高的一半，因此新图形的高是这个一半线段的\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)倍，故新高是原来高的\(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)，而横向长度不变，所以面积变为原面积的\(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\).
基本方法
【题型1】 斜二测画法
【典题1】用斜二测画法画出图中五边形\(ABCDE\)的直观图．
解析 在原图形中作\(BF⊥x\)轴，\(EG⊥x\)轴，垂足分别为\(F\)、\(G\)，
1、作坐标系\(x'O'y'\)，使\(∠x'O'y'= 45^{\circ}\)，
2、在\(x'\)轴上取点\(C'\)，\(D'\)，\(F'\)，\(G'\)使\(O'C'=OC\)，\(O'D'=OD\)，\(O'F'=OF\)，\(O'G'=OG\)；
3、在\(y'\)轴上取点\(A'\)，使\(O' A'=\dfrac{1}{2} OA\)，作\(F'B'∥y'\)，使\(F' B'=\dfrac{1}{2} FB\)，作\(G'E'∥y'\)，使\(G' E'=\dfrac{1}{2} GE\)；
4、连接\(A'B'\)，\(B'C'\)，\(D'E'\)，\(E'A'\)，得五边形\(ABCDE\)的直观图．
(正五边形的直观图的形状如下图所示)
【巩固练习】
1.利用斜二测画法得到的( )
①三角形的直观图是三角形 \(\qquad \qquad\) ②平行四边形的直观图是平行四边形
③正方形的直观图是正方形 \(\qquad \qquad\) ④菱形的直观图是菱形
A．③④ \(\qquad \qquad \qquad\) B．① \(\qquad \qquad \qquad\) C．①② \(\qquad \qquad \qquad\) D．①②③④
2.用斜二测画法西出下列平面图形水平放置的直观图．
参考答案
- 答案 \(C\)
解析 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，有的边的长度会发生变化，
因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．
故选：\(C\)． - 解析 (1)如图(1)所示，
画出坐标系\(x'O'y'\)，使\(∠x'O'y'= 45^{\circ}\)，
在\(x'\)轴上作线段\(A'B'=AB=1\)，
过点\(A'\)作\(A'C'∥y'\)轴，且\(A' C'=\dfrac{1}{2} AC=1\)，连接\(B'C'\)，
则\(△A'B'C'\)即为\(△ABC\)的直观图；
(2)如图(2)所示，
画出坐标系\(x'O'y'\)，使\(∠x'O'y'= 45^{\circ}\)，
在\(x'\)轴上作线段\(O'B'=OB=2\)，在\(y'\)轴上作线段\(O' A'=\dfrac{1}{2} OA=\dfrac{1}{2}\)，
再作出点\(C'\)、\(D'\)，连接\(B'C'\)、\(C'D'\)和\(D'A'\)，即可得出该平面图形的直观图．
【题型2】 运用
【典题1】如图，\(△A'B'C'\)是\(△ABC\)的直观图，其中\(A'B'=A'C'\)，\(A'B'∥x'\)轴，\(A'C'∥y'\)轴，那么\(△ABC\)是( )
A．等腰三角形 \(\qquad \qquad \qquad\) B．钝角三角形 \(\qquad \qquad \qquad\) C．等腰直角三角形\(\qquad \qquad \qquad\) D．直角三角形
解析 根据斜二测画法中平行与坐标轴的直线，平行关系不变，
且平行于\(x\)轴的线段，长度不变，平行于\(y\)轴的线段，长度变为原来的一半，
\(∴\)直观图\(△A'B'C'\)的原来图形\(△ABC\)是直角三角形，且\(AC=2AB\)，不是等腰直角三角形．
故选：\(D\)．
点拨 斜二测法：平行于\(x\)轴的线段，长度不变，平行于\(y\)轴的线段，长度变为原来的一半.
【典题2】梯形\(A_1 B_1 C_1 D_1\)(如图)是一水平放置的平面图形\(ABCD\)的直观图(斜二测)，若\(A_1 D_1∥y'\)轴，\(A_1 B_1∥x'\)轴， \(A_1 B_1=\dfrac{2}{3} C_1 D_1=2\)，\(A_1 D_1=1\)，则平面图形\(ABCD\)的面积是( )
A.\(5\) \(\qquad \qquad \qquad\) B.\(10\) \(\qquad \qquad \qquad\) C.\(5\sqrt{2}\) \(\qquad \qquad \qquad\) D.\(10\sqrt{2}\)
解析 方法一 如图，根据直观图画法的规则，
直观图中\(A_1 D_1∥O'y'\)，\(A_1 D_1=1\)，\(⇒\)原图中\(AD∥Oy\)，
从而得出\(AD⊥DC\)，且\(AD=2A_1 D_1=2\)，
直观图中\(A_1 B_1∥C_1 D_1\)，\(A_1 B_1=\dfrac{2}{3} C_1 D_1=2\)，\(⇒\)原图中\(AB∥CD\)，\(AB=\dfrac{2}{3} CD=2\)，
即四边形\(ABCD\)上底和下底边长分别为\(2\)，\(3\)，高为\(2\)，如图．
故其面积\(S=\dfrac{1}{2}(2+3)×2=5\)；
故选：\(A\)．
方法二 \(∵∠A_1 D_1 O_1=45°\),\(∴\)梯形的高\(h=A_1 D_1 \cos 45^∘=\sqrt{2}/2\)
\(\therefore S_{\text {梯形 } A_1 B_1 C_1 D_1}=\dfrac{5 \sqrt{2}}{4}\)，
\(∴\)平面图形\(ABCD\)的面积是 \(\dfrac{5 \sqrt{2}}{4} \times 2 \sqrt{2}=5\).
点拨 斜二侧画法的面积是原来图形面积的\(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)倍,原来图形的面积是斜二侧画法的面积的\(2\sqrt{2}\)倍.
【巩固练习】
1.如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为\(45^{\circ}\)，腰和上底长均为\(1\)的等腰梯形，则原平面图形为( )
A．下底长为\(1+\sqrt{2}\)的等腰梯形 \(\qquad \qquad \qquad\) B．下底长为\(1+2\sqrt{2}\)的等腰梯形
C．下底长为\(1+\sqrt{2}\)的直角梯形 \(\qquad \qquad \qquad\) D．下底长为\(1+2\sqrt{2}\)的直角梯形
2.如图所示的是水平放置的三角形直观图，\(D'\)是\(△A' B' C'\)中\(B' C'\)边上的一点，且\(D'\)离\(B'\)比\(D'\)离\(C'\)近，又\(A'D'∥y'\)轴，那么原\(△ABC\)的\(AB\)、\(AD\)、\(AC\)三条线段中( )
A．最长的是\(AB\)，最短的是\(AC\) \(\qquad \qquad \qquad\) B．最长的是\(AC\)，最短的是\(AD\)
C．最长的是\(AD\)，最短的是\(AC\) \(\qquad \qquad \qquad\) D．最长的是\(AB\)，最短的是\(AD\)
3.如图所示，矩形\(O'A'B'C'\)是一个水平放置的平面图形的直观图，其中\(O'A'=3\)，\(O'C'=1\)，则原图形是( )
A．面积为\(6\sqrt{2}\)的菱形 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．面积为\(6\sqrt{2}\)的矩形
C．面积为\(\dfrac{3 \sqrt{2}}{4}\)的菱形 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．面积为\(\dfrac{3 \sqrt{2}}{4}\)的矩形
4.如图所示，某三角形的直观图是斜边长等于\(2\)的等腰直角三角形\(O'A'B'\)，则原三角形\(OAB\)的面积等于( )
A．\(1\)\(\qquad \qquad\qquad \qquad\) B．\(2\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(2\sqrt{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(4\)
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 \(∵\)平面图形的直观图是一个底角为\(45^{\circ}\)，腰和上底长均为\(1\)的等腰梯形，
\(∴\)平面图形为直角梯形，且直角腰长为\(2\)，上底边长为\(1\)，
\(∴\)梯形的下底边长为\(1+\sqrt{2}\)，
故选：\(C\)． -
答案 \(B\)
解析 由题意得到原\(△ABC\)的平面图为：
其中，\(AD⊥BC\)，\(BD<DC\)，所以\(AC>AB>AD\)，
所以\(△ABC\)的\(AB\)、\(AD\)、\(AC\)三条线段中最长的是\(AC\)，最短的是\(AD\)．
故选：\(B\)．
-
答案 \(A\)
解析 \(∵\)矩形\(O'A'B'C'\)是一个水平放置的平面图形的直观图，其中\(O'A'=3\)，\(O'C'=1\)，
又 \(\angle D^{\prime} O^{\prime} C^{\prime}=45^{\circ}\)，\(∴O' D'=\sqrt{2}\)，直观图面积为\(1×3=3\)，
在原图中\(OA∥BC\)，\(OC∥AB\)，高为\(OD=2\sqrt{2}\)，\(CD=1\)，
\(\therefore O C=\sqrt{(2 \sqrt{2})^2+1^2}=3\)．
\(∴\)原图形是菱形，且面积为：\(3×2\sqrt{2}=6\sqrt{2}\)．
故选：\(A\)． -
答案 \(C\)
解析 根据题意，三角形的直观图是斜边长等于\(2\)的等腰直角三角形O'A'B'，则直角边为\(\sqrt{2}\)，
所以，直观图的面积为\(\dfrac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1\)，
根据直观图的面积\(=\sqrt{2}/4\)原图的面积，所以原图的面积为\(1×2\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)．
故选：\(C\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是( )
A．相等的角在直观图中仍然相等 \(\qquad \qquad\) B．相等的线段在直观图中仍然相等
C．正方形在直观图中仍然是正方形 \(\qquad \qquad\) D．平行的线段在直观图中仍然平行
2.如图，\(△O'A'B'\)是水平放置的\(△OAB\)的直观图，\(A'O'=6\)，\(B'O'=2\)，则线段\(AB\)的长度为( )
A． \(2 \sqrt{10}\) \(\qquad \qquad\qquad \qquad\) B．\(4\sqrt{10}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(2 \sqrt{13}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(4 \sqrt{13}\)
3.如图，\(△A'B'C'\)是\(△ABC\)的直观图，其中\(B'O'=C'O'=1\)， \(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{O}^{\prime}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，那么\(△ABC\)是一个( )
A．等边三角形 \(\qquad \qquad\) B．直角三角形 \(\qquad \qquad\) C．等腰三角形\(\qquad \qquad\) D．无法确定
4.已知等边\(△ABC\)的直观图\(△A'B'C'\)的面积为 \(\sqrt{6}\)，则\(△ABC\)的面积为( )
A． \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)\(\qquad \qquad\qquad \qquad\) C． \(2 \sqrt{6}\) \(\qquad \qquad\qquad \qquad\) D． \(4\sqrt{3}\)
5.如图，在等边\(△ABC\)中，\(BC=4\)，若\(△ABC\)的直观图为\(△A'B'C'\)，则\(△A'B'C'\)的面积为( )
A．\(\sqrt{6}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2\sqrt{6}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(4\sqrt{6}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(8\sqrt{6}\)
6.有下列结论：
①相等的角在直观图中仍然相等；
②相等的线段在直观图中仍然相等；
③若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．其中结论正确的是\(\underline{\quad \quad}\)．(填序号)
7.如图，梯形\(ABCD\)是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 \(\angle A B C=45^{\circ}\)，\(AB=AD=1\)，\(DC⊥BC\)，则原图形的面积为\(\underline{\quad \quad}\)．
8.用斜二测画法画出如图所示的五边形的直观图．(不写作法，保留作图痕迹)
9.如图，菱形\(ABCD\)的一边长为\(2\)，\(∠A=45^{\circ}\)，且它是一个水平放置的四边形利用斜二测画法得到的直观图，请画出这个四边形的原图形，并求出原图形的面积．
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 选项\(A\)：通过举反例，等腰三角形的直观图不是等腰三角形，\(A\)错误；
选项\(B\)：由于斜二测画法的法则是平行于\(x\)轴的线平行性与长度都不变；平行于\(y\)轴的线平行性不变，但长度变为原长度的一般，故\(B\)错误；
选项\(C\)：正方形的两邻边相等，但在直观图中不相等，\(C\)错误；
选项\(D\)：由斜二测画法可知，平行的线段在直观图中仍然平行，\(D\)正确．
故选：\(D\)． -
答案\(C\)
解析 由直观图可知，\(△OAB\)是直角三角形，且\(OA=6\)，\(OB=4\)，
所以线段\(AB\)的长度为：\(\sqrt{6^2+4^2}=2 \sqrt{13}\)，
故选：\(C\)． -
答案 \(A\)
解析 由已知中△ABC的直观图中\(B'O'=C'O'=1\)， \(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{O}^{\prime}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，
\(∴△ABC\)中，\(BO=CO=1\)， \(A O=\sqrt{3}\)，
由勾股定理得：\(AB=AC=2\)，
又由\(BC=2\)，
故\(△ABC\)为等边三角形，
故选：\(A\)． -
答案 \(D\)
解析 由于原图和直观图面积之间的关系\(\dfrac{S_{\text {原图 }}}{S_{\text {直观图 }}}=2 \sqrt{2}\)，
可得\(S_{\text {原图 }}=2 \sqrt{2} \cdot S_{\text {直观图 }}=2 \sqrt{2} \times \sqrt{6}=4 \sqrt{3}\)，
那么\(△ABC\)的面积为\(4 \sqrt{3}\)．
故选：\(D\)． -
答案\(A\)
解析 根据题意，在等边\(△ABC\)中，\(BC=4\)，则\(AO=2\sqrt{3}\)，则有 \(S_{\triangle A B C}=\dfrac{1}{2} \times 4 \times 2 \sqrt{3}=4 \sqrt{3}\)，
则其直观图的面积\(S_{\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4} S_{\triangle A B C}=\sqrt{6}\)，
故选：\(A\)． -
答案 ③
解析 对于①，例如一个等腰直角三角形，画出直观图后不是等腰直角三角形，故①错
对于②，相等的线段在直观图中仍然相等，例如正方形在直观图中是平行四边形，邻边不相等，②错误；
对于③，由于斜二测画法的法则是平行于x的轴的线平行性与长度都不变；但平行于y轴的线平行性不变，但长度变为原长度的一半，故③正确；
故答案为：③． -
答案 \(2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
解析 因为\(\angle A B C=45^{\circ}\)，\(AB=AD=1\)，\(DC⊥BC\)，
所以 \(\mathrm{BC}=1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)， \(A^{\prime} D^{\prime}=1\)，\(A^{\prime} B^{\prime}=2\)，\(B^{\prime} C^{\prime}=1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，
所以 \(S=\dfrac{1}{2}\left(A^{\prime} D^{\prime}+B^{\prime} C^{\prime}\right) \cdot A^{\prime} B^{\prime}=\dfrac{1}{2} \times\left(2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \times 2=2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)．
故答案为：\(2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)．
-
解析 ①如图(1)，将\(A\)点和原点\(O\)重合，\(AB\)和\(x\)轴重合，\(AE\)与\(y\)轴重合．通过\(C\)分别作\(x\)轴、\(y\)轴的垂线，垂足分别为\(H\)，\(I\)，通过\(D\)分别作\(x\)轴、\(y\)轴的垂线，垂足分别为\(F\)、\(G\)；
②如图(2)，作坐标系\(x'Oy'\)，\(x'\)轴和\(y'\)轴的夹角为\(45^{\circ}\)，在\(x'\)轴上取点，使得：\(A'\)与\(O'\)重合，\(A'F'=AF\)，\(A'B'=AB\)，\(A'H'=AH\)；
③如图(2)，在\(y'\)轴上取点，使得：\(A' I'=\dfrac{1}{2} AI\),\(A' E'=\dfrac{1}{2} AE\),\(A' G'=\dfrac{1}{2} AG\)；
④如图(2)，过\(H'\)作\(y'\)轴平行线，过\(I'\)作\(x'\)轴平行线，两平行线交于\(C'\)，过\(F'\)作\(y'\)轴平行线，过\(G'\)作\(x'\)轴平行线，两平行线交于\(D'\)；
⑤如图(2)，依次连接\(B'\)、\(C'\)，\(D'\)、\(E'\)即可完成作图．
-
答案
，原图形的面积是\(8\)
解析 ①画轴：在菱形\(ABCD\)中，分别以\(AB\)、\(AD\)所在的直线为\(x'\)轴、\(y'\)轴建立坐标系\(x'O'y'\)如图\(1\)，
另建立平面直角坐标系\(xOy\)，如图\(2\)；
②取点：在坐标系\(xOy\)中，分别在\(x\)轴、\(y\)轴上去点\(B'\)\(、D'\)，使\(A'B'=AB\)(\(A'\)与\(O\)重合，\(A\)与\(O'\)重合)，
\(A'D'=2AD\)，过点\(D'\)作\(D'C'∥x\)轴，且\(D'C'=DC\)；
③连接：连接\(B'C'\)，得到的矩形\(A'B'C'D'\)即为这个四边形的原图形；且原图形的面积为\(S=2×4=8\)．
【B组---提高题】
1.某几何体底面的四边形\(OABC\)直观图为如图矩形\(O_1 A_1 B_1 C_1\)，其中\(O_1 A_1=6\)，\(O_1 C_1=2\)，则该几何体底面对角线\(AC\)的实际长度为( )
A．\(6\)\(\qquad \qquad \qquad\) B．\(4\sqrt{6}\) \(\qquad \qquad \qquad\) C．\(4\sqrt{2}\) \(\qquad \qquad \qquad\) D． \(2 \sqrt{10}\)
参考答案
- 答案 \(B\)
解析 由题意知，把四边形\(OABC\)的直观图还原为平面图形，如图所示：
则\(OA=O_1 A_1=6\)， \(O D=2 \sqrt{2^2+2^2}=4 \sqrt{2}\)，\(CD=O_1 C_1=2\)，
所以 \(O C^2=\sqrt{(4 \sqrt{2})^2+2^2}=36\)，则\(OC=6\)，
又因为 \(\angle A O C=\cos \left(90^{\circ}+\angle C O D\right)=-\sin \angle C O D=-\dfrac{2}{6}=-\dfrac{1}{3},\)，
由余弦定理得， \(A C^2=6^2+6^2-2 \times 6 \times 6 \times\left(-\dfrac{1}{3}\right)=96\)，
解得\(AC=4\sqrt{6}\)，
即该几何体底面对角线\(AC\)的实际长度为\(4\sqrt{6}\)．
故选：\(B\)．
