8.2 立体图形的直观图

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[【基础过关系列】高一数学同步精品讲义与分层练习 (人教 A 版 2019）]
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必修第二册同步巩固，难度 2 颗星！

基础知识

空间几何体的直观图

用来表示空间几何体的平面图形叫做空间几何体的直观图，常用斜二测画法画它们的直观图.
 

用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图

一般步骤如下：
① 建立平面直角坐标系：在已知平面图形中取互相垂直的 $x$ 轴和 $y$ 轴，两轴相交于点 $O$.
② 画出斜坐标系：在画直观图的纸上 (平面上) 画出对应的 $x'$ 轴和 $y'$ 轴，两轴相交于点 $O'$, 且使 $∠x'O'y' =45$ 度 (或 $135$ 度), 它们确定的平面表示水平平面.
③ 画对应图形：在已知图形平行于 $x$ 轴的线段，在直观图中画成平行于 $x'$ 轴，长度保持不变。在已知图形平行于 $y$ 轴的线段，在直观图中画成平行于 $y'$ 轴，且长度为原来一半.
④ 对于一般线段，要在原来的图形中从线段的各个端点引垂线，再按上述要求画出这些线段，确定端点，从而画出线段.
⑤ 擦去辅助线：图画好后，要擦去 x' 轴，y' 轴及为画图添加的辅助线.

 

斜二测画法口诀

平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，眼见为实遮为虚.
 

直观图面积与原图面积的关系

原来的高变成了 $45°$ 的线段，且长度是原高的一半，因此新图形的高是这个一半线段的 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 倍，故新高是原来高的 $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$，而横向长度不变，所以面积变为原面积的 $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$.
 

基本方法

【题型1】 斜二测画法

【典题 1】用斜二测画法画出图中五边形 $ABCDE$ 的直观图．

解析 在原图形中作 $BF⊥x$ 轴，$EG⊥x$ 轴，垂足分别为 $F$、$G$，
1、作坐标系 $x'O'y'$，使 $∠x'O'y'= 45^{\circ}$，
2、在 $x'$ 轴上取点 $C'$，$D'$，$F'$，$G'$ 使 $O'C'=OC$，$O'D'=OD$，$O'F'=OF$，$O'G'=OG$；
3、在 $y'$ 轴上取点 $A'$，使 $O' A'=\dfrac{1}{2} OA$，作 $F'B'∥y'$，使 $F' B'=\dfrac{1}{2} FB$，作 $G'E'∥y'$，使 $G' E'=\dfrac{1}{2} GE$；
4、连接 $A'B'$，$B'C'$，$D'E'$，$E'A'$，得五边形 $ABCDE$ 的直观图．
(正五边形的直观图的形状如下图所示)

 

【巩固练习】

1. 利用斜二测画法得到的 (　　)
①三角形的直观图是三角形 $\qquad \qquad$ ②平行四边形的直观图是平行四边形
③正方形的直观图是正方形 $\qquad \qquad$ ④菱形的直观图是菱形
 A．③④ $\qquad \qquad \qquad$ B．① $\qquad \qquad \qquad$ C．①② $\qquad \qquad \qquad$ D．①②③④
 

2. 用斜二测画法西出下列平面图形水平放置的直观图．

 

参考答案

1. 答案 $C$
   解析 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，有的边的长度会发生变化，
   因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．
   故选：$C$．
2. 解析 (1) 如图 (1) 所示，
   
   画出坐标系 $x'O'y'$，使 $∠x'O'y'= 45^{\circ}$，
   在 $x'$ 轴上作线段 $A'B'=AB=1$，
   过点 $A'$ 作 $A'C'∥y'$ 轴，且 $A' C'=\dfrac{1}{2} AC=1$，连接 $B'C'$，
   则 $△A'B'C'$ 即为 $△ABC$ 的直观图；
   (2) 如图 (2) 所示，
   
   画出坐标系 $x'O'y'$，使 $∠x'O'y'= 45^{\circ}$，
   在 $x'$ 轴上作线段 $O'B'=OB=2$，在 $y'$ 轴上作线段 $O' A'=\dfrac{1}{2} OA=\dfrac{1}{2}$，
   再作出点 $C'$、$D'$，连接 $B'C'$、$C'D'$ 和 $D'A'$，即可得出该平面图形的直观图．
    

【题型2】 运用

【典题 1】如图，$△A'B'C'$ 是 $△ABC$ 的直观图，其中 $A'B'=A'C'$，$A'B'∥x'$ 轴，$A'C'∥y'$ 轴，那么 $△ABC$ 是 (　　)

 A．等腰三角形 $\qquad \qquad \qquad$ B．钝角三角形 $\qquad \qquad \qquad$ C．等腰直角三角形 $\qquad \qquad \qquad$ D．直角三角形
解析 根据斜二测画法中平行与坐标轴的直线，平行关系不变，
且平行于 $x$ 轴的线段，长度不变，平行于 $y$ 轴的线段，长度变为原来的一半，
$∴$ 直观图 $△A'B'C'$ 的原来图形 $△ABC$ 是直角三角形，且 $AC=2AB$，不是等腰直角三角形．
故选：$D$．
点拨 斜二测法：平行于 $x$ 轴的线段，长度不变，平行于 $y$ 轴的线段，长度变为原来的一半.
 

【典题 2】梯形 $A_1 B_1 C_1 D_1$(如图) 是一水平放置的平面图形 $ABCD$ 的直观图 (斜二测)，若 $A_1 D_1∥y'$ 轴，$A_1 B_1∥x'$ 轴， $A_1 B_1=\dfrac{2}{3} C_1 D_1=2$，$A_1 D_1=1$，则平面图形 $ABCD$ 的面积是 (　　)

 A.$5$ $\qquad \qquad \qquad$ B.$10$ $\qquad \qquad \qquad$ C.$5\sqrt{2}$ $\qquad \qquad \qquad$ D.$10\sqrt{2}$
解析 方法一 如图，根据直观图画法的规则，
直观图中 $A_1 D_1∥O'y'$，$A_1 D_1=1$，$⇒$ 原图中 $AD∥Oy$，
从而得出 $AD⊥DC$，且 $AD=2A_1 D_1=2$，
直观图中 $A_1 B_1∥C_1 D_1$，$A_1 B_1=\dfrac{2}{3} C_1 D_1=2$，$⇒$ 原图中 $AB∥CD$，$AB=\dfrac{2}{3} CD=2$，
即四边形 $ABCD$ 上底和下底边长分别为 $2$，$3$，高为 $2$，如图．
故其面积 $S=\dfrac{1}{2}(2+3)×2=5$；
故选：$A$．

方法二 $∵∠A_1 D_1 O_1=45°$,$∴$ 梯形的高 $h=A_1 D_1 \cos 45^∘=\sqrt{2}/2$
$\therefore S_{\text {梯形} A_1 B_1 C_1 D_1}=\dfrac {5 \sqrt {2}}{4}$，
$∴$ 平面图形 $ABCD$ 的面积是 $\dfrac{5 \sqrt{2}}{4} \times 2 \sqrt{2}=5$.
点拨 斜二侧画法的面积是原来图形面积的 $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ 倍，原来图形的面积是斜二侧画法的面积的 $2\sqrt{2}$ 倍.
 

【巩固练习】

1. 如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为 $45^{\circ}$，腰和上底长均为 $1$ 的等腰梯形，则原平面图形为 (　　)

 A．下底长为 $1+\sqrt{2}$ 的等腰梯形 $\qquad \qquad \qquad$ B．下底长为 $1+2\sqrt{2}$ 的等腰梯形
 C．下底长为 $1+\sqrt{2}$ 的直角梯形 $\qquad \qquad \qquad$ D．下底长为 $1+2\sqrt{2}$ 的直角梯形
 

2. 如图所示的是水平放置的三角形直观图，$D'$ 是 $△A' B' C'$ 中 $B' C'$ 边上的一点，且 $D'$ 离 $B'$ 比 $D'$ 离 $C'$ 近，又 $A'D'∥y'$ 轴，那么原 $△ABC$ 的 $AB$、$AD$、$AC$ 三条线段中 (　　)

 A．最长的是 $AB$，最短的是 $AC$ $\qquad \qquad \qquad$ B．最长的是 $AC$，最短的是 $AD$
 C．最长的是 $AD$，最短的是 $AC$ $\qquad \qquad \qquad$ D．最长的是 $AB$，最短的是 $AD$
 

3. 如图所示，矩形 $O'A'B'C'$ 是一个水平放置的平面图形的直观图，其中 $O'A'=3$，$O'C'=1$，则原图形是 (　　)

 A．面积为 $6\sqrt{2}$ 的菱形 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．面积为 $6\sqrt{2}$ 的矩形
 C．面积为 $\dfrac{3 \sqrt{2}}{4}$ 的菱形 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．面积为 $\dfrac{3 \sqrt{2}}{4}$ 的矩形
 

4. 如图所示，某三角形的直观图是斜边长等于 $2$ 的等腰直角三角形 $O'A'B'$，则原三角形 $OAB$ 的面积等于 (　　)

 A．$1$$\qquad \qquad\qquad \qquad$ B．$2$$\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$2\sqrt{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$4$
 

参考答案

1. 答案 $C$
   解析 $∵$ 平面图形的直观图是一个底角为 $45^{\circ}$，腰和上底长均为 $1$ 的等腰梯形，
   $∴$ 平面图形为直角梯形，且直角腰长为 $2$，上底边长为 $1$，
   $∴$ 梯形的下底边长为 $1+\sqrt{2}$，
   故选：$C$．

2. 答案 $B$
   解析 由题意得到原 $△ABC$ 的平面图为：
   其中，$AD⊥BC$，$BD<DC$，所以 $AC>AB>AD$，
   所以 $△ABC$ 的 $AB$、$AD$、$AC$ 三条线段中最长的是 $AC$，最短的是 $AD$．
   故选：$B$．
   

3. 答案 $A$
   解析 $∵$ 矩形 $O'A'B'C'$ 是一个水平放置的平面图形的直观图，其中 $O'A'=3$，$O'C'=1$，
   又 $\angle D^{\prime} O^{\prime} C^{\prime}=45^{\circ}$，$∴O' D'=\sqrt{2}$，直观图面积为 $1×3=3$，
   在原图中 $OA∥BC$，$OC∥AB$，高为 $OD=2\sqrt{2}$，$CD=1$，
   $\therefore O C=\sqrt{(2 \sqrt{2})^2+1^2}=3$．
   $∴$ 原图形是菱形，且面积为：$3×2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$．
   故选：$A$．

4. 答案 $C$
   解析 根据题意，三角形的直观图是斜边长等于 $2$ 的等腰直角三角形 O'A'B'，则直角边为 $\sqrt{2}$，
   所以，直观图的面积为 $\dfrac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$，
   根据直观图的面积 $=\sqrt{2}/4$ 原图的面积，所以原图的面积为 $1×2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$．
   故选：$C$．
    

分层练习

【A组---基础题】

1. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是 (　　)
 A．相等的角在直观图中仍然相等 $\qquad \qquad$ B．相等的线段在直观图中仍然相等
 C．正方形在直观图中仍然是正方形 $\qquad \qquad$ D．平行的线段在直观图中仍然平行
 

2. 如图，$△O'A'B'$ 是水平放置的 $△OAB$ 的直观图，$A'O'=6$，$B'O'=2$，则线段 $AB$ 的长度为 (　　)

 A． $2 \sqrt{10}$ $\qquad \qquad\qquad \qquad$ B．$4\sqrt{10}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$2 \sqrt{13}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$4 \sqrt{13}$
 

3. 如图，$△A'B'C'$ 是 $△ABC$ 的直观图，其中 $B'O'=C'O'=1$， $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{O}^{\prime}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，那么 $△ABC$ 是一个 (　　)

 A．等边三角形 $\qquad \qquad$ B．直角三角形 $\qquad \qquad$ C．等腰三角形 $\qquad \qquad$ D．无法确定
 

4. 已知等边 $△ABC$ 的直观图 $△A'B'C'$ 的面积为 $\sqrt{6}$，则 $△ABC$ 的面积为 (　　)
 A． $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B． $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$$\qquad \qquad\qquad \qquad$ C． $2 \sqrt{6}$ $\qquad \qquad\qquad \qquad$ D． $4\sqrt{3}$
 

5. 如图，在等边 $△ABC$ 中，$BC=4$，若 $△ABC$ 的直观图为 $△A'B'C'$，则 $△A'B'C'$ 的面积为 (　　)

 A．$\sqrt{6}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$2\sqrt{6}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$4\sqrt{6}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$8\sqrt{6}$
 

6. 有下列结论：
①相等的角在直观图中仍然相等；
②相等的线段在直观图中仍然相等；
③若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．其中结论正确的是 $\underline{\quad \quad}$．(填序号)
 

7. 如图，梯形 $ABCD$ 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 $\angle A B C=45^{\circ}$，$AB=AD=1$，$DC⊥BC$，则原图形的面积为 $\underline{\quad \quad}$．

 

8. 用斜二测画法画出如图所示的五边形的直观图．(不写作法，保留作图痕迹)

 
 
 

9. 如图，菱形 $ABCD$ 的一边长为 $2$，$∠A=45^{\circ}$，且它是一个水平放置的四边形利用斜二测画法得到的直观图，请画出这个四边形的原图形，并求出原图形的面积．

 
 
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 选项 $A$：通过举反例，等腰三角形的直观图不是等腰三角形，$A$ 错误；
   选项 $B$：由于斜二测画法的法则是平行于 $x$ 轴的线平行性与长度都不变；平行于 $y$ 轴的线平行性不变，但长度变为原长度的一般，故 $B$ 错误；
   选项 $C$：正方形的两邻边相等，但在直观图中不相等，$C$ 错误；
   选项 $D$：由斜二测画法可知，平行的线段在直观图中仍然平行，$D$ 正确．
   故选：$D$．

2. 答案 $C$
   解析 由直观图可知，$△OAB$ 是直角三角形，且 $OA=6$，$OB=4$，
   所以线段 $AB$ 的长度为：$\sqrt{6^2+4^2}=2 \sqrt{13}$，
   故选：$C$．

3. 答案 $A$
   解析 由已知中△ABC 的直观图中 $B'O'=C'O'=1$， $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{O}^{\prime}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
   $∴△ABC$ 中，$BO=CO=1$， $A O=\sqrt{3}$，
   由勾股定理得：$AB=AC=2$，
   又由 $BC=2$，
   故 $△ABC$ 为等边三角形，
   故选：$A$．

4. 答案 $D$
   解析 由于原图和直观图面积之间的关系 $\dfrac {S_{\text {原图}}}{S_{\text {直观图 }}}=2 \sqrt {2}$，
   可得 $S_{\text {原图}}=2 \sqrt {2} \cdot S_{\text {直观图 }}=2 \sqrt {2} \times \sqrt {6}=4 \sqrt {3}$，
   那么 $△ABC$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$．
   故选：$D$．

5. 答案 $A$
   解析 根据题意，在等边 $△ABC$ 中，$BC=4$，则 $AO=2\sqrt{3}$，则有 $S_{\triangle A B C}=\dfrac{1}{2} \times 4 \times 2 \sqrt{3}=4 \sqrt{3}$，
   则其直观图的面积 $S_{\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4} S_{\triangle A B C}=\sqrt{6}$，
   故选：$A$．

6. 答案 ③
   解析 对于①，例如一个等腰直角三角形，画出直观图后不是等腰直角三角形，故①错
   对于②，相等的线段在直观图中仍然相等，例如正方形在直观图中是平行四边形，邻边不相等，②错误；
   对于③，由于斜二测画法的法则是平行于 x 的轴的线平行性与长度都不变；但平行于 y 轴的线平行性不变，但长度变为原长度的一半，故③正确；
   故答案为：③．

7. 答案 $2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
   解析 因为 $\angle A B C=45^{\circ}$，$AB=AD=1$，$DC⊥BC$，
   所以 $\mathrm{BC}=1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$， $A^{\prime} D^{\prime}=1$，$A^{\prime} B^{\prime}=2$，$B^{\prime} C^{\prime}=1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
   所以 $S=\dfrac{1}{2}\left(A^{\prime} D^{\prime}+B^{\prime} C^{\prime}\right) \cdot A^{\prime} B^{\prime}=\dfrac{1}{2} \times\left(2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \times 2=2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$．
   故答案为：$2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$．
   

8. 解析 ①如图 (1)，将 $A$ 点和原点 $O$ 重合，$AB$ 和 $x$ 轴重合，$AE$ 与 $y$ 轴重合．通过 $C$ 分别作 $x$ 轴、$y$ 轴的垂线，垂足分别为 $H$，$I$，通过 $D$ 分别作 $x$ 轴、$y$ 轴的垂线，垂足分别为 $F$、$G$；
   ②如图 (2)，作坐标系 $x'Oy'$，$x'$ 轴和 $y'$ 轴的夹角为 $45^{\circ}$，在 $x'$ 轴上取点，使得：$A'$ 与 $O'$ 重合，$A'F'=AF$，$A'B'=AB$，$A'H'=AH$；
   ③如图 (2)，在 $y'$ 轴上取点，使得：$A' I'=\dfrac{1}{2} AI$,$A' E'=\dfrac{1}{2} AE$,$A' G'=\dfrac{1}{2} AG$；
   ④如图 (2)，过 $H'$ 作 $y'$ 轴平行线，过 $I'$ 作 $x'$ 轴平行线，两平行线交于 $C'$，过 $F'$ 作 $y'$ 轴平行线，过 $G'$ 作 $x'$ 轴平行线，两平行线交于 $D'$；
   ⑤如图 (2)，依次连接 $B'$、$C'$，$D'$、$E'$ 即可完成作图．
   

9. 答案 ，原图形的面积是 $8$
   解析 ①画轴：在菱形 $ABCD$ 中，分别以 $AB$、$AD$ 所在的直线为 $x'$ 轴、$y'$ 轴建立坐标系 $x'O'y'$ 如图 $1$，
   另建立平面直角坐标系 $xOy$，如图 $2$；
   ②取点：在坐标系 $xOy$ 中，分别在 $x$ 轴、$y$ 轴上去点 $B'$$、D'$，使 $A'B'=AB$($A'$ 与 $O$ 重合，$A$ 与 $O'$ 重合)，
   $A'D'=2AD$，过点 $D'$ 作 $D'C'∥x$ 轴，且 $D'C'=DC$；
   ③连接：连接 $B'C'$，得到的矩形 $A'B'C'D'$ 即为这个四边形的原图形；且原图形的面积为 $S=2×4=8$．
   
    

【B组---提高题】

1. 某几何体底面的四边形 $OABC$ 直观图为如图矩形 $O_1 A_1 B_1 C_1$，其中 $O_1 A_1=6$，$O_1 C_1=2$，则该几何体底面对角线 $AC$ 的实际长度为 (　　)

 A．$6$$\qquad \qquad \qquad$ B．$4\sqrt{6}$ $\qquad \qquad \qquad$ C．$4\sqrt{2}$ $\qquad \qquad \qquad$ D． $2 \sqrt{10}$
 

参考答案

1. 答案 $B$
   解析 由题意知，把四边形 $OABC$ 的直观图还原为平面图形，如图所示：
   则 $OA=O_1 A_1=6$， $O D=2 \sqrt{2^2+2^2}=4 \sqrt{2}$，$CD=O_1 C_1=2$，
   所以 $O C^2=\sqrt{(4 \sqrt{2})^2+2^2}=36$，则 $OC=6$，
   又因为 $\angle A O C=\cos \left(90^{\circ}+\angle C O D\right)=-\sin \angle C O D=-\dfrac{2}{6}=-\dfrac{1}{3},$，
   由余弦定理得， $A C^2=6^2+6^2-2 \times 6 \times 6 \times\left(-\dfrac{1}{3}\right)=96$，
   解得 $AC=4\sqrt{6}$，
   即该几何体底面对角线 $AC$ 的实际长度为 $4\sqrt{6}$．
   故选：$B$．