8.1 基本立体图形(1) --棱柱、棱锥、棱台

基础知识

空间几何体

多面体

一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面 $PAB$；两个面的公共边叫做多面体的棱，如棱 $PA$，棱 $AB$；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如顶点 $P$，顶点 $A$. 以前学过的长方体、正方体是多面体.

 

旋转体

一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴。以前学过的圆锥、圆柱是旋转体.
 

空间几何体的结构特征

棱柱

(1) 概念
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.
(2) 性质
① 侧棱都相等，侧面是平行四边形；
② 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
③ 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；
④ 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形.
(3) 分类
① 按底面多边形的边数分为：三棱柱，四棱柱等.
② 按侧棱是否垂直低面分为斜棱柱，直棱柱 (底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱；底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体)
 

棱锥

(1) 概念
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.
如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥.
(2) 性质
① 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的② 距离与顶点到底面的距离之比；
③ 正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；
④ 正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形.)
(3) 常见棱锥
正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥. 　
正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥，正四面体是特殊的正三棱锥.
(4) 侧面展开图
正 $n$ 棱锥的侧面展开图是有 $n$ 个全等的等腰三角形组成的.
 

棱台

(1) 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台.
(2) 棱台的分类：由三棱锥、四棱锥…… 截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台…….
(3) 正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰梯形.
 

基本方法

【题型1】 棱柱、棱锥、棱台的概念

【典题 1】有下列命题：
①有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱；
②各个面都是三角形的几何体是三棱锥；
③用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫 做棱台；
④棱 柱的各相邻侧面的公共边互相平行．
以上命题中，正确命题的序号是 $\underline{\quad \quad}$．
解析 由图甲知，命题①错误；如图乙，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，命题②错误；由棱台的定义知，命题③错误；由棱柱的特点知，命题④正确．

 

【典题 2】给出下列三个命题
①有四个相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱；
②各侧面都是正方形的四棱柱是正方体；
③底面是正三角形，各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
其中真命题的个数是 (　　)
 A．$1$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$2$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$3$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$0$
解析 四个侧面互相垂直的棱柱并不能保证侧棱一定垂直于底面，故①错误；
当底面是菱形时，各侧面也可以是正方形，故②错误；
当锐角为 $60°$ 的菱形沿短的对角线折成本棱锥时，有可能不是正三棱锥，
举个特殊的三棱锥 底面是正三角形，一个为等腰三角形的侧面与底面垂直，
这时三侧面中，有一个是正三角形，两个是等腰三角形，故③错误．
故选 $D$．
 

【巩固练习】

1. 在棱柱中，(　　)
 A．只有两个面平行 $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ B．所有的棱都相等
 C．所有的面都是平行四边形 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．两底面平行，且各侧棱也平行
 

2. 棱台不具有的性质是 (　　)
 A．两底面相似　　$\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．侧面都是梯形
 C．侧棱都平行 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．侧棱延长后都交于一点
 

3. 下列命题正确的是 (　　)
 A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
 B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
 C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
 D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形
 

4. 下列说法中正确的是 (　　)
 A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
 B．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面
 C．棱柱的侧面都是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
 D．在棱柱的面中，至少有两个面互相平行
 

5. 下列说法中，正确的个数为 (　　)
(1) 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
(2) 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
(3) 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
(4) 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥．
 A．$0$ 个 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$1$ 个 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$2$ 个 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$3$ 个
 

参考答案

1. 答案 $D$
2. 答案 $C$
3. 答案 $C$
   解析对于 $A$，棱柱的侧棱都相等，但侧面不一定是全等的平行四边形，$A$ 错误；
   对于 $B$，用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，$B$ 错误；
   对于 $C$，四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，$C$ 正确；
   对于 $D$，棱台的侧棱延长后交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，$D$ 错误．
   故选：$C$．
4. 答案 $D$
   解析对于 $A$，棱柱的侧面也可以互相平行，即 $A$ 错误；
   对于 $B$，底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，它的侧面是互相平行的平行四边形，可以作为底面，即 $B$ 错误；
   对于 $C$，正四棱柱是棱柱，且正四棱柱的底面是平行四边形，即 $C$ 错误；
   对于 $D$，棱柱的上下底面一定是平行的，故至少有两个面互相平行，即 $D$ 正确．
   故选：$D$．
5. 答案 $A$
   解析 (1) 中，有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行的几何体一定是棱柱，故 (1) 不正确；
   (2) 中，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，只有当四个等腰梯形的腰延长后交于一点时，这个六面体才是棱台，故 (2) 不正确；
   (3) 中，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，只有当三棱锥的顶点在底面的射影是底面中心时，才是正三棱锥，故 (3) 不正确；
   (4) 中，因为正六棱锥的底面是正六边形，侧棱在底面内的射影与底面边长相等，所以正六棱锥的侧棱长一定大于底面边长，故 (4) 不正确．
   故选：$A$．
    

【题型2】 简单几何体的表面展开与折叠问题

【典题 1】(1) 请画出如图所示的几何体的表面展开图．

(2) 将各平面图形折起后形成的空间图形如图所示：

解析 (1) 展开图如图所示：

(2) 根据下图所给的平面图形，画出立体图形．

 

【典题 2】如图一个封闭的立方体，它 $6$ 个表面各标出 $1$、$2$、$3$、$4$、$5$、$6$ 这 $6$ 个数字，现放成下面 $3$ 个不同的位置，则数字 $1$、$2$、$3$ 对面的数字是 (　　)

 A．$4$、$5$、$6$ $\qquad \qquad \qquad$ B．$6$、$4$、$5$ $\qquad \qquad \qquad$ C．$5$、$6$、$4$ $\qquad \qquad \qquad$ D．$5$、$4$、$6$
解析 第一个正方体已知 $1$、$2$、$3$ 第二个正方体已知 $1$、$3$、$4$
第三个正方体已知 $2$、$3$，$5$ 且不同的面上写的数字各不相同，
则可知 $1$ 对面标的是 $5$，$2$ 对面标的是 $4$，$3$ 对面标的是 $6$
故选 $D$．
 

【典题 3】如图，已知三棱柱 $ABC-A'B'C'$，底面是边长为 $1$ 的正三角形，侧面为全等的矩形且高为 $3$，求自一点 $A$ 出发沿着三棱柱的侧面绕行一周后到达 $A'$ 点的最短路线长．

解析 将正三棱柱 $ABC-A'B'C'$ 沿侧棱展开，其侧面展开图如图所示，

依题意 $AB=BC=AA_1=1$，$∴AA_1=3$，
依题意沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点 $A'$ 的最短路线为：
$\left|A A_1^{\prime}\right|=\sqrt{A A_1^2+A A_1^{\prime}}=\sqrt{3^2+3^2}=3 \sqrt{2}$．
 

【巩固练习】

1. 下图中能围成正方体的是 $\underline{\quad \quad}$．(填序号)

 

2. 水平放置的正方体的六个面分别用 “前面、后面、上面、下面、左面、右面” 表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中 “努” 在正方体的后面，那么这个正方体的前面是 $\underline{\quad \quad}$．

 

3. 如图所示，在所有棱长均为 $1$ 的三棱柱上，有一只蚂蚁从点 $A$ 出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点 $A_1$，则爬行的最短路线长为 $\underline{\quad \quad}$．

 

参考答案

1. 答案 ①②③

2. 答案 有
   解析 这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面 “努” 与面 “有” 相对，所以图中 “努” 在正方体的后面，则这个正方体的前面是 “有”．
   

3. 答案 $\sqrt{10}$
   解析正三棱柱的侧面展开图如图所示的矩形，
   矩形的长为 $3$，宽为 $1$，则其对角线 $AA_1$ 的长为最短路程．
   因此蚂蚁爬行的最短路程为：$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$．
   
    

分层练习

【A组---基础题】

1. 下列几何体中，棱柱有 (　　)

 A．$5$ 个 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$4$ 个 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$3$ 个 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$2$ 个
 

2. 下列说法正确的是 (　　)
 A．三棱柱有三个侧面、三条侧棱和三个顶点
 B．四面体有四个面、六条棱和四个顶点
 C．六棱锥有七个顶点
 D．棱柱的各条侧棱可以不相等
 

3. 下列命题中正确的是 (　　)
 A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
 C．长方体是正四棱柱
 D．四个面都是等边三角形的四面体是正四面体
 

4. 下面的多面体是棱台的是 (　　)
 A．两底面是相似多边形的多面体
 B．侧面是梯形的多面体
 C．两底面平行的多面体
 D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体
 

5. 下列命题正确的是 (　　)
 A．棱柱的底面一定是平行四边形
 B．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
 C．棱锥的底面一定是三角形
 D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
 

6. 下列说法中正确的个数为 (　　)
①各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；
②各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥；
③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；
④底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥．
 A．$4$$\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$3$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$2$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$1$
 

7. 在下面四个平面图形中，哪几个是各侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是 $\underline{\quad \quad}$．(把你认为正确的序号都填上)

 

8. 在正方形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别为 $AB$，$BC$ 的中点，现沿 $DE$，$DF$，$EF$ 把 $△ADE$，$△CDF$，$△BEF$ 折起，使 $A$，$B$，$C$ 三点重合，则折成的几何体为 $\underline{\quad \quad}$．

 

9. 如图，在三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 中，$E$，$F$ 分别是 $A_1 B_1$ 与 $A_1 C_1$ 的中点，试判断几何体 $ABC-A_1 EF$ 是什么几何体，并指出它的底面与侧面．

 

10. 如图，在正三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 中，$AB=3$，$AA_1=4$，$M$ 为 $AA_1$ 的中点，$P$ 是 $BC$ 上一点，且由 $P$ 沿棱柱侧面经过棱 $CC_1$ 到 $M$ 的最短路线长为 $\sqrt{29}$，设这条最短路线与 $CC_1$ 的交点为 $N$，求：
  (1) 该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；
  (2)$PC$ 和 $NC$ 的长．

 

参考答案

1. 答案 $D$
2. 答案 $B$
3. 答案 $D$
   解析对于 $A$，有一个面是多边形，其余各面是三角形，
   若其余各面没有一个共同的顶点的几何体就不是棱锥，故 $A$ 错误；
   对于 $B$，有两个面平行且相似，其余各面都是梯形，
   若侧棱不相交于一点的多面体不是棱台，故 $B$ 错误；
   对于 $C$，长方体中有一组相对的面是正方体时是正四棱柱，故 $C$ 错误；
   对于 $D$，四个面都是等边三角形的四面体是正四面体，故 $D$ 正确．
   故选：$D$．
4. 答案 $D$
5. 答案 $D$
   解析对于 $A$，棱柱的底面不一定是平行四边形，也可以是三角形或六边形等，所以 $A$ 错误；
   对于 $B$，棱锥被平面分成的两部分也可能都是棱锥，如过棱锥顶点的平面与底面相交把棱锥分成的两部分，所以 $B$ 错误；
   对于 $C$，棱锥的底面不一定是三角形，也可以是四边形或其他平面图形，所以 $C$ 错误；
   对于 $D$，棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱，如用平行于底面的平面截棱柱分成的两部分，所以 $D$ 正确．
   故选：$D$．
6. 答案 $D$
   解析对于①，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，①错误；
   对于②，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，②错误；
   对于③，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，③错误；
   对于④，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面射影为底面中心，满足正棱锥定义，④正确．
   故选：$D$．
7. 答案 ①②
8. 答案三棱锥
9. 答案几何体 $ABC-A_1 EF$ 是三棱台．其中 $△ABC$ 是下底面，$△A_1 EF$ 是上底面，四边形 $ABEA_1$，四边形 $BCFE$，四边形 $ACFA_1$ 是侧面．
   解析 $∵E$，$F$ 分别是 $A_1 B_1$ 与 $A_1 C_1$ 的，且 $A_1 B_1=AB$，$A_1 C_1=AC$，$B_1 C_1=BC$，
   $\therefore \dfrac{A_1 E}{A B}=\dfrac{A_1 F}{A C}=\dfrac{E F}{B C}=\dfrac{1}{2}$．
   $\therefore \triangle A_1 E F \sim \triangle A B C$ 且 $AA_1$，$BE$，$CF$ 延长后交于一点．
   又平面 $A_1 B_1 C_1$ 平行于平面 $ABC$，
   $∴$ 几何体 $ABC-A_1 EF$ 是三棱台．
   其中 $△ABC$ 是下底面，$△A_1 EF$ 是上底面，四边形 $ABEA_1$，四边形 $BCFE$，四边形 $ACFA_1$ 是侧面．
10. 答案 (1)$\sqrt{97}$； (2) $PC=2$， $N C=\dfrac{4}{5}$
    解析 (1) 正三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 的侧面展开图是一个长为 $9$，宽为 $4$ 的矩形，其对角线长 $\sqrt{9^2+4^2}=\sqrt{97}$；
    (2) 如图，将侧面 $BB_1 C_1 C$ 绕棱 $CC_1$ 旋转 $120°$ 使其与侧面 $AA_1 C_1C$ 在同一平面上，点 $P$ 运动到点 $P_1$ 的位置，
    连接 $MP_1$，则 $MP_1$ 就是由点 $P$ 沿棱柱侧面经过棱 $CC_1$ 到点 $M$ 的最短路线，
    
    设 $PC=x$，则 $P_1 C=x$，在 $Rt△MAP_1$ 中，由勾股定理得 $(3+x)^2+2^2=29$，
    求得 $x=2$，$∴PC=P_1 C=2$，
    $\because \dfrac{\mathrm{NC}}{\mathrm{MA}}=\dfrac{\mathrm{P}_1 \mathrm{C}}{\mathrm{P}_1 \mathrm{~A}}=\dfrac{2}{5}$， $\therefore N C=\dfrac{4}{5}$．
     

【B组---提高题】

1. 给出下列命题
①底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
②若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；
④一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；
⑤所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．
其中正确的命题是 (　　)
 A．①②③ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．①③ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．②③④ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．④
 

2. 如图所示，在正三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 中，$AB=2$，$AA_1=2$，由顶点 $B$ 沿棱柱侧面 (经过棱 $AA_1$) 到达顶点 $C_1$，与 $AA_1$ 的交点记为 $M$. 求:

  (1) 三棱柱侧面展开图的对角线长；
  (2) 从 $B$ 经 $M$ 到 $C_1$ 的最短路线长及此时 $\dfrac{A_1 M}{A M}$ 的值.

 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析对于①，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，
   如图所示，
   若 $AB=BC=AC=VA$，且 $VA⊥$ 平面 $ABC$，但三棱锥 $V-ABC$ 表示正三棱锥，
   $∴$①错误；
   对于②，当有两个侧面垂直于底面时，该四棱柱不一定为直四棱柱，
   如两个侧面不是相邻的时，侧棱与底面不一定垂直，$∴$②错误；
   对于③，一个棱锥不能有两条侧棱和底面垂直，否则，这两条侧棱互相平行，
   $∴$③错误；
   对于④，一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直，如①中图形，$∴$④正确；
   对于⑤，所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体，
   $∵$ 各相邻侧面并不一定都互相垂直，∴⑤错误．
   综上，正确的命题是④．
   故选 $D$．
   

2. 答案 (1) $2 \sqrt{10}$ (2) $2 \sqrt{5}$，$1$
   解析沿侧棱 $BB_1$ 将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形 $BB_1 B_1'B'$.
   (1) 矩形 $BB_1 B_1'B'$ 的长 $BB'=6$，宽 $BB_1=2$.
   所以三棱柱侧面展开图的对角线长为 $\sqrt{6^2+2^2}=2 \sqrt{10}$.
   (2) 由侧面展开图可知：当 $B$，$M$，$C_1$ 三点共线时，由 $B$ 经 $M$ 到 $C_1$ 点的路线最短.
   所以最短路线长为 $B C_1=\sqrt{4^2+2^2}=2 \sqrt{5}$.
   显然 $\text { Rt } \triangle A B M \cong R t \triangle A_1 C_1 M$，
   所以 $A_1 M=AM$，即 $\dfrac{A_1 M}{A M}=1$.