8.1 基本立体图形(1) --棱柱、棱锥、棱台
基础知识
空间几何体
多面体
一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面\(PAB\)；两个面的公共边叫做多面体的棱，如棱\(PA\)，棱\(AB\)；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如顶点\(P\)，顶点\(A\).以前学过的长方体、正方体是多面体.
旋转体
一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴.以前学过的圆锥、圆柱是旋转体.
空间几何体的结构特征
棱柱
(1) 概念
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.
(2) 性质
① 侧棱都相等，侧面是平行四边形；
② 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
③ 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；
④ 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形.
(3) 分类
① 按底面多边形的边数分为：三棱柱，四棱柱等.
② 按侧棱是否垂直低面分为斜棱柱，直棱柱(底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱；底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体)
棱锥
(1) 概念
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.
如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥.
(2) 性质
① 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的② 距离与顶点到底面的距离之比；
③ 正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；
④ 正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形.)
(3) 常见棱锥
正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥.
正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥，正四面体是特殊的正三棱锥.
(4) 侧面展开图
正\(n\)棱锥的侧面展开图是有\(n\)个全等的等腰三角形组成的.
棱台
(1) 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台.
(2) 棱台的分类:由三棱锥、四棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台…….
(3) 正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰梯形.
基本方法
【题型1】 棱柱、棱锥、棱台的概念
【典题1】有下列命题：
①有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱；
②各个面都是三角形的几何体是三棱锥；
③用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫 做棱台；
④棱 柱的各相邻侧面的公共边互相平行．
以上命题中，正确命题的序号是\(\underline{\quad \quad}\)．
解析 由图甲知，命题①错误；如图乙，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，命题②错误；由棱台的定义知，命题③错误；由棱柱的特点知，命题④正确．
【典题2】给出下列三个命题
①有四个相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱；
②各侧面都是正方形的四棱柱是正方体；
③底面是正三角形，各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
其中真命题的个数是 ( )
A．\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(0\)
解析 四个侧面互相垂直的棱柱并不能保证侧棱一定垂直于底面，故①错误；
当底面是菱形时，各侧面也可以是正方形，故②错误；
当锐角为\(60°\)的菱形沿短的对角线折成本棱锥时，有可能不是正三棱锥，
举个特殊的三棱锥 底面是正三角形，一个为等腰三角形的侧面与底面垂直，
这时三侧面中，有一个是正三角形，两个是等腰三角形，故③错误．
故选 \(D\)．
【巩固练习】
1.在棱柱中，( )
A．只有两个面平行 \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) B．所有的棱都相等
C．所有的面都是平行四边形 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．两底面平行，且各侧棱也平行
2.棱台不具有的性质是( )
A．两底面相似 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．侧面都是梯形
C．侧棱都平行 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．侧棱延长后都交于一点
3.下列命题正确的是( )
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形
4.下列说法中正确的是( )
A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面
C．棱柱的侧面都是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
D．在棱柱的面中，至少有两个面互相平行
5.下列说法中，正确的个数为( )
(1)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
(2)有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
(3)底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
(4)棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥．
A．\(0\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(1\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(2\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(3\)个
参考答案
- 答案\(D\)
- 答案\(C\)
- 答案\(C\)
解析对于\(A\)，棱柱的侧棱都相等，但侧面不一定是全等的平行四边形，\(A\)错误；
对于\(B\)，用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，\(B\)错误；
对于\(C\)，四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，\(C\)正确；
对于\(D\)，棱台的侧棱延长后交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，\(D\)错误．
故选：\(C\)． - 答案 \(D\)
解析对于\(A\)，棱柱的侧面也可以互相平行，即\(A\)错误；
对于\(B\)，底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，它的侧面是互相平行的平行四边形，可以作为底面，即\(B\)错误；
对于\(C\)，正四棱柱是棱柱，且正四棱柱的底面是平行四边形，即\(C\)错误；
对于\(D\)，棱柱的上下底面一定是平行的，故至少有两个面互相平行，即\(D\)正确．
故选：\(D\)． - 答案 \(A\)
解析(1)中，有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行的几何体一定是棱柱，故(1)不正确；
(2)中，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，只有当四个等腰梯形的腰延长后交于一点时，这个六面体才是棱台，故(2)不正确；
(3)中，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，只有当三棱锥的顶点在底面的射影是底面中心时，才是正三棱锥，故(3)不正确；
(4)中，因为正六棱锥的底面是正六边形，侧棱在底面内的射影与底面边长相等，所以正六棱锥的侧棱长一定大于底面边长，故(4)不正确．
故选：\(A\)．
【题型2】 简单几何体的表面展开与折叠问题
【典题1】(1) 请画出如图所示的几何体的表面展开图．
(2) 将各平面图形折起后形成的空间图形如图所示：
解析(1) 展开图如图所示：
(2) 根据下图所给的平面图形，画出立体图形．
【典题2】如图一个封闭的立方体，它\(6\)个表面各标出\(1\)、\(2\)、\(3\)、\(4\)、\(5\)、\(6\)这\(6\)个数字，现放成下面\(3\)个不同的位置，则数字\(1\)、\(2\)、\(3\)对面的数字是 ( )
A．\(4\)、\(5\)、\(6\) \(\qquad \qquad \qquad\) B．\(6\)、\(4\)、\(5\) \(\qquad \qquad \qquad\) C．\(5\)、\(6\)、\(4\) \(\qquad \qquad \qquad\) D．\(5\)、\(4\)、\(6\)
解析 第一个正方体已知\(1\)、\(2\)、\(3\)第二个正方体已知\(1\)、\(3\)、\(4\)
第三个正方体已知\(2\)、\(3\)，\(5\)且不同的面上写的数字各不相同，
则可知\(1\)对面标的是\(5\)，\(2\)对面标的是\(4\)，\(3\)对面标的是\(6\)
故选\(D\)．
【典题3】如图，已知三棱柱\(ABC-A'B'C'\)，底面是边长为\(1\)的正三角形，侧面为全等的矩形且高为\(3\)，求自一点\(A\)出发沿着三棱柱的侧面绕行一周后到达\(A'\)点的最短路线长．
解析 将正三棱柱\(ABC-A'B'C'\)沿侧棱展开，其侧面展开图如图所示，
依题意\(AB=BC=AA_1=1\)，\(∴AA_1=3\)，
依题意沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点\(A'\)的最短路线为：
\(\left|A A_1^{\prime}\right|=\sqrt{A A_1^2+A A_1^{\prime}}=\sqrt{3^2+3^2}=3 \sqrt{2}\)．
【巩固练习】
1.下图中能围成正方体的是\(\underline{\quad \quad}\)．(填序号)
2.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是\(\underline{\quad \quad}\)．
3.如图所示，在所有棱长均为\(1\)的三棱柱上，有一只蚂蚁从点\(A\)出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点\(A_1\)，则爬行的最短路线长为\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
-
答案 ①②③
-
答案 有
解析 这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“努”与面“有”相对，所以图中“努”在正方体的后面，则这个正方体的前面是“有”．
-
答案 \(\sqrt{10}\)
解析正三棱柱的侧面展开图如图所示的矩形，
矩形的长为\(3\)，宽为\(1\)，则其对角线\(AA_1\) 的长为最短路程．
因此蚂蚁爬行的最短路程为：\(\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.下列几何体中，棱柱有( )
A．\(5\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(4\)个\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(3\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(2\)个
2.下列说法正确的是( )
A．三棱柱有三个侧面、三条侧棱和三个顶点
B．四面体有四个面、六条棱和四个顶点
C．六棱锥有七个顶点
D．棱柱的各条侧棱可以不相等
3.下列命题中正确的是( )
A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．长方体是正四棱柱
D．四个面都是等边三角形的四面体是正四面体
4.下面的多面体是棱台的是( )
A．两底面是相似多边形的多面体
B．侧面是梯形的多面体
C．两底面平行的多面体
D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体
5.下列命题正确的是( )
A．棱柱的底面一定是平行四边形
B．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
C．棱锥的底面一定是三角形
D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
6.下列说法中正确的个数为( )
①各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；
②各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥；
③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；
④底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥．
A．\(4\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(1\)
7.在下面四个平面图形中，哪几个是各侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是\(\underline{\quad \quad}\)．(把你认为正确的序号都填上)
8.在正方形\(ABCD\)中，\(E\)，\(F\)分别为\(AB\)，\(BC\)的中点，现沿\(DE\)，\(DF\)，\(EF\)把\(△ADE\)，\(△CDF\)，\(△BEF\)折起，使\(A\)，\(B\)，\(C\)三点重合，则折成的几何体为\(\underline{\quad \quad}\)．
9.如图，在三棱柱\(ABC-A_1 B_1 C_1\)中，\(E\)，\(F\)分别是\(A_1 B_1\)与\(A_1 C_1\)的中点，试判断几何体\(ABC-A_1 EF\)是什么几何体，并指出它的底面与侧面．
10.如图，在正三棱柱\(ABC-A_1 B_1 C_1\)中，\(AB=3\)，\(AA_1=4\)，\(M\)为\(AA_1\)的中点，\(P\)是\(BC\)上一点，且由\(P\)沿棱柱侧面经过棱\(CC_1\)到\(M\)的最短路线长为\(\sqrt{29}\)，设这条最短路线与\(CC_1\)的交点为\(N\)，求：
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；
(2)\(PC\)和\(NC\)的长．
参考答案
- 答案 \(D\)
- 答案\(B\)
- 答案 \(D\)
解析对于\(A\)，有一个面是多边形，其余各面是三角形，
若其余各面没有一个共同的顶点的几何体就不是棱锥，故\(A\)错误；
对于\(B\)，有两个面平行且相似，其余各面都是梯形，
若侧棱不相交于一点的多面体不是棱台，故\(B\)错误；
对于\(C\)，长方体中有一组相对的面是正方体时是正四棱柱，故\(C\)错误；
对于\(D\)，四个面都是等边三角形的四面体是正四面体，故\(D\)正确．
故选：\(D\)． - 答案\(D\)
- 答案 \(D\)
解析对于\(A\)，棱柱的底面不一定是平行四边形，也可以是三角形或六边形等，所以\(A\)错误；
对于\(B\)，棱锥被平面分成的两部分也可能都是棱锥，如过棱锥顶点的平面与底面相交把棱锥分成的两部分，所以\(B\)错误；
对于\(C\)，棱锥的底面不一定是三角形，也可以是四边形或其他平面图形，所以\(C\)错误；
对于\(D\)，棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱，如用平行于底面的平面截棱柱分成的两部分，所以\(D\)正确．
故选：\(D\)． - 答案\(D\)
解析对于①，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，①错误；
对于②，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，②错误；
对于③，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，③错误；
对于④，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面射影为底面中心，满足正棱锥定义，④正确．
故选：\(D\)． - 答案 ①②
- 答案三棱锥
- 答案几何体\(ABC-A_1 EF\)是三棱台．其中\(△ABC\)是下底面，\(△A_1 EF\)是上底面，四边形\(ABEA_1\)，四边形\(BCFE\)，四边形\(ACFA_1\)是侧面．
解析\(∵E\)，\(F\)分别是\(A_1 B_1\)与\(A_1 C_1\)的，且\(A_1 B_1=AB\)，\(A_1 C_1=AC\)，\(B_1 C_1=BC\)，
\(\therefore \dfrac{A_1 E}{A B}=\dfrac{A_1 F}{A C}=\dfrac{E F}{B C}=\dfrac{1}{2}\)．
\(\therefore \triangle A_1 E F \sim \triangle A B C\)且\(AA_1\)，\(BE\)，\(CF\)延长后交于一点．
又平面\(A_1 B_1 C_1\)平行于平面\(ABC\)，
\(∴\)几何体\(ABC-A_1 EF\)是三棱台．
其中\(△ABC\)是下底面，\(△A_1 EF\)是上底面，四边形\(ABEA_1\)，四边形\(BCFE\)，四边形\(ACFA_1\)是侧面． - 答案 (1)\(\sqrt{97}\)； (2) \(PC=2\)， \(N C=\dfrac{4}{5}\)
解析 (1)正三棱柱\(ABC-A_1 B_1 C_1\)的侧面展开图是一个长为\(9\)，宽为\(4\)的矩形，其对角线长 \(\sqrt{9^2+4^2}=\sqrt{97}\)；
(2)如图，将侧面\(BB_1 C_1 C\)绕棱\(CC_1\)旋转\(120°\)使其与侧面\(AA_1 C_1C\) 在同一平面上，点\(P\)运动到点\(P_1\)的位置，
连接\(MP_1\)，则\(MP_1\)就是由点\(P\)沿棱柱侧面经过棱\(CC_1\)到点\(M\)的最短路线，
设\(PC=x\)，则\(P_1 C=x\)，在\(Rt△MAP_1\)中，由勾股定理得 \((3+x)^2+2^2=29\)，
求得\(x=2\)，\(∴PC=P_1 C=2\)，
\(\because \dfrac{\mathrm{NC}}{\mathrm{MA}}=\dfrac{\mathrm{P}_1 \mathrm{C}}{\mathrm{P}_1 \mathrm{~A}}=\dfrac{2}{5}\)， \(\therefore N C=\dfrac{4}{5}\)．
【B组---提高题】
1.给出下列命题
①底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
②若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；
④一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；
⑤所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．
其中正确的命题是 ( )
A．①②③ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．①③ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．②③④ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．④
2.如图所示，在正三棱柱\(ABC-A_1 B_1 C_1\)中，\(AB=2\)，\(AA_1=2\)，由顶点\(B\)沿棱柱侧面(经过棱\(AA_1\))到达顶点\(C_1\)，与\(AA_1\)的交点记为\(M\).求:
(1)三棱柱侧面展开图的对角线长;
(2)从\(B\)经\(M\)到\(C_1\)的最短路线长及此时\(\dfrac{A_1 M}{A M}\)的值.
参考答案
-
答案 \(D\)
解析对于①，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，
如图所示，
若\(AB=BC=AC=VA\)，且\(VA⊥\)平面\(ABC\)，但三棱锥\(V-ABC\)表示正三棱锥，
\(∴\)①错误；
对于②，当有两个侧面垂直于底面时，该四棱柱不一定为直四棱柱，
如两个侧面不是相邻的时，侧棱与底面不一定垂直，\(∴\)②错误；
对于③，一个棱锥不能有两条侧棱和底面垂直，否则，这两条侧棱互相平行，
\(∴\)③错误；
对于④，一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直，如①中图形，\(∴\)④正确；
对于⑤，所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体，
\(∵\)各相邻侧面并不一定都互相垂直，∴⑤错误．
综上，正确的命题是④．
故选 \(D\)．
-
答案 (1) \(2 \sqrt{10}\) (2) \(2 \sqrt{5}\)，\(1\)
解析沿侧棱\(BB_1\)将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形\(BB_1 B_1'B'\).
(1)矩形\(BB_1 B_1'B'\)的长\(BB'=6\)，宽\(BB_1=2\).
所以三棱柱侧面展开图的对角线长为 \(\sqrt{6^2+2^2}=2 \sqrt{10}\).
(2)由侧面展开图可知:当\(B\)，\(M\)，\(C_1\)三点共线时，由\(B\)经\(M\)到\(C_1\)点的路线最短.
所以最短路线长为 \(B C_1=\sqrt{4^2+2^2}=2 \sqrt{5}\).
显然 \(\text { Rt } \triangle A B M \cong R t \triangle A_1 C_1 M\)，
所以\(A_1 M=AM\)，即 \(\dfrac{A_1 M}{A M}=1\).
