7.2 复数的四则运算
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[ 【基础过关系列】高一数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019）]
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必修第二册同步巩固，难度2颗星！
基础知识
复数的加、减法及其几何意义
(1) 复数的加法
设\(z_1=a+bi\)，\(z_2=c+di\) ,\(a\) ,\(b\), \(c\),\(d∈R\)
\(z_1+ z_2=a+b i+c+d i=(a+c)+(b+d) i\)
解释
① 两个复数的和仍然是一个确定复数，形式类似两个多项式相加.
② 复数的加法满足交换律和结合律，
即对任意\(z_1\),\(z_2\),\(z_3∈C\)，有\(z_1+z_2=z_2+z_1\)，\((z_1+z_2 )+z_3=z_1+(z_2+z_3 )\).
【例】若\(z_1=-1+2i\)，\(z_2=2-4i\)，则\(z_1+ z_2=\) \(\underline{\quad \quad}\) .
解 \(z_1+ z_2=-1+2i+2-4i=1-2i\).
(2) 复数加法的几何意义
复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应的，设\(\overrightarrow{O Z_1}\)，\(\overrightarrow{O Z_2}\)分别与复数\(z_1=a+bi\)，\(z_2=c+di\)对应，则\(\overrightarrow{O Z_1} =(a,b)\)，\(\overrightarrow{O Z_2} =(c,d)\)，进而可得\(\overrightarrow{O Z_1} +\overrightarrow{O Z_2} =(a+c,b+d)\)，
这说明两个向量\(\overrightarrow{O Z_1}\) 和\(\overrightarrow{O Z_2}\)的和就是与复数\((a+c)+(b+d) i\)对应的向量.
因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行(符合平行四边形法则、向量坐标的运算)，这就是复数加法的几何意义.
(3) 复数的减法
设\(z_1=a+bi\)，\(z_2=c+di\) , \(a\) ,\(b\), \(c\),\(d∈R\),
\(z_1- z_2=a+b i-(c+d i)=(a-c)+(b-d) i\).
解释
与实数减法的意义进行类比可得，减法的几何意义也是可以按照向量的减法来进行.
复数的乘、除运算
(1)设\(z_1=a+bi\)，\(z_2=c+di\) , \(a\) ,\(b\), \(c\),\(d∈R\),
① \(z_1⋅ z_2=(a+b i)⋅(c+d i)=(a c-b d)+(b c+a d) i\);
② \(\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{a+b i}{c+d i}=\dfrac{(a+b i)(c-d i)}{(c+d i) \cdot(c-d i)}=\dfrac{(a c+b d)+(b c-a d) i}{c^2+d^2}\).
解释
① 复数的乘法类似两个多项式相乘；
② 复数的乘法满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律，
即对任意\(z_1\),\(z_2\),\(z_3∈C\)，有\(z_1 z_2=z_2 z_1\)，\((z_1 z_2 ) z_3=z_1 (z_2 z_3 )\)，\(z_1 (z_2+z_3 )=z_1 z_2+z_1 z_3\)；
③ 复数的除法，分子分母都乘以分母的共轭复数\(c-d i\)再化简，其实就是“分母实数化”，好像初中学二次根式的“分母有理化”.
【例】计算 \(\dfrac{2 i}{3+4 i}\).
解 \(\dfrac{2 i}{3+4 i}=\dfrac{2 i(3-4 i)}{(3+4 i)(3-4 i)}=\dfrac{6 i-8 i^2}{3^2-(4 i)^2}=\dfrac{8+6 i}{9+16}=\dfrac{8+6 i}{25}=\dfrac{8}{25}+\dfrac{6}{25} i\).
基本方法
【题型1】 复数的四则运算
【典题1】计算下列各题
(1) \((2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i\)； \(\qquad \qquad\) (2) \(\dfrac{(1-4 i)(1+i)+2+4 i}{3+4 i}\)；
解析(1)\((2-i)(-1+5i)+2i\)
\(=-2+10i+i-5i^2+2i\)
\(=-2+11i+5+2i\)
\(=3+13i\)；
(2)\(\dfrac{(1-4 i)(1+i)+2+4 i}{3+4 i}\)
\(=\dfrac{\left(1+i-4 i-4 i^2\right)+2+4 i}{3+4 i}=\dfrac{5-3 i+2+4 i}{3+4 i}\)
\(=\dfrac{7+i}{3+4 i}=\dfrac{(7+i)(3-4 i)}{(3+4 i)(3-4 i)}=\dfrac{21-28 i+3 i-4 i^2}{25}\)
\(=\dfrac{25-25 i}{25}=1-i\)；
点拨 复数的四则运算类似多项式的四则运算，注意复数除法“分母实数化”，最终把结果化简为\(a+bi(a,b∈R)\)的形式.
【典题2】设复数\(z\)满足 \(\dfrac{z+1}{z}=i\)，则下列说法正确的是( )
A．\(z\)为纯虚数 \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(z\)的虚部为\(-\dfrac{1}{2}i\)
C．在复平面内，\(z\)对应的点位于第二象限 \(\qquad \qquad\) D．\(|z|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
解析\(\because z+1=zi\)， \(\therefore(1-\mathrm{i}) \mathrm{z}=-1 \Longrightarrow \mathrm{z}=\dfrac{1}{-1+i}=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} i\)．
\(\therefore |z|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，复数\(z\)的虚部为\(-\dfrac{1}{2}\)，不是纯虚数，
复数\(z\)在复平面内所对应的点的坐标为\(\left(-\dfrac{1}{2}，-\dfrac{1}{2}\right)\)，在第三象限．
\(\therefore\)正确的是\(D\)．
故选 \(D\)．
点拨 先把复数\(z\)求出或化简为\(a+bi(a,b∈R)\)的形式，在作出判断.
【典题3】 若 \(f(z)=2 z+\bar{z}-3 i\)， \(f(\bar{z}+i)=6-3 i\)，求复数\(z\)．
解析 \(\because f(z)=2z+\bar{z}-3i\)，
\(\therefore f(\bar{z}+i)=2(\bar{z}+i)+(\bar{z}+i)-3i\)\(=2\bar{z}+2i+z-i-3i=2\bar{z}+z-2i\)．
又\(f(\bar{z}+i)=6-3i\)，\(\therefore 2\bar{z}+z-2i=6-3i\)，
即\(2\bar{z}+z=6-i\)．
设\(z=x+yi(x,y∈R)\)，则\(\bar{z}=x-yi\)．
\(\therefore 2(x-yi)+x+yi=3x-yi=6-i\)，
\(\therefore\left\{\begin{array} { l }
{ 3 x = 6 } \\
{ y = 1 }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
x=2 \\
y=1
\end{array}\right.\right.\)，\(\therefore z=2+i\).
点拨 求满足某些要求的复数\(z\)，可用待定系数法.
【典题4】 在复数范围内解方程\(x^2+x+1=0\).
解析\(\because x^2+x+1=0\)，\(\therefore\)配方得 \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2=-\dfrac{3}{4}\)，
\(\therefore x+\dfrac{1}{2}= \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2} i\)，即 \(x_1=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} i\)， \(x_2=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} i\).
点拨 在复数范围内，实系数一元二次方程\(ax^2+bx+c=0(a≠0)\)的求根公式为：
(1)当 \(\Delta \geqslant 0\)时， \(x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\)；(2)当\(\Delta<0\)时， \(x=\dfrac{-b \pm \sqrt{-\left(b^2-4 a c\right) i}}{2 a}\).
【巩固练习】
1.计算 \(\dfrac{(i-2)(i-1)}{(1+i)(i-1)+i}=\) ( )
A．\(-1+i\) \(\qquad \qquad \qquad\) B．\(-1-i\) \(\qquad \qquad \qquad\) C．\(1+i\) \(\qquad \qquad \qquad\) D．\(-2+i\)
2.已知复数\(z\)的实部为\(1\)，虚部的绝对值为\(3\)，则下列说法错误的是( )
A． \(z+\dfrac{10}{z}\)是实数 \(\qquad \qquad \qquad\) B． \(z+\dfrac{10}{z}<2\)
C． \(z+\dfrac{10}{z}>1\) \(\qquad \qquad \qquad\) D．\(\bar{z}\)在复平面中所对应的点不可能在第三象限
3.已知两非零复数\(z_1\),\(z_2\)，若\(z_1\cdot z_2∈R\)，则一定成立的是( )
A．\(z_1+z_2∈R\) \(\qquad \qquad\) B． \(z_1 \cdot \overline{z_2} \in R\) \(\qquad \qquad\) C． \(\dfrac{z_1}{z_2} \in R\) \(\qquad \qquad\) D． \(\dfrac{z_1}{\overline{z_2}} \in R\)
4.方程\(x^2+3=0\)在复数范围内的解是\(\underline{\quad \quad}\)．
5.若复数\(z\)满足\(\bar{z} i=\dfrac{|z|}{2}-3 i\)，则\(z=\) \(\underline{\quad \quad}\) ．
6.设\(f(z)=z-2i+|z|\)，若\(z_1=3+4i\)，\(z_2=-2-i\)，则\(f(z_1-z_2 )=\) \(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
-
答案 \(A\)
解析 \(\dfrac{(i-2)(i-1)}{(1+i)(i-1)+i}=\dfrac{i^2-i-2 i+2}{i-1+i^2-i+i}=\dfrac{1-3 i}{-2+i}\)\(=\dfrac{(1-3 i)(-2-i)}{(-2+i)(-2-i)}=\dfrac{-2-i+6 i+3 i^2}{5}=\dfrac{-5+5 i}{5}=-1+i\). -
答案 \(B\)
解析 由已知得，\(z=1-3i\)或\(z=1+3i\)，
则 \(z+\dfrac{10}{z}=z+\dfrac{10 \bar{z}}{|z|^2}=z+\bar{z}\)，
\(\therefore z+\dfrac{10}{z}=2\)，则\(A\)，\(C\)正确，\(B\)错误；
\(\because \bar{z}\)的实部大于\(0\)，故\(\bar{z}\)在复平面中所对应的点不可能在第三象限，\(D\)正确．
故选 \(B\)． -
答案 \(D\)
解析设\(z_1=a+bi\)，\(z_2=c+di\)，\((a,b,c,d∈R)\)，
\(z_1+z_2=a+bi+c+di=a+c+(b+d)i\)，
\(\therefore z_1+z_2∈R\)不一定成立，故\(A\)不正确；
则 \(z_1 \cdot \overline{z_2}=(a+b i)(c-d i)=a c+b d+(b c-a d) i\)，
\(\therefore z_1 \cdot \overline{z_2} \in R\)不一定成立，故\(B\)不正确；
\(\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{a+b i}{c+d i}=\dfrac{(a+b i)(c-d i)}{(c+d i)(c-d i)}=\dfrac{a c+b d+(b c-a d) i}{c^2+d^2}\)，
\(\therefore \dfrac{z_1}{z_2} \in R\)不一定成立，故\(C\)不正确；
\(\because \dfrac{z_1}{\overline{z_2}}=\dfrac{z_1 \cdot z_2}{\overline{z_2} \cdot z_2}=\dfrac{z_1 \cdot z_2}{\left|z_2\right|^2}\)，且 \(z_1 z_2 \in R\)，
\(\therefore \dfrac{z_1}{\overline{z_2}} \in R\)正确，故\(D\)成立．
故选 \(D\)． -
答案 \(\pm \sqrt{3} i\)
-
答案 \(-3+\sqrt{3} i\)
解析设\(z=a+bi(a,b∈R)\)，则\(\bar{z}=a-bi\)， \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)．
\(\because(a-b i) \cdot i=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}-3 i\)，
\(\therefore b+a i=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}=-3 i\)，
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} b=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2} \\ a=-3 \end{array}\right.\)，解得\(a=-3\)， \(b=\sqrt{3}\)，
即 \(z=-3+\sqrt{3} i\)． -
答案 \(2\)
解析 \(\because z_1=3+4i\)，\(z_2=-2-i\)，
\(\therefore z_1-z_2=5+5i\)．
于是 \(f\left(z_1-z_2\right)=f(5+5 i)=(5+5 i)-2 i+|5+5 i|\)
\(=5+3 i+5 \sqrt{2}=(5+5 \sqrt{2})+3 i\)．
【题型2】 复数运算的几何意义
【典题1】设复数\(z_1\),\(z_2\)满足\(|z_1 |=|z_2 |=2\),\(z_1+z_2=\sqrt{3}+i\)，则\(|z_1-z_2 |=\) \(\underline{\quad \quad}\) ．
解析 \(\because |z_1 |=|z_2 |=2\)，
\(\therefore z_1\),\(z_2\)在复平面上分别对应的点\(B\),\(C\)在以原点为圆心，半径为\(2\)的圆上,
\(\because z_1+z_2=\sqrt{3}+i\), \(\therefore z_1+z_2\)在复平面上分别对应的点\(A(\sqrt{3},1)\)在圆\(O\)上，
由向量的平行四边形法则，可知四边形\(OCAB\)是平行四边形,
如下图易知\(∆AOC\)是等边三角形且边长为\(2\)，易求\(BC=2\sqrt{3}\),
由向量的三角形法则可知 \(\left|z_1-z_2\right|=|\overrightarrow{B C}|=|B C|=2 \sqrt{3}\).
【典题2】已知复数\(|z|=1\)，\(i\)为虚数单位，则\(|z-1+2i|\)的最小值是\(\underline{\quad \quad}\)．
解析 复数\(z\)满足\(|z|=1\)(\(i\)是虚数单位)，复数\(z\)表示复平面上的点到\((0,0)\)的距离为\(1\)的圆．
\(|z-1+2i|\)的几何意义是圆上的点\(A\)与\(P(1,-2)\)的距离，
所以最小值为 \(A^{\prime} P=\sqrt{(0-1)^2+(0-(-2))^2}-1=\sqrt{5}-1\)．
点拨 复数的几何意义，
若\(z_1=a+bi\) , \(z_2=c+di\), \(a\) ,\(b\), \(c\) ,\(d∈R\)
\(|z_1-z_2 |\)表示\((a ,b)\)到\((c ,d)\)的距离，即 \(\left|z_1-z_2\right|=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\).
\(|z-z_1 |=r(r>0)\)表示以\((a ,b)\)为圆心，\(r\)为半径的圆.
【巩固练习】
1.在平行四边形\(ABCD\)中，对角线\(AC\)与\(BD\)相交于点\(O\)，若向量 \(\overrightarrow{O A}\)， \(\overrightarrow{O B}\)对应的复数分别是\(3+i\)，\(-1+3i\)，则 \(\overrightarrow{CD}\)对应的复数是( )
A．\(2+4i\) \(\qquad \qquad \qquad\) B．\(-2+4i\) \(\qquad \qquad \qquad\) C．\(-4+2i\) \(\qquad \qquad \qquad\) D．\(4-2i\)
2.复数\(z_1=1+2i\)，\(z_2=-2+i\)，\(z_3=-1-2i\)，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
3.如图，向量\(\overrightarrow{O Z_1}\) ,\(\overrightarrow{O Z_2}\)对应复数分别为\(z_1=a+bi(a,b∈R)\)，\(z_2=c+di(c,d∈R)\)，作出\(z_1+z_2\)对应的向量\(\overrightarrow{O Z }\)，并指出\(|z_1+z_2 |≤|z_1 |+|z_2 |\)成立吗？
4.若\(z∈C\)且\(|z+2-2i|=1\)，则\(|z-2-2i|\)的最小值是\(\underline{\quad \quad}\)．
5.已知三个复数\(z_1\)，\(z_2\)，\(z_3\)，并且\(|z_1 |=|z_2 |=|z_3 |=1\)，\(z_1\)，\(z_2\)所对应的向量\(\overrightarrow{O Z_1}\) ,\(\overrightarrow{O Z_2}\)满足 \(\overrightarrow{O Z}_1 \cdot \overrightarrow{O Z}_2=0\)，求\(|z_1+z_2-z_3 |\)的取值范围．
6.已知\(A (1,2)\),\(B(a,1)\),\(C(2,3)\),\(D(-1,b)(a,b∈R)\)是复平面上的四个点，且向量 \(\overrightarrow{A B}\), \(\overrightarrow{C D}\)对应的复数分别为\(z_1\)，\(z_2\)．
(1)若\(z_1+z_2=1+i\)，求\(z_1\)，\(z_2\)；
(2)若\(|z_1+z_2 |=2\)，\(z_1-z_2\)为实数，求\(a\),\(b\)的值．
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 由于 \(\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{B A}=\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}\)，所以\(\overrightarrow{CD}\)对应的复数为\((3+i)-(-1+3i)=4-2i\)． -
答案 \(2-i\)
解析解法一：如图，设复数\(z_1\)，\(z_2\)，\(z_3\)所对应的点分别为\(A\)，\(B\)，\(C\)，正方形的第四个顶点\(D\)对应的复数为\(x+yi(x,y∈R)\)．
则 \(\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{O D}-\overrightarrow{O A}=(x+y i)-(1+2 i)=(x-1)+(y-2) i\)，
\(\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O B}=(-1-2 i)-(-2+i)=1-3 i\)．
因为 \(\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B C}\)，
所以\((x-1)+(y-2)i=1-3i\)，
所以 \(\left\{\begin{array}{l} x-1=1 \\ y-2=-3 \end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l} x=2 \\ y=-1 \end{array}\right.\).
故点\(D\)对应的复数为\(2-i\)．
解法二：设复数\(z_1\)，\(z_2\)，\(z_3\)所对应的点分别为\(A\)，\(B\)，\(C\)，
正方形的第四个顶点\(D\)对应的复数为\(x+yi(x,y∈R)\)．
因为点\(A\)与点\(C\)关于原点对称，
所以原点\(O\)为正方形的中心，
所以点\(O\)也是点\(B\)与点\(D\)连线的中点，
于是\((-2+i)+(x+yi)=0\)，
所以x=2，y=-1，
故点\(D\)对应的复数为\(2-i\)． -
答案 成立
解析 解法1：由向量平行四边形法则知，分别以向量\(\overrightarrow{O Z_1}\) ,\(\overrightarrow{O Z_2}\)为邻边作平行 四边形所得的对角线\(OZ\)，即为向量\(\overrightarrow{O Z }\)，如图(1)．
解法2：以向量\(\overrightarrow{O Z_1}\)的终点\(Z_1\)为起点作向量 \(\overrightarrow{Z_1 Z}=\overrightarrow{O Z_2}\)，
则向量\(\overrightarrow{O Z }\)即为复数\(z_1+z_2\)对应的向量，如图(2)．
由向量模的性质知：\(|z_1+z_2 |≤|z_1 |+|z_2 |\)成立． -
答案 \(3\)
解析 已知\(|z-(-2+2i)|=1\)中，
\(z\)的对应点轨迹是以\((-2,2)\)为圆心，\(1\)为半径的圆，
\(|z-(2+2i)|\)表示圆上的点与点\((2,2)\)之间的距离，
最小值为圆心与点\((2,2)\)的距离减去半径，易得\(|z-2-2i|\)的最小值为\(3\)． -
答案 \([\sqrt{2}-1，\sqrt{2}+1]\)
解析 由题意可知 复数\(z_1\)，\(z_2\)，\(z_3\)对应的点\(Z_1\)，\(Z_2\)，\(Z_3\)在单位圆上，
又\(\overrightarrow{O Z}_1 \cdot \overrightarrow{O Z}_2=0\)，\(\therefore OZ_1⊥OZ_2\)．
不妨设\(Z_1 (1,0)\)，\(Z_2 (0,1)\)，如图
\(\therefore\)当\(Z_3\)与\(A\)重合时，\(|z_1+z_2-z_3 |\)有最小值为\(\sqrt{2}-1\)；
当\(Z_3\) 与\(B\)重合时，\(|z_1+z_2-z_3 |\)有最大值为\(\sqrt{2}+1\)．
\(\therefore |z_1+z_2-z_3 |\)的取值范围是\([\sqrt{2}-1,\sqrt{2}+1]\)．
故答案为\([\sqrt{2}-1，\sqrt{2}+1]\)． -
答案 (1) \(z_1=4-i\)，\(z_2=-3+2i\)；(2) \(a=4\),\(b=2\)．
解析(1)向量 \(\overrightarrow{A B}=(a-1,-1)\)， \(\overrightarrow{C D}=(-3, b-3)\)对应的复数分别为
\(z_1=(a-1)-i\)，\(z_2=-3+(b-3)i\)．
\(\therefore z_1+z_2=(a-4)+(b-4)i=1+i\)．
\(\therefore a-4=1\)，\(b-4=1\)．解得\(a=b=5\)．
\(\therefore z_1=4-i\),\(z_2=-3+2i\)．
(2)\(|z_1+z_2 |=2\),\(z_1-z_2\)为实数，
\(\therefore \sqrt{(a-4)^2+(b-4)^2}=2\)，\((a+2)+(2-b)i∈R\)，
\(\therefore 2-b=0\)，解得\(b=2\)，
\(\therefore (a-4)^2+4=4\)，解得\(a=4\)．
\(\therefore a=4\),\(b=2\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.若\(z_1=2+i\)，\(z_2=3+ai(a∈R)\)，\(z_1+z_2\)所对应的点在实轴上，则\(a\)为( )
A．\(3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(-1\)
2.在复平面内，复数\(1+i\)与\(1+3i\)分别对应向量 \(\overrightarrow{O A}\)和 \(\overrightarrow{O B}\)，其中\(O\)为坐标原点，则 \(|\overrightarrow{A B}|=\) ( )
A．\(\sqrt{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C． \(\sqrt{10}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(4\)
3.若\(|z-1|=|z+1|\)，则复数\(z\)对应的点\(Z\)( )
A．在实轴上 \(\qquad \qquad \qquad\) B．在虚轴上 \(\qquad \qquad \qquad\) C．在第一象限 \(\qquad \qquad \qquad\) D．在第二象限
4.设\(z_1\),\(z_2\)是复数，给出四个命题
①若\(|z_1-z_2 |=0\)，则 \(\overline{z_1}=\overline{z_2}\) \(\qquad \qquad\) ②若 \(z_1=\overline{z_2}\) ，则 \(\overline{z_1}=z_2\)
③若\(|z_1 |=|z_2 |\)，则 \(z_1 \cdot \overline{z_1}=z_2 \cdot \overline{z_2}\) \(\qquad\) ④若\(|z_1 |=|z_2 |\)，则 \(|z_1 |=|z_2 |\)
其中真命题的个数有( )
A．\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(4\)
5.已知复数\(z=\dfrac{8-i}{2+3 i}\)(\(i\)为虚数单位)，下列说法 其中正确的有( )
①复数\(z\)在复平面内对应的点在第四象限；②\(|z|=\sqrt{5}\)；
③\(z\)的虛部为\(-2i\)； ④ \(\bar{z}=1-2i\)．
A．\(1\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(3\)个\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(4\)个
6.若\(|z|=3\)，\(z+\bar{z}=0\)，则复数\(z=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
7.设\(x\)，\(y\)为实数，且 \(\dfrac{x}{1-i}+\dfrac{y}{1-2 i}=\dfrac{5}{1-3 i}\)，则\(x+y=\) \(\underline{\quad \quad}\) ．
8.方程\(x^2+2x-1=0\)在复数范围内的解是 \(\underline{\quad \quad}\)．
9.已知复数\(z_1=\left(a^2-2\right)+(a-4) i\)，\(z_2=a-\left(a^2-2\right) i(a \in R)\),且\(z_1-z_2\)为纯虚数，则\(a=\)\(\underline{\quad \quad}\) ．
10.已知\(|z|=2\)，则\(|z-i|\)的最大值为\(\underline{\quad \quad}\)．
11.如果复数\(z\)满足\(|z+3i|+|z-3i|=6\)，那么\(|z+1+i|\)的最小值是\(\underline{\quad \quad}\) .
12.满足\(z+\dfrac{5}{z}\)是实数，且\(z+3\)的实部与虚部是相反数的虚数\(z\)是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 \(z_1+z_2=(2+i)+(3+ai)=5+(a+1)i\)，\(z_1+z_2\)对应的点在实轴上，
即\(z_1+z_2\)为实数，因此\(a+1=0\)，\(a=-1\)． -
答案 \(B\)
解析\(\overrightarrow{A B}\)对应的复数为\((1+3i)-(1+i)=2i\)，故 \(|\overrightarrow{A B}|=|2 i|=2\)． -
答案 \(B\)
解析 由\(|z-1|=|z+1|\)知\(z\)对应的点的轨迹是两点\((1,0)\)，\((-1,0)\)连线的垂直平分线，即虚轴． -
答案 \(C\)
解析由\(z_1\),\(z_2\)是复数，得
在①中，若\(|z_1-z_2 |=0\)，则\(z_1\),\(z_2\)的实部和虚部都相等， \(\therefore \overline{z_1}=\overline{z_2}\)，故①正确；
在②中，若 \(z_1=\overline{z_2}\)，则\(z_1\),\(z_2\)的实数相等，虚部互为相反数， \(\therefore \overline{z_1}=z_2\)，故②正确；
在③中，若\(|z_1 |=|z_2 |\)，则 \(\left.\left|z_1 \cdot \overline{z_1}=z_2 \cdot \overline{z_2}=\right| z_1\right|^2\)，故③正确；
在④中，若\(|z_1 |=|z_2 |\)，则由复数的模的性质得 \(z_1^2 \neq z_2^2\)，
如\(|1-i|=|1+i|=\sqrt{2}\)，但\((1-i)^2=-2i≠(1+i)^2=2i\)，故④不正确．
故选 \(C\)． -
答案 \(B\)
解析 \(\because z=\dfrac{8-i}{2+3 i}=\dfrac{(8-i)(2-3 i)}{(2+3 i)(2-3 i)}=\dfrac{13-26 i}{13}=1-2 i\)，
\(\therefore\)复数\(z\)在复平面内对应的点的坐标为\((1,-2)\)，在第四象限；
\(|z|=\sqrt{5}\)；\(z\)的虚部为\(-2\)；\(\bar{z}=1+2i\)．
故①②正确；③④错误．
故选\(B\)． -
答案 \(3i\)或\(-3i\)
解析设\(z=x+yi(x,y∈R)\)，则有\(\bar{z}=x-yi\)，
因此 \(\left\{\begin{array}{l} x^2+y^2=9 \\ x+y i+x-y i=0 \end{array}\right.\)，解得\(\left\{\begin{array}{l} x=0 \\ y=3 \end{array}\right.\)或 \(\left\{\begin{array}{l} x=0, \\ y=-3 \end{array}\right.\).
\(\therefore z=3i\)或\(-3i\). -
答案 \(4\)
解析 \(\dfrac{x}{1-i}+\dfrac{y}{1-2 i}=\dfrac{5}{1-3 i}\)\(\Rightarrow \dfrac{x(1+i)}{(1-i)(1+i)}+\dfrac{y(1+2 i)}{(1+2 i)(1-2 i)}=\dfrac{5(1+3 i)}{(1-3 i)(1+3 i)}\)
\(\Rightarrow \dfrac{1}{2} x(1+i)+\dfrac{1}{5} y(1+2 i)=\dfrac{1}{2}(1+3 i) \Rightarrow\)\(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{2} x+\dfrac{1}{5} y=\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} x+\dfrac{2}{5} y=\dfrac{3}{2} \end{array}\right.\)，
解得 \(\left\{\begin{array}{l} x=-1 \\ y=5 \end{array}\right.\)，
\(\therefore x+y=4\)． -
答案 \(-1+i\)或\(-1-i\)
解析 \(\because x^2+2x+2=0\)，\(\therefore\) 配方得\((x+1)^2=-1\)，
\(\therefore x+1=±i\)，即\(x_1=-1-i\)，\(x_2=-1+i\). -
答案 \(-1\)
解析 \(z_1-z_2=\left(a^2-a-2\right)+\left(a-4+a^2-2\right) i(a \in R)\)为纯虚数，
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} a^2-a-2=0 \\ a^2+a-6 \neq 0 \end{array}\right.\)，解得\(a=-1\)． -
答案 \(3\)
解析依题意\(|z|=2\)，所以\(z\)对应的点在以原点为圆心，\(2\)为半径的圆上，
而\(|z-i|\)表示z对应的点与\((0,1)\)点间的距离，显然这个距离的最大值是\(1+2=3\)． -
答案 \(1\)
解析复数\(z\)满足\(|z+3i|+|z-3i|=6\)，
\(\therefore z\)的几何意义是以\(A(0,3)\)，\(B(0,-3)\)为端点的线段\(AB\)，
则\(|z+1+i|=|z-(-1-i)|\)的几何意义为\(AB\)上的点到\(C(-1,-1)\)的距离，
则由图象知\(C\)到线段\(AB\)的距离的最小值为\(1\)，
故答案为 \(1\)． -
答案 存在虚数\(z=-1-2i\)或\(z=-2-i\)满足题设条件
解析设虚数\(z=x+yi(x,y∈R\)，且\(y≠0)\)，
则 \(z+\dfrac{5}{z}=x+y i+\dfrac{5}{x+y i}=x+\dfrac{5 x}{x^2+y^2}+\left(y-\dfrac{5 y}{x^2+y^2}\right) i\)，
\(z+3=x+3+y i\),
由已知得 \(\left\{\begin{array}{l} y-\dfrac{5 y}{x^2+y^2}=0 \\ x+3=-y \end{array}\right.\)，又\(\because y≠0\)，
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} x^2+y^2=5 \\ x+y=-3 \end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l} x=-1 \\ y=-2 \end{array}\right.\)或 \(\left\{\begin{array}{l} x=-2 \\ y=-1 \end{array}\right.\)，
\(\therefore\) 存在虚数\(z=-1-2i\)或\(z=-2-i\)满足题设条件．
【B组---提高题】
1.已知 \(\dfrac{(1+i)^{2 n}}{1-i}+\dfrac{(1-i)^{2 n}}{1+i}=2^n\)，则最小正整数\(n\)为\(\underline{\quad \quad}\) ．
2.已知\(|z_i |+|z_i-2|=3\)，\(z_i∈C\),\(i=1,2\)，\(|z_1-z_2 |=2\)，则\(|z_1 |+|z_2 |\)的最大值为\(\underline{\quad \quad}\)．
3.设\(z\)是虚数， \(\omega=z+\dfrac{1}{z}\)是实数，且\(-1<ω<2\)，
(1)求\(|z|\)的值及\(z\)的实部的取值范围；
(2)设 \(u=\dfrac{1-z}{1+z}\)，求证：\(u\)为纯虚数；
(3)求\(ω-u^2\)的最小值．
参考答案
- 答案 \(3\)
解析 原等式可化为 \(\dfrac{(1+i)^{2 n} \cdot(1+i)}{2}+\dfrac{(1-i)^{2 n} \cdot(1-i)}{2}=2^n\)，
即 \(\left[(1+i)^2\right]^n \cdot(1+i)+\left[(1-i)^2\right]^n \cdot(1-i)=2 \cdot 2^n\)，
\((2i)^n (1+i)+(-2i)^n (1-i)=2⋅2^n\)，
\(2^n \cdot i^n(1+i)+2^n(-i)^n(1-i)=2 \cdot 2^n\)，
\(\therefore i^n [(1+i)+(-1)^n (1-i)]=2\)．
若\(n=2k(k∈N^* )\)，则\(i^{2k} [(1+i)+(1-i)]=2\)，
\(\therefore i^{2 k}=1\)， \(\therefore k_{\min }=2\)，从而有 \(n_{\min }=4\)；
若\(n=2k-1(k∈N^* )\)，则 \(i^{2 k-1}[(1+i)-(1-i)]=2\)，
故 \(2 i^{2 k}=2\)，\(\therefore i^{2 k}=1\)，
\(\therefore k_{\min }=2\)，从而有 \(n_{\min }=3\)．
\(\therefore\) 对于\(n∈N^*\)时，最小正整数为\(3\)． - 答案 \(4\)
解析 由题意，可知\(|z_1 |+|z_1-2|=3\),\(|z_2 |+|z_2-2|=3\)，
则\(6=|z_1 |+|z_2 |+|z_1-2|+|z_2-2|\)\(≥|z_1 |+|z_2 |+|z_1-z_2 |=|z_1 |+|z_2 |+2\)，
\(\therefore |z_1 |+|z_2 |≤4\)．
故\(|z_1 |+|z_2 |\)的最大值为\(4\)．
故答案为\(4\)． - 答案 (1) \(\left(-\dfrac{1}{2}, 1\right)\) ；(2)略；(3)\(1\)
解析 (1)解：\(\because z\)是虚数，
\(\therefore\)可设\(z=x+yi\)，\(x\)，\(y∈R\)，且\(y≠0\)．
\(\therefore \omega=z+\dfrac{1}{z}=x+y i+\dfrac{1}{x+y i}=x+y i+\dfrac{x-y i}{x^2+y^2}\)
\(=x+\dfrac{x}{x^2+y^2}+\left(y-\dfrac{y}{x^2+y^2}\right)\)．
\(\because ω\)是实数且\(y≠0\)， \(\therefore y-\dfrac{y}{x^2+y^2}=0\)，
\(\therefore x^2+y^2=1\)，即\(|z|=1\)．此时\(ω=2x\)．
\(\because -1<ω<2\)，\(\therefore -1<2x<2\)，从而有 \(-\dfrac{1}{2}<x<1\)，
即\(z\)的实部的取值范围是\(\left(-\dfrac{1}{2}, 1\right)\)．
(2)证明： \(u=\dfrac{1-z}{1+z}=\dfrac{1-(x+y i)}{1+(x+y i)}=\dfrac{(1-x-y i)(1+x-y i)}{(1+x)^2+y^2}\)\(=\dfrac{1-x^2-y^2-2 y i}{(1+x)^2+y^2}=-\dfrac{y}{1+x} i\)．
\(\because x \in\left(-\dfrac{1}{2}, 1\right)\)，\(y≠0\)，
\(y≠0\)，\(\therefore u\)为纯虚数．
(3)解： \(\omega-u^2=2 x-\left(-\dfrac{y}{1+x} i\right)^2=2 x+\left(\dfrac{y}{1+x}\right)^2=2 x+\dfrac{1-x^2}{(1+x)^2}\)
\(=2 x+\dfrac{1-x}{1+x}=2 x-1+\dfrac{2}{1+x}=2(x+1)+\dfrac{2}{1+x}-3\)．
\(\because-\dfrac{1}{2}<x<1\)，\(\therefore 1+x>0\)．
于是 \(\omega-u^2=2(x+1)+\dfrac{2}{1+x}-3 \geq 2 \sqrt{2(x+1) \cdot \dfrac{2}{1+x}}-3=1\)．
当且仅当 \(2(x+1)=\dfrac{2}{1+x}\)，即\(x=0\)时等号成立．
\(\therefore ω-u^2\)的最小值为\(1\)，此时\(z=±i\)．
【C组---拓展题】
1.已知\(z_1\),\(z_2∈C\)满足\(z_1\cdot z_2=1\)，\(z_1+z_2=-1\)，则\(z_1-z_2\)的实部是\(\underline{\quad \quad}\)．
2.若复数\(z\)满足\(|z+\sqrt{3}+i|≤1\)，求：
(1) \(|z|\)的最大值和最小值；
(2) \(|z-1|^2+|z+1|^2\)的最大值和最小值；
(3) \(|z-\sqrt{3}|^2+|z-2 i|^2\)的最大值和最小值．
参考答案
- 答案 \(0\)
解析 由题意可设，\(z_1=m+bi\),\(z_2=n-bi(m,n,b∈R)\)，
由\(z_1\cdot z_2=1,z_1+z_2=-1\)，
得\((m+bi)(n-bi)=mn+b^2+(nb-mb)i=1\),\(m+n=-1\)．
即 \(\left\{\begin{array}{l} m n+b^2=1 \\ b(n-m)=0 \\ m+n=-1 \end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l} m=-\dfrac{1}{2} \\ n=-\dfrac{1}{2} \\ b=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\right.\)或 \(\left\{\begin{array}{l} m=-\dfrac{1}{2} \\ n=-\dfrac{1}{2} \\ b=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\right.\)．
\(\therefore m-n=0\)．
即\(z_1-z_2\)的实部是\(0\)． - 答案 (1)最大值为\(3\)，最小值为\(1\)；(2) 最大值为\(20\)，最小值为\(4\)；
(3) 最大值为 \(27+2 \sqrt{43}\)，最小值为 \(27-2 \sqrt{43}\)
解析(1)如图①所示： \(|\overrightarrow{O M}|=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+(-1)^2}=2\)．
\(\therefore|z|_{\max }=2+1=3\)_， _\(|z|_{\min }=2-1=1\)．
(2) \(|z-1|^2+|z+1|^2=2|z|^2+2\)．
\(\therefore|z-1|^2+|z+1|^2\)最大值为\(20\)，最小值为\(4\)．
(3)如图②，在圆面上任取一点\(P\)，与复数\(z_A=\sqrt{3}\)，\(z_B=2i\)对应点\(A\)，\(B\)相连，
得向量\(\overrightarrow{P A}\), \(\overrightarrow{P B}\)，再以\(\overrightarrow{P A}\), \(\overrightarrow{P B}\)为邻边作平行四边形将问题再次转化为(1)的类型．
设\(z_A=\sqrt{3}\)，\(z_B=2i\)，\(P\)为圆面上任一点，\(z_P=z\)，
则 \(2|\overrightarrow{P A}|^2+2|\overrightarrow{P B}|^2=|\overrightarrow{A B}|^2+\left(2 \mid \overrightarrow{P O^{\prime}}\right)^2=7+4\left|\overrightarrow{P O^{\prime}}\right|^2\)
(平行四边形四条边的平方和等于对角线的平方和)，
\(\therefore|z-\sqrt{3}|^2+|z-2 i|^2=\dfrac{1}{2}\left(7+4\left|z-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-i\right|^2\right)\)．
而 \(\left|z-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-i\right|_{\max }=\left|O^{\prime} M\right|+1=1+\dfrac{\sqrt{43}}{2}\)，\(\left|z-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-i\right|_{\min }=\mid O^{\prime} M-1=\dfrac{\sqrt{43}}{2}-1\)，
\(\therefore|z-\sqrt{3}|^2+|z-2 i|^2\)的最大值为 \(27+2 \sqrt{43}\)，最小值为 \(27-2 \sqrt{43}\)．
