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7.2 复数的四则运算


[【基础过关系列】高一数学同步精品讲义与分层练习 (人教 A 版 2019)]
(https://www.zxxk.com/docpack/2921718.html)
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必修第二册同步巩固,难度 2 颗星!

基础知识

复数的加、减法及其几何意义

(1) 复数的加法
z1=a+biz2=c+di ,a ,b, c,dR
z1+z2=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i
解释
① 两个复数的和仍然是一个确定复数,形式类似两个多项式相加.
② 复数的加法满足交换律和结合律,
即对任意 z1,z2,z3C,有 z1+z2=z2+z1(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
【例】 z1=1+2iz2=24i,则 z1+z2= _ .
z1+z2=1+2i+24i=12i.
 

(2) 复数加法的几何意义
复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应的,设 OZ1OZ2 分别与复数 z1=a+biz2=c+di 对应,则 OZ1=(a,b)OZ2=(c,d),进而可得 OZ1+OZ2=(a+c,b+d)
这说明两个向量 OZ1 OZ2 的和就是与复数 (a+c)+(b+d)i 对应的向量.
因此,复数的加法可以按照向量的加法来进行 (符合平行四边形法则、向量坐标的运算),这就是复数加法的几何意义.
image.png
 

(3) 复数的减法
z1=a+biz2=c+di , a ,b, c,dR,
z1z2=a+bi(c+di)=(ac)+(bd)i.
解释
与实数减法的意义进行类比可得,减法的几何意义也是可以按照向量的减法来进行.
 

复数的乘、除运算

(1) 设 z1=a+biz2=c+di , a ,b, c,dR,
z1z2=(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i;
z1z2=a+bic+di=(a+bi)(cdi)(c+di)(cdi)=(ac+bd)+(bcad)ic2+d2.
解释
① 复数的乘法类似两个多项式相乘;
② 复数的乘法满足交换律、结合律,乘法对加法满足分配律,
即对任意 z1,z2,z3C,有 z1z2=z2z1(z1z2)z3=z1(z2z3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
③ 复数的除法,分子分母都乘以分母的共轭复数 cdi 再化简,其实就是 “分母实数化”,好像初中学二次根式的 “分母有理化”.
 

【例】计算 2i3+4i.
2i3+4i=2i(34i)(3+4i)(34i)=6i8i232(4i)2=8+6i9+16=8+6i25=825+625i.
 

基本方法

【题型1】 复数的四则运算

【典题 1】计算下列各题
  (1) (2i)(1+5i)(34i)+2i (2) (14i)(1+i)+2+4i3+4i
解析 (1)(2i)(1+5i)+2i
=2+10i+i5i2+2i
=2+11i+5+2i
=3+13i
(2)(14i)(1+i)+2+4i3+4i
=(1+i4i4i2)+2+4i3+4i=53i+2+4i3+4i
=7+i3+4i=(7+i)(34i)(3+4i)(34i)=2128i+3i4i225
=2525i25=1i
点拨 复数的四则运算类似多项式的四则运算,注意复数除法 “分母实数化”,最终把结果化简为 a+bi(a,bR) 的形式.
 

【典题 2】设复数 z 满足 z+1z=i,则下列说法正确的是 (  )
 A.z 为纯虚数 B.z 的虚部为 12i
 C.在复平面内,z 对应的点位于第二象限 D.|z|=22
解析 z+1=zi(1i)z=1z=11+i=1212i
|z|=22,复数 z 的虚部为 12,不是纯虚数,
复数 z 在复平面内所对应的点的坐标为 (1212),在第三象限.
正确的是 D
故选 D
点拨 先把复数 z 求出或化简为 a+bi(a,bR) 的形式,在作出判断.
 

【典题 3】f(z)=2z+ˉz3if(ˉz+i)=63i,求复数 z
解析 f(z)=2z+ˉz3i
f(ˉz+i)=2(ˉz+i)+(ˉz+i)3i=2ˉz+2i+zi3i=2ˉz+z2i
f(ˉz+i)=63i2ˉz+z2i=63i
2ˉz+z=6i
z=x+yi(x,yR),则 ˉz=xyi
2(xyi)+x+yi=3xyi=6i
{3x=6y=1{x=2y=1z=2+i.
点拨 求满足某些要求的复数 z,可用待定系数法.
 

【典题 4】 在复数范围内解方程 x2+x+1=0.
解析 x2+x+1=0 配方得 (x+12)2=34
x+12=±32i,即 x1=1232ix2=12+32i.
点拨 在复数范围内,实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的求根公式为:
(1) 当 Δ0 时, x=b±b24ac2a;(2) 当 Δ<0 时, x=b±(b24ac)i2a.
 

【巩固练习】

1. 计算 (i2)(i1)(1+i)(i1)+i= (  )
 A.1+i B.1i C.1+i D.2+i
 

2. 已知复数 z 的实部为 1,虚部的绝对值为 3,则下列说法错误的是 (  )
 A. z+10z 是实数 B. z+10z<2
 C. z+10z>1 D.ˉz 在复平面中所对应的点不可能在第三象限
 

3. 已知两非零复数 z1,z2,若 z1z2R,则一定成立的是 (  )
 A.z1+z2R B. z1¯z2R C. z1z2R D. z1¯z2R
 

4. 方程 x2+3=0 在复数范围内的解是 _
 

5. 若复数 z 满足 ˉzi=|z|23i,则 z= _
 

6. 设 f(z)=z2i+|z|,若 z1=3+4iz2=2i,则 f(z1z2)= _
 
 
 

参考答案

  1. 答案 A
    解析 (i2)(i1)(1+i)(i1)+i=i2i2i+2i1+i2i+i=13i2+i=(13i)(2i)(2+i)(2i)=2i+6i+3i25=5+5i5=1+i.

  2. 答案 B
    解析 由已知得,z=13i z=1+3i
    z+10z=z+10ˉz|z|2=z+ˉz
    z+10z=2,则 AC 正确,B 错误;
    ˉz 的实部大于 0,故 ˉz 在复平面中所对应的点不可能在第三象限,D 正确.
    故选 B

  3. 答案 D
    解析 z1=a+biz2=c+di(a,b,c,dR)
    z1+z2=a+bi+c+di=a+c+(b+d)i
    z1+z2R 不一定成立,故 A 不正确;
    z1¯z2=(a+bi)(cdi)=ac+bd+(bcad)i
    z1¯z2R 不一定成立,故 B 不正确;
    z1z2=a+bic+di=(a+bi)(cdi)(c+di)(cdi)=ac+bd+(bcad)ic2+d2
    z1z2R 不一定成立,故 C 不正确;
    z1¯z2=z1z2¯z2z2=z1z2|z2|2,且 z1z2R
    z1¯z2R 正确,故 D 成立.
    故选 D

  4. 答案 ±3i

  5. 答案 3+3i
    解析 z=a+bi(a,bR),则 ˉz=abi|z|=a2+b2
    (abi)i=a2+b223i
    b+ai=a2+b22=3i
    {b=a2+b22a=3,解得 a=3b=3
    z=3+3i

  6. 答案 2
    解析 z1=3+4iz2=2i
    z1z2=5+5i
    于是 f(z1z2)=f(5+5i)=(5+5i)2i+|5+5i|
    =5+3i+52=(5+52)+3i
     

【题型2】 复数运算的几何意义

【典题 1】设复数 z1,z2 满足 |z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,则 |z1z2|=   _
解析 |z1|=|z2|=2
z1,z2 在复平面上分别对应的点 B,C 在以原点为圆心,半径为 2 的圆上,
z1+z2=3+i, z1+z2 在复平面上分别对应的点 A(3,1) 在圆 O 上,
由向量的平行四边形法则,可知四边形 OCAB 是平行四边形,
如下图易知 AOC 是等边三角形且边长为 2,易求 BC=23,
由向量的三角形法则可知 |z1z2|=|BC|=|BC|=23.

 

【典题 2】已知复数 |z|=1i 为虚数单位,则 |z1+2i| 的最小值是 _
解析 复数 z 满足 |z|=1(i 是虚数单位),复数 z 表示复平面上的点到 (0,0) 的距离为 1 的圆.
|z1+2i| 的几何意义是圆上的点 A P(1,2) 的距离,
所以最小值为 AP=(01)2+(0(2))21=51

点拨 复数的几何意义,
z1=a+bi , z2=c+di, a ,b, c ,dR
|z1z2| 表示 (a,b) (c,d) 的距离,即 |z1z2|=(ac)2+(bd)2.
|zz1|=r(r>0) 表示以 (a,b) 为圆心,r 为半径的圆.
 

【巩固练习】

1. 在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC BD 相交于点 O,若向量 OAOB 对应的复数分别是 3+i1+3i,则 CD 对应的复数是 (  )
 A.2+4i B.2+4i C.4+2i D.42i
 

2. 复数 z1=1+2iz2=2+iz3=12i,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
 

3. 如图,向量 OZ1 ,OZ2 对应复数分别为 z1=a+bi(a,bR)z2=c+di(c,dR),作出 z1+z2 对应的向量 OZ,并指出 |z1+z2||z1|+|z2| 成立吗?
image.png
 

4. 若 zC |z+22i|=1,则 |z22i| 的最小值是 _
 

5. 已知三个复数 z1z2z3,并且 |z1|=|z2|=|z3|=1z1z2 所对应的向量 OZ1 ,OZ2 满足 OZ1OZ2=0,求 |z1+z2z3| 的取值范围.
 

6. 已知 A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(1,b)(a,bR) 是复平面上的四个点,且向量 AB, CD 对应的复数分别为 z1z2
  (1) 若 z1+z2=1+i,求 z1z2
  (2) 若 |z1+z2|=2z1z2 为实数,求 a,b 的值.
 
 
 

参考答案

  1. 答案 D
    解析 由于 CD=BA=OAOB,所以 CD 对应的复数为 (3+i)(1+3i)=42i

  2. 答案 2i
    解析解法一:如图,设复数 z1z2z3 所对应的点分别为 ABC,正方形的第四个顶点 D 对应的复数为 x+yi(x,yR)
    image.png
    AD=ODOA=(x+yi)(1+2i)=(x1)+(y2)i
    BC=OCOB=(12i)(2+i)=13i
    因为 AD=BC
    所以 (x1)+(y2)i=13i
    所以 {x1=1y2=3,解得 {x=2y=1.
    故点 D 对应的复数为 2i
    解法二:设复数 z1z2z3 所对应的点分别为 ABC
    正方形的第四个顶点 D 对应的复数为 x+yi(x,yR)
    因为点 A 与点 C 关于原点对称,
    所以原点 O 为正方形的中心,
    所以点 O 也是点 B 与点 D 连线的中点,
    于是 (2+i)+(x+yi)=0
    所以 x=2,y=-1,
    故点 D 对应的复数为 2i

  3. 答案 成立
    解析 解法 1:由向量平行四边形法则知,分别以向量 OZ1 ,OZ2 为邻边作平行 四边形所得的对角线 OZ,即为向量 OZ,如图 (1).
    image.png
    解法 2:以向量 OZ1 的终点 Z1 为起点作向量 Z1Z=OZ2
    则向量 OZ 即为复数 z1+z2 对应的向量,如图 (2).
    由向量模的性质知:|z1+z2||z1|+|z2| 成立.

  4. 答案 3
    解析 已知 |z(2+2i)|=1 中,
    z 的对应点轨迹是以 (2,2) 为圆心,1 为半径的圆,
    |z(2+2i)| 表示圆上的点与点 (2,2) 之间的距离,
    最小值为圆心与点 (2,2) 的距离减去半径,易得 |z22i| 的最小值为 3

  5. 答案 [212+1]
    解析 由题意可知 复数 z1z2z3 对应的点 Z1Z2Z3 在单位圆上,
    OZ1OZ2=0OZ1OZ2
    不妨设 Z1(1,0)Z2(0,1),如图
    image.png
    Z3 A 重合时,|z1+z2z3| 有最小值为 21
    Z3 B 重合时,|z1+z2z3| 有最大值为 2+1
    |z1+z2z3| 的取值范围是 [21,2+1]
    故答案为 [212+1]

  6. 答案 (1) z1=4iz2=3+2i;(2) a=4,b=2
    解析 (1) 向量 AB=(a1,1)CD=(3,b3) 对应的复数分别为
    z1=(a1)iz2=3+(b3)i
    z1+z2=(a4)+(b4)i=1+i
    a4=1b4=1.解得 a=b=5
    z1=4i,z2=3+2i
    (2)|z1+z2|=2,z1z2 为实数,
    (a4)2+(b4)2=2(a+2)+(2b)iR
    2b=0,解得 b=2
    (a4)2+4=4,解得 a=4
    a=4,b=2
     

分层练习

【A组---基础题】

1. 若 z1=2+iz2=3+ai(aR)z1+z2 所对应的点在实轴上,则 a 为 (  )
 A.3 B.2 C.1 D.1
 

2. 在复平面内,复数 1+i 1+3i 分别对应向量 OAOB,其中 O 为坐标原点,则 |AB|= (  )
 A.2 B.2 C. 10 D.4
 

3. 若 |z1|=|z+1|,则复数 z 对应的点 Z(  )
 A.在实轴上 B.在虚轴上 C.在第一象限 D.在第二象限
 

4. 设 z1,z2 是复数,给出四个命题
①若 |z1z2|=0,则 ¯z1=¯z2 ②若 z1=¯z2 ,则 ¯z1=z2
③若 |z1|=|z2|,则 z1¯z1=z2¯z2 ④若 |z1|=|z2|,则 |z1|=|z2|
其中真命题的个数有 (  )
 A.1 B.2 C.3 D.4
 

5. 已知复数 z=8i2+3i(i 为虚数单位),下列说法 其中正确的有 (  )
①复数 z 在复平面内对应的点在第四象限;②|z|=5
z 的虛部为 2i; ④ ˉz=12i
 A.1 B.2 C.3 D.4
 

6. 若 |z|=3z+ˉz=0,则复数 z=_
 

7. 设 xy 为实数,且 x1i+y12i=513i,则 x+y= _
 

8. 方程 x2+2x1=0 在复数范围内的解是 _
 

9. 已知复数 z1=(a22)+(a4)iz2=a(a22)i(aR), 且 z1z2 为纯虚数,则 a=_
 

10. 已知 |z|=2,则 |zi| 的最大值为 _
 

11. 如果复数 z 满足 |z+3i|+|z3i|=6,那么 |z+1+i| 的最小值是 _ .
 

12. 满足 z+5z 是实数,且 z+3 的实部与虚部是相反数的虚数 z 是否存在?若存在,求出虚数 z;若不存在,请说明理由.
 

参考答案

  1. 答案 D
    解析 z1+z2=(2+i)+(3+ai)=5+(a+1)iz1+z2 对应的点在实轴上,
    z1+z2 为实数,因此 a+1=0a=1

  2. 答案 B
    解析 AB 对应的复数为 (1+3i)(1+i)=2i,故 |AB|=|2i|=2

  3. 答案 B
    解析 |z1|=|z+1| z 对应的点的轨迹是两点 (1,0)(1,0) 连线的垂直平分线,即虚轴.

  4. 答案 C
    解析 z1,z2 是复数,得
    在①中,若 |z1z2|=0,则 z1,z2 的实部和虚部都相等, ¯z1=¯z2,故①正确;
    在②中,若 z1=¯z2,则 z1,z2 的实数相等,虚部互为相反数, ¯z1=z2,故②正确;
    在③中,若 |z1|=|z2|,则 |z1¯z1=z2¯z2=|z1|2,故③正确;
    在④中,若 |z1|=|z2|,则由复数的模的性质得 z21z22
    |1i|=|1+i|=2,但 (1i)2=2i(1+i)2=2i,故④不正确.
    故选 C

  5. 答案 B
    解析 z=8i2+3i=(8i)(23i)(2+3i)(23i)=1326i13=12i
    复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 (1,2),在第四象限;
    |z|=5z 的虚部为 2ˉz=1+2i
    故①②正确;③④错误.
    故选 B

  6. 答案 3i 3i
    解析 z=x+yi(x,yR),则有 ˉz=xyi
    因此 {x2+y2=9x+yi+xyi=0,解得 {x=0y=3{x=0,y=3.
    z=3i 3i.

  7. 答案 4
    解析 x1i+y12i=513ix(1+i)(1i)(1+i)+y(1+2i)(1+2i)(12i)=5(1+3i)(13i)(1+3i)
    12x(1+i)+15y(1+2i)=12(1+3i){12x+15y=1212x+25y=32
    解得 {x=1y=5
    x+y=4

  8. 答案 1+i 1i
    解析 x2+2x+2=0 配方得 (x+1)2=1
    x+1=±i,即 x1=1ix2=1+i.

  9. 答案 1
    解析 z1z2=(a2a2)+(a4+a22)i(aR) 为纯虚数,
    {a2a2=0a2+a60,解得 a=1

  10. 答案 3
    解析依题意 |z|=2,所以 z 对应的点在以原点为圆心,2 为半径的圆上,
    |zi| 表示 z 对应的点与 (0,1) 点间的距离,显然这个距离的最大值是 1+2=3

  11. 答案 1
    解析复数 z 满足 |z+3i|+|z3i|=6
    z 的几何意义是以 A(0,3)B(0,3) 为端点的线段 AB
    |z+1+i|=|z(1i)| 的几何意义为 AB 上的点到 C(1,1) 的距离,
    则由图象知 C 到线段 AB 的距离的最小值为 1
    故答案为 1

  12. 答案 存在虚数 z=12i z=2i 满足题设条件
    解析设虚数 z=x+yi(x,yR,且 y0)
    z+5z=x+yi+5x+yi=x+5xx2+y2+(y5yx2+y2)i
    z+3=x+3+yi,
    由已知得 {y5yx2+y2=0x+3=y,又 y0
    {x2+y2=5x+y=3,解得 {x=1y=2{x=2y=1
    存在虚数 z=12i z=2i 满足题设条件.
     

【B组---提高题】

1. 已知 (1+i)2n1i+(1i)2n1+i=2n,则最小正整数 n _
 

2. 已知 |zi|+|zi2|=3ziC,i=1,2|z1z2|=2,则 |z1|+|z2| 的最大值为 _
 

3. 设 z 是虚数, ω=z+1z 是实数,且 1<ω<2
  (1) 求 |z| 的值及 z 的实部的取值范围;
  (2) 设 u=1z1+z,求证:u 为纯虚数;
  (3) 求 ωu2 的最小值.
 
 

参考答案

  1. 答案 3
    解析 原等式可化为 (1+i)2n(1+i)2+(1i)2n(1i)2=2n
    [(1+i)2]n(1+i)+[(1i)2]n(1i)=22n
    (2i)n(1+i)+(2i)n(1i)=22n
    2nin(1+i)+2n(i)n(1i)=22n
    in[(1+i)+(1)n(1i)]=2
    n=2k(kN),则 i2k[(1+i)+(1i)]=2
    i2k=1kmin=2,从而有 nmin=4
    n=2k1(kN),则 i2k1[(1+i)(1i)]=2
    2i2k=2i2k=1
    kmin=2,从而有 nmin=3
    对于 nN 时,最小正整数为 3
  2. 答案 4
    解析 由题意,可知 |z1|+|z12|=3,|z2|+|z22|=3
    6=|z1|+|z2|+|z12|+|z22||z1|+|z2|+|z1z2|=|z1|+|z2|+2
    |z1|+|z2|4
    |z1|+|z2| 的最大值为 4
    故答案为 4
  3. 答案 (1) (12,1) ;(2) 略;(3)1
    解析 (1) 解:z 是虚数,
    可设 z=x+yixyR,且 y0
    ω=z+1z=x+yi+1x+yi=x+yi+xyix2+y2
    =x+xx2+y2+(yyx2+y2)
    ω 是实数且 y0yyx2+y2=0
    x2+y2=1,即 |z|=1.此时 ω=2x
    1<ω<21<2x<2,从而有 12<x<1
    z 的实部的取值范围是 (12,1)
    (2) 证明: u=1z1+z=1(x+yi)1+(x+yi)=(1xyi)(1+xyi)(1+x)2+y2=1x2y22yi(1+x)2+y2=y1+xi
    x(12,1)y0
    y0u 为纯虚数.
    (3) 解: ωu2=2x(y1+xi)2=2x+(y1+x)2=2x+1x2(1+x)2
    =2x+1x1+x=2x1+21+x=2(x+1)+21+x3
    12<x<11+x>0
    于是 ωu2=2(x+1)+21+x322(x+1)21+x3=1
    当且仅当 2(x+1)=21+x,即 x=0 时等号成立.
    ωu2 的最小值为 1,此时 z=±i
     

【C组---拓展题】

1. 已知 z1,z2C 满足 z1z2=1z1+z2=1,则 z1z2 的实部是 _
 

2. 若复数 z 满足 |z+3+i|1,求:
  (1) |z| 的最大值和最小值;
  (2) |z1|2+|z+1|2 的最大值和最小值;
  (3) |z3|2+|z2i|2 的最大值和最小值.
 
 
 

参考答案

  1. 答案 0
    解析 由题意可设,z1=m+bi,z2=nbi(m,n,bR)
    z1z2=1,z1+z2=1
    (m+bi)(nbi)=mn+b2+(nbmb)i=1,m+n=1
    {mn+b2=1b(nm)=0m+n=1,解得 {m=12n=12b=32{m=12n=12b=32
    mn=0
    z1z2 的实部是 0
  2. 答案 (1) 最大值为 3,最小值为 1;(2) 最大值为 20,最小值为 4
    (3) 最大值为 27+243,最小值为 27243
    解析 (1) 如图①所示: |OM|=(3)2+(1)2=2
    |z|max=2+1=3_, _|z|min=21=1
    image.png
    (2) |z1|2+|z+1|2=2|z|2+2
    |z1|2+|z+1|2 最大值为 20,最小值为 4
    (3) 如图②,在圆面上任取一点 P,与复数 zA=3zB=2i 对应点 AB 相连,
    得向量 PA, PB,再以 PA, PB 为邻边作平行四边形将问题再次转化为 (1) 的类型.
    zA=3zB=2iP 为圆面上任一点,zP=z
    2|PA|2+2|PB|2=|AB|2+(2PO)2=7+4|PO|2
    (平行四边形四条边的平方和等于对角线的平方和),
    |z3|2+|z2i|2=12(7+4|z32i|2)
    |z32i|max=|OM|+1=1+432|z32i|min=∣OM1=4321
    |z3|2+|z2i|2 的最大值为 27+243,最小值为 27243
    image.png
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