7.1 复数的概念
\({\color{Red}{欢迎到学科网下载资料学习 }}\)
[ 【基础过关系列】高一数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019)]
(https://www.zxxk.com/docpack/2921718.html)
\({\color{Red}{ 跟贵哥学数学,so \quad easy!}}\)
必修第二册同步巩固,难度2颗星!
基础知识
虚数单位的性质
\(i\)叫做虚数单位,并规定:
① \(i\)可与实数进行四则运算;
② \(i^2=-1\),这样方程\(x^2=-1\)就有解了,解为\(x=-i\),\(x=i\).
③ \(i^2=-1\) ,\(i^3=-i\) ,\(i^4=1\) ,\(i^n\)以\(4\)为周期,即\(i^{4+n}=i^n\).
【例】 \(i^{2023}=\)\(\underline{\quad \quad}\) .
解 \(i^{2023}=i^{4×550+3}=i^3=-i\).
复数的概念
1 定义
形如\(a+bi(a ,b∈R)\)的数叫做复数,其中\(i\)叫做虚数单位,\(a\)叫做实部,\(b\)叫做虚部.
全体复数所成的集合\(C\)叫做复数集.
复数通常用\(z\)字母表示,即\(z=a+bi (a ,b∈R)\).
【例】 \(z=3-4i\)的实部是\(3\),虚部是\(-4\).
2 分类
\(z=a+b i=\left\{\begin{array}{cc}
b=0 & \text { 实数 } \\
b \neq 0 & \text { 虚数 } \\
a=0 \text { 且 } b \neq 0 & \text { 纯虚数 }
\end{array}\right.\)
理解:当复数\(z=a+bi\)中不存在\(i\),它就是实数,那显然\(b=0\);若复数\(z\)是虚数,则\(z\)中要存在\(i\),则\(b≠ 0\).
【例】 \(1+2i\),\(-\dfrac{1}{2}-\sqrt{2} i\),\(3i\)是虚数,而其中\(3i\)是纯虚数.
复数的几何意义
1 复平面的概念
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,\(x\)轴叫做实轴,\(y\)轴叫做虚轴.
显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
复数 \(z=a+b i\)\(\stackrel{\text {一一 对应 }}{\longleftrightarrow}\)复平面内的点\(Z(a,b)\),
【例】 复数\(1-2i\)对应复平面上的点\((1,-2)\),复数\(3i\)对应复平面上的点\((0,3)\).
2 复数的几何意义
复数\(z=a+b i\)与复平面内的点\(Z(a ,b)\)及平面向量 \(\overrightarrow{O Z}=(a, b)\) \((a ,b∈R)\)是一一对应关系(复数的实质是有序实数对,有序实数对既可以表示一个点,也可以表示一个平面向量)相等的向量表示同一个复数.
3 复数的模
向量 \(\overrightarrow{O Z}\)的模叫做复数\(z=a+b i\)的模,记作\(|z|\)或\(|a+b i|\),表示点\((a ,b)\)到原点的距离,
即 \(|z|=|a+b i|=\sqrt{a^2+b^2}\) ,\(|z|=|\bar{z}|\),
【例】 若\(z=3+4 i\),则\(z\)的模 \(|z|=\sqrt{3^2+4^2}=5\).
复数相等
\(a+b i=c+d i⇔ a=c ,b=d(a ,b ,c ,d∈ R)\)
也就是说,两个复数相等,充要条件是他们的实部和虚部分别相等.
PS 只有两个复数全是实数,才可以比较大小,否则无法比较大小,比如说\(1+3i>1+2i\)是错误的.
共轭复数
\(z=a+bi\)的共轭复数记作 \(\bar{z}=a-b i(a, b \in R)\),易得 \(z \cdot \bar{z}=a^2+b^2\).
【例】 复数\(z=1-2i\)的共轭复数\(\bar{z}=1+2 i\).
基本方法
【题型1】 复数的概念与分类
【典题1】 \(\mathrm{i}+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^3+\cdots+\mathrm{i}^{2017}=\) \(\underline{\quad \quad}\).
解析 \(\because i+i^2+i^3+i^4=i-1-i+1=0\)且\(i^n\)以\(4\)为周期,
\(\therefore i+i^2+i^3+\cdots+i^{2017}=0 \times 504+i^{2017}=i\).
点拨 \(i^2=-1\) ,\(i^3=-i\) ,\(i^4=1\) ,\(i^n\)以\(4\)为周期,即\(i^{4+n}=i^n\).
【典题2】求当\(a\)为何实数时,复数\(z= (a^2-2a-3)+ (a^2+a-12)i\)满足:
(1)\(z\)为实数; \(\qquad \qquad \qquad\) (2)\(z\)为纯虚数;
解析 复数\(z= (a^2-2a-3)+ (a^2+a-12)i\).
(1)若\(z\)为实数,则\(a^2+a-12=0\),解得\(a=-4\)或\(a=3\);
(2)若\(z\)为纯虚数,则 \(\left\{\begin{array}{l}
a^2-2 a-3=0 \\
a^2+a-12 \neq 0
\end{array}\right.\),解得\(a=-1\).
【巩固练习】
1.复数\(3-4 i\)的虚部是\(\underline{\quad \quad}\).
2.若复数\((m^2-3m)+(m^2-5m+6)i\)是纯虚数,则实数\(m\)的值为\(\underline{\quad \quad}\).
3.若复数\(z=(m-2)+(m+1)i\)为纯虚数(\(i\)为虚数单位),其中\(m∈R\),则\(|z|=\) \(\underline{\quad \quad}\).
4.当实数\(x\)取何值时,复数\(z=(x^2-1)+(x+1)i\).
(1)是实数?\(\qquad \qquad \qquad\) (2)是纯虚数?
参考答案
-
答案 \(-4\)
-
答案 \(0\)
解析 \(\because\) 复数\((m^2-3m)+(m^2-5m+6)i\)是纯虚数,
\(\therefore m^2-3m=0\)且\(m^2-5m+6≠0\),
\(\therefore m=0\),\(m=3\)且\(m≠2\),\(m≠3\),
\(\therefore m=0\). -
答案 \(3\)
解析 由\(z\)是纯虚数可知\(m=2\),这时\(z=3i\),故\(|z|=|3i|=3\). -
答案 (1) \(x=-1\);(2)\(x=1\).
解析 (1) \(\because z\)是实数,\(\therefore x+1=0\),解得\(x=-1\);
(2) \(\because z\)是纯虚数, \(\therefore\left\{\begin{array}{l} x^2-1=0 \\ x+1 \neq 0 \end{array}\right.\),解得\(x=1\).
【题型2】 复数的几何意义
【典题1】 在复平面内,复数\(6+5i\),\(-2+3i\)对应的点分别为\(A\),\(B\).若\(C\)为线段\(AB\)的中点,则点\(C\)对应的复数是( )
A.\(4+8i\) \(\qquad \qquad \qquad\) B.\(8+2i\) \(\qquad \qquad \qquad\) C.\(2+4i\) \(\qquad \qquad \qquad\) D.\(4+i\)
解析 复数\(6+5i\)对应\(A\)点坐标为\((6,5)\),\(-2+3i\)对应\(B\)点坐标为\((-2,3)\).
由中点坐标公式知\(C\)点坐标为\((2,4)\),
\(\therefore\)点\(C\)对应的复数为\(2+4i\).故选\(C\).
点拨 复数\(z=a+b i\)在复平面内对应点\((a,b)\).
【典题2】设\(z∈C\),满足下列条件的点\(Z\)的集合是什么图形?
①\(|z|=\sqrt{2}\);\(\qquad \qquad \qquad\) ②\(|z|≤3\).
解析 设\(z=x+yi(x,y∈R)\),
①\(|z|=\sqrt{2}\),\(\therefore\)点\(Z\)的集合是以原点为圆心,以\(\sqrt{2}\)为半径的圆.
②\(|z|≤3\),\(\therefore\) 点\(Z\)的集合是以原点为圆心,以\(3\)为半径的圆及其内部.
【典题3】已知复数\(z_1=-3+4i\) ,\(z_2=a-3i(a∈R)\).\(z_1\),\(z_2\)对应的向量分别为 \(\overrightarrow{O Z_1}\), \(\overrightarrow{O Z_2}\),且 \(\overrightarrow{O Z_1} \perp \overrightarrow{O Z_2}\),则\(a=\) \(\underline{\quad \quad}\).
解析 依题意 \(\overrightarrow{O Z_1}=(-3,4)\), \(\overrightarrow{O Z_2}=(a,-3)\),
由于 \(\overrightarrow{O Z_1} \perp \overrightarrow{O Z_2}\),
所以 \(\overrightarrow{O Z_1} \cdot \overrightarrow{O Z_2}=0\),
即\(-3a-12=0\),解得\(a=-4\).
【巩固练习】
1.在复平面内,复数\(z=-\sqrt{3}+i\)(\(i\)为虚数单位)对应的点位于第\(\underline{\quad \quad}\)象限.
2.已知复数\(z\)是纯虚数,且\(|z|=4\),则复数\(z\)在复平面内对应的点的坐标是\(\underline{\quad \quad}\).
3.已知复数\(x^2-6x+5+(x-2)i\)在复平面内对应的点在第三象限,则实数\(x\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\).
4.在复平面内,向量 \(\overrightarrow{O A}\)表示的复数为\(1+i\),将向量 \(\overrightarrow{O A}\)向右平移\(1\)个单位后,再向上平移\(2\)个单位,得到向量\(\overrightarrow{O^{\prime} A^{\prime}}\),则向量 \(\overrightarrow{O^{\prime} A^{\prime}}\)对应的复数是\(\underline{\quad \quad}\).
5.已知向量 \(\overrightarrow{O A}\)对应的复数是\(4+3i\),点\(A\)关于实轴的对称点为\(A_1\),将向量 \(\overrightarrow{O A_1}\)平移,使其起点移动到\(A\)点,这时终点为\(A_2\).
(1)求向量\(\overrightarrow{O A_1}\)对应的复数; \(\qquad \qquad \qquad\) (2)求点\(A_2\)对应的复数.
参考答案
-
答案 二
解析 复数\(z=-\sqrt{3}+i\)对应的点\((-\sqrt{3},1)\)位于第二象限. -
答案 \((0,4)\)或\((0,-4)\)
解析 设\(z=bi(b∈R\),且\(b≠0)\),由\(|z|=4\)得 \(\sqrt{b^2}=4\),所以\(b=±4\),即\(z=±4i\),
故\(z\)对应的点的坐标是\((0,4)\)或\((0,-4)\). -
答案 \(1<x<2\)
解析 因为复数\(x^2-6x+5+(x-2)i\)在复平面内对应的点在第三象限,
所以 \(\left\{\begin{array}{l} x^2-6 x+5<0 \\ x-2<0 \end{array}\right.\),所以 \(\left\{\begin{array}{l} 1<x<5 \\ x<2 \end{array}\right.\),所以\(1<x<2\).
即\(1<x<2\)为所求实数\(x\)的取值范围. -
答案 \(1+i\)
解析 在复平面内,一个向量作平移变换,从一个位置无论平移到哪一个位置,平移后的向量和原来的向 量都是相等向量,对应的复数也都相等,所以 \(\overrightarrow{O^{\prime} A^{\prime}}=\overrightarrow{O A}\).因此向量\(\overrightarrow{O^{\prime} A^{\prime}}\)对应的复数仍然是\(1+i\). -
答案 (1) \(4-3i\) ;(2) \(8\)
解析 (1)\(\because\)向量 \(\overrightarrow{O A}\)对应的复数是\(4+3i\),
\(\therefore\)点\(A\)对应的复数也是\(4+3i\),
因此点\(A\)坐标为\((4,3)\),
\(\therefore\)点\(A\)关于实轴的对称点\(A_1\)为\((4,-3)\),
故向量\(\overrightarrow{O A_1}\)对应的复数是\(4-3i\);
(2)依题意知 \(\overrightarrow{O A_1}=\overrightarrow{A A_2}\),而 \(\overrightarrow{O A_1}=(4,-3)\),
设\(A_2 (x,y)\),则有\((4,-3)=(x-4,y-3)\),
\(\therefore x=8\),\(y=0\),即\(A_2 (8,0)\),
\(\therefore\)点\(A_2\)对应的复数是\(8\).
分层练习
【A组---基础题】
1.复数 \(i+i^2+i^3+\cdots \ldots+i^{2020}+i^{2021}\)的值为( )
A.\(0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(i\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(1+ i\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(-1-i\)
2.已知\(x\),\(y∈ R\),\(i\)为虚数单位,且\((x-2) i-y=1+i\),则 \((1+i)^{x+y}\)的值为( ).
A.\(4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(-4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(4+4 i\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(2i\)
3.若\(a\)为实数,复数\(z=a-2i\)在复平面上位于第四象限,且\(|z|=\sqrt{5}\),则\(a=\)( )
A.\(±1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(-1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(2\)
4.给出复平面内的以下各点:\(A(3,1)\),\(B(-2,0)\),\(C(0,4)\),\(D(0,0)\),\(E(-1,-5)\),则这些点中对应的复数为虚数的点的个数是( )
A.\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(4\)
5.若 \(z=2-i^{2023}\),则\(z\)在复平面内对应的点位于第\(\underline{\quad \quad}\)象限.
6.设\(z\)为纯虚数,且\(|z-1|=|-1+i|\),则复数\(z=\) \(\underline{\quad \quad}\).
7.已知\(a∈R\),则复数\((a^2+a+1)-(a^2-2a+3)i\)对应的点在复平面内的第\(\underline{\quad \quad}\)象限.
8.设\(z=a+bi(a,b∈R)\),求在复平面上满足下列条件的点的集合所组成的图形.
(1)\(|a|<2\),且\(|b|<2\);\(\qquad \qquad\) (2)\(|z|≤2\),且\(|b|>1\);\(\qquad \qquad\) (3)\(|z|=2\),且\(a>b\).
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 \(\because i^2=-1\),\(i^3=-i\),\(i^4=1\),
\(\therefore i+i^2+i^3+i^4+\cdots+i^{2021}=505\left(i+i^2+i^3+i^4\right)+i^{2021}\)
\(=505(i-1-i+1)+\left(i^2\right)^{1010} \cdot i=0+i=i\)
故选:\(B\). -
答案 \(D\)
解析 由\((x-2)i-y=1+i\),可得 \(\left\{\begin{array} { c } { x - 2 = 1 } \\ { - y = 1 } \end{array} \Longrightarrow \left\{\begin{array}{c} x=3 \\ y=-1 \end{array}\right.\right.\),
\(\therefore(1+i)^{x+y}=(1+i)^2=2 i\),故选\(D\). -
答案 \(C\)
解析 由\(z=a-2i\)在复平面上位于第四象限知\(a>0\),
由\(|z|=\sqrt{5}\)得\(a^2+4=5\),\(\therefore a=1\),
故选\(C\). -
答案 \(C\)
解析 \(A\),\(C\),\(E\)三点对应的复数分别为\(3+i\),\(4i\),\(-1-5i\),是虚数,\(B\),\(D\)对应的是实数,因此共有\(3\)个点. -
答案 一
解析 \(i^{2023}=\left(i^4\right)^{505} \cdot i^3=-i\),
则 \(z=2-i^{2023}=2+i\)
故\(z\)在复平面内对应的点\((2,1)\)位于第一象限. -
答案 \(±i\)
解析 \(\because z\)为纯虚数,
\(\therefore\)设\(z=ai(a∈R\),且\(a≠0)\),则 \(|z-1|=|a i-1|=\sqrt{a^2+1}\).
又\(\because |-1+i|=\sqrt{2}\),
\(\therefore \sqrt{a^2+1}=\sqrt{2}\),即\(a^2=1\),
\(\therefore a=±1\),即\(z=±i\). -
答案 四
解析 由 \(a^2+a+1=\left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\),\(-(a^2-2a+3)=-(a-1)^2-2<0\),
故复数对应点在第四象限. -
答案
解析 (1)在复平面上,满足不等式\(|a|<2\)的点组成的图形是位于两条平行直线\(x=±2\)之间的长条带状(不包括两条平行直线).满足不等式\(|b|<2\)的点组成的图形是位于两条平行直线\(y=±2\)之间的长条带状(不包括两条平行直线),两者的公共部分即为所求.即以原点为中心,边长等于\(4\),各边分别平行于坐标轴的正方形内部的点,但不包括边界,如图\(1\)所示.
(2)不等式\(|z|≤2\)的解集对应的点是以原点为圆心,以\(2\)为半径的圆的内部及其边界上的点组成的图形.满足条件\(|b|>1\)的点是直线\(y=1\)以上及直线\(y=-1\)以下的点,两者的公共部分即为所求.即以原点为圆心、以\(2\)为半径的圆被直线\(y=±1\)所截得的两个弓形,但不包括弦上的点,如图\(2\)所示.
(3)方程\(|z|=2\)的对应点的集合是以原点为圆心,以\(2\)为半径的圆周.满足条件\(a>b\)的点组成的图形是位于直线\(y=x\)下方的半平面,其中不包括直线\(y=x\)上的点.两者的公共部分即为所求,如图\(3\)所示.
【B组---提高题】
1.已知关于\(x\)的方程,\(x^2+2(1+i)x+ab+(a+b)i=0(a,b∈R^+)\)总有实数解,则\(a+b\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
2.若 \(\theta \in\left(\dfrac{3 \pi}{4}, \dfrac{5 \pi}{4}\right)\),则复数 \(z=(\cos \theta+\sin \theta)+(\sin \theta-\cos \theta) i\)在复平面内所对应的点在第\(\underline{\quad \quad}\)象限.
3.已知 \(z_1=x^2+\sqrt{x^2+1} i\),\(z_2=(x^2+a)i\)对任意的\(x∈R\)均有\(|z_1 |>|z_2 |\)成立,试求实数\(a\)的取值范围.
参考答案
-
答案 \([2,+∞)\)
解析 \(\because x^2+2(1+i)x+ab+(a+b)i=0\)
得\(x^2+2x+ab+(a+b+2x)i=0\)有实数解,
\(\therefore x^2+2x+ab=0\),\(a+b+2x=0\),
消去\(x\)得\(\dfrac{1}{4} (a+b)^2-(a+b)+ab=0\),
\(\because a b \leq\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\),
\(\therefore 0=\dfrac{1}{4}(a+b)^2-(a+b)+a b \leq \dfrac{1}{4}(a+b)^2-(a+b)+\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\),
即\(\dfrac{1}{4} (a+b)^2-(a+b)+\dfrac{1}{4} (a+b)^2≥0\)
则\(\dfrac{1}{2} (a+b)^2-(a+b)≥0\)
\(\because a\),\(b∈R^+\),\(\therefore a+b>0\),
即\(a+b≥2\),
即\(a+b\)的取值范围是\([2,+∞)\),
故答案为\([2,+∞)\). -
答案 二
解析 \(\cos \theta+\sin \theta=\sqrt{2} \sin \left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\), \(\sin \theta-\cos \theta=\sqrt{2} \sin \left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)\).
因为\(\theta \in\left(\dfrac{3 \pi}{4}, \dfrac{5 \pi}{4}\right)\),所以 \(\theta+\dfrac{\pi}{4} \in\left(\pi, \dfrac{3 \pi}{2}\right)\), \(\theta-\dfrac{\pi}{4} \in\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\).
因此 \(\cos \theta+\sin \theta<0\), \(\sin \theta-\cos \theta>0\),
所以复数\(z\)在复平面内对应的点在第二象限. -
答案 \(\left\{a \mid-1<a \leq \dfrac{1}{2}\right\}\)
解析\(\because z_1=x^2+\sqrt{x^2+1} i\),\(z_2=(x^2+a)i\),且\(|z_1 |>|z_2 |\),
\(\therefore \sqrt{x^4+x^2+1}>\left|x^2+a\right| \Leftrightarrow(1-2 a) x^2+\left(1-a^2\right)>0\)恒成立.
不等式等价于①:\(1-2a=0⇒a=\dfrac{1}{2}\),
即\(a=\dfrac{1}{2}\)时,\(0 \cdot x^2+\left(1-\dfrac{1}{4}\right)>0\)恒成立.
或②: \(\left\{\begin{array}{l} 1-2 a>0 \\ \Delta=-4(1-2 a)\left(1-a^2\right)<0 \end{array} \Rightarrow-1<a<\dfrac{1}{2}\right.\).
\(\therefore a \in\left(-1, \dfrac{1}{2}\right)\).
综上可得,\(a\)的取值范围是\(\left\{a \mid-1<a \leq \dfrac{1}{2}\right\}\).