7.1 复数的概念


[【基础过关系列】高一数学同步精品讲义与分层练习 (人教 A 版 2019)]
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必修第二册同步巩固,难度 2 颗星!

基础知识

虚数单位的性质

i 叫做虚数单位,并规定:
i 可与实数进行四则运算;
i2=1,这样方程 x2=1 就有解了,解为 x=ix=i.
i2=1i3=ii4=1in 4 为周期,即 i4+n=in.
【例】 i2023=_ .
i2023=i4×550+3=i3=i.
 

复数的概念

1 定义
形如 a+bi(abR) 的数叫做复数,其中 i 叫做虚数单位,a 叫做实部,b 叫做虚部.
全体复数所成的集合 C 叫做复数集.
复数通常用 z 字母表示,即 z=a+bi(abR).
【例】 z=34i 的实部是 3,虚部是 4.
 

2 分类
z=a+bi={b=0 实数 b0 虚数 a=0 且 b0 纯虚数 
理解:当复数 z=a+bi 中不存在 i,它就是实数,那显然 b=0;若复数 z 是虚数,则 z 中要存在 i,则 b0.
【例】 1+2i122i3i 是虚数,而其中 3i 是纯虚数.
 

复数的几何意义

1 复平面的概念
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴.
显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
复数 z=a+bi一一 对应 复平面内的点 Z(ab)
【例】 复数 12i 对应复平面上的点 (12),复数 3i 对应复平面上的点 (03).
 

2 复数的几何意义
复数 z=a+bi 与复平面内的点 Z(ab) 及平面向量 OZ=(ab) (abR) 是一一对应关系 (复数的实质是有序实数对,有序实数对既可以表示一个点,也可以表示一个平面向量) 相等的向量表示同一个复数.
 

3 复数的模
向量 OZ 的模叫做复数 z=a+bi 的模,记作 |z| |a+bi|,表示点 (ab) 到原点的距离,
|z|=|a+bi|=a2+b2|z|=|z¯|
【例】 z=3+4i,则 z 的模 |z|=32+42=5.
 

复数相等

a+bi=c+dia=cb=d(abcdR)
也就是说,两个复数相等,充要条件是他们的实部和虚部分别相等.
PS 只有两个复数全是实数,才可以比较大小,否则无法比较大小,比如说 1+3i>1+2i 是错误的.
 

共轭复数

z=a+bi 的共轭复数记作 z¯=abi(abR),易得 zz¯=a2+b2.
【例】 复数 z=12i 的共轭复数 z¯=1+2i.
 

基本方法

【题型1】 复数的概念与分类

【典题 1】 i+i2+i3++i2017= _
解析 i+i2+i3+i4=i1i+1=0 in 4 为周期,
i+i2+i3++i2017=0×504+i2017=i.
点拨 i2=1i3=ii4=1in 4 为周期,即 i4+n=in.
 

【典题 2】求当 a 为何实数时,复数 z=(a22a3)+(a2+a12)i 满足:
  (1)z 为实数; (2)z 为纯虚数;
解析 复数 z=(a22a3)+(a2+a12)i
(1) 若 z 为实数,则 a2+a12=0,解得 a=4 a=3
(2) 若 z 为纯虚数,则 {a22a3=0a2+a120,解得 a=1.
 

【巩固练习】

1. 复数 34i 的虚部是 _
 

2. 若复数 (m23m)+(m25m+6)i 是纯虚数,则实数 m 的值为 _
 

3. 若复数 z=(m2)+(m+1)i 为纯虚数 (i 为虚数单位),其中 mR,则 |z|= _
 

4. 当实数 x 取何值时,复数 z=(x21)+(x+1)i.
  (1) 是实数? (2) 是纯虚数?
 
 

参考答案

  1. 答案 4

  2. 答案 0
    解析 复数 (m23m)+(m25m+6)i 是纯虚数,
    m23m=0 m25m+60
    m=0m=3 m2m3
    m=0.

  3. 答案 3
    解析 z 是纯虚数可知 m=2,这时 z=3i,故 |z|=|3i|=3

  4. 答案 (1) x=1;(2)x=1
    解析 (1) z 是实数,x+1=0,解得 x=1
    (2) z 是纯虚数, {x21=0x+10,解得 x=1
     

【题型2】 复数的几何意义

【典题 1】 在复平面内,复数 6+5i2+3i 对应的点分别为 AB.若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对应的复数是 (  )
 A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i
解析 复数 6+5i 对应 A 点坐标为 (65)2+3i 对应 B 点坐标为 (23)
由中点坐标公式知 C 点坐标为 (24)
C 对应的复数为 2+4i.故选 C
点拨 复数 z=a+bi 在复平面内对应点 (ab).
 

【典题 2】 zC,满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形?
 ①|z|=2|z|3
解析 z=x+yi(xyR)
|z|=2 Z 的集合是以原点为圆心,以 2 为半径的圆.
|z|3 Z 的集合是以原点为圆心,以 3 为半径的圆及其内部.
 

【典题 3】已知复数 z1=3+4iz2=a3i(aR)z1z2 对应的向量分别为 OZ1OZ2,且 OZ1OZ2,则 a= _
解析 依题意 OZ1=(34)OZ2=(a3)
由于 OZ1OZ2
所以 OZ1OZ2=0
3a12=0,解得 a=4
 

【巩固练习】

1. 在复平面内,复数 z=3+ii 为虚数单位)对应的点位于第 _ 象限.
 

2. 已知复数 z 是纯虚数,且 |z|=4,则复数 z 在复平面内对应的点的坐标是 _
 

3. 已知复数 x26x+5+(x2)i 在复平面内对应的点在第三象限,则实数 x 的取值范围为 _
 

4. 在复平面内,向量 OA 表示的复数为 1+i,将向量 OA 向右平移 1 个单位后,再向上平移 2 个单位,得到向量 OA,则向量 OA 对应的复数是 _
 

5. 已知向量 OA 对应的复数是 4+3i,点 A 关于实轴的对称点为 A1,将向量 OA1 平移,使其起点移动到 A 点,这时终点为 A2
  (1) 求向量 OA1 对应的复数; (2) 求点 A2 对应的复数.
 
 
 

参考答案

  1. 答案
    解析 复数 z=3+i 对应的点 (31) 位于第二象限.

  2. 答案 (04) (04)
    解析 z=bi(bR,且 b0),由 |z|=4b2=4,所以 b=±4,即 z=±4i
    z 对应的点的坐标是 (04) (04)

  3. 答案 1<x<2
    解析 因为复数 x26x+5+(x2)i 在复平面内对应的点在第三象限,
    所以 {x26x+5<0x2<0,所以 {1<x<5x<2,所以 1<x<2
    1<x<2 为所求实数 x 的取值范围.

  4. 答案 1+i
    解析 在复平面内,一个向量作平移变换,从一个位置无论平移到哪一个位置,平移后的向量和原来的向 量都是相等向量,对应的复数也都相等,所以 OA=OA.因此向量 OA 对应的复数仍然是 1+i

  5. 答案 (1) 43i ;(2) 8
    解析 (1) 向量 OA 对应的复数是 4+3i
    A 对应的复数也是 4+3i
    因此点 A 坐标为 (43)
    A 关于实轴的对称点 A1 (43)
    故向量 OA1 对应的复数是 43i
    (2) 依题意知 OA1=AA2,而 OA1=(43)
    A2(xy),则有 (43)=(x4y3)
    x=8y=0,即 A2(80)
    A2 对应的复数是 8
     

分层练习

【A组---基础题】

1. 复数 i+i2+i3++i2020+i2021 的值为 ( )
 A.0 B.i C.1+i D.1i
 

2. 已知 xyRi 为虚数单位,且 (x2)iy=1+i,则 (1+i)x+y 的值为 ( ).
 A.4 B.4 C.4+4i D.2i
 

3. 若 a 为实数,复数 z=a2i 在复平面上位于第四象限,且 |z|=5,则 a=(  )
 A.±1 B.1 C.1 D.2
 

4. 给出复平面内的以下各点:A(31)B(20)C(04)D(00)E(15),则这些点中对应的复数为虚数的点的个数是 (  )
 A.1 B.2 C.3 D.4
 

5. 若 z=2i2023,则 z 在复平面内对应的点位于第 _ 象限.
 

6. 设 z 为纯虚数,且 |z1|=|1+i|,则复数 z= _
 

7. 已知 aR,则复数 (a2+a+1)(a22a+3)i 对应的点在复平面内的第 _ 象限.
 

8. 设 z=a+bi(abR),求在复平面上满足下列条件的点的集合所组成的图形.
  (1)|a|<2,且 |b|<2 (2)|z|2,且 |b|>1 (3)|z|=2,且 a>b
 

 

参考答案

  1. 答案 B
    解析 i2=1i3=ii4=1
    i+i2+i3+i4++i2021=505(i+i2+i3+i4)+i2021
    =505(i1i+1)+(i2)1010i=0+i=i
    故选:B

  2. 答案 D
    解析 (x2)iy=1+i,可得 {x2=1y=1{x=3y=1
    (1+i)x+y=(1+i)2=2i,故选 D.

  3. 答案 C
    解析 z=a2i 在复平面上位于第四象限知 a>0
    |z|=5 a2+4=5a=1
    故选 C

  4. 答案 C
    解析 ACE 三点对应的复数分别为 3+i4i15i,是虚数,BD 对应的是实数,因此共有 3 个点.

  5. 答案
    解析 i2023=(i4)505i3=i
    z=2i2023=2+i
    z 在复平面内对应的点 (21) 位于第一象限.

  6. 答案 ±i
    解析 z 为纯虚数,
    z=ai(aR,且 a0),则 |z1|=|ai1|=a2+1
    |1+i|=2
    a2+1=2,即 a2=1
    a=±1,即 z=±i

  7. 答案
    解析a2+a+1=(a+12)2+34>0(a22a+3)=(a1)22<0
    故复数对应点在第四象限.

  8. 答案
    解析 (1) 在复平面上,满足不等式 |a|<2 的点组成的图形是位于两条平行直线 x=±2 之间的长条带状 (不包括两条平行直线).满足不等式 |b|<2 的点组成的图形是位于两条平行直线 y=±2 之间的长条带状 (不包括两条平行直线),两者的公共部分即为所求.即以原点为中心,边长等于 4,各边分别平行于坐标轴的正方形内部的点,但不包括边界,如图 1 所示.
    (2) 不等式 |z|2 的解集对应的点是以原点为圆心,以 2 为半径的圆的内部及其边界上的点组成的图形.满足条件 |b|>1 的点是直线 y=1 以上及直线 y=1 以下的点,两者的公共部分即为所求.即以原点为圆心、以 2 为半径的圆被直线 y=±1 所截得的两个弓形,但不包括弦上的点,如图 2 所示.
    (3) 方程 |z|=2 的对应点的集合是以原点为圆心,以 2 为半径的圆周.满足条件 a>b 的点组成的图形是位于直线 y=x 下方的半平面,其中不包括直线 y=x 上的点.两者的公共部分即为所求,如图 3 所示.
    image.png
     

【B组---提高题】

1. 已知关于 x 的方程,x2+2(1+i)x+ab+(a+b)i=0(abR+) 总有实数解,则 a+b 的取值范围是 _
 

2. 若 θ(3π45π4),则复数 z=(cosθ+sinθ)+(sinθcosθ)i 在复平面内所对应的点在第 _ 象限.
 

3. 已知 z1=x2+x2+1iz2=(x2+a)i 对任意的 xR 均有 |z1|>|z2| 成立,试求实数 a 的取值范围.
 
 
 

参考答案

  1. 答案 [2+)
    解析 x2+2(1+i)x+ab+(a+b)i=0
    x2+2x+ab+(a+b+2x)i=0 有实数解,
    x2+2x+ab=0a+b+2x=0
    消去 x 14(a+b)2(a+b)+ab=0
    ab(a+b2)2
    0=14(a+b)2(a+b)+ab14(a+b)2(a+b)+(a+b2)2
    14(a+b)2(a+b)+14(a+b)20
    12(a+b)2(a+b)0
    abR+a+b>0
    a+b2
    a+b 的取值范围是 [2+)
    故答案为 [2+).

  2. 答案
    解析 cosθ+sinθ=2sin(θ+π4)sinθcosθ=2sin(θπ4)
    因为 θ(3π45π4),所以 θ+π4(π3π2)θπ4(π2π)
    因此 cosθ+sinθ<0sinθcosθ>0
    所以复数 z 在复平面内对应的点在第二象限.

  3. 答案 {a1<a12}
    解析 z1=x2+x2+1iz2=(x2+a)i,且 |z1|>|z2|
    x4+x2+1>|x2+a|(12a)x2+(1a2)>0 恒成立.
    不等式等价于①:12a=0a=12
    a=12 时,0x2+(114)>0 恒成立.
    或②: {12a>0Δ=4(12a)(1a2)<01<a<12
    a(112).
    综上可得,a 的取值范围是 {a1<a12}

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