6.4.1—6.4.2 平面向量的应用
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[ 【基础过关系列】高一数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019）]
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基础知识
平面几何中的向量方法
① 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.
② 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”
(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3) 把运算结果“翻译”成几何关系.
Eg 点\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)不在同一直线上
(1)证明直线平行或共线： \(A B / / C D \Leftrightarrow \overrightarrow{A B} / / \overrightarrow{C D}\)；
(2)证明直线垂直： \(A B \perp C D \Leftrightarrow \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C D}=0\)；
(3)求线段比值： \(\dfrac{A B}{C D}=|\lambda|\)且 \(A B / / C D \Leftrightarrow \overrightarrow{A B}=\lambda \overrightarrow{C D}\)；
(4)证明线段相等： \(\overrightarrow{A B}^2=\overrightarrow{C D}^2 \Leftrightarrow A B=C D\).
向量在物理中的应用
① 速度、力是向量，都可以转化为向量问题；
② 力的合成与分解符合平行四边形法则.
基本方法
【题型1】 向量在几何中的应用
【典题1】 证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.
证明 设四边形\(ABCD\)的对角线\(AC\)、\(BD\)交于点\(O\)，且\(AO=OC\)，\(BO=OD\)
\(\because \overrightarrow{A B}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A C}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{D B}， \quad \overrightarrow{D C}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{D B}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A C}\)，\(\overrightarrow{DC}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{DB}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A C}\)，
\(\therefore \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}\)，
即\(AB=DC\)且\(AB//DC\)，
所以四边形\(ABCD\)是平行四边形
即对角线互相平分的四边形是平行四边形.
点拨 证明直线平行或共线： \(A B / / C D \Leftrightarrow \overrightarrow{A B} / / \overrightarrow{C D}\).若\(\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{DC}\)，则\(AB=DC\)且\(AB//DC\).
【典题2】 用向量方法证明三角形三条高线交于一点.
证明 设\(H\)是高线\(BE\)、\(CF\)的交点，
则有\(\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{A B}\)，\(\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{A C}\)，\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}\)，
\(\because \overrightarrow{BH}⊥\overrightarrow{A C}\)，\(\overrightarrow{CH}⊥\overrightarrow{A B}\)，
\(\therefore (\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{A B})⋅\overrightarrow{A C}=(\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{A C})⋅\overrightarrow{A B}=0\)，
化简得\(\overrightarrow{AH}⋅(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B} )=0\)，\(\therefore \overrightarrow{AH}⋅\overrightarrow{BC}=0\)
则\(AH⊥BC\)，
所以三角形三条高线交于一点.
点拨 证明直线垂直： \(A B \perp C D \Leftrightarrow \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C D}=0\).
【巩固练习】
1.已知\(DE\)是\(∆ABC\)的中位线，用向量的方法证明\(DE=\dfrac{1}{2} BC\)，且\(DE//BC\).
2.用向量方法证明对角线相等的平行四边形是矩形.
3.证明三角形三条中线交于一点.
4.已知平行四边形\(ABCD\)的对角线为\(AC\)、\(BD\)，求证 \(A C^2+B D^2=2\left(A B^2+A D^2\right)\) (即对角线的平方和等于邻边平方和的\(2\)倍).
参考答案
-
证明 已知\(\overrightarrow{A D}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A B}\)， \(\overrightarrow{A E}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A C}\)
所以 \(\overrightarrow{D E}=\overrightarrow{A E}-\overrightarrow{A D}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{B C}\)
即\(DE=\dfrac{1}{2} BC\)，
又\(D\)不在\(BC\)上，所以\(DE//BC\). -
证明 如图，平行四边形\(ABCD\)对角线\(AC\)、\(BD\)交于点\(O\)，
设\(OA=a\)，\(\because\)对角线相等\(\therefore OB=OD=a\)
\(\because \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\)，\(\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD}\)
\(\therefore \overrightarrow{A B}\cdot \overrightarrow{A D}=(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB} )(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD} )\)\(=\overrightarrow{AO}^2+\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}⋅\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}⋅\overrightarrow{OD}\)
\(=a^2+\overrightarrow{AO}(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB} )-a^2=0\)，
\(\therefore \overrightarrow{A B}⊥\overrightarrow{A D}\) ， 即\(AB⊥AD\)，
\(\therefore\)四边形\(ABCD\)是矩形. -
证明 \(AF\)、\(CD\)、\(BE\)是三角形\(ABC\)的三条中线
\(\because\)点\(D\)是中点， \(\therefore \overrightarrow{C D}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C B})\)
连接\(EF\)，易所以 \(\overrightarrow{D E}=\overrightarrow{A E}-\overrightarrow{A D}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{B C}\)
即\(DE=\dfrac{1}{2} BC\)，
又\(D\)不在\(BC\)上，所以\(DE//BC\).\(∆AOB~∆FOE\)，且相似比是\(2：1\)，
\(\therefore B O=\dfrac{2}{3} B E\)，
\(\therefore \overrightarrow{C O}=\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{B O}=\overrightarrow{C B}+\dfrac{2}{3} \overrightarrow{B E}=\overrightarrow{C B}+\dfrac{2}{3}(\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A E})\)
\(=\overrightarrow{C B}+\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A C}\right)=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C B})\)
\(\therefore \overrightarrow{C O}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{C D}\) ，即\(C\)、\(O\)、\(D\)三点共线，
\(\therefore AF\)、\(CD\)、\(BE\)交于一点，
即三角形三条中线交于一点. -
证明 由 \(|\overrightarrow{A C}|^2=\overrightarrow{A C}^2=(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D})^2=|\overrightarrow{A B}|^2+|\overrightarrow{A D}|^2+2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}\) \(|\overrightarrow{D B}|^2=\overrightarrow{D B}^2=(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D})^2=|\overrightarrow{A B}|^2+|\overrightarrow{A D}|^2-2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}\)
两式相加得 \(|\overrightarrow{A C}|^2+|\overrightarrow{D B}|^2=2\left(|\overrightarrow{A B}|^2+|\overrightarrow{A D}|^2\right)\)
即\(A C^2+B D^2=2\left(A B^2+A D^2\right)\)
【题型2】 向量在物理中的应用
【典题1】 如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是\(F_1\)，\(F_2\)，且\(F_1\)，\(F_2\)与水平夹角均为\(45°\)，\(|\overrightarrow{F_1} |=|\overrightarrow{F_2} |=10 \sqrt{2} N\)，则物体的重力大小为 \(\underline{\quad \quad}\) ．
解析 如图，\(\because |\overrightarrow{F_1} |=|\overrightarrow{F_2} |=10 \sqrt{2} N\)，
\(\therefore |\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|=10 \sqrt{2}× \sqrt{2} N=20N\)，
\(\therefore\) 物体的重力大小为\(20\)．
故答案 为 \(20\)．
点拨 力的分解与合成符合平行四边形法则.由于物体是静止的，所以两个力在水平方向是相反向量，在垂直方向两个力的合力大小等于重力.
【典题2】如图，已知河水自西向东流速为\(|v_0 |=1m/s\)，设某人在静水中游泳的速度为\(v_1\)，在流水中实际速度为\(v_2\)．
(1)若此人朝正南方向游去，且\(|v_1 |= \sqrt{3} m/s\)，求他实际前进方向与水流方向的夹角\(α\)和\(v_2\)的大小；
(2)若此人实际前进方向与水流垂直，且\(|v_2 |= \sqrt{3} m/s\)，求他游泳的方向与水流方向的夹角\(β\)和\(v_1\)的大小．
解析 如图，设\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{v_0}\)，\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v_1}\)，\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{v_2}\)，
则由题意知\(\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{v_0}+\overrightarrow{v_1}\)，\(|\overrightarrow{OA}|=1\)，
根据向量加法的平行四边形法则得四边形\(OACB\)为平行四边形．
(1)由此人朝正南方向游去得四边形\(OACB\)为矩形，且\(|\overrightarrow{OB}|=AC= \sqrt{3}\)，如下图所示，
则在直角\(△OAC\)中， \(\left|\overrightarrow{v_2}\right|=O C=\sqrt{O A^2+A C^2}=2\)，
\(\tan \angle A O C=\dfrac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}\)，又 \(\alpha=\angle A O C \in\left(0， \dfrac{\pi}{2}\right)\)，所以 \(\alpha=\dfrac{\pi}{3}\)；
(2)由题意知 \(\alpha=\angle O C B=\dfrac{\pi}{2}\)，且\(|\overrightarrow{v_2}|=|OC|= \sqrt{3}\)，\(BC=1\)，如下图所示，
则在直角\(△OBC\)中， \(\left|\overrightarrow{v_1}\right|=O B=\sqrt{O C^2+B C^2}=2\)， \(\tan \angle B O C=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)，
又 \(\angle A O C \in\left(0， \dfrac{\pi}{2}\right)\)，所以 \(\angle B O C=\dfrac{\pi}{6}\)，
则 \(\beta=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{2 \pi}{3}\)，
答 (1)他实际前进方向与水流方向的夹角\(α\)为\(\dfrac{ \pi}{3}\)，\(v_2\)的大小为\(2m/s\)；
(2)他游泳的方向与水流方向的夹角\(β\)为\(\dfrac{2 \pi}{3}\)，\(v_1\)的大小为\(2m/s\)．
【巩固练习】
1.如图 一个力\(\overrightarrow{F}\)作用于小车\(G\)，使小车\(G\)发生了\(40\)米的位移，\(\overrightarrow{F}\)的大小为\(50\)牛，且与小车的位移方向的夹角为\(60°\)，则\(\overrightarrow{F}\)在小车位移方向上的正射影的数量为\(\underline{\quad \quad}\)，力\(\overrightarrow{F}\)做的功为\(\underline{\quad \quad}\) 牛米．
2.（多选）如图所示，小船被绳索拉向岸边，设船在水中运动时水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是( )
A．绳子的拉力不断增大 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．绳子的拉力不断变小
C．船的浮力不断小 \(\qquad \qquad\qquad \qquad\) D．船的浮力保持不变
3.已知，一艘船以\(5km/h\)的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成\(30°\)角，求水流速度和船实际速度．
4.如图，一条河两岸平行，河的宽度\(AC= \sqrt{3} km\)，一艘船从河边的\(A\)点出发到达对岸的\(B\)点，船只在河内行驶的路程\(AB=2km\)，行驶时间为\(0.2h\)．已知船在静水中的速度\(v_1\)的大小为\(|v_1 |\)，水流的速度\(v_2\)的大小为\(|v_2 |=2km/h\)．
求：
(1)\(|v_1 |\)；
(2)船在静水中速度\(v_1\)与水流速度\(v_2\)夹角的余弦值．
参考答案
-
答案 \(25\)牛，\(1000\)．
解析 如图，\(\because |\overrightarrow{F}|=50\)，且\(\overrightarrow{F}\)与小车的位移方向的夹角为\(60°\)，
\(\therefore \overrightarrow{F}\)在小车位移方向上的正射影的数量为
\(|\overrightarrow{F}|cos60°=50×\dfrac{1}{2}=25\)(牛)．
力\(\overrightarrow{F}\)作用于小车\(G\)，使小车\(G\)发生了\(40\)米的位移，
\(\therefore\)力\(\overrightarrow{F}\)做的功\(w=25×40=1000\)(牛米)．
故答案 为\(25\)牛，\(1000\)． -
答案 \(AC\)
解析 设水的阻力为\(\overrightarrow{f}\)，绳子的拉力为\(\overrightarrow{F}\)，\(\overrightarrow{F}\)与水平方向的夹角为\(\theta\left(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)\)，
则 \(|\vec{F}| \cos \theta=|\vec{f}|\)，所以 \(|\vec{F}|=\dfrac{|\vec{f}|}{\cos \theta}\)，
因为\(θ\)增大，\(\cos θ\)减小，则\(|\overrightarrow{F}|\)增大，
因为\(|\overrightarrow{F}|\cos θ\)增大，且\(|\overrightarrow{F}|\sin θ\)加上浮力等于船的重力，
所以船的浮力减小．
故选：\(AC\)． -
答案 船实际航行速度的大小为\(10km/h\)，水流速度\(5 \sqrt{3} km/h\)．
解析 如图，设\(\overrightarrow{A D}\)表示船垂直于对岸的速度，\(\overrightarrow{A B}\)表示水流的速度，
以\(AD\)，\(AB\)为邻边作平行四边形\(ABCD\)，则\(\overrightarrow{A C}\)就是船实际航行的速度．
在\(Rt△ABC\)中，\(∠CAB=30°\)，\(|\overrightarrow{A D}|=|\overrightarrow{BC}|=5\)，
\(\therefore|\overrightarrow{A C}|=\dfrac{|\overrightarrow{B C}|}{\sin 30^{\circ}}=10\)， \(|\overrightarrow{A B}|=\dfrac{|\overrightarrow{B C}|}{\tan 30^{\circ}}=5 \sqrt{3}\)．
故船实际航行速度的大小为\(10km/h\)，水流速度\(5 \sqrt{3} km/h\)．
-
答案 (1)\(2 \sqrt{21 }km/h\)； (2) \(\dfrac{\sqrt{21}}{14}\)
解析 (1)如图，\(\because\) 河的宽度\(AC= \sqrt{3} km\)，\(AB=2km\)，
\(\therefore \sin \angle A B C=\dfrac{A C}{A B}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\therefore ∠ABC=60^∘\)，
设合速 \(\vec{v}=\overrightarrow{O E}\)， \(\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{O F}\)，船在静水中的速度 \(\overrightarrow{v_1}=\overrightarrow{F E}\)，
则 \(\vec{v}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}\)，
由题意可得\(O E=|\vec{v}|=\dfrac{2}{0.2}=10 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\)，且\(∠EOF=∠ABC=60^∘\)，
又\(O F=\left|\overrightarrow{v_2}\right|=2 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\)，\(\therefore\) 在\(△EOF\)中由余弦定理可得：
\(\left|\overrightarrow{v_1}\right|=E F=\sqrt{O E^2+O F^2-2 \times O E \times O F \times \cos 60^{\circ}}\)
\(=\sqrt{100+4-2 \times 10 \times 2 \times \dfrac{1}{2}}=2 \sqrt{21} \mathrm{~km} / \mathrm{h}\)；
(2)由(1)\(EF=2 \sqrt{2}\)，\(OE=10\)，\(OF=2\)，
\(\therefore\)由余弦定理可得 \(\cos \angle O F E=\dfrac{4+84-100}{2 \times 2 \times 2 \sqrt{21}}=-\dfrac{\sqrt{21}}{14}\)，
又 \(\left\langle\overrightarrow{v_1}， \overrightarrow{v_2}\right\rangle=180^{\circ}-\angle O F E\)，
\(\therefore \cos \left\langle\overrightarrow{v_1}， \overrightarrow{v_2}\right\rangle=\cos \left(180^{\circ}-\angle O F E\right)=-\cos \angle O F E=\dfrac{\sqrt{21}}{14}\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.一质点在平面上的三个力\(F_1\)，\(F_2\)，\(F_3\)的作用下处于平衡状态，已知\(F_1\)，\(F_2\)成\(90^∘\)角，且\(F_1\)，\(F_2\)的大小分别为\(2N\)和\(4N\)，则\(F_3\)的大小为( )
A．\(6N\) \(\qquad \qquad \qquad\) B．\(2N\) \(\qquad \qquad \qquad\) C．\(2 \sqrt{5} N\) \(\qquad \qquad \qquad\) D．\(2 \sqrt{7} N\)
2.一条渔船以\(6km/h\)的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为\(2km/h\)，则这条渔船实际航行的速度大小
为( )
A． \(2 \sqrt{10} \mathrm{~km} / \mathrm{h}\) \(\qquad \qquad \qquad\) B．\(4 \sqrt{2} km/h\) \(\qquad \qquad \qquad\) C．\(2 \sqrt{3} km/h\) \(\qquad \qquad \qquad\) D．\(3km/h\)
3.（多选）一物体受到\(3\)个力的作用，其中重力\(G\)的大小为\(2N\)，水平拉力\(F_1\)的大小为\(1N\)，力\(F_2\)未知，则( )
A．当该物体处于平衡状态时，\(|F_2 |= \sqrt{5} N\)
B．当物体所受合力为\(F_1\)时，\(|F_2 |= \sqrt{5} N\)
C．当\(|F_2 |=1N\)时， \((\sqrt{5}-1) \mathrm{N} \leqslant\left|F_1+F_2+G\right| \leqslant(\sqrt{5}+2) \mathrm{N}\)
D．当\(|F_2 |=1N\)时，必存在实数\(λ\)，使得\(G=F_2+λF_1\)
4.用向量方法证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
5.证明勾股定理，在\(Rt∆ABC\)中，\(AC⊥BC\)，\(AC=b\)，\(BC=a\)，\(AB=c\)，则\(c^2=a^2+b^2\).
6.用向量方法证明设平面上\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)四点满足条件\(AD⊥BC\)，\(BD⊥AC\)，则\(AB⊥CD\)．
7.已知向量 \(\overrightarrow{O P}_1\)_、 _\(\overrightarrow{O P}_2\)、 \(\overrightarrow{O P}_3\)满足 \(\overrightarrow{O P}_1+\overrightarrow{O P}_2+\overrightarrow{O P}_3=\overrightarrow{0}\)， \(\left|\overrightarrow{O P}_1\right|=\left|\overrightarrow{O P}_2\right|=\left|\overrightarrow{O P}_3\right|=1\)．求证\(△P_1 P_2 P_3\)是正三角形．
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 根据题意， \(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{0}\)，所以 \(\overrightarrow{F_3}=-\left(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right)\)，
故 \(\vec{F}_3^2=\vec{F}_1^2+{\overrightarrow{F_2}}^2+2 \overrightarrow{F_1} \cdot \overrightarrow{F_2}\)，
又\(F_1\)，\(F_2\)成\(90^∘\)角，则\(\overrightarrow{F_1}⋅\overrightarrow{F_2}=0\)，
则\(\vec{F}_3^2=\vec{F}_1^2+\vec{F}_2^2=22+42=20\)，
则\(F_3\)的大小为\(2 \sqrt{5} N\)，
故选：\(C\)． -
答案 \(A\)
解析 如图所示，渔船实际航行的速度为 \(\overrightarrow{v_{A C}}=\overrightarrow{v_{\text {船 }}}+\overrightarrow{v_{\text {水 }}}\)；
大小为 \(\left|\overrightarrow{v_{A C}}\right|=\left|\overrightarrow{v_{\text {船 }}}+\overrightarrow{v_{\text {水 }}}\right|=\sqrt{6^2+2^2}=2 \sqrt{10} \mathrm{~km} / \mathrm{h}\)．
故选\(A\)．
-
答案 \(ABD\)
解析 对于\(A\)，当该物体所受合力处于平衡状态时，如图\(1\)，
此时\(\overrightarrow{F_1}\)，\(\overrightarrow{F_2}\)的合力大小为\(2N\)，方向与重力方向相反，\(\therefore |\overrightarrow{F_2} |= \sqrt{5}\)，故\(A\)正确；
对于\(B\)，当物体所受合力为\(\overrightarrow{F_1}\)时，结合向量加法的平行四边形法则，如图\(2\)，\(|\overrightarrow{F_2} |= \sqrt{5}\)，
故\(B\)正确；
对于\(C\)，当\(|\overrightarrow{F_2} |=1N\)时，设重力\(\vec{G}\)与水平拉力\(\overrightarrow{F_1}\)的合力为\(\overrightarrow{F}\)，大小为\(|\overrightarrow{F}|= \sqrt{5} N\)，如图\(3\)，
当\(\overrightarrow{F_2}\)与\(\overrightarrow{F}\)方向相同时， \(\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\vec{G}\right|\)取得最大值\(( \sqrt{5}+1)N\)
当\(\overrightarrow{F_2}\)与\(\overrightarrow{F}\)方向相反时，\(\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\vec{G}\right|\)取得最小值\(( \sqrt{5}-1)N\)，
故\((\sqrt{5}-1) \mathrm{N} \leqslant \left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\vec{G}\right| \leqslant(\sqrt{5}+1) \mathrm{N}\) ，故\(C\)错误；
对于\(D\)，当\(|\overrightarrow{F_2} |=1N\)时，若存在实数\(λ\)，使得\(\vec{G}=\overrightarrow{F_2}+λ\overrightarrow{F_1}\)，
则 \(\lambda^2=\left(G-F_2\right)^2=4+1-2 \times 2 \times 1 \times \cos \theta=5-4 \cos \theta \in[1，9]\)，
其中\(θ\)为力 \(\vec{G}\)，\(\overrightarrow{F_2}\)的夹角，
\(\therefore\) 存在实数\(λ\)，使得 \(\vec{G}=\overrightarrow{F_2}+\lambda \overrightarrow{F_1}\)，故\(D\)正确．
故选：\(ABD\)． -
证明 如图平行四边形\(ABCD\)对角线\(AC\)、\(BD\)交于点\(O\)，
\(\because \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\)，\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}\)
\(\therefore |\overrightarrow{A B} |^2=(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB} )^2=|\overrightarrow{AO} |^2+2\overrightarrow{AO}⋅\overrightarrow{OB}+|\overrightarrow{OB} |^2=|\overrightarrow{AO} |^2+|\overrightarrow{OB} |^2\)
\(|\overrightarrow{BC} |^2=(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC} )^2=|\overrightarrow{BO} |^2+2\overrightarrow{BO}⋅\overrightarrow{OC}+|\overrightarrow{OC} |^2=|\overrightarrow{BO} |^2+|\overrightarrow{OC} |^2\)
\(\therefore |\overrightarrow{A B} |=|\overrightarrow{BC} |\)
\(\therefore\) 四边形\(ABCD\)是菱形. -
证明 由\(\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{CB}\)，得\(\overrightarrow{A B}^2=(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{CB} )^2=\overrightarrow{A C}^2+2\overrightarrow{A C}⋅\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CB}^2\)
即\(|\overrightarrow{A B}|^2=|\overrightarrow{A C}|^2+|\overrightarrow{CB}|^2\)
故\(c^2=a^2+b^2\). -
证明 因\(AD⊥BC\)，所以\(\overrightarrow{A D}⋅\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A D}⋅(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})=0\)，
因\(BD⊥AC\)，所以\(\overrightarrow{A C}⋅\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{A C}⋅(\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B})=0\)，
于是\(\overrightarrow{A D}⋅\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A D}⋅\overrightarrow{A B}\)，\(\overrightarrow{A C}⋅\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A C}⋅\overrightarrow{A B}\)
所以\(\overrightarrow{A D}⋅\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A C}⋅\overrightarrow{A B}\)，\((\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A C})⋅\overrightarrow{A B}=0\)，
即 \(\overrightarrow{C D} \cdot \overrightarrow{A B}=0\)，所以 \(\overrightarrow{C D} \perp \overrightarrow{A B}\)，即\(AB⊥CD\)． -
证明 法一 \(\because \overrightarrow{O P}_1+\overrightarrow{O P}_2+\overrightarrow{O P}_3=\overrightarrow{0}\)， \(\therefore \overrightarrow{O P}_1+\overrightarrow{O P}_2=-\overrightarrow{O P}_3\)，
\(\therefore\left|\overrightarrow{O P}_1+\overrightarrow{O P}_2\right|=\left|-\overrightarrow{O P}_3\right|\)．
\(\therefore\left|\overrightarrow{O P}_1\right|^2+\left|\overrightarrow{O P}_2\right|^2+2 \overrightarrow{O P_1} \cdot \overrightarrow{O P}_2=\left|\overrightarrow{O P}_3\right|^2\)．
又\(\because\left|\overrightarrow{O P}_1\right|=\left|\overrightarrow{O P}_2\right|=\left|\overrightarrow{O P}_3\right|=1\)，
\(\therefore \overrightarrow{O P}_1 \cdot \overrightarrow{O P}_2=-\dfrac{1}{2}\)， \(\therefore\left|\overrightarrow{O P}_1\right|\left|\overrightarrow{O P}_2\right| \cos \angle P_1 O P_2=-\dfrac{1}{2}\)
即\(∠P_1 OP_2=120^∘\)．
同理\(∠P_1 OP_3=∠P_2 OP_3=120^∘\)．
\(\therefore △P_1 P_2 P_3\)为等边三角形．
法二 以\(O\)点为坐标原点建立直角坐标系，设 \(P_1\left(x_1， y_1\right)\)， \(P_2\left(x_2， y_2\right)\)， \(P_3\left(x_3， y_3\right)\)，
则 \(\overrightarrow{O P}_1=\left(x_1， y_1\right)\)， \(\overrightarrow{O P}_2=\left(x_2， y_2\right)\)， \(\overrightarrow{O P}_3=\left(x_3， y_3\right)\)．
由 \(\overrightarrow{O P}_1+\overrightarrow{O P}_2+\overrightarrow{O P}_3=\overrightarrow{0}\)，得 \(\left\{\begin{array}{l} x_1+x_2+x_3=0 \\ y_1+y_2+y_3=0 \end{array}\right.\)，
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=-x_3 \\ y_1+y_2=-y_3 \end{array}\right.\)，
由\(\left|\overrightarrow{O P}_1\right|=\left|\overrightarrow{O P}_2\right|=\left|\overrightarrow{O P}_3\right|=1\)，得 \(x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2=x_3^2+y_3^2=1\)
\(\therefore 2+2\left(x_1 x_2+y_1 y_2\right)=1\)，
\(\therefore\left|\overrightarrow{P_1 P_2}\right|=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}\)
\(=\sqrt{x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2-2 x_1 x_2-2 y_1 y_2}\)
\(=\sqrt{2\left(1-x_1 x_2-y_1 y_2\right)}=\sqrt{3}\)
同理 \(\left|\overrightarrow{P_1 P_3}\right|=\sqrt{3}\)， \(\left|\overrightarrow{P_2 P_3}\right|=\sqrt{3}\)
\(\therefore △P_1 P_2 P_3\)为正三角形.
【B组---提高题】
1.在\(△ABC\)内使\(A P^2+B P^2+C P^2\)的值最小的点\(P\)是\(△ABC\)的( )
A．外心 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．内心\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．垂心 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．重心
2.如图，一条河的两岸平行，河的宽度\(d=600m\)，一艘客船从码头\(A\)出发匀速驶往河对岸的码头\(B\)．已知\(|AB|=1km\)，水流速度为\(2km/h\)，若客船行驶完航程所用最短时间为\(6\)分钟，则客船在静水中的速度大小为( )
A．\(8km/h\) \(\qquad \qquad \qquad\) B．\(6 \sqrt{2} km/h\) \(\qquad \qquad \qquad\) C．\(2 \sqrt{34} km/h\) \(\qquad \qquad \qquad\) D．\(10km/h\)
3.如图，\(E\)，\(F\)分别是四边形\(ABCD\)的边\(AD\)，\(BC\)的中点，\(AB=1\)，\(CD=2\)，\(∠ABC=75°\)，\(∠BCD=45°\)，则线段\(EF\)的长是\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 令\(\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{b}\)，设\(\overrightarrow{C P}=\vec{m}\)，则 \(\overrightarrow{A P}=\vec{m}-\vec{a}\)， \(\overrightarrow{B P}=\vec{m}-\vec{b}\)，
于是 \(A P^2+B P^2+C P^2=\overrightarrow{A P^2}+\overrightarrow{B P^2}+\overrightarrow{C P^2}=(\vec{m}-\vec{a})^2+(\vec{m}-\vec{b})^2+\vec{m}^2\)
\(=3 \vec{m}^2-2(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{m}+\vec{a}^2+\vec{b}^2=3\left[\vec{m}-\dfrac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b})\right]^2-\dfrac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b})^2+\vec{a}^2+\vec{b}^2\)．
所以当 \(\vec{m}=\dfrac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b})\)时， \(A P^2+B P^2+C P^2\)最小，
设\(AB\)的中点为\(D\)，
\(\because \overrightarrow{m}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\)， \(\therefore 3 \vec{m}=\vec{a}+\vec{b} \Rightarrow \dfrac{3}{2} \vec{m}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2} \Rightarrow \dfrac{3}{2} \vec{m}=\overrightarrow{C D}\)，
\(\therefore\)点\(P\)在边\(AB\)的中线上，同理点\(P\)在边\(AC\)、\(BC\)的中线上
\(\therefore\)点\(P\)为\(△ABC\)的重心．
故选 \(D\)． -
答案 \(B\)
解析 设客船在静水中的速度大小为\(\overrightarrow{v_{\text {静 }}} \mathrm{km} / \mathrm{h}\)，水流速度为 \(\overrightarrow{v_{\text {水 }}}\)，则| \(\left|\overrightarrow{v_{\text {水 }}}\right|=2 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\)，
则船实际航行的速度 \(\vec{v}=\overrightarrow{v_{\text {静 }}}+\overrightarrow{v_{\text {水 }}}\)， \(t=\dfrac{6}{60}=0.1 h\)．
由题意得 \(|\vec{v}| \leqslant \dfrac{|\overrightarrow{A B}|}{0.1}=10\)．
把船在静水中的速度正交分解为 \(\overrightarrow{v_{\text {静 }}}=\overrightarrow{v_x}+\overrightarrow{v_y}\)．
\(\therefore\left|\overrightarrow{v_y}\right|=\dfrac{0.6}{0.1}=6\)，
在\(Rt△ABC\)中， \(B C=\sqrt{1^2-0 \cdot 6^2}=0.8\)．
\(\because\left|\overrightarrow{v_x}+\overrightarrow{v_{\text {水 }}}\right|=\left|\overrightarrow{v_x}\right|+\left|\overrightarrow{v_{\text {水 }}}\right|=\dfrac{B C}{0.1}=8\)，
\(\therefore\left|\overrightarrow{v_x}\right|=8-2=6\)，
\(\therefore\left|\overrightarrow{v_{\text {静 }}}\right|=\left.\sqrt{\mid \overrightarrow{v_x}}\right|^2+\left|\overrightarrow{v_y}\right|^2=6 \sqrt{2}\)． \(\therefore \overrightarrow{v_{\text {静 }}}=6 \sqrt{2} \mathrm{~km} / \mathrm{h}\)．
设\(\left\langle\overrightarrow{v_{\text {静 }}}， \overrightarrow{v_{\text {水 }}}\right\rangle=\theta\)，则\(\mid \tan \theta=\dfrac{\left|\overrightarrow{v_y}\right|}{\left|\overrightarrow{v_x}\right|}=1\)， \(\therefore \cos \theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)．
此时 \(|\vec{v}|=\left|\overrightarrow{v_{\text {静 }}}+\overrightarrow{v_{\text {水 }}}\right|=\sqrt{\left|\overrightarrow{v_{\text {静 }}}\right|^2+2 \overrightarrow{v_{\text {静 }}} \cdot \overrightarrow{v_{\text {水 }}}+\left|\overrightarrow{v_{\text {水 }}}\right|^2}\)
\(=\sqrt{(6 \sqrt{2})^2+2 \times 6 \sqrt{2} \times 2 \cos \theta+2^2}\)\(=\sqrt{72+24 \sqrt{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}+4}=10 \leqslant 10\)，满足条件．
故选：\(B\)．
-
答案 \(\dfrac{\sqrt{7}}{2}\)
解析 由图象，得 \(\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{E A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B F}\)， \(\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{E D}+\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{C F}\)．
\(\because E\)，\(F\)分别是四边形\(ABCD\)的边\(AD\)，\(BC\)的中点，
\(\therefore 2 \overrightarrow{E F}=(\overrightarrow{E A}+\overrightarrow{E D})+(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D C})+(\overrightarrow{B F}+\overrightarrow{C F})=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D C}\)．
\(\because∠ABC=75°\)，\(∠BCD=45°\)， \(\therefore<\overrightarrow{A B}， \overrightarrow{D C}>=60^{\circ}\)，
\(\therefore|\overrightarrow{E F}|=\dfrac{1}{2} \sqrt{(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D C})^2}=\dfrac{1}{2} \sqrt{\overrightarrow{A B^2}+\overrightarrow{D C^2}+2|\overrightarrow{A B}| \cdot|\overrightarrow{D C}| \cos <\overrightarrow{A B}， \overrightarrow{D C}>}\) \(=\dfrac{1}{2} \sqrt{1^2+2^2+2 \times 1 \times 2 \times \dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}\)．
\(\therefore EF\)的长为\(\dfrac{\sqrt{7}}{2}\)．
故答案 为 \(\dfrac{\sqrt{7}}{2}\)．
【C组---拓展题】
1.在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为\(G\)，作用在行李包上的两个拉力分别为\(\overrightarrow{F_1}\)，\(\overrightarrow{F_2}\)，且\(|\overrightarrow{F_1} |=|\overrightarrow{F_2} |\)，\(|\overrightarrow{F_1} |\)与\(|\overrightarrow{F_1} |\)的夹角为\(θ\)．给出以下结论
①\(θ\)越大越费力，\(θ\)越小越省力； ②\(θ\)的范围为\([0，π]\)；
③当 \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\)时， \(\left|\overrightarrow{F_1}\right|=|\vec{G}|\)； ④当 \(\theta=\dfrac{2 \pi}{3}\)时， \(\left|\overrightarrow{F_1}\right|=|\vec{G}|\)．
其中正确结论的序号是\(\underline{\quad \quad}\)．
2.如图，重为\(10N\)的匀质球，半径\(R\)为\(6cm\)，放在墙与均匀的\(AB\)木板之间，\(A\)端锁定并能转动，\(B\)端用水平绳索\(BC\)拉住，板长\(AB=20cm\)，与墙夹角为\(α\)，如果不计木板的重量，则\(α\)为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？
参考答案
- 答案 ①④
解析 对于①，由\(|\vec{G}|=\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right|\)为定值，
所以 \(\vec{G}^2=\left|\vec{F}_1\right|^2+\left|\vec{F}_2\right|^2+2\left|\overrightarrow{F_1}\right| \times\left|\vec{F}_2\right| \times \cos \theta=2\left|\vec{F}_1\right|^2(1+\cos \theta)\)，
解得 \(\left|\overrightarrow{F_1}\right|^2=\dfrac{|\vec{G}|^2}{2(1+\cos \theta)}\)；
由题意知\(θ∈(0，π)\)时，\(y=\cos θ\)单调递减，所以\(\left|\overrightarrow{F_1}\right|^2\)单调递增，
即\(θ\)越大越费力，\(θ\)越小越省力；①正确．
对于②，由题意知，\(θ\)的取值范围是\((0，π)\)，所以②错误．
对于③，当 \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\)时， \(\left|\overrightarrow{F_1}\right|^2=\dfrac{\vec{G}^2}{2}\)，所以 \(\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}|\vec{G}|\)，③错误．
对于④，当\(\theta=\dfrac{2 \pi}{3}\)时， \(\left|\overrightarrow{F_1}\right|^2=|\vec{G}|^2\)，所以\(\left|\overrightarrow{F_1}\right|=|\vec{G}|\)，④正确．
综上知，正确结论的序号是①④．
故答案 为 ①④． - 答案 \(α=60°\)时，\(\overrightarrow{f}\)有最小值\(12N\)．
解析 如图 设木板对球的支持力为\(\overrightarrow{n}\)，则 \(\vec{N}=\dfrac{10}{\sin \alpha}\)，
设绳子的拉力为\(\overrightarrow{f}\)．
又 \(A C=20 \cos \alpha\)， \(A D=\dfrac{6}{\tan \dfrac{\alpha}{2}}\)，
由动力矩等于阻力矩得 \(\vec{f} \times 20 \cos \alpha=\vec{N} \times \dfrac{6}{\tan \dfrac{\alpha}{2}}=\dfrac{60}{\sin \alpha \cdot \tan \dfrac{\alpha}{2}}\)，
\(\therefore \vec{f}=\dfrac{60}{20 \cos \alpha \cdot \sin \alpha \cdot \tan \dfrac{\alpha}{2}}=\dfrac{3}{\cos \alpha(1-\cos \alpha)} \geq \dfrac{3}{\left(\dfrac{\cos \alpha+1-\cos \alpha}{2}\right)^2}=\dfrac{3}{\dfrac{1}{4}}=12\)，
\(\therefore\)当且仅当\(\cos α=1-\cosα\)即\(\cos α=\dfrac{1}{2}\)，亦即\(α=60°\)时，\(\overrightarrow{f}\)有最小值\(12N\)．
