6.2.2 向量的减法运算
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[ 【基础过关系列】高一数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019)]
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必修第二册同步巩固,难度2颗星!
基础知识
相反向量
我们规定,与向量\(\vec{a}\)长度相等,方向相反的向量,叫做\(\vec{a}\)的相反向量,记作\(-\vec{a}\).
解释
(1) 与数\(x\)的相反数是\(-x\)类似;
(2) \(-(-\vec{a})=\vec{a}\);
(3) 零向量的相反向量仍是零向量.
向量的减法
向量\(\vec{a}\)加上\(\vec{b}\)的相反向量,叫做\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的差,即 \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\),
求两个向量差的运算叫做向量的减法.向量的减法可以转化为向量的加法进行.
向量减法的几何意义
当\(\vec{a}\),\(\vec{b}\)同起点时, \(\vec{a}-\vec{b}\)可以表示为从向量\(\vec{b}\)的终点指向向量\(\vec{a}\)的终点的向量.
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解释
设 \(\overrightarrow{O A}=\vec{a}\) , \(\overrightarrow{O B}=\vec{b}\), \(\overrightarrow{O D}=-\vec{b}\) ,连接\(AB\),
由向量减法的定义知,\(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{O C}\)
在四边形\(OCAB\)中,\(OB=CA\),\(OB||CA\),
所以\(OCAB\)是平行四边形,所以 \(\overrightarrow{B A}=\overrightarrow{O C}=\vec{a}-\vec{b}\).
【例】 如下图,已知向量\(\vec{a}\),\(\vec{b}\),作向量\(\vec{a}-\vec{b}\).
解 在平面内任取一点\(O\),作 \(\overrightarrow{O A}=\vec{a}\) , \(\overrightarrow{O B}=\vec{b}\) ,则 \(\overrightarrow{B A}=\vec{a}-\vec{b}\).
基本方法
【题型1】 向量的减法
【典题1】 如图所示,\(O\)是四边形\(ABCD\)内任一点,试根据图中给出的向量,确定\(\vec{a}\),\(\vec{b}\),\(\vec{c}\),\(\vec{d}\)的方向(用箭头表示),使\(\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{B A}\), \(\vec{c}-\vec{d}=\overrightarrow{D C}\),并画出\(\vec{b}-\vec{c}\)和\(\vec{a}+\vec{d}\).
解析 因为\(\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{B A}\), \(\vec{c}-\vec{d}=\overrightarrow{D C}\),
所以 \(\vec{a}=\overrightarrow{O A}\),\(\vec{b}=\overrightarrow{B O}\), \(\vec{c}=\overrightarrow{O C}\), \(\vec{d}=\overrightarrow{O D}\).
如图所示,作平行四边形\(OBEC\),平行四边形\(ODFA\).
根据平行四边形法则可得:\(\vec{b}-\vec{c}=\overrightarrow{E O}\),\(\vec{a}+\vec{d}=\overrightarrow{O F}\).
点拨 向量的加法,注意三角形法则或平行四边形法则的运用;向量的减法,注意其几何意义: \(\vec{a}-\vec{b}\)可以表示为从向量\(\vec{b}\)的终点指向向量\(\vec{a}\)的终点的向量.
【典题2】化简:(1) \((\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{M B})+(-\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{M O})\);
(2) \((\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C D})-(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B D})\).
解析 (1)方法1:原式 \(=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{B O}+\overrightarrow{O M}=(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B O})+(\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{M B})=\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{A B}\).
方法2:原式 \(=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{B O}+\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{A B}+(\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{B O})+\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{M O}+\overrightarrow{O M}\)
\(=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{A B}\).
(2) 方法1:原式 \(=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{B D}=(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D})+(\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{C A})\)\(=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{0}\).
方法2: \((\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C D})-(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B D})=\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}=(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C})-\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{B D}\)
\(=\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{0}\).
点拨 向量线性运算,注意运算法则的运用,减法可以先化为加法,“首尾相接法”的运用也会使得解题过程很简便.
【典题3】已知\(∆ABC\)是正三角形,则下列等式中不成立的是( )
A. \(|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}|=|\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}|\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(|\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B}|=|\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B C}|\)
C. \(|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C B}|\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C B}|\)
解析 对于\(A\),因为\(|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}|=|\overrightarrow{A C}|\), \(|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{C A}|\),
所以 \(|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}|=|\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}|\),故正确;
对于\(B\),因为 \(|\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B}|=|\overrightarrow{A B}|\), \(|\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B C}|=2|\overrightarrow{B D}|=\sqrt{3}|\overrightarrow{A B}|\)(\(D\)为\(AC\)的中点),故错误;
对于\(C\),因为 \(|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}|=2|\overrightarrow{A E}|=\sqrt{3}|\overrightarrow{A B}|\)(\(E\)为\(BC\)的中点),
\(|\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C B}|=2|\overrightarrow{C F}|=\sqrt{3}|\overrightarrow{A B}|\)(\(F\)为\(AB\)的中点),
所以 \(|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C B}|\),故正确;
对于\(D\),因为 \(|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{0}|=0\), \(|\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{C A}|=|\overrightarrow{0}|=0\),
所以 \(|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{C A}|\),故正确.
故选\(B\).
【巩固练习】
1.下列四个式子中可以化简为\(\overrightarrow{A B}\)的是 ( )
① \(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B}\) ② \(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{C B}\) ③ \(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}\) ④ \(\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}\).
A.①④ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.①② \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.②③ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.③④
2.如图,\(D\)、\(E\)、\(F\)分别是边\(AB\)、\(BC\)、\(CA\)上的中点,则 \(\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{D A}-\overrightarrow{B E}=\) ( )
A. \(\overrightarrow{0}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(\overrightarrow{BC}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C. \(\overrightarrow{BE}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(\overrightarrow{A F}\)
3.如图,在\(△ABC\)中,点\(D\)为\(AC\)上一点,则 \(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{D C}=\) ( )
A.\(\overrightarrow{A C}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(\overrightarrow{B C}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(\overrightarrow{A B}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(\overrightarrow{D C}\)
4.如图,在四边形\(ABCD\)中,根据图示填空:
\(\vec{a}+\vec{b}=\) \(\underline{\quad \quad}\), \(\vec{b}+\vec{c}=\) \(\underline{\quad \quad}\), \(\vec{c}-\vec{d}=\) \(\underline{\quad \quad}\), \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}-\vec{d}=\)\(\underline{\quad \quad}\).
5.化简:(1) \(\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{A D}\);(2) \((\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D})+(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{D E})-(\overrightarrow{E F}-\overrightarrow{E A})\).
6.如图所示,已知 \(\overrightarrow{O A}=\vec{a}\), \(\overrightarrow{O B}=\vec{b}\), \(\overrightarrow{O C}=\vec{c}\), ⃗, \(\overrightarrow{O F}=\vec{f}\),试用\(\vec{a}\),\(\vec{b}\),\(\vec{c}\),\(\vec{d}\),\(\vec{f}\)表示下列向量.
(1) \(\overrightarrow{A C}\);(2) \(\overrightarrow{A D}\);(3) \(\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B}\);(4) \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C F}\);(5) \(\overrightarrow{B F}-\overrightarrow{B D}\).
参考答案
-
答案 \(A\)
解析 ①\(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{A B}\); ② \(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{C B} \neq \overrightarrow{A B}\);
③ \(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B} \neq \overrightarrow{A B}\); ④ \(\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{A B}\).
故选:\(A\). -
答案 \(A\)
解析 \(∵D\)、\(E\)、\(F\)分别是边\(AB\)、\(BC\)、\(CA\)上的中点,
故四边形\(ADEF\)为平行四边形,且\(EF=BE\),
故 \(\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{D A}-\overrightarrow{B E}=\overrightarrow{D F}-\overrightarrow{B E}=\overrightarrow{D F}-\overrightarrow{D F}=\overrightarrow{0}\),
故选:\(A\). -
答案 \(A\)
解析 \(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{A C}\),故选:\(A\). -
答案 \(-\vec{e}, \vec{f}, \overrightarrow{0}\).
解析 \(\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{A C}=-\vec{f}\), \(\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{B D}=-\vec{e}\),
\(\vec{c}-\vec{d}=\vec{c}+(-\vec{d})=\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{C A}=\vec{f}\),
\(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}-\vec{d}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{0}\). -
答案 (1) \(\overrightarrow{0}\),(2) \(\overrightarrow{FE}\).
解析 (1) \(\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{0}\).
(2) \((\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D})+(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{D E})-(\overrightarrow{E F}-\overrightarrow{E A})=(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C})+(\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D E})-\overrightarrow{A F}\)
\(=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C E}-\overrightarrow{A F}=\overrightarrow{A E}-\overrightarrow{A F}=\overrightarrow{F E}\). -
答案 (1) \(\vec{c}-\vec{a}\);(2) \(\vec{d}-\vec{a}\);(3) \(\vec{d}-\vec{b}\);(4) \(\vec{b}-\vec{a}+\vec{f}-\vec{c}\);(5) \(\vec{f}-\vec{d}\).
解析 (1) \(\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O A}=\vec{c}-\vec{a}\);
(2) ;\(\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{O D}-\overrightarrow{O A}=\vec{d}-\vec{a}\)
(3) \(\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{O D}-\overrightarrow{O B}=\vec{d}-\vec{b}\);
(4) \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C F}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O F}-\overrightarrow{O C}=\vec{b}-\vec{a}+\vec{f}-\vec{c}\);
(5) \(\overrightarrow{B F}-\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{D F}=\overrightarrow{O F}-\overrightarrow{O D}=\vec{f}-\vec{d}\).
【题型2】 向量减法的运用
【典题1】在平行四边形\(ABCD\)中,若 \(|\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}|=|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}|\),则平行四边形\(ABCD\)是( )
A.矩形 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.梯形 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.正方形 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.菱形
解析 由\(|\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}|=|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}|\),得 \(|\overrightarrow{D B}|=|\overrightarrow{A C}|\),即\(DB=AC\),
对角线相等的平行四边形是矩形,故选\(A\).
点拨 遇到向量的加法,可想到三角形法则或平行四边形法则的运用;遇到向量的减法,注意其几何意义: \(\vec{a}-\vec{b}\)可以表示为从向量\(\vec{b}\)的终点指向向量\(\vec{a}\)的终点的向量.
【典题2】在边长为\(1\)的正三角形\(ABC\)中,\(|\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{B C}|\)的值为\(\underline{\quad \quad}\).
解析 过点\(A\)作\(AD||BC\),使得\(AD=BC\),则四边形\(ABCD\)是平行四边形,
则 \(\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A D}\),
\(∵∆ABC\)是边长为\(1\)的正三角形,易得\(B D=\sqrt{3}\),
\(\therefore|\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{B C}|=|\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}|=|\overrightarrow{D B}|=\sqrt{3}\).
故答案为: \(\sqrt{3}\).
点拨 通过构造平行四边形进行分析,把平面向量与平面几何结合在一起.
【巩固练习】
1.在菱形\(ABCD\)中,\(∠DAB=60^∘\),\(|\overrightarrow{A B}|=2\),则 \(|\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{D C}|=\) \(\underline{\quad \quad}\).
2.\(\vec{a}\),\(\vec{b}\)是两个非零向量,且\(|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|\),则\(\vec{a}\)与 \(\vec{a}+\vec{b}\)的夹角为\(\underline{\quad \quad}\).
3.若非零向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足 \(|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{b}|=2\),则 \(|\vec{a}|\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\), \(|\vec{a}-\vec{b}|\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
4.\(P\)是\(△ABC\)所在平面上一点,满足 \(|\overrightarrow{P B}-\overrightarrow{P C}|-|\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}-2 \overrightarrow{P A}|=0\),则\(△ABC\)的形状是\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
-
答案 \(2\)
解析 画出图形,如图所示;
菱形\(ABCD\)中,\(∠DAB=60^∘\), \(|\overrightarrow{A B}|=2\),
\(∴∆ABD\)是等边三角形,\(∴BD=2\),
\(\therefore|\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{D C}|=|\overrightarrow{B D}|=2\).
故答案为:\(2\).
-
答案 \(30^∘\)
解析 如图所示:设 \(\overrightarrow{O A}=\vec{a}\), \(\overrightarrow{O B}=\vec{b}\),则 \(\overrightarrow{B A}=\vec{a}-\vec{b}\),
以\(OA\)、\(OB\)为邻边,作平行四边形\(OACB\),
则\(\overrightarrow{O C}=\vec{a}+\vec{b}\),\(∠AOC\)为\(\vec{a}\)与 \(\vec{a}+\vec{b}\)的夹角.
由 \(|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|,\),可得\(△OAB\)为等边三角形,
故平行四边形\(OACB\)为菱形,
\(∴∠AOC=30^∘\).
-
答案 \((0,4]\), \((2,6]\).
解析 (1)因为 \(|| \vec{a}+\vec{b}|-| \vec{b}|| \leq|\vec{a}|=|\vec{a}+\vec{b}-\vec{b}| \leq|\vec{a}+\vec{b}|+|\vec{b}|=4\),
又 \(|\vec{a}|\)是非零向量,
所以 \(|\vec{a}|\)的取值范围是\((0,4].\)
(2)因为 \(|\vec{a}-\vec{b}|+|\vec{a}+\vec{b}| \geqslant 2|\vec{b}|=|(\vec{a}+\vec{b})-(\vec{a}-\vec{b})| \geqslant|| \vec{a}-\vec{b}|-| \vec{a}+\vec{b}||\),
所以 \(-4 \leq|\vec{a}-\vec{b}|-|\vec{a}+\vec{b}| \leq 4\), \(|\vec{a}-\vec{b}|+|\vec{a}+\vec{b}| \geqslant 4\),
又\(|\vec{a}+\vec{b}|=2\), \(\vec{a} \neq \overrightarrow{0}\),所以\(|\vec{a}-\vec{b}|\)的取值范围是\((2,6]\). -
答案 直角三角形
解析 \(P\)是\(△ABC\)所在平面上一点,且\(|\overrightarrow{P B}-\overrightarrow{P C}|-|\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}-2 \overrightarrow{P A}|=0\),
\(\therefore|\overrightarrow{C B}|-|(\overrightarrow{P B}-\overrightarrow{P A})+(\overrightarrow{P C}-\overrightarrow{P A})|=0\),即 \(|\overrightarrow{C B}|=|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}|\),
\(\therefore|\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A B}|\),
由三角形法则与平行四边形法则可知 \(\overrightarrow{A C} \perp \overrightarrow{A B}\),
\(∴∠A=90^∘\),
则\(△ABC\)是直角三角形.
分层练习
【A组---基础题】
1.若非零向量\(\vec{a}\),\(\vec{b}\)互为相反向量,则下列说法错误的是( )
A. \(\vec{a} \| \vec{b}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(\vec{a} \neq \vec{b}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(|\vec{a}| \neq|\vec{b}|\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(\vec{b}=-\vec{a}\)
2.下列各式中不能化简为\(\overrightarrow{AD}\)的是( )
A. \((\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{D C})-\overrightarrow{C B}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(\overrightarrow{A D}-(\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D C})\)
C. \(-(\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{M C})-(\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{B M})\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(-\overrightarrow{B M}-\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{M B}\)
3.如图,\(ABCD\)的对角线交点是\(O\),则下列等式成立的是( )
A. \(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{A B}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{B A}\)
C. \(\overrightarrow{A O}-\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{A B}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{C D}\)
4.如图,\(A\),\(B\),\(C\),\(D\)是平面上的任意四点,下列式子中正确的是( )
A. \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{D A}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{A D}\)
C. \(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{D B}=\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{B A}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{D B}\)
5.(多选)化简以下各式,结果为零向量的是( )
A. \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}-\overrightarrow{C D}\)
C. \(\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{A D}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(\overrightarrow{N Q}+\overrightarrow{Q P}+\overrightarrow{M N}-\overrightarrow{M P}\)
6.梯形\(ABCD\)中,\(AB∥DC\),\(AC\)与\(BD\)交于点\(O\),则 \(\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{C O}=\) \(\underline{\quad \quad}\).
7.若两个非零向量\(\vec{a}\),\(\vec{b}\)满足 \(|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|=2|\vec{a}|\),则向量\(\vec{a}\)与 \(\vec{a}+\vec{b}\)的夹角为\(\underline{\quad \quad}\) .
8.已知\(|\overrightarrow{A B}|=2\), \(|\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}|=1\). 则\(|\overrightarrow{A C}|\)的最大值是\(\underline{\quad \quad}\),最小值是\(\underline{\quad \quad}\).
9.如图,已知向量\(\vec{a}\),\(\vec{b}\),\(\vec{c}\),求作向量 \(\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}\).
10.如图,在\(△ABC\)中,\(D\),\(E\)分别为\(AC\),\(BC\)边上任意一点,\(O\)为\(AE\),\(BD\)的交点,已知\(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\), \(\overrightarrow{B D}=\vec{b}\), \(\overrightarrow{B E}=\vec{c}\), \(\overrightarrow{O E}=\vec{e}\),求向量\(\overrightarrow{O D}\).
11.如图,在矩形\(ABCD\)中, \(|\overrightarrow{A D}|=4 \sqrt{3}\), \(|\overrightarrow{A B}|=8\).设\(\overrightarrow{A B}=\vec{a}\), \(\overrightarrow{B C}=\vec{b}\), \(\overrightarrow{B D}=\vec{c}\),求 \(|\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}|\).
12.如图所示,\(O\)为\(△ABC\)的外心,\(H\)为垂心,求证 \(\overrightarrow{O H}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}\).
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 根据相反向量的定义:大小相等,方向相反,可知 \(|\vec{a}|=|\vec{b}|\). -
答案 \(D\)
解析 \((\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{D C})-\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{A B}+(\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{B C})=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A D}\),\(A\)错误;
\(\overrightarrow{A D}-(\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D C})=\overrightarrow{A D}\),\(B\)错误;
\(-(\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{M C})-(\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{B M})=\overrightarrow{B M}-\overrightarrow{D A}-\overrightarrow{B M}=\overrightarrow{A D}\),\(C\)错误;
\(-\overrightarrow{B M}-\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{M B}=2 \overrightarrow{M B}+\overrightarrow{A D}\),\(D\) 正确.
故选:\(D\). -
答案 \(D\)
解析 由向量加减的运算可得 \(\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{B A}\),
又 \(R \overrightarrow{B A}=\overrightarrow{C D}\),故 \(\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{C D}\),
故选:\(D\). -
答案 \(B\)
解析 \(\because \overrightarrow{D C}=\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{B D}\), \(\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A D}\),
\(\therefore \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{B D}\), \(\therefore \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{A D}\).
故选:\(B\). -
答案 \(ABCD\)
解析 对选项\(A\), \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{0}\),所以选项\(A\)正确,
对选项\(B\), \(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}-\overrightarrow{C D}=(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D})-(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C D})=\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{0}\),
所以选项\(B\)正确,
对选项\(C\), \(\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{A D}=(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A D})-\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{O D}-\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{0}\),所以选项\(C\)正确,
对选项\(D\), \(\overrightarrow{N Q}+\overrightarrow{Q P}+\overrightarrow{M N}-\overrightarrow{M P}=\overrightarrow{N P}+\overrightarrow{P M}+\overrightarrow{M N}=\overrightarrow{N M}-\overrightarrow{N M}=\overrightarrow{0}\),所以选项\(D\)正确,
故选:\(ABCD\). -
答案 \(\overrightarrow{0}\)
解析 \(\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{C O}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{0}\). -
答案 \(60°\).
解析 \(\because|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|\),\(∴\)如图,以\(\vec{a}\),\(\vec{b}\)为邻边的平行四边形的对角线相等,
所以此平行四边形是矩形, \(\therefore \angle A O B=90^{\circ}\),
\(\overrightarrow{O A}=\vec{a}\), \(\overrightarrow{O B}=\vec{b}\), \(\overrightarrow{O C}=\vec{a}+\vec{b}\),
由题意, \(∴∠AOC=60^∘\),\(∴∠AOC=60^∘\),
即向量\(\vec{a}\)与\(\vec{a}+\vec{b}\)的夹角为\(60°\).
-
答案 最大值是\(3\),最小值是\(1\).
解析 因为\(|\overrightarrow{A B}|=2\), \(|\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}|=1\),
所以 \(|\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{A B}+(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})| \leq|\overrightarrow{A B}|+|\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}|=3\),当且仅当\(\overrightarrow{A B}\)与 \(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}\),即\(\overrightarrow{A B}\)与\(\overrightarrow{BC}\)方向相同时取到等号;
\(|\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{A B}+(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})| \geq|\overrightarrow{A B}|-\mid \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}|=1\),当且仅当\(\overrightarrow{A B}\)与 \(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}\),即\(\overrightarrow{A B}\)与\(\overrightarrow{BC}\)方向相反时取到等号;
所以\(|\overrightarrow{A C}|\)的最大值是\(3\),最小值是\(1\). -
答案
解析 在平面内任取一点\(O\),作\(\overrightarrow{O A}=\vec{a}\), \(\overrightarrow{O B}=\vec{b}\),则 \(\vec{a}-\vec{b}=\overrightarrow{B A}\),
再作\(\overrightarrow{B C}=\vec{c}\),则 \(\overrightarrow{C A}=\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}\).
-
答案 \(\vec{e}-\vec{c}+\vec{b}\)
解析 在\(△OBE\)中,有 \(\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O E}+\overrightarrow{E B}=\vec{e}-\vec{c}\);
在\(△ABO\)中, \(\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{B A}=\vec{e}-\vec{c}-\vec{a}\);
在\(△ABD\)中, \(\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}=\vec{a}+\vec{b}\).
因此在\(△OAD\)中, \(\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A D}=\vec{e}-\vec{c}-\vec{a}+\vec{a}+\vec{b}=\vec{e}-\vec{c}+\vec{b}\). -
答案 \(8 \sqrt{7}\)
解析 由已知可得 \(\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}=\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{B D}\),
又因为四边形\(ABCD\)为矩形,则\(\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A D}\),
则\(\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}=\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{D B}=2 \overrightarrow{D B}\),
在直角三角形\(ABD\)中, \(B D=\sqrt{A B^2+A D^2}=\sqrt{8^2+(4 \sqrt{3})^2}=4 \sqrt{7}\),
所以 \(|\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}|=2|\overrightarrow{D B}|=2 \times 4 \sqrt{7}=8 \sqrt{7}\). -
证明 如图,作直径\(BD\),连接\(DA\),\(DC\),
则\(\overrightarrow{O B}=-\overrightarrow{O D}\),\(DA⊥AB\),\(CD⊥BC\),
\(∵H\)为垂心,\(∴CH⊥AB\),\(AH⊥BC\),
\(∴CH∥DA\),\(AH∥DC\),
\(∴\)四边形\(AHCD\)是平行四边形, \(\therefore \overrightarrow{A H}=\overrightarrow{D C}\),
又 \(\because \overrightarrow{D C}=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}\),
\(\therefore \overrightarrow{O H}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A H}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}\).
【B组---提高题】
1.已知向量\(\vec{a}\),\(\vec{b}\)满足 \(|\vec{a}|=1\), \(|\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|=2\),则 \(|\vec{a}+\vec{b}|=\) \(\underline{\quad \quad}\) .
参考答案
- 答案 \(\sqrt{6}\)
解析 如下图,四边形\(ABCD\)是平行四边形,\(OE⊥AB\),\(CF⊥AB\),
令\(\vec{a}=\overrightarrow{A B}\), \(\vec{b}=\overrightarrow{B C}\),则 \(\vec{a}-\vec{b}=\overrightarrow{A C}\),
则依题意得\(AB=1\),\(BC=AC=2\),
\(∵CF⊥AB\), \(\therefore A F=\dfrac{1}{2} A B=\dfrac{1}{2}\), \(C F=\sqrt{A C^2-A F^2}=\dfrac{\sqrt{15}}{2}\),
又\(∵OE⊥AB\),\(O\)是\(AC\)中点, \(\therefore O E=\dfrac{1}{2} C F=\dfrac{\sqrt{15}}{4}\), \(A E=\dfrac{1}{2} A F=\dfrac{1}{4}\),
\(\therefore B F=A B-A E=\dfrac{3}{4}\) \(\therefore O B=\sqrt{O E^2+B E^2}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\), \(\therefore B D=2 O B=\sqrt{6}\),
\(\therefore|\vec{a}+\vec{b}|=|\overrightarrow{B D}|=\sqrt{6}\).